sequences and progressions MCQ Questions for Class 9
sequences and progressions se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
पहली 4 प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2, 3 और 4 हैं। अतः उनका योग 1 + 2 + 3 + 4 = 10 होता है। 9 केवल 2 + 3 + 4 का योग है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग n(n+1)/2 होता है। / The first 4 natural numbers are 1, 2, 3, and 4. Therefore, their sum is 1 + 2 + 3 + 4 = 10. The value 9 is only the sum of 2 + 3 + 4, so it is not correct. Exam tip: The sum of the first n natural numbers is n(n+1)/2.
पहली से 11वीं पंक्ति तक बिंदुओं की संख्या का योग
\(1+2+3+\cdots+11\) है। पहले \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{11\times12}{2}=66\)। इसलिए सही उत्तर 66 है। 55 केवल पहली 10 प्राकृतिक संख्याओं का योग है। परीक्षा टिप: ऐसी पंक्तियों वाली आकृति में पंक्ति संख्या को जोड़कर \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाएँ। / The total is the sum of the dots from the first to the 11th row: \(1+2+3+\cdots+11\). The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, \(\frac{11\times12}{2}=66\), so 66 is correct. Note that 55 is the sum of only the first 10 natural numbers. Exam tip: For this row pattern, use \(\frac{n(n+1)}{2}\).
पहली 5 प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2, 3, 4 और 5 हैं। अतः उनका योग \(1+2+3+4+5=15\) है। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प 10 केवल पहली 4 प्राकृतिक संख्याओं का योग है। परीक्षा टिप: पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। / The first 5 natural numbers are 1, 2, 3, 4, and 5. Their sum is \(1+2+3+4+5=15\), so option C is correct. The value 10 is the sum of only the first 4 natural numbers. Exam tip: the sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\).
पहली 7 प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5, 6 और 7 हैं। इनका योग \(1+2+3+4+5+6+7=28\) है। इसलिए सही उत्तर 28 है। 21 केवल पहली 6 प्राकृतिक संख्याओं का योग है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। / The first 7 natural numbers are 1, 2, 3, 4, 5, 6 and 7. Their sum is \(1+2+3+4+5+6+7=28\). Therefore, 28 is correct. The value 21 is the sum of the first 6 natural numbers, so it is a close but incorrect option. Exam tip: the sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\).
पहली 15 प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करने का सूत्र \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) है। यहाँ \(n=15\), इसलिए \(S_{15}=\frac{15\times16}{2}=120\)। अतः सही उत्तर 120 है। 125 एक सामान्य गणना-त्रुटि हो सकती है, लेकिन सूत्र लगाने पर योग 120 ही मिलता है। परीक्षा टिप: 1 से \(n\) तक के योग के लिए हमेशा \(\frac{n(n+1)}{2}\) का प्रयोग करें। / The sum of the first 15 natural numbers is found using \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(n=15\), so \(S_{15}=\frac{15\times16}{2}=120\). Therefore, 120 is the correct answer. 125 may result from an arithmetic error, but applying the formula gives 120. Exam tip: For the sum from 1 to \(n\), use \(\frac{n(n+1)}{2}\).
पहली प्राकृतिक संख्या 1 है। अतः पहले 1 प्राकृतिक संख्या का योग केवल 1 होगा। सूत्र \(\frac{n(n+1)}{2}\) में \(n=1\) रखने पर \(\frac{1\times2}{2}=1\) मिलता है। 0 प्राकृतिक संख्या नहीं है, इसलिए विकल्प A सही नहीं है। परीक्षा टिप: “पहले \(n\)” का अर्थ 1 से \(n\) तक की संख्याओं का योग होता है। / The first natural number is 1. Therefore, the sum of the first 1 natural number is simply 1. Using \(\frac{n(n+1)}{2}\) with \(n=1\), we get \(\frac{1\times2}{2}=1\). Option A is not correct because 0 is not included here as the first natural number. Exam tip: “First \(n\)” means the sum of numbers from 1 to \(n\).
