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क्योंकि (\(3+\sqrt{5}\)^{2}=9+5+6\sqrt{5}=14+6\sqrt{5}), इसलिए \(\sqrt{A}=3+\sqrt{5}\)। परीक्षा में पूर्ण वर्ग करणी पहचानें। / Because (\(3+\sqrt{5}\)^{2}=9+5+6\sqrt{5}=14+6\sqrt{5}), \(\sqrt{A}=3+\sqrt{5}\). In exams, identify perfect-square surd forms.
क्योंकि (\(2+\sqrt{5}\)^{2}=4+5+4\sqrt{5}=9+4\sqrt{5}), इसलिए \(\sqrt{A}=2+\sqrt{5}\)। परीक्षा में पूर्ण वर्ग करणी को पहचानें। / Because (\(2+\sqrt{5}\)^{2}=4+5+4\sqrt{5}=9+4\sqrt{5}), \(\sqrt{A}=2+\sqrt{5}\). In exams, recognize a perfect-square surd form.
(\left\(81x^{4}\right\)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{81x^{4}}=9x^{2})। परीक्षा में वर्गमूल में घात आधी हो जाती है। / (\left\(81x^{4}\right\)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{81x^{4}}=9x^{2}). In exams, the exponent becomes half under a square root.
(\(2+\sqrt{3}\)^{2}=4+3+4\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}), इसलिए \(\sqrt{A}=2+\sqrt{3}\)। परीक्षा में रूप ((a+b)^{2}) पहचानें। / Since (\(2+\sqrt{3}\)^{2}=4+3+4\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}), \(\sqrt{A}=2+\sqrt{3}\). In exams, recognize the form ((a+b)^{2}).
मान लें संख्या (x) है, तो \(x^2-11=85\)। इससे \(x^2=96\), इसलिए धनात्मक संख्या \(4\sqrt{6}\) है। / Let the number be (x), so \(x^2-11=85\). This gives \(x^2=96\), so the positive number is \(4\sqrt{6}\).
यदि वर्ग की भुजा \(x\) मीटर है, तो उसका क्षेत्रफल \(x^2\) होता है। इसलिए \(x^2=196\), अर्थात \(x=\pm14\)। लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए \(x=14\) मीटर सही उत्तर है। परीक्षा में वर्ग का क्षेत्रफल दिया हो तो भुजा ज्ञात करने के लिए उसका वर्गमूल लें। / If the side of the square is \(x\) metres, its area is \(x^2\). Thus, \(x^2=196\), giving \(x=\pm14\). Since a length cannot be negative, \(x=14\) metres. Exam tip: when the area of a square is given, find its side by taking the positive square root.
घातांक समीकरण \(x^2=49\) को हल करने के लिए दोनों ओर का वर्गमूल लें: \(x=\pm\sqrt{49}=\pm7\)। इसलिए मूल होंगे (7) और (-7)। विकल्प B गलत है क्योंकि केवल धनात्मक मान लेना नकारात्मक मूल को नज़रअंदाज़ करना है; विकल्प C गलत है — 14 का विचार तब होता है जब कोई गलती से \(7+7\) या \(2\times7\) सोच लेता है; विकल्प D बेतुका है क्योंकि 0 और 49 से समीकरण की कोई जड़ नहीं मिलती। परीक्षा सुझाव: जब किसी सकारात्मक संख्या का वर्गमूल लेते हों तो हमेशा \(\pm\) दोनों चिन्ह याद रखें। / Solve by taking square root of both sides: \(x=\pm\sqrt{49}=\pm7\). Thus the roots are 7 and -7. Option B is wrong because it ignores the negative root; option C is wrong because 14 arises from a mistaken doubling (e.g. thinking 7+7) rather than taking the square root; option D is unrelated to solving \(x^2=49\). Exam tip: for equations of form \(x^2=a\) with \(a>0\), always include both signs \(\pm\) when writing the roots.
