A. वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए, पर दाईं ओर एक अतिरिक्त (3) आता है/In a square, the exponent of (3) should be even, but the right side adds one extra (3)
Step 1
Concept
In a perfect square, the exponent of every prime factor is even.
Step 2
Why this answer is correct
In \(p^2=3q^2\), the right side adds one extra factor (3) to \(q^2\), disturbing the exponent balance.
Step 3
Exam Tip
This idea explains why (3) finally appears in both numerator and denominator. चरण 1: किसी पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य गुणनखंड की घात सम होती है। चरण 2: \(p^2=3q^2\) में दाईं ओर \(q^2\) के साथ एक अतिरिक्त (3) जुड़ता है, जिससे (3) की घात का संतुलन टूटता है। चरण 3: इसी सोच से (3) अंश और हर दोनों में आने का विरोधाभास समझ में आता है।
From \(p^2=3q^2\), (p) is proved divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
But to complete the proof, (q) must also be shown divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Only then does contradiction arise with the coprime condition. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से (p) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। चरण 2: पर प्रमाण पूरा करने के लिए (q) भी (3) से विभाज्य दिखाना होगा। चरण 3: तभी सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास बनेगा।
A. (q) को भी (3) से विभाज्य दिखाना/To show (q) is also divisible by (3)
Step 1
Concept
First (p) is proved divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting (p=3k) in the equation gives \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
This proves (q) is also divisible by (3). चरण 1: पहले (p) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। चरण 2: (p=3k) को समीकरण में रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है। चरण 3: इससे (q) भी (3) से विभाज्य सिद्ध होता है।
A. वर्ग करने के बाद \(p^2=3q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (3) मिलता है/After squaring, \(p^2=3q^2\) is formed and common factor (3) is found
Step 1
Concept
Assuming \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Later, common factor (3) is found in both (p) and (q).
Step 3
Exam Tip
This identifies the proof of \(\sqrt{3}\). चरण 1: \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। चरण 2: आगे (p) और (q) दोनों में (3) साझा गुणनखंड मिलता है। चरण 3: यही \(\sqrt{3}\) की सिद्धि की पहचान है।
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने से विरोधाभास है/Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
Step 1
Concept
The proof shows both (p) and (q) are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
But at the start, they were assumed coprime.
Step 3
Exam Tip
This contradiction completes the proof. चरण 1: प्रमाण से (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 2: पर शुरुआत में वे सहअभाज्य माने गए थे। चरण 3: यही विरोधाभास सिद्धि को पूरा करता है।
A. यह सरलतम रूप में नहीं रह सकती/It cannot remain in lowest form
Step 1
Concept
If both are divisible by (3), the fraction has common factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
Therefore the lowest-form assumption breaks. चरण 1: दोनों (3) से विभाज्य होने पर भिन्न में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 2: ऐसी भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है। चरण 3: इसलिए सरलतम रूप की मान्यता टूटती है।
C. (p=3k) से \(p^2=3k^2\)/From (p=3k), \(p^2=3k^2\)
Step 1
Concept
Squaring (p=3k) gives ((3k)2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct value is \(9k^2\), not \(3k^2\).
Step 3
Exam Tip
Square the whole expression. चरण 1: (p=3k) को वर्ग करने पर ((3k)2) मिलेगा। चरण 2: सही मान \(9k^2\) है, \(3k^2\) नहीं। चरण 3: वर्ग करते समय पूरी राशि का वर्ग करें।
B. \(p^2=3q^2\) से सीधे (q) (3) से विभाज्य लिखना/Directly writing (q) is divisible by (3) from \(p^2=3q^2\)
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), first (p) is concluded divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
After substituting (p=3k), \(q^2=3k^2\) is obtained.
Step 3
Exam Tip
Therefore jumping directly to (q) is an order mistake. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से पहले (p) के (3) से विभाज्य होने का निष्कर्ष आता है। चरण 2: (p=3k) रखने के बाद \(q^2=3k^2\) मिलता है। चरण 3: इसलिए सीधे (q) पर जाना क्रम की गलती है।
A. दोनों ओर वर्ग करने पर \(3=\frac{p^2}{q^2}\) मिलेगा/Squaring both sides gives \(3=\frac{p^2}{q^2}\)
Step 1
Concept
To get (3) from \(\sqrt{3}\), both sides must be squared.
Step 2
Why this answer is correct
The square of a fraction is \(\frac{p^2}{q^2}\).
Step 3
Exam Tip
So the correct form is \(3=\frac{p^2}{q^2}\). चरण 1: \(\sqrt{3}\) से (3) पाने के लिए दोनों ओर वर्ग करना जरूरी है। चरण 2: भिन्न का वर्ग \(\frac{p^2}{q^2}\) होता है। चरण 3: इसलिए सही रूप \(3=\frac{p^2}{q^2}\) है।
A. \(q^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/\(q^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
From \(q^2=3k^2\), \(q^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Therefore (q=3r) is written. चरण 1: \(q^2=3k^2\) से \(q^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: इसीलिए (q=3r) लिखा जाता है।
A. (\gcd(p,q)) कम से कम (3) है/(\gcd(p,q)) is at least (3)
Step 1
Concept
(p=3r) and (q=3s) show factor (3) in both.