पहली 10 प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_n = \frac{n(n+1)}{2}\) से मिलता है। यहाँ \(n=10\), इसलिए \(S_{10}=\frac{10\times11}{2}=55\)। अतः सही उत्तर 55 है। 45 केवल 1 से 9 तक का योग है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: 1 से \(n\) तक के योग के लिए सीधे \(\frac{n(n+1)}{2}\) लगाएँ। / The sum of the first 10 natural numbers is found using \(S_n = \frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(n=10\), so \(S_{10}=\frac{10\times11}{2}=55\). Therefore, 55 is correct. The value 45 is the sum from 1 to 9, so it is a close but incorrect option. Exam tip: For the sum from 1 to \(n\), use \(\frac{n(n+1)}{2}\) directly.
पहली 2 प्राकृतिक संख्याएँ 1 और 2 हैं। अतः उनका योग \(1+2=3\) है, इसलिए सही उत्तर विकल्प C है। विकल्प 2 केवल दूसरी प्राकृतिक संख्या है, योग नहीं। परीक्षा टिप: पहले \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। / The first 2 natural numbers are 1 and 2. Their sum is \(1+2=3\), so option C is correct. Option 2 is only the second natural number, not the sum. Exam tip: the sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\).
पहली 3 प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2 और 3 हैं। अतः उनका योग \(1+2+3=6\) है। विकल्प 3 केवल तीसरी प्राकृतिक संख्या है, योग नहीं। परीक्षा में पहले \(n\) प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र भी याद रखें। / The first three natural numbers are 1, 2, and 3. Therefore, their sum is \(1+2+3=6\). Option 3 is only the third natural number, not the sum. Exam tip: remember that the sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\).
पहली 4 प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2, 3 और 4 हैं। अतः उनका योग \(1+2+3+4=10\) है। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प 12 तब मिल सकता है जब संख्याओं को गलत गिना जाए। परीक्षा टिप: पहले \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। / The first 4 natural numbers are 1, 2, 3, and 4. Their sum is \(1+2+3+4=10\), so option C is correct. A value such as 12 may result from counting the numbers incorrectly. Exam tip: the sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\).
पहली 5 प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2, 3, 4 और 5 हैं। अतः उनका योग \(1+2+3+4+5=15\) है, इसलिए सही विकल्प C है। विकल्प 10 केवल पहली 4 प्राकृतिक संख्याओं का योग है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। / The first 5 natural numbers are 1, 2, 3, 4, and 5. Therefore, \(1+2+3+4+5=15\), so option C is correct. Option 10 is the sum of only the first 4 natural numbers. Exam tip: The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\).
दिया है कि \(a_n=an^2+bn+1\)। \(n=1\) रखने पर \(a+b+1=6\), अर्थात \(a+b=5\) मिलता है। \(n=2\) रखने पर \(4a+2b+1=17\), अर्थात \(2a+b=8\) मिलता है। दोनों समीकरणों को हल करने पर \(a=3\) और \(b=2\) प्राप्त होते हैं। अतः \(a_5=3(5)^2+2(5)+1=75+10+1=86\)। विकल्प 84 में अंतिम स्थिर पद \(+1\) शामिल नहीं होता। परीक्षा टिप: दिए गए पदों में पहले \(n\) का मान रखकर गुणांकों के लिए रैखिक समीकरण बनाइए। / Given \(a_n=an^2+bn+1\), putting \(n=1\) gives \(a+b+1=6\), so \(a+b=5\). Putting \(n=2\) gives \(4a+2b+1=17\), so \(2a+b=8\). Solving these equations gives \(a=3\) and \(b=2\). Hence, \(a_5=3(5)^2+2(5)+1=75+10+1=86\). Option 84 would result from omitting the constant term \(+1\). Exam tip: substitute the given term numbers first to form linear equations for the unknown coefficients.