समीकऱण \(3x^2-27=0\) को 3 से भाग करने पर \(x^2=9\) प्राप्त होता है। अतः \(x=\pm3\) यानी 3 और −3 दोनों मूल हैं। विकल्प B (9, −9) गलत है क्योंकि उसने \(x^2\) का मान (9) सीधे जड़ मान लिया है — मूल जड़ का ± रूप होता है। विकल्प C और D कम या एकमात्र जड़ बताते हैं; वे समस्यात्मक हैं क्योंकि दूसरी जड़ −3 छोड़ी गई है। परीक्षा सुझाव: सबसे पहले समीकरण को गुणांक से भाग दें ताकि \(x^2=\) का रूप मिले, फिर ±√ लेकर जड़ें निकालें। / Divide both sides by 3: \(x^2=9\). Taking square roots gives \(x=\pm3\), so the roots are 3 and −3. Option B (9, −9) is incorrect because it confuses the value of \(x^2\) with the values of x (the square roots are ±3, not ±9). Options C and D omit the negative root. Exam tip: first divide by the leading coefficient to get \(x^2=\) form, then apply ±√ to find both roots.
\(x^2=16\) पर दोनों तरफ का वर्गमूल लेने पर \(x=\pm\sqrt{16}=\pm4\) आता है, इसलिए दोनों धनात्मक और ऋणात्मक मूल लें। विकल्प B गलत है क्योंकि उसने ऋणात्मक मूल \(-4\) को छोड़ा; विकल्प C और D मानदोष हैं क्योंकि \(\sqrt{16}=4\) है न कि 8, और 0 तथा 16 इस समीकरण के किसी भी मूल के रूप में संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा-सूचना: किसी भी समीकरण में दोनों तरफ वर्गमूल लेते समय हमेशा \(\pm\) को ध्यान में रखें। / Taking square root of both sides of \(x^2=16\) gives \(x=\pm\sqrt{16}=\pm4\). So both +4 and -4 are roots. Option B is wrong because it omits the negative root (-4); C and D are incorrect since \(\sqrt{16}=4\), not 8, and 0 and 16 do not satisfy the equation. Exam tip: whenever you take square roots in equations, include the \(\pm\) sign to capture both roots.
\(2x^2-8=0\) को पहले दोनों पक्षों को 2 से भाग देकर सरल करें: \(x^2=4\)। अब वर्गमूल लेने पर \(x=\pm 2\) मिलते हैं, अर्थात् 2 और −2। विकल्प B गलत है क्योंकि वहाँ पर गलती से \(x^2=16\) मान लिया गया होगा; विकल्प C में 0 जोड़ा गया है पर \(0\) समीकरण को संतुष्ट नहीं करता; विकल्प D केवल धनात्मक जड़ ले रहा है और ऋणात्मक जड़ \(-2\) छोड़ रहा है। परीक्षा टिप: किसी संख्या का वर्गमूल लेते समय दोनों चिन्ह \(+\) और \(-\) दोनों परखें। / Divide both sides by 2: from \(2x^2-8=0\) we get \(x^2=4\). Taking square roots gives \(x=\pm 2\), i.e. 2 and −2. Option B would come from incorrectly assuming \(x^2=16\); option C is wrong because 0 does not satisfy the equation; option D is incomplete because it omits the negative root. Exam tip: when taking square roots always include both \(+\) and \(-\) solutions after squaring.
A. यदि (a<0), तो \(\sqrt{a^2}=|a|\) होता है/If (a<0), then \(\sqrt{a^2}=|a|\)
Explanation
Simple Explanation
मुख्य वर्गमूल अऋणात्मक होता है इसलिए \(\sqrt{a^2}=|a|\) है। परीक्षा में ऋणात्मक (a) के लिए सावधान रहें। / The principal square root is non-negative so \(\sqrt{a^2}=|a|\). In exams be careful when (a) is negative.
मुख्य वर्गमूल हमेशा अऋणात्मक होता है, इसलिए \(\sqrt{a^2}=|a|\) है। परीक्षा में (a) ऋणात्मक होने की संभावना न भूलें। / The principal square root is always non-negative, so \(\sqrt{a^2}=|a|\). In exams do not forget the possibility of negative (a).