Step 2
Why this answer is correct
So their greatest common divisor cannot remain (1) and is at least (3).
Step 3
Exam Tip
This contradicts lowest form. चरण 1: (p=3r) और (q=3s) से दोनों में (3) गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक (1) नहीं रह सकता और कम से कम (3) होगा। चरण 3: यही सरलतम रूप से विरोधाभास है।
Do not write ((3k)2) as \(3k^2\). चरण 1: (p=3k) का वर्ग करने पर \(p^2=9k^2\) मिलता है। चरण 2: इसे \(p^2=3q^2\) में रखने पर \(9k^2=3q^2\) होगा। चरण 3: ((3k)2) को \(3k^2\) न लिखें।
Use the prime rule to move from square to original number. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: वर्ग से मूल संख्या पर जाने के लिए अभाज्य नियम लगाएं।
A. \(9k^2=3q^2\), इसलिए \(q^2=3k^2\), अतः (q) (3) से विभाज्य है/\(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\), hence (q) is divisible by (3)
Step 1
Concept
If (p=3k), then \(p^2=9k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
From \(9k^2=3q^2\), we get \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
By the prime rule, (q) is divisible by (3). चरण 1: (p=3k) रखने पर \(p^2=9k^2\) होगा। चरण 2: \(9k^2=3q^2\) से \(q^2=3k^2\) मिलता है। चरण 3: अभाज्य नियम से (q) (3) से विभाज्य होता है।
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने के विरुद्ध है/Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
Step 1
Concept
The proof shows both (p) and (q) are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
This contradicts their coprime condition.
Step 3
Exam Tip
After this, the final conclusion is written that \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 2: यह उनके सहअभाज्य होने की शर्त से टकराता है। चरण 3: इसके बाद अंतिम निष्कर्ष लिखा जाता है कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
Mentioning the type of the new variable makes the proof clear. चरण 1: (p) एक पूर्णांक है और (3) से विभाज्य है। चरण 2: इसलिए (p=3k) लिखा जा सकता है, जहां (k) भी पूर्णांक होगा। चरण 3: ऐसे रूप में नए अक्षर का प्रकार लिखना प्रमाण को स्पष्ट बनाता है।
A. परिमेय मान्यता असंभव है/The rational assumption is impossible
Step 1
Concept
In lowest form, (p) and (q) should not have any common factor other than (1).
Step 2
Why this answer is correct
Finding both divisible by (3) breaks this condition.
Step 3
Exam Tip
Therefore the rational assumption is impossible and \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: सरलतम रूप में (p) और (q) का कोई साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होना चाहिए। चरण 2: दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर यह शर्त टूट जाती है। चरण 3: इसलिए परिमेय मान्यता असंभव है और \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
Taking \(\frac{p}{q}\) in lowest form means (\gcd(p,q)=1).
Step 2
Why this answer is correct
If both are divisible by (3), their greatest common divisor is at least (3).
Step 3
Exam Tip
Therefore the condition (\gcd(p,q)=1) breaks. चरण 1: सरलतम रूप में \(\frac{p}{q}\) लेने का अर्थ है (\gcd(p,q)=1)। चरण 2: दोनों (3) से विभाज्य हों तो महत्तम समापवर्तक कम से कम (3) होगा। चरण 3: इसलिए (\gcd(p,q)=1) की शर्त टूट जाती है।
A. यह सरलतम रूप में नहीं हो सकती/It cannot be in lowest form
Step 1
Concept
If both are divisible by (3), numerator and denominator have common factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced further by (3).
Step 3
Exam Tip
Hence it cannot be in lowest form. चरण 1: दोनों (3) से विभाज्य हैं तो अंश और हर में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 2: ऐसी भिन्न को (3) से और सरल किया जा सकता है। चरण 3: इसलिए यह सरलतम रूप में नहीं हो सकती।
A. \(p^2=3q^2\) से सीधे (p=3q) लिखना/Directly writing (p=3q) from \(p^2=3q^2\)
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
This means (p) is divisible by (3), but (p=3q) does not follow directly.
Step 3
Exam Tip
The correct way is to write (p=3k). चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य मिलता है। चरण 2: इससे (p) (3) से विभाज्य है, पर सीधे (p=3q) नहीं मिलता। चरण 3: सही तरीका (p=3k) लिखना है।
A. क्योंकि \(q^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/Because \(q^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
From \(q^2=3k^2\), \(q^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Therefore writing (q=3r) is correct. चरण 1: \(q^2=3k^2\) से \(q^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य होने से (q) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: इसलिए (q=3r) लिखना सही है।
A. दोनों ओर वर्ग करने पर \(3=\frac{p^2}{q^2}\) मिलेगा/Squaring both sides gives \(3=\frac{p^2}{q^2}\)
Step 1
Concept
To get (3) from \(\sqrt{3}\), both sides must be squared.