क्रमागत पदों के प्रथम अंतर \(13,25,37,49\) हैं। इनके दूसरे अंतर सभी \(12\) हैं, इसलिए पद \(n\) का द्विघात व्यंजक होगा और \(n^2\) का गुणांक \(12/2=6\) होगा। विकल्प B में \(n=1,2,3\) रखने पर क्रमशः \(5,18,43\) प्राप्त होते हैं, अतः \(T_n=6n^2-5n+4\) है। विकल्प C का \(n=1\) पर मान \(5\) है, लेकिन \(n=2\) पर \(19\) मिलता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: स्थिर दूसरा अंतर मिलने पर पद को \(an^2+bn+c\) के रूप में मानें। / The first differences are \(13,25,37,49\). Their second differences are all \(12\), so the nth term is quadratic and the coefficient of \(n^2\) is \(12/2=6\). Substituting \(n=1,2,3\) in option B gives \(5,18,43\), respectively; hence \(T_n=6n^2-5n+4\). Although option C gives \(5\) when \(n=1\), it gives \(19\) when \(n=2\), so it is incorrect. Exam tip: when second differences are constant, assume the term has the form \(an^2+bn+c\).
दिया है \(a_n=2n^3-n\)। अतः \(a_4=2(4)^3-4=128-4=124\) तथा \(a_2=2(2)^3-2=16-2=14\)। इसलिए \(a_4-a_2=124-14=110\)। \(108\) जैसा निकट विकल्प घटाव या घन की गणना में त्रुटि से मिल सकता है। परीक्षा टिप: पहले अलग-अलग पद ज्ञात करें, फिर उनका अंतर निकालें। / Given \(a_n=2n^3-n\), \(a_4=2(4)^3-4=128-4=124\) and \(a_2=2(2)^3-2=16-2=14\). Therefore, \(a_4-a_2=124-14=110\). A nearby choice such as 108 can result from an error in evaluating the cube or subtracting. Exam tip: find each required term separately before taking their difference.
दिया है, \(a_n=n^2+mn+4\)। अतः \(a_2=2^2+2m+4=8+2m\) तथा \(a_4=4^2+4m+4=20+4m\)। इसलिए \(a_2+a_4=28+6m=46\), जिससे \(6m=18\) और \(m=3\) मिलता है। विकल्प 4 लेने पर योग 52 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: अलग-अलग पद निकालते समय \(n\) के स्थान पर सही मान रखने के बाद समान पदों को सावधानी से जोड़ें। / Given \(a_n=n^2+mn+4\), we get \(a_2=2^2+2m+4=8+2m\) and \(a_4=4^2+4m+4=20+4m\). Hence, \(a_2+a_4=28+6m=46\), so \(6m=18\) and \(m=3\). If \(m=4\), the sum would be 52, so it is not correct. Exam tip: substitute the value of \(n\) carefully in every term before combining like terms.
दिया है \(a_n=100-7n\)। 30 से छोटा पद पाने के लिए \(100-7n<30\) लिखते हैं। इससे \(-7n<-70\), अतः \(n>10\) प्राप्त होता है। \(n\) का सबसे छोटा प्राकृतिक मान 11 है, इसलिए 11वाँ पद पहला पद है जो 30 से छोटा है। 10वाँ पद \(a_{10}=30\) है, जो 30 से छोटा नहीं है। परीक्षा टिप: ‘से छोटा’ के लिए असमानता \(<\) होती है; बराबर मान को शामिल नहीं करते। / Given \(a_n=100-7n\), a term smaller than 30 must satisfy \(100-7n<30\). This gives \(-7n<-70\), so \(n>10\). The smallest natural-number value of \(n\) is 11; therefore, the 11th term is the first term less than 30. The 10th term is \(a_{10}=30\), which is not less than 30. Exam tip: for “less than,” use \(<\); an equal value is not included.
दिए गए रैखिक पद को \(a_n=an+b\) मानते हैं। तब \(a_2+a_9=11a+2b=54\) और \(a_4+a_{11}=15a+2b=78\) होगा। दूसरी समीकरण में से पहली घटाने पर \(4a=24\), अतः \(a=6\)। अब \(11(6)+2b=54\) से \(b=-6\) मिलता है। इसलिए \(a_{12}=12(6)-6=66\)। \(63\) निकट विकल्प है, पर वह इस रैखिक पद से प्राप्त नहीं होता। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दो दिए गए योगों को घटाने से स्थिर पद \(b\) समाप्त हो जाता है। / Interpret the given linear term as \(a_n=an+b\). Then \(a_2+a_9=11a+2b=54\) and \(a_4+a_{11}=15a+2b=78\). Subtracting the first equation from the second gives \(4a=24\), so \(a=6\). Using \(11(6)+2b=54\), we get \(b=-6\). Hence, \(a_{12}=12(6)-6=66\). The nearby option \(63\) does not follow from this linear expression. Exam tip: subtract such pair-sum equations first to eliminate the constant term \(b\).