\(\sqrt{-9}\) वास्तविक संख्या नहीं है, जबकि बाकी सभी वास्तविक हैं। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक संख्या पद्धति में नहीं लेते। / \(\sqrt{-9}\) is not a real number, while the others are real. In exams do not take the square root of a negative number in the real number system.
क्योंकि (\(\sqrt{3}\)2=3), इसलिए \(x^2-3=0\) है। परीक्षा में वर्गमूल का वर्ग मूलांक देता है। / Since (\(\sqrt{3}\)2=3), \(x^2-3=0\). In exams the square of a square root gives the radicand.
\(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}}=\sqrt{\frac{3}{12}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\) है। जड़ों के भाग में अनुपात सरल करें। / \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}}=\sqrt{\frac{3}{12}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\). Simplify the ratio inside the roots.
धनात्मक संख्याओं में जड़ के अंदर बड़ी संख्या हो तो वर्गमूल भी बड़ा होता है। (48<75<108) है। / For positive numbers a larger value inside the root gives a larger square root. Here (48<75<108).
\(\sqrt{363}=\sqrt{121\times3}=\sqrt{121}\times\sqrt{3}=11\sqrt{3}\). इसलिए सही उत्तर \(11\sqrt{3}\) है। निकटतम भ्रामक विकल्प \(3\sqrt{11}\) गलत है क्योंकि \(3\sqrt{11}=\sqrt{9\times11}=\sqrt{99}\), जो 363 नहीं है। विकल्प \(\sqrt{33}\) और \(\dfrac{\sqrt{121}}{\sqrt{3}}\) भी मूल्य में अलग हैं (आखिरी विकल्प \(\dfrac{11}{\sqrt{3}}\) के बराबर है)। परीक्षा टिप: किसी भी व्यंजक का सरलीकरण करते समय अंदर के भाग में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड खोजें और उसे बाहर निकालें। / \(\sqrt{363}=\sqrt{121\times3}=\sqrt{121}\times\sqrt{3}=11\sqrt{3}\). Thus the simplified form is \(11\sqrt{3}\). The closest distractor \(3\sqrt{11}\) is incorrect because \(3\sqrt{11}=\sqrt{9\times11}=\sqrt{99}\), not \(\sqrt{363}\). Options \(\sqrt{33}\) and \(\dfrac{\sqrt{121}}{\sqrt{3}}\) evaluate to different values (the last equals \(11/\sqrt{3}\)). Exam tip: always factor the radicand and pull out the largest perfect square factor to simplify roots quickly.
धनात्मक संख्याओं में अंदर की संख्या बड़ी हो तो वर्गमूल भी बड़ा होता है। (145>130) है। / For positive numbers a larger number inside the square root gives a larger root. Here (145>130).
\(3^2=9<11<16=4^2\) होने के कारण \(3<\sqrt{11}<4\)। अतः \(\sqrt{11}\) 3 और 4 के बीच स्थित है (लगभग \(3.316\ldots\))। विकल्प C (4 और 5) भ्रमित कर सकता है पर वहाँ के लिए न्यूनतम वर्ग \(4^2=16\) है जो 11 से बड़ा है, इसलिए \(\sqrt{11}\) 4 से छोटा है। परिक्षा-सुझाव: किसी भी संख्या का वर्ग करके निकटतम पूर्णांक खोजें — इससे तुरंत घातमूल के बीच का अंतर ज्ञात हो जाता है। / Since \(3^2=9<11<16=4^2\), we have \(3<\sqrt{11}<4\), so \(\sqrt{11}\) lies between 3 and 4 (approximately \(3.316\ldots\)). Option C (4 and 5) is wrong because \(4^2=16>11\), so \(\sqrt{11}\) cannot be ≥4. Exam tip: Compare squares of consecutive integers to bracket a square root quickly on the number line.
