sequences and progressions MCQ Questions for Class 9
sequences and progressions se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_n-S_{n-1}=n\), क्योंकि इस अंतर में केवल नया जोड़ा गया पद n बचता है। दिया है \(S_n-S_{n-1}=62\), इसलिए \(n=62\)। विकल्प 61 लेने पर अंतर 61 होता, 62 नहीं। परीक्षा टिप: लगातार दो आंशिक योगों का अंतर हमेशा उस क्रम का अगला पद होता है। / For the sum of the first n natural numbers, \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Therefore, \(S_n-S_{n-1}=n\), since the difference leaves only the newly added term n. Given \(S_n-S_{n-1}=62\), we get \(n=62\). If n were 61, the difference would be 61, not 62. Exam tip: The difference between two consecutive partial sums is always the newly added term of the sequence.
पहली 39 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_{39}=\frac{39\times40}{2}=780\) है। अतः आवश्यक अंतर \(780-39=741\) होगा। इसलिए सही विकल्प 741 है। ध्यान दें कि 39 घटाने पर अंतिम संख्या हट जाती है, इसलिए यह वास्तव में पहली 38 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_{38}\) भी है। परीक्षा टिप: पहले \(\frac{n(n+1)}{2}\) से योग निकालें, फिर प्रश्नानुसार घटाएँ। / The sum of the first 39 natural numbers is \(S_{39}=\frac{39\times40}{2}=780\). Therefore, the required difference is \(780-39=741\). Hence, 741 is the correct option. Subtracting 39 removes the last term, so the result is also the sum of the first 38 natural numbers, \(S_{38}\). Exam tip: First use \(\frac{n(n+1)}{2}\) to find the sum, then perform the required subtraction.
पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{44}=\frac{44\times45}{2}=990\) और \(S_{30}=\frac{30\times31}{2}=465\)। इसलिए \(S_{44}-S_{30}=990-465=525\)। यह वास्तव में 31 से 44 तक की प्राकृतिक संख्याओं का योग है। 535 जैसी निकटतम विकल्प-त्रुटि सामान्यतः जोड़ या घटाव में गलती से आती है। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर को \(S_{44}-S_{30}\) के रूप में सीधे 31 से 44 तक का योग भी समझ सकते हैं। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{44}=\frac{44\times45}{2}=990\) and \(S_{30}=\frac{30\times31}{2}=465\). Therefore, \(S_{44}-S_{30}=990-465=525\). This difference is the sum of the natural numbers from 31 to 44. A nearby option such as 535 can result from an arithmetic error in addition or subtraction. Exam tip: interpret \(S_{44}-S_{30}\) directly as the sum from 31 to 44.
पहले 20 चरणों के अंक 1 से 20 तक की प्राकृतिक संख्याओं का योग हैं: \(S_{20}=\frac{20\times21}{2}=210\)। अगले 5 चरणों में 0 अंक हैं, इसलिए वे कुल योग में कोई वृद्धि नहीं करते। अतः कुल अंक 210 हैं। 200 एक सामान्य गलती हो सकती है, यदि योग के सूत्र में \(n+1\) के स्थान पर 20 ले लिया जाए। परीक्षा टिप: 1 से \(n\) तक का योग हमेशा \(\frac{n(n+1)}{2}\) से निकालें। / The marks in the first 20 stages are the sum of natural numbers from 1 to 20: \(S_{20}=\frac{20\times21}{2}=210\). The next 5 stages contribute 0 marks, so they do not change the total. Therefore, the total score is 210. A common error is getting 200 by forgetting the \(n+1\) factor in the sum formula. Exam tip: use \(\frac{n(n+1)}{2}\) for the sum from 1 to \(n\).
पहली 72 प्राकृतिक संख्याओं के योग में अंतिम संख्या 72 भी शामिल है। इसलिए पहली 71 प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए 2628 में से 72 घटाएँ: \(2628-72=2556\)। विकल्प B में 71 घटाना एक सामान्य गलती है, जबकि हटाई जाने वाली संख्या 72 है। परीक्षा टिप: \(S_n\) से \(S_{n-1}\) पाने के लिए हमेशा \(n\) घटाते हैं। / The sum of the first 72 natural numbers includes the last number, 72. Therefore, subtract 72 from 2628 to get the sum of the first 71 natural numbers: \(2628-72=2556\). Option B results from the common mistake of subtracting 71; the number removed is 72. Exam tip: to obtain \(S_{n-1}\) from \(S_n\), subtract \(n\).
