sequences and progressions MCQ Questions for Class 9
sequences and progressions se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
41 से 50 तक कुल 10 संख्याएँ हैं। इनका योग = पदों की संख्या × (प्रथम पद + अंतिम पद)/2 = \(10 \times (41+50)/2 = 455\)। इसलिए सही उत्तर 455 है। 445 प्राप्त करना औसत या पदों की संख्या की गलत गणना से हो सकता है। परीक्षा टिप: किसी क्रमागत श्रेणी में पदों की संख्या \(=\) अंतिम पद − प्रथम पद + 1 होती है। / There are 10 numbers from 41 to 50. Their sum = number of terms × (first term + last term)/2 = \(10 \times (41+50)/2 = 455\). Therefore, 455 is correct. A value such as 445 can result from incorrectly finding the average or the number of terms. Exam tip: for consecutive numbers, number of terms = last term − first term + 1.
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। इसलिए \(S_{60}=\frac{60\times61}{2}=1830\) और \(S_{20}=\frac{20\times21}{2}=210\)। अतः आवश्यक अंतर \(1830-210=1620\) है। यह वास्तव में 21 से 60 तक की प्राकृतिक संख्याओं का योग है। परीक्षा टिप: दो क्रमिक योगों का अंतर लेने पर शेष पदों की सीमा अवश्य जाँचें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{60}=\frac{60\times61}{2}=1830\) and \(S_{20}=\frac{20\times21}{2}=210\). Therefore, the required difference is \(1830-210=1620\). It is also the sum of the natural numbers from 21 to 60. Exam tip: when subtracting two partial sums, check the range of terms left over.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए \(S_n=1+2+\cdots+n\) तथा \(S_{n-1}=1+2+\cdots+(n-1)\) होता है। अतः \(S_n-S_{n-1}=n\)। दिया है कि यह अंतर 42 है, इसलिए \(n=42\)। 41 या 43 लेने पर अंतर क्रमशः 41 या 43 होता, 42 नहीं। परीक्षा टिप: क्रमिक आंशिक योगों का अंतर हमेशा नया जोड़ा गया पद होता है। / For the sum of the first n natural numbers, \(S_n=1+2+\cdots+n\) and \(S_{n-1}=1+2+\cdots+(n-1)\). Therefore, \(S_n-S_{n-1}=n\). Since the given difference is 42, \(n=42\). If n were 41 or 43, the difference would be 41 or 43, not 42. Exam tip: the difference between consecutive partial sums is always the newly added term.
पहली 55 प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_{55}=\frac{55\times56}{2}=1540\) और पहली 45 प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_{45}=\frac{45\times46}{2}=1035\) है। अतः अंतर
\(1540-1035=505\) होगा। 500 एक निकट मान है, लेकिन सही गणना में 46 से 55 तक की सभी संख्याओं का योग 505 आता है। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर में दोनों योगों का सूत्र लगाने के बजाय 46 से 55 तक की संख्याएँ सीधे जोड़ना भी उपयोगी है। / The sum of the first 55 natural numbers is
\(S_{55}=\frac{55\times56}{2}=1540\), and the sum of the first 45 natural numbers is
\(S_{45}=\frac{45\times46}{2}=1035\). Therefore, the difference is
\(1540-1035=505\). Although 500 is close, the exact sum of the numbers from 46 to 55 is 505. Exam tip: For such differences, you can directly add the remaining terms from 46 to 55 instead of finding both full sums.