\(\sqrt{85}\) का मान लगभग 9.219... है, जो 9 और 10 के बीच आता है। 85 किसी पूर्ण वर्ग का अंक नहीं है, इसलिए \(\sqrt{85}\) अपरिमेय है। निकटतम विकर्षक \(\frac{19}{2}=9.5\) भले ही 9 और 10 के बीच है पर धनात्मक पूर्णांक का अनुपात होने के कारण यह परिमेय है। \(\sqrt{100}=10\) और \(\sqrt{81}=9\) सीमाओं पर हैं (बीच में नहीं)। परीक्षा-सुझाव: किसी पूर्ण वर्गों \(n^2\) और \((n+1)^2\) के बीच आने वाला कोई भी गैर-पूर्ण-वर्ग का अंक लें और उसका वर्गमूल लें — वह \(n\) और \(n+1\) के बीच एक अपरिमेय होगा। / \(\sqrt{85}\) ≈ 9.219…, which lies strictly between 9 and 10. Since 85 is not a perfect square, \(\sqrt{85}\) is irrational. The closest distractor \(\frac{19}{2}=9.5\) is between 9 and 10 but is rational (ratio of integers). \(\sqrt{100}=10\) and \(\sqrt{81}=9\) are endpoints, not numbers strictly between 9 and 10. Exam tip: to find an irrational between n and n+1, pick a non-square integer between n-2 and (n+1)2 and take its square root — it will be irrational and lie between n and n+1.
यहाँ x = \sqrt{23} है तो \(x^2+2x = 23 + 2\sqrt{23}\)। 23 एक परिमेय संख्या है और \(2\sqrt{23}\) अपरिमेय है; परिमेय और अपरिमेय का योग हमेशा अपरिमेय होता है जब तक अपरिमेय भाग शून्य न हो। अत:, अभिव्यक्ति अपरिमेय संख्या है। निकटतम भ्रामक विकल्प परिमेय संख्या है — यह तब सही होता यदि अपरिमेय भाग शून्य हो सकता था, पर यहाँ \(2\sqrt{23}\neq 0\)। परीक्षात्मक सुझाव: ऐसे प्रश्नों में पहले व्यंजक को सरल करें और देखें कि क्या कोई अपरिमेय भाग शून्य होकर रद्द हो जाता है। / With x = \sqrt{23}, we get \(x^2+2x = 23 + 2\sqrt{23}\). 23 is rational and \(2\sqrt{23}\) is irrational; the sum of a nonzero irrational and a rational number is irrational. Therefore the expression is irrational. The closest distractor, rational, would be correct only if the irrational part canceled to zero, which does not happen here. Exam tip: simplify the expression first and check whether the irrational part can cancel; if not, the result with a nonzero irrational term is irrational.
\(\sqrt{288}=\sqrt{144\times2}=\sqrt{144}\times\sqrt{2}=12\sqrt{2}\). इसलिए सही उत्तर \(12\sqrt{2}\) है। नजदीकी भ्रमित करने वाला विकल्प \(2\sqrt{144}\) को देखकर गलती से ऐसा समझ सकते हैं कि \(2\sqrt{144}=2\times12=24\), पर यह \(12\sqrt{2}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: किसी संख्या का वर्गमूल निकالتे समय अंदर सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग निकालें (यहाँ 144)। / \(\sqrt{288}=\sqrt{144\times2}=\sqrt{144}\times\sqrt{2}=12\sqrt{2}\), so the simplified form is \(12\sqrt{2}\). The closest distractor \(2\sqrt{144}\) equals \(2\times12=24\), which is not equal to \(12\sqrt{2}\). Exam tip: always factor the radicand into the largest perfect square times a remaining factor to simplify surds quickly (here the largest perfect square is 144).