Step 2
Why this answer is correct
The square of a fraction is \(\frac{p^2}{q^2}\).
Step 3
Exam Tip
Therefore the correct equation is \(3=\frac{p^2}{q^2}\). चरण 1: \(\sqrt{3}\) से (3) पाने के लिए दोनों ओर वर्ग करना होता है। चरण 2: भिन्न का वर्ग \(\frac{p^2}{q^2}\) होता है। चरण 3: इसलिए सही समीकरण \(3=\frac{p^2}{q^2}\) है।
A. \(p^2=3q^2\), (p=3k), \(9k^2=3q^2\), \(q^2=3k^2\)
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), (p) is divisible by (3), so (p=3k).
Step 2
Why this answer is correct
Substitution gives \(9k^2=3q^2\), then \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
This proves (q) is also divisible by (3). चरण 1: \(p^2=3q^2\) से (p) (3) से विभाज्य है, इसलिए (p=3k)। चरण 2: रखने पर \(9k^2=3q^2\), फिर \(q^2=3k^2\) मिलता है। चरण 3: इससे (q) भी (3) से विभाज्य सिद्ध होता है।
A. क्योंकि \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में माना गया था, पर (3) साझा गुणनखंड मिल गया/Because \(\frac{p}{q}\) was assumed in lowest form, but common factor (3) was found
Step 1
Concept
In the rational assumption, \(\frac{p}{q}\) was taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
(p=3k) and (q=3r) show common factor (3) in both.
Step 3
Exam Tip
This contradicts lowest form, so the rational assumption is false. चरण 1: परिमेय मान्यता में \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिया गया था। चरण 2: (p=3k) और (q=3r) बताता है कि (p) और (q) दोनों में (3) साझा है। चरण 3: यह सरलतम रूप से विरोधाभास है, इसलिए परिमेय मान्यता गलत है।
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकती/\(\frac{p}{q}\) cannot be in lowest form
Step 1
Concept
(p=3r) and (q=3s) mean both (p) and (q) have common factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
The numerator and denominator of a lowest-form fraction should be coprime.
Step 3
Exam Tip
Thus this contradicts the lowest-form assumption. चरण 1: (p=3r) और (q=3s) का अर्थ है कि (p) और (q) दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 2: सरलतम भिन्न के अंश और हर सहअभाज्य होने चाहिए। चरण 3: इसलिए यह सरलतम रूप की मान्यता से विरोधाभास है।
A. \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/\(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) is prime, if \(p^2\) is divisible by (3), then (p) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
Then writing (p=3k) is valid. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य संख्या है, इसलिए \(p^2\) के (3) से विभाज्य होने पर (p) भी (3) से विभाज्य होगा। चरण 3: तब (p=3k) लिखना सही है।
A. अभाज्य गुणनखंड वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है/If a prime factor divides a square, it also divides the original number
Step 1
Concept
In \(\sqrt{3}\), the prime factor is (3), and in \(\sqrt{5}\), the prime factor is (5).
Step 2
Why this answer is correct
When \(p^2\) is divisible by that prime, (p) is also divisible by the same prime.
Step 3
Exam Tip
This idea later shows a common factor in (p) and (q), creating contradiction. चरण 1: \(\sqrt{3}\) में (3) और \(\sqrt{5}\) में (5) अभाज्य गुणनखंड हैं। चरण 2: जब \(p^2\) इनसे विभाज्य होता है, तो (p) भी उसी अभाज्य संख्या से विभाज्य होता है। चरण 3: यही विचार आगे (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास बनाता है।
A. यह सरलतम रूप में नहीं है/It is not in lowest form
Step 1
Concept
If both are divisible by (3), numerator and denominator have common factor (3).
Step 2
Why this answer is correct
Such a fraction can be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
So it cannot be in lowest form. चरण 1: दोनों (3) से विभाज्य हों तो अंश और हर में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 2: ऐसी भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है। चरण 3: इसलिए यह सरलतम रूप में नहीं हो सकती।
D. (p=3k) से \(p^2=3k^2\)/From (p=3k), \(p^2=3k^2\)
Step 1
Concept
Squaring (p=3k) gives ((3k)2).
Step 2
Why this answer is correct
Its correct value is \(9k^2\), not \(3k^2\).
Step 3
Exam Tip
Do not forget to square the coefficient. चरण 1: (p=3k) को वर्ग करने पर ((3k)2) मिलता है। चरण 2: इसका सही मान \(9k^2\) है, \(3k^2\) नहीं। चरण 3: गुणांक का वर्ग न भूलें।
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, यह सहअभाज्य होने से विरोधाभास है/Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime
Step 1
Concept
In the proof, both (p) and (q) are proved divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
But they were assumed coprime at the start.
Step 3
Exam Tip
This contradiction completes the proof. चरण 1: प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। चरण 2: लेकिन शुरू में वे सहअभाज्य माने गए थे। चरण 3: यही विरोधाभास सिद्धि को पूरा करता है।