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। \(S_{52}\) से \(S_{54}\) तक पहुँचने के लिए अगली दो संख्याएँ 53 और 54 जोड़नी होंगी: \(S_{54}=S_{52}+53+54=1378+107=1485\)। इसलिए सही उत्तर 1485 है। 1495 प्राप्त करने के लिए जोड़ा गया अंतर 117 होगा, जबकि सही अंतर \(53+54=107\) है। परीक्षा टिप: \(S_n\) के ऐसे प्रश्नों में सीधे नए पद जोड़ना अक्सर सूत्र लगाने से तेज होता है। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers. To move from \(S_{52}\) to \(S_{54}\), add the next two numbers, 53 and 54: \(S_{54}=S_{52}+53+54=1378+107=1485\). Therefore, 1485 is correct. Option 1495 would require an increase of 117, whereas the required increase is \(53+54=107\). Exam tip: In questions involving nearby values of \(S_n\), adding the new terms is often quicker than applying the full formula.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{a(a+1)}{2}=351\) से \(a=26\), क्योंकि \(\frac{26\times27}{2}=351\)। इसी प्रकार \(\frac{b(b+1)}{2}=465\) से \(b=30\), क्योंकि \(\frac{30\times31}{2}=465\)। अतः \(b-a=30-26=4\)। विकल्प 3 गलत है क्योंकि वह दोनों सूचकांकों के सही अंतर के बजाय एक कम मान देता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दिए गए योग को \(\frac{n(n+1)}{2}\) के बराबर रखकर n ज्ञात करें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{a(a+1)}{2}=351\), we get \(a=26\), since \(\frac{26\times27}{2}=351\). Similarly, \(\frac{b(b+1)}{2}=465\) gives \(b=30\), since \(\frac{30\times31}{2}=465\). Therefore, \(b-a=30-26=4\). Option 3 is incorrect because it is one less than the actual difference between the two indices. Exam tip: equate each given sum to \(\frac{n(n+1)}{2}\) to find its index.
पहली r प्राकृतिक संख्याओं का योग \\(\frac{r(r+1)}{2}\\) होता है। अतः \\(\frac{r(r+1)}{2}=153\\), इसलिए \\(r(r+1)=306=17\times18\\) और \\(r=17\\)। इसलिए \\(r+2=17+2=19\\)। विकल्प 18 केवल \\(r+1\\) का मान है, \\(r+2\\) का नहीं। परीक्षा टिप: योग दिया हो तो पहले \\(\frac{n(n+1)}{2}\\) सूत्र लगाकर n ज्ञात करें। / The sum of the first r natural numbers is \\(\frac{r(r+1)}{2}\\). Thus, \\(\frac{r(r+1)}{2}=153\\), so \\(r(r+1)=306=17\times18\\) and \\(r=17\\). Therefore, \\(r+2=17+2=19\\). Option 18 is only the value of \\(r+1\\), not \\(r+2\\). Exam tip: when a sum is given, first use \\(\frac{n(n+1)}{2}\\) to find n.
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{20}=\frac{20\times21}{2}=210\) और \(S_{10}=\frac{10\times11}{2}=55\)। इसलिए \(S_{20}:S_{10}=210:55=42:11\)। \(21:5\) तब मिलता है जब \(S_{10}\) को गलत तरीके से 50 माना जाए। परीक्षा टिप: अनुपात को अंतिम चरण में दोनों पदों के महत्तम समापवर्तक से सरल करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{20}=\frac{20\times21}{2}=210\) and \(S_{10}=\frac{10\times11}{2}=55\). Hence, \(S_{20}:S_{10}=210:55=42:11\). The ratio \(21:5\) would result from incorrectly taking \(S_{10}\) as 50. Exam tip: simplify a ratio at the end by dividing both terms by their greatest common factor.
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। इसलिए \(S_{25}=S_{23}+24+25=276+49=325\)। अतः सही विकल्प \(325\) है। \(300\) प्राप्त करने के लिए केवल एक नया पद जोड़ना जैसी गलती हो सकती है। परीक्षा टिप: \(S_n\) से \(S_{n+k}\) तक जाने पर बीच के सभी नए पद जोड़ें। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers. Therefore, \(S_{25}=S_{23}+24+25=276+49=325\). Hence, the correct option is \(325\). A value such as \(300\) can result from the mistake of adding only one new term. Exam tip: When moving from \(S_n\) to \(S_{n+k}\), add every intervening new term.
पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_n=1+2+\cdots+n\) होता है, जबकि
\(S_{n-1}=1+2+\cdots+(n-1)\) होता है। अतः
\(S_n-S_{n-1}=n\)। दिया है कि यह अंतर 37 है, इसलिए
\(n=37\)। 36 या 38 लेने पर अंतर क्रमशः 36 या 38 होगा। परीक्षा टिप: लगातार दो आंशिक योगों का अंतर हमेशा जोड़ा गया नया पद होता है। / The sum of the first n natural numbers is
\(S_n=1+2+\cdots+n\), whereas
\(S_{n-1}=1+2+\cdots+(n-1)\). Therefore,
\(S_n-S_{n-1}=n\). Since the given difference is 37,
\(n=37\). For n = 36 or 38, the difference would be 36 or 38 respectively. Exam tip: the difference between two consecutive partial sums is the newly added term.
यह 16 से 25 तक के 10 क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का योग है। प्रथम और अंतिम पद का औसत \(\frac{16+25}{2}=20.5\) है, इसलिए योग \(10\times20.5=205\) होगा। विकल्प 195 तब मिल सकता है जब पदों की संख्या या औसत गलत गिना जाए। परीक्षा टिप: क्रमागत पदों के योग में पहले पदों की संख्या \((25-16+1)\) अवश्य गिनें। / These are 10 consecutive natural numbers from 16 to 25. Their average is \(\frac{16+25}{2}=20.5\), so the sum is \(10\times20.5=205\). A value such as 195 can result from counting the number of terms or the average incorrectly. Exam tip: for consecutive terms, first count them using \((25-16+1)\).
पहली 26 प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_{26}=\frac{26\times27}{2}=351\) होता है। अतः 26 घटाने पर
\(351-26=325\) प्राप्त होता है। यह वास्तव में पहली 25 प्राकृतिक संख्याओं का योग भी है। 315, 25 प्राकृतिक संख्याओं का सही योग नहीं है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) याद रखें। / The sum of the first 26 natural numbers is
\(S_{26}=\frac{26\times27}{2}=351\). Therefore, subtracting 26 gives
\(351-26=325\). This is also the sum of the first 25 natural numbers. For example, 315 is not the correct sum of the first 25 natural numbers. Exam tip: remember that the sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\).
यहाँ \(S_n\) पहले \(n\) प्राकृतिक संख्याओं के योग को दर्शाता है। \(1+2+3+\cdots+19\) में 20 जोड़ने पर योग \(1+2+3+\cdots+19+20\) बनता है, अर्थात \(S_{20}\)। \(S_{19}\) केवल 19 तक का योग है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: अंतिम जोड़ी गई संख्या देखकर योग का सूचकांक निर्धारित करें। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers. Adding 20 to \(1+2+3+\cdots+19\) gives \(1+2+3+\cdots+19+20\), which is \(S_{20}\). \(S_{19}\) includes terms only up to 19, so it is not correct. Exam tip: use the last included natural number to identify the subscript of the sum.
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। अतः \(S_{33}=\frac{33\times34}{2}=561\) और \(S_{22}=\frac{22\times23}{2}=253\)। इसलिए \(S_{33}-S_{22}=561-253=308\)। यह \(23\) से \(33\) तक की संख्याओं का योग भी है; \(298\) जैसे विकल्प में पदों की संख्या या योग की गणना गलत हो सकती है। परीक्षा टिप: \(S_m-S_n\) को \((n+1)\) से \(m\) तक का योग समझें। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers. Thus, \(S_{33}=\frac{33\times34}{2}=561\) and \(S_{22}=\frac{22\times23}{2}=253\). Therefore, \(S_{33}-S_{22}=561-253=308\). It is also the sum of the integers from \(23\) to \(33\); an option such as \(298\) can result from an incorrect term count or sum. Exam tip: interpret \(S_m-S_n\) as the sum from \((n+1)\) to \(m\).
पहले 15 चरणों के अंक 1 से 15 तक हैं, इसलिए उनका योग
\(\frac{15\times16}{2}=120\) होगा। अगले 10 चरणों में शून्य अंक मिलने से कुल योग में कोई परिवर्तन नहीं होता। 130 तब होता, जब दिए गए अंकों का योग 120 से 10 अधिक होता, पर यहाँ 10 अतिरिक्त अंक नहीं, बल्कि शून्य अंक हैं। परीक्षा टिप: 1 से n तक के प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए \(\frac{n(n+1)}{2}\) का प्रयोग करें। / The marks in the first 15 steps are 1 through 15, so their sum is \(\frac{15\times16}{2}=120\). The next 10 steps contribute zero marks, so they do not change the total. Option 130 would require 10 additional marks, but these steps add zero, not 10. Exam tip: use \(\frac{n(n+1)}{2}\) for the sum of natural numbers from 1 to n.