\(245=49\times5\) है, अतः \(\sqrt{245}=\sqrt{49\times5}=\sqrt{49}\times\sqrt{5}=7\sqrt{5}\)। विकल्प B (\(5\sqrt{7}\)) गलत है क्योंकि \((5\sqrt{7})^2=25\times7=175\) होता है, न कि 245। विकल्प C (\(49\sqrt{5}\)) तब हुआ होगा जब किसी ने 49 को बाहर निकालते समय \(\sqrt{49}=7\) न लेकर 49 ही ले लिया — यह मूल संख्या से बहुत ज्यादा बड़ा परिणाम देगा। विकल्प D मूल रूप है, पर सरल नहीं। परीक्षा-सुझाव: अंदर से सबसे बड़ा पूर्ण-वर्ग (यहाँ 49) खोजें और उसका वर्गमूल बाहर निकालें। / Factor 245: \(245=49\times5\). Then \(\sqrt{245}=\sqrt{49\times5}=\sqrt{49}\times\sqrt{5}=7\sqrt{5}\), so A is correct. Option B (\(5\sqrt{7}\)) is incorrect — \((5\sqrt{7})^2=175\), not 245. Option C (\(49\sqrt{5}\)) arises from mistakenly taking 49 instead of its square root (\(\sqrt{49}=7\)), giving an answer that is far too large. Option D is just the unsimplified radical. Exam tip: always pull out the largest perfect square factor and take its square root outside the radical.
\(\sqrt{200}=\sqrt{100\times2}=10\sqrt{2}\) है। सरल रूप में जड़ के अंदर पूर्ण वर्ग नहीं रहना चाहिए। / \(\sqrt{200}=\sqrt{100\times2}=10\sqrt{2}\). In simplest form no perfect square should remain inside the root.
\(\frac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{80}{5}}=\sqrt{16}=4\). वैकल्पिक रूप से \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\) लिखकर \(\frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=4\) भी किया जा सकता है। विकल्प C (\(2\sqrt{5}\)) वास्तव में \(\sqrt{80}\) है, इसलिए गलत है; विकल्प B और D भी गलत फल हैं। परीक्षा टिप: घातमूलों में भाग करते समय अंदर का भिन्न सरल करें या पूर्ण वर्ग गुणकों को निकालें — इससे त्रुटियाँ कम होती हैं। / \(\frac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{80}{5}}=\sqrt{16}=4\). Alternatively, since \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\), canceling \(\sqrt{5}\) gives \(\frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=4\). Option C (\(2\sqrt{5}\)) equals \(\sqrt{80}\), not the quotient, so it is incorrect; B and D are also incorrect numerical values. Exam tip: simplify the expression inside the radical or factor out perfect squares before dividing to avoid mistakes.
घनमूल (square root) का मान नॉन-नेगेटिव वास्तविक संख्याओं पर बढ़ते हुए फ़ंक्शन होता है: यदि \(a>b\ge0\) तो \(\sqrt{a}>\sqrt{b}\)। यहाँ \(99>90\), अतः \(\sqrt{99}>\sqrt{90}\)। संख्यात्मक रूप से \(\sqrt{90}\approx9.4868\) और \(\sqrt{99}\approx9.9499\)। विकल्प B उल्टा क्रम दर्शाता है और गलत है; C गलत है क्योंकि अंदर की संख्याएँ समान नहीं; D भी गलत है क्योंकि तुलना बिल्कुल संभव और स्पष्ट है। परीक्षा सुझाव: ऐसे मामलों में अंदर की संख्याओं की सीधे तुलना करें या दोनों ओर का वर्ग लेकर निर्णय आसान हो जाता है। / The square-root function is increasing for non‑negative real numbers: if \(a>b\ge0\) then \(\sqrt{a}>\sqrt{b}\). Since \(99>90\), we have \(\sqrt{99}>\sqrt{90}\). Numerically \(\sqrt{90}\approx9.4868\) and \(\sqrt{99}\approx9.9499\). Option B reverses the order, C is false because the radicands are different, and D is wrong because the comparison is definite. Exam tip: either compare the radicands directly or compute approximate square roots to decide quickly.