दिया है, \(a_n=n^2+2n+5\)। अतः \(a_9=9^2+2(9)+5=81+18+5=104\) और \(a_1=1^2+2(1)+5=8\)। इसलिए \(a_9-a_1=104-8=96\)। 98 का विकल्प तब आ सकता है जब \(a_1\) की गणना में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: अंतर निकालने से पहले दोनों पदों में \(n\) का मान अलग-अलग रखकर लिखें। / Given \(a_n=n^2+2n+5\), \(a_9=9^2+2(9)+5=81+18+5=104\), while \(a_1=1^2+2(1)+5=8\). Hence, \(a_9-a_1=104-8=96\). The option 98 can result from an error while evaluating \(a_1\). Exam tip: substitute the value of \(n\) separately in each term before taking their difference.
दिया है कि \(a_n=2n^2+kn+3\)। \(n=3\) रखने पर \(a_3=2(3)^2+3k+3=21+3k\) होगा। चूँकि \(a_3=30\), इसलिए \(21+3k=30\), अतः \(k=3\)। अब \(n=5\) रखने पर \(a_5=2(5)^2+3(5)+3=50+15+3=68\)। इसलिए सही उत्तर 68 है। 72 प्राप्त करना \(k\) का मान गलत लेने या पदों को जोड़ने में त्रुटि करने से हो सकता है। परीक्षा टिप: पहले दी गई पद-शर्त से अज्ञात नियतांक ज्ञात करें, फिर आवश्यक \(n\) का मान रखें। / Given \(a_n=2n^2+kn+3\), put \(n=3\): \(a_3=2(3)^2+3k+3=21+3k\). Since \(a_3=30\), \(21+3k=30\), so \(k=3\). Now put \(n=5\): \(a_5=2(5)^2+3(5)+3=50+15+3=68\). Hence, 68 is correct. A value such as 72 may result from using an incorrect value of \(k\) or making an addition error. Exam tip: first use the given term to find the unknown constant, then substitute the required value of \(n\).
131 किस पद के बराबर है, यह जानने के लिए a_n=131 रखें। तब 7n-9=131, इसलिए 7n=140 और n=20 प्राप्त होता है। अतः 131, 20वाँ पद है। 19वाँ पद 7(19)-9=124 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए पद का क्रमांक ज्ञात करने के लिए a_n के स्थान पर दी गई संख्या रखकर n हल करें। / To find the term number for 131, put a_n=131. Then 7n-9=131, so 7n=140 and n=20. Therefore, 131 is the 20th term. The 19th term is 7(19)-9=124, so it is not correct. Exam tip: To find the position of a given term, substitute its value for a_n and solve for n.
क्रमागत पदों के प्रथम अंतर \(5,11,17,23\) हैं और उनके द्वितीय अंतर सभी \(6\) हैं। अतः पद एक द्विघात व्यंजक होगा, जिसमें \(n^2\) का गुणांक \(6/2=3\) होगा। \(a_n=3n^2-4n+1\) रखने पर \(a_1=0\), \(a_2=5\), \(a_3=16\) और \(a_4=33\) मिलते हैं, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में \(a_1=0\) तो मिलता है, लेकिन \(a_2=6\) आता है। परीक्षा टिप: स्थिर द्वितीय अंतर होने पर पद को \(an^2+bn+c\) के रूप में मानें। / The first differences are \(5,11,17,23\), and the second differences are all \(6\). Hence the sequence has a quadratic nth term, with coefficient of \(n^2\) equal to \(6/2=3\). For \(a_n=3n^2-4n+1\), we get \(a_1=0\), \(a_2=5\), \(a_3=16\), and \(a_4=33\), so option A is correct. Option C gives \(a_1=0\), but it gives \(a_2=6\), not \(5\). Exam tip: when second differences are constant, start with \(an^2+bn+c\).