पहली 60 प्राकृतिक संख्याओं के योग में अंतिम संख्या 60 भी शामिल है। अतः पहली 59 संख्याओं का योग प्राप्त करने के लिए 60 घटाएँ: \(S_{59}=S_{60}-60=1830-60=1770\)। इसलिए सही उत्तर 1770 है। 1780 प्राप्त करने के लिए 50 घटाना पड़ता, जो यहाँ अंतिम पद नहीं है। परीक्षा टिप: लगातार प्राकृतिक संख्याओं के योग में एक पद कम करने पर वही अंतिम पद घटता है। / The sum of the first 60 natural numbers includes the last number, 60. Therefore, subtract 60 to get the sum of the first 59 numbers: \(S_{59}=S_{60}-60=1830-60=1770\). Hence, 1770 is correct. Getting 1780 would mean subtracting 50, which is not the last term here. Exam tip: when reducing a consecutive natural-number sum by one term, subtract the omitted last term.
प्रथम k प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_k=\frac{k(k+1)}{2}\) होता है। \(\frac{m(m+1)}{2}=210\) से \(m=20\) और \(\frac{n(n+1)}{2}=325\) से \(n=25\) प्राप्त होता है। अतः \(n-m=25-20=5\)। विकल्प 4 तब मिलता यदि सूचकांकों का अंतर गलत निकाला जाता। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में योग के मान को निकटतम त्रिकोणीय संख्या से मिलाकर सूचकांक जल्दी पहचानें। / The sum of the first k natural numbers is \(S_k=\frac{k(k+1)}{2}\). From \(\frac{m(m+1)}{2}=210\), we get \(m=20\); and from \(\frac{n(n+1)}{2}=325\), we get \(n=25\). Therefore, \(n-m=25-20=5\). Option 4 would result from incorrectly finding the difference between the indices. Exam tip: match a given sum with nearby triangular numbers to identify the index quickly.
पहली 50 प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S=\frac{50\times51}{2}=1275\) होता है। अतः 1000 घटाने पर \(1275-1000=275\) बचेगा। इसलिए विकल्प D सही है। 255 तब मिलता यदि योग या घटाव में गणना की त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र प्रयोग करें। / The sum of the first 50 natural numbers is
\(S=\frac{50\times51}{2}=1275\). Therefore, after subtracting 1000, we get \(1275-1000=275\). Hence, option D is correct. A value such as 255 results from an error in finding the sum or carrying out the subtraction. Exam tip: use \(\frac{n(n+1)}{2}\) for the sum of the first \(n\) natural numbers.
पहले 16 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_{16}=\frac{16\times17}{2}=136\) होता है। अतः \(S_{16}+16=136+16=152\), इसलिए सही विकल्प C है। विकल्प 136 केवल \(S_{16}\) का मान है; उसमें 16 जोड़ा नहीं गया है। परीक्षा टिप: \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) में दिए गए \(n\) को पहले सही पहचानें, फिर अतिरिक्त पद अलग से जोड़ें। / The sum of the first 16 natural numbers is \(S_{16}=\frac{16\times17}{2}=136\). Therefore, \(S_{16}+16=136+16=152\), so option C is correct. The value 136 is only \(S_{16}\); it does not include the additional 16. Exam tip: first use \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) correctly, then add any extra term separately.