\(2^2=4\) और \(3^2=9\) होने के कारण \(4<7<9\)। इसलिए \(2<\sqrt{7}<3\)। अतः \(\sqrt{7}\) उन दो पूर्णांकों 2 और 3 के बीच आता है। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प C (3, 4) इसलिए गलत है क्योंकि \(\sqrt{7}\) की मान 3 से छोटी है; B और D स्पष्ट रूप से असंगत हैं। परीक्षा टिप: किसी संख्या का वर्ग ज्ञात करके आप त्वरित रूप से उसके वर्गमूल के निकटतम पूर्णांक पता कर सकते हैं। / Since \(2^2=4\) and \(3^2=9\), we have \(4<7<9\). Hence \(2<\sqrt{7}<3\), so \(\sqrt{7}\) lies between the integers 2 and 3. The closest distractor C (3, 4) is wrong because \(\sqrt{7}\) is less than 3; B and D are evidently incorrect. Exam tip: compare the given number with consecutive perfect squares to find the integer bounds for its square root quickly.
\(\sqrt{6}\times\sqrt{10}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}\) है। (15) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए परिणाम अपरिमेय है। / \(\sqrt{6}\times\sqrt{10}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}\). Since (15) is not a perfect square the result is irrational.
\(x=\sqrt{17}\) होने पर \(x^2=(\sqrt{17})^2=17\)। अतः \(x^2-5=17-5=12\)। 12 एक पूर्णांक है और इसे \(12/1\) के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह परिमेय संख्या है। विकल्प B (अपरिमेय) गलत है क्योंकि अपरिमेय संख्या को किसी दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता, पर यहाँ 12 को व्यक्त किया जा सकता है। विकल्प C (अवास्तविक) गलत है क्योंकि 12 वास्तविक संख्या है। विकल्प D (अनावर्ती दशमलव) भी गलत है क्योंकि 12 एक समाप्त दशमलव (12.0) है, न कि अनावर्ती। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का वर्ग लेने पर मूल रहित संख्या का वर्ग हमेशा पूर्णांक/पूर्ण संख्या देता है — सबसे पहले \(x^2\) की वैल्यू निकालें फिर शेष मान पर विचार करें। / With \(x=\sqrt{17}\), we have \(x^2=(\sqrt{17})^2=17\). Therefore \(x^2-5=17-5=12\). The number 12 is an integer and can be written as \(12/1\), so it is rational. Option B (irrational) is incorrect because irrational numbers cannot be expressed as a ratio of integers, whereas 12 can. Option C (non-real) is wrong because 12 is a real number. Option D (non-repeating decimal) is wrong because 12 is a terminating decimal (12.0), not a non-repeating non-terminating decimal. Exam tip: simplify powers of radicals first — squaring a square root removes the root, then evaluate the remaining arithmetic to classify the result.
\(\sqrt{180}=\sqrt{36\times5}=\sqrt{36}\;\sqrt{5}=6\sqrt{5}\). इसलिए सही उत्तर \(6\sqrt{5}\) है। अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि वे बराबर रूप नहीं हैं: \(9\sqrt{2}\) का वर्ग \(81\times2=162\) होता है (\(180\) नहीं), \(5\sqrt{6}\) का वर्ग \(25\times6=150\), और \(3\sqrt{12}=3\sqrt{4\times3}=3\times2\sqrt{3}=6\sqrt{3}\) जो \(6\sqrt{5}\) के बराबर नहीं है। परीक्षात्मक सुझाव: किसी भी घनत्व/वर्गमूल को सरल करते समय सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग (greatest perfect square) बाहर निकालें। / \(\sqrt{180}=\sqrt{36\times5}=\sqrt{36}\,\sqrt{5}=6\sqrt{5}\), so the simplified form is \(6\sqrt{5}\). Why other options are wrong: \(9\sqrt{2}\) squared is \(81\times2=162\) (not 180), \(5\sqrt{6}\) squared is \(25\times6=150\), and \(3\sqrt{12}=3\sqrt{4\times3}=6\sqrt{3}\), which is different from \(6\sqrt{5}\). Exam tip: always factor out the largest perfect square from under the radical to simplify quickly.