\(a_{n+1}=3(n+1)^2+5(n+1)\) होगा। अतः \(a_{n+1}=3n^2+11n+8\), इसलिए \(a_{n+1}-a_n=(3n^2+11n+8)-(3n^2+5n)=6n+8\)। विकल्प \(6n+6\) में स्थिर पद की गणना गलत है। परीक्षा टिप: \(n+1\) रखने के बाद पूरे व्यंजक का विस्तार करके ही घटाएँ। / Here, \(a_{n+1}=3(n+1)^2+5(n+1)=3n^2+11n+8\). Therefore, \(a_{n+1}-a_n=(3n^2+11n+8)-(3n^2+5n)=6n+8\). The option \(6n+6\) results from an incorrect calculation of the constant term. Exam tip: Substitute \(n+1\), expand every bracket, and then subtract \(a_n\).
दिया है कि \(a_n=pn+q\)। अतः \(a_4+a_7=(4p+q)+(7p+q)=11p+2q=64\) तथा \(a_5+a_8=13p+2q=76\)। दूसरा समीकरण पहले से घटाने पर \(2p=12\), इसलिए \(p=6\)। अब \(11(6)+2q=64\) से \(q=-1\) मिलता है। इसलिए \(a_{10}=10(6)-1=59\)। निकटतम विकल्प 61 होता यदि स्थिर पद \(q\) का मान गलत लिया जाता। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दो दिए गए योगों को घटाने से \(q\) समाप्त हो जाता है और \(p\) सीधे मिल जाता है। / Given \(a_n=pn+q\), we have \(a_4+a_7=(4p+q)+(7p+q)=11p+2q=64\) and \(a_5+a_8=13p+2q=76\). Subtracting the first equation from the second gives \(2p=12\), so \(p=6\). Substituting into \(11p+2q=64\) gives \(q=-1\). Hence, \(a_{10}=10(6)-1=59\). The nearby option 61 can result from using an incorrect constant term. Exam tip: subtract paired-term equations first to eliminate \(q\) quickly.
ऋणात्मक पद के लिए \(40-5n<0\) होना चाहिए। इससे \(n>8\) प्राप्त होता है, अतः सबसे छोटा पूर्णांक \(n=9\) है। जाँच करने पर \(a_8=0\), जो ऋणात्मक नहीं है, जबकि \(a_9=40-45=-5\) है। इसलिए पहला ऋणात्मक पद 9वाँ पद है। परीक्षा टिप: “पहला” पद पूछे जाने पर असमता को संतुष्ट करने वाला सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक लें। / For a negative term, \(40-5n<0\). This gives \(n>8\), so the smallest integer value is \(n=9\). Checking nearby terms, \(a_8=0\), which is not negative, whereas \(a_9=40-45=-5\). Hence, the 9th term is the first negative term. Exam tip: for the “first” term, choose the smallest positive integer satisfying the inequality.
दिया है, \(a_n=4n^2-3n+2\)। अतः \(a_7=4(7)^2-3(7)+2=177\) तथा \(a_4=4(4)^2-3(4)+2=54\)। इसलिए \(a_7-a_4=177-54=123\)। विकल्प 121 प्राप्त हो सकता है यदि गणना में किसी पद का गुणन गलत किया जाए। परीक्षा में पहले प्रत्येक पद का मान अलग-अलग निकालकर फिर उनका अंतर लें। / Given \(a_n=4n^2-3n+2\), \(a_7=4(7)^2-3(7)+2=177\) and \(a_4=4(4)^2-3(4)+2=54\). Therefore, \(a_7-a_4=177-54=123\). The value 121 may result from an error while multiplying or substituting a term. In exams, evaluate each required term separately before finding their difference.