पहली 36 प्राकृतिक संख्याओं का योग \,\(S_{36}=\frac{36\times37}{2}=666\) और पहली 30 प्राकृतिक संख्याओं का योग \,\(S_{30}=\frac{30\times31}{2}=465\) है। अतः अंतर \,\(666-465=201\) होगा। यह सीधे 31 से 36 तक की संख्याओं के योग के बराबर भी है। 191 केवल 31 से 35 तक के योग के निकट हो सकता है, लेकिन उसमें 36 शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: दो क्रमिक प्रारम्भिक योगों का अंतर बीच में बची संख्याओं का योग होता है। / The sum of the first 36 natural numbers is \,\(S_{36}=\frac{36\times37}{2}=666\), and the sum of the first 30 natural numbers is \,\(S_{30}=\frac{30\times31}{2}=465\). Therefore, the difference is \,\(666-465=201\). It is also the sum of the numbers from 31 to 36. Option 191 would be close to a sum ending at 35, but it does not include 36. Exam tip: The difference of two initial sums equals the sum of the terms left between them.
पहली 21 प्राकृतिक संख्याओं का योग पाने के लिए पहली 20 संख्याओं के योग में अगली संख्या 21 जोड़ते हैं: \(S_{21}=S_{20}+21=210+21=231\)। इसलिए सही उत्तर 231 है। 230 तब मिलता यदि केवल 20 जोड़ा जाता, जबकि अगला प्राकृतिक पद 21 है। परीक्षा टिप: क्रमागत योग में नया योग पाने के लिए पिछले योग में अगला पद जोड़ें। / To obtain the sum of the first 21 natural numbers, add the next number, 21, to the sum of the first 20 numbers: \(S_{21}=S_{20}+21=210+21=231\). Hence, 231 is correct. The value 230 would result from adding 20, but the next natural number is 21. Exam tip: For consecutive sums, add the next term to the previous sum.
पहली 40 प्राकृतिक संख्याओं का योग \\(S=\frac{40\times41}{2}=820\\) होता है। इसका आधा \\(\frac{820}{2}=410\\) है, इसलिए विकल्प B सही है। 420 प्राप्त करने के लिए योग या आधा निकालते समय गणना में त्रुटि होगी। परीक्षा टिप: पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \\(\frac{n(n+1)}{2}\\) याद रखें। / The sum of the first 40 natural numbers is \\(S=\frac{40\times41}{2}=820\\). Half of this sum is \\(\frac{820}{2}=410\\), so option B is correct. Getting 420 would result from an error while finding the sum or taking half of it. Exam tip: remember that the sum of the first n natural numbers is \\(\frac{n(n+1)}{2}\\).
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{25}=\frac{25\times26}{2}=325\) और \(S_{10}=\frac{10\times11}{2}=55\)। इसलिए \(S_{25}-S_{10}=325-55=270\)। यह 11 से 25 तक की प्राकृतिक संख्याओं के योग के बराबर भी है। 260 प्राप्त करना सामान्यतः किसी एक योग की गणना में त्रुटि होने के कारण होता है। परीक्षा टिप: दो क्रमिक योगों का अंतर लेने पर बीच की संख्याओं का योग सीधे मिल जाता है। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{25}=\frac{25\times26}{2}=325\) and \(S_{10}=\frac{10\times11}{2}=55\). Therefore, \(S_{25}-S_{10}=325-55=270\). This is also the sum of the natural numbers from 11 to 25. Getting 260 usually results from an error while calculating one of the two sums. Exam tip: the difference of two consecutive-range sums directly gives the sum of the terms between them.
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{18}=\frac{18\times19}{2}=171\) और \(S_{12}=\frac{12\times13}{2}=78\)। इसलिए \(S_{18}+S_{12}=171+78=249\)। विकल्प 239 सही नहीं है, क्योंकि यह दोनों सही योगों का योग नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) लगाकर प्रत्येक योग अलग-अलग निकालें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{18}=\frac{18\times19}{2}=171\) and \(S_{12}=\frac{12\times13}{2}=78\). Therefore, \(S_{18}+S_{12}=171+78=249\). Option 239 is incorrect because it is not the sum of these two correct values. Exam tip: In such questions, first use \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) to find each required sum separately.