दिया है \(a_n=6n+17\)। \(a_{5p-3}\) ज्ञात करने के लिए \(n\) के स्थान पर पूरा व्यंजक \(5p-3\) रखें: \(a_{5p-3}=6(5p-3)+17=30p-18+17=30p-1\)। इसलिए सही विकल्प \(30p-1\) है। \(30p-18\) केवल \(6(5p-3)\) तक है; उसमें स्थिर पद \(+17\) जोड़ना शेष है। परीक्षा टिप: सूचकांक में दिया गया पूरा व्यंजक हमेशा \(n\) के स्थान पर प्रतिस्थापित करें। / Given \(a_n=6n+17\), substitute the entire index \(5p-3\) for \(n\): \(a_{5p-3}=6(5p-3)+17=30p-18+17=30p-1\). Hence, \(30p-1\) is correct. \(30p-18\) results if the constant term \(+17\) is not added. Exam tip: always substitute the complete expression in the subscript for \(n\).
दिया है \(a_n=7n-13\)। \(a_{4n+1}\) ज्ञात करने के लिए सूत्र में \(n\) के स्थान पर पूरा सूचकांक \(4n+1\) रखें: \(a_{4n+1}=7(4n+1)-13=28n+7-13=28n-6\)। इसलिए सही विकल्प \(28n-6\) है। \(28n-13\) में \(+1\) का प्रभाव नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: उपसूचकांक में कोई व्यंजक हो तो उसे हमेशा कोष्ठक में रखकर प्रतिस्थापित करें। / Given \(a_n=7n-13\). To find \(a_{4n+1}\), substitute the complete index \(4n+1\) for \(n\): \(a_{4n+1}=7(4n+1)-13=28n+7-13=28n-6\). Hence, \(28n-6\) is correct. In \(28n-13\), the effect of the \(+1\) in the index has been omitted. Exam tip: always put a compound subscript in brackets before substituting it into the nth-term formula.
दिया है \(a_n=5n^2+2n-9\)। अतः \(a_{n+2}=5(n+2)^2+2(n+2)-9=5n^2+22n+15\)। इसलिए \(a_{n+2}-a_n=(5n^2+22n+15)-(5n^2+2n-9)=20n+24\)। विकल्प \(20n+22\) में स्थिर पद की गणना में त्रुटि है। परीक्षा टिप: \((n+2)^2=n^2+4n+4\) लिखकर विस्तार करें। / Given \(a_n=5n^2+2n-9\), \(a_{n+2}=5(n+2)^2+2(n+2)-9=5n^2+22n+15\). Hence, \(a_{n+2}-a_n=(5n^2+22n+15)-(5n^2+2n-9)=20n+24\). The option \(20n+22\) results from an error in calculating the constant term. Exam tip: first expand \((n+2)^2=n^2+4n+4\) carefully.
दिया है \(a_n=2n^3-3n\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=2(5)^3-3(5)=2\times125-15=250-15=235\)। इसलिए सही उत्तर 235 है। 250 केवल \(2(5)^3\) का मान है; उसमें से \(3\times5\) घटाना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: घात वाले पद का मान पहले निकालें, फिर गुणा और घटाव करें। / Given \(a_n=2n^3-3n\), substitute \(n=5\): \(a_5=2(5)^3-3(5)=2\times125-15=250-15=235\). Hence, 235 is correct. 250 is only the value of \(2(5)^3\); the term \(3\times5\) must still be subtracted. Exam tip: evaluate the power first, then multiply and subtract.
दिया है कि \(a_n=35-6n\)। \(a_n=-43\) रखने पर \(35-6n=-43\) मिलता है। अतः \(-6n=-78\), इसलिए \(n=13\)। इसलिए \(-43\), 13वां पद है। निकटतम विकल्प 14वां गलत है, क्योंकि \(a_{14}=35-84=-49\)। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या को दूसरी ओर ले जाते समय दोनों पक्षों के चिन्हों का ध्यान रखें। / Given \(a_n=35-6n\), put \(a_n=-43\): \(35-6n=-43\). Thus, \(-6n=-78\), so \(n=13\). Therefore, \(-43\) is the 13th term. The nearby distractor, the 14th term, is incorrect because \(a_{14}=35-84=-49\). Exam tip: take special care with signs when transposing negative terms in an equation.