प्रतिदिन हल किए गए प्रश्नों की संख्या क्रमशः 1, 2, 3, ..., 24 है। अतः यह प्रथम 24 प्राकृतिक संख्याओं का योग है: \(S=\frac{24\times25}{2}=300\)। इसलिए सही उत्तर 300 है। 288 या 324 जैसे विकल्प योग के सूत्र में गलत गणना से मिल सकते हैं। परीक्षा टिप: प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग हमेशा \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। / The numbers of questions solved each day are 1, 2, 3, ..., 24. Therefore, the required total is the sum of the first 24 natural numbers: \(S=\frac{24\times25}{2}=300\). Hence, 300 is correct. Values such as 288 or 324 can result from an incorrect calculation of the sum formula. Exam tip: the sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\).
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(n=80\), इसलिए \(S_{80}=\frac{80\times81}{2}=40\times81=3240\)। अतः सही विकल्प 3240 है। 3200 एक संभावित गलती है, जो \(80\times80/2\) लेने पर मिलती है; सूत्र में \(n+1\) अवश्य आता है। परीक्षा टिप: योग के सूत्र में अंतिम संख्या n रखने के बाद \(n(n+1)/2\) लिखें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(n=80\), so \(S_{80}=\frac{80\times81}{2}=40\times81=3240\). Therefore, 3240 is the correct option. 3200 can result from the common error of using \(80\times80/2\); the formula must include \(n+1\). Exam tip: Substitute the last number for n and use \(n(n+1)/2\).
पहली 54 प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करने का सूत्र \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) है। अतः \(S_{54}=\frac{54\times55}{2}=27\times55=1485\)। इसलिए सही उत्तर 1485 है। 1475 जैसे विकल्प में गुणा या आधा करने की गणना में त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: सूत्र में \(n\) के स्थान पर हमेशा अंतिम प्राकृतिक संख्या रखें। / The sum of the first 54 natural numbers is found using \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{54}=\frac{54\times55}{2}=27\times55=1485\). Therefore, 1485 is correct. A value such as 1475 can result from an error while multiplying or dividing by 2. Exam tip: Substitute the last natural number for \(n\) in the formula.
पहली 29 प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए सूत्र \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) लगाते हैं। अतः \(S_{29}=\frac{29\times30}{2}=435\)। इसलिए सही उत्तर 435 है। 425 जैसे विकल्प में गुणनफल को 2 से सही प्रकार विभाजित नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: 1 से \(n\) तक के योग में हमेशा \(\frac{n(n+1)}{2}\) का प्रयोग करें। / Use the formula \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) for the sum of the first \(n\) natural numbers. Thus, \(S_{29}=\frac{29\times30}{2}=435\). Therefore, 435 is the correct answer. A value such as 425 results from an incorrect calculation while applying the formula. Exam tip: for a sum from 1 to \(n\), use \(\frac{n(n+1)}{2}\).
यह 1 से 13 तक के प्राकृतिक संख्याओं का योग है। सूत्र \(1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\) में \(n=13\) रखने पर \(\frac{13\times14}{2}=91\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 91 है। 78, 1 से 12 तक का योग है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: अंतिम पद \(n\) पहचानकर सीधे \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाएँ। / This is the sum of natural numbers from 1 to 13. Using \(1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\), with \(n=13\), we get \(\frac{13\times14}{2}=91\). Hence, 91 is correct. Note that 78 is the sum from 1 to 12, so it is a close but incorrect option. Exam tip: identify the last term as \(n\) and apply \(\frac{n(n+1)}{2}\) directly.
परतों में ईंटों की संख्या 1 से 10 तक है, इसलिए कुल ईंटें \(1+2+3+\cdots+10\) होंगी। पहले \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{10\times11}{2}=55\), इसलिए सही उत्तर 55 है। 45 केवल 1 से 9 तक का योग है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: 1 से \(n\) तक का योग पूछे जाने पर सीधे \(\frac{n(n+1)}{2}\) का प्रयोग करें। / The number of bricks in the layers runs from 1 to 10, so the total is \(1+2+3+\cdots+10\). The sum of the first \(n\) natural numbers is \(\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(\frac{10\times11}{2}=55\), so 55 is correct. The value 45 is the sum from 1 to 9, making it a close but incorrect option. Exam tip: for the sum from 1 to \(n\), use \(\frac{n(n+1)}{2}\) directly.