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। \(\frac{n(n+1)}{2}=666\) से \(n=36\) मिलता है। अतः \(S_{n+2}=S_{38}=S_{36}+37+38=666+75=741\)। 740 केवल एक कम है और उसमें दोनों अगली प्राकृतिक संख्याओं का सही योग नहीं जुड़ता। परीक्षा टिप: \(S_{n+2}\) निकालते समय \(S_n\) में \(n+1\) और \(n+2\) जोड़ें। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers. From \(\frac{n(n+1)}{2}=666\), we get \(n=36\). Therefore, \(S_{n+2}=S_{38}=S_{36}+37+38=666+75=741\). Option 740 is one less and does not include the correct sum of the next two natural numbers. Exam tip: to find \(S_{n+2}\), add \(n+1\) and \(n+2\) to \(S_n\).
18 से 36 तक कुल पदों की संख्या \(36-18+1=19\) है। अतः समान्तर श्रेणी का योग \(S=\frac{n}{2}(a+l)=\frac{19}{2}(18+36)=19\times27=513\) होगा। इसलिए विकल्प A सही है। 523 लेने पर पदों की सही संख्या या औसत का गलत उपयोग हो जाता है। परीक्षा टिप: क्रमागत पूर्णांकों में दोनों सिरों को गिनने के लिए हमेशा \(+1\) लगाएँ। / There are \(36-18+1=19\) terms from 18 to 36. Using the sum of an arithmetic progression, \(S=\frac{n}{2}(a+l)=\frac{19}{2}(18+36)=19\times27=513\). Hence, option A is correct. A value such as 523 results from using an incorrect number of terms or average. Exam tip: Always add \(+1\) when counting terms from one endpoint to another, inclusive.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{p(p+1)}{2}=378\) से \(p=27\) और \(\frac{q(q+1)}{2}=528\) से \(q=32\) मिलता है। अतः \(q-p=32-27=5\)। 4 निकट का विकल्प लग सकता है, लेकिन 378 और 528 के संगत सूचकांक क्रमशः 27 तथा 32 हैं। परीक्षा टिप: योग को पहले \(\frac{n(n+1)}{2}\) के रूप में लिखकर लगातार दो संख्याएँ पहचानें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{p(p+1)}{2}=378\), we get \(p=27\), and from \(\frac{q(q+1)}{2}=528\), we get \(q=32\). Therefore, \(q-p=32-27=5\). Option 4 may seem close, but the corresponding indices for 378 and 528 are 27 and 32 respectively. Exam tip: write the sum as \(\frac{n(n+1)}{2}\) and identify the consecutive factors.
पहली 65 प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(\frac{65\times66}{2}=2145\) होता है। अतः आवश्यक मान
\(2145-1500=645\) है, इसलिए विकल्प D सही है। 640 जैसे निकट विकल्प गलत हैं क्योंकि योग निकालने के बाद घटाव में कोई अतिरिक्त पूर्णांकन नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र प्रयोग करें। / The sum of the first 65 natural numbers is \(\frac{65\times66}{2}=2145\). Therefore, the required value is \(2145-1500=645\), so option D is correct. A nearby value such as 640 is incorrect because no extra rounding is done after finding the sum and subtracting. Exam tip: use \(\frac{n(n+1)}{2}\) for the sum of the first \(n\) natural numbers.
पहले 28 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_{28}=\frac{28\times29}{2}=406\) होता है। अतः \(S_{28}+28=406+28=434\)। विकल्प 435, \(S_{29}\) का मान है, क्योंकि उसमें 406 में 29 जोड़ा जाता है, 28 नहीं। परीक्षा टिप: \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाकर दिए गए पद को अलग से जोड़ें। / The sum of the first 28 natural numbers is \(S_{28}=\frac{28\times29}{2}=406\). Therefore, \(S_{28}+28=406+28=434\). Option 435 is \(S_{29}\), because 29—not 28—is added to 406. Exam tip: Use \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\), then add the separately given number carefully.
पहली 58 प्राकृतिक संख्याओं के योग में से पहली 55 प्राकृतिक संख्याओं का योग घटाने पर केवल 56, 57 और 58 बचते हैं। अतः अंतर = 56 + 57 + 58 = 171। 174 विकल्प में 3 की अधिक गणना हो जाती है। परीक्षा टिप:
\(S_n-S_m\) निकालते समय \(m+1\) से \(n\) तक के पदों का योग लें। / When the sum of the first 55 natural numbers is subtracted from the sum of the first 58 natural numbers, only 56, 57, and 58 remain. Thus, the difference is 56 + 57 + 58 = 171. Option 174 is 3 too large. Exam tip: to find \(S_n-S_m\), add the terms from \(m+1\) to \(n\).
पहली 34 प्राकृतिक संख्याओं के योग में, पहली 31 संख्याओं के योग के बाद वाली संख्याएँ 32, 33 और 34 जोड़नी होंगी। अतः \(S_{34}=496+32+33+34=595\)। इसलिए सही उत्तर 595 है। केवल 34 जोड़ना गलत होगा, क्योंकि 32 और 33 भी नए पद हैं। परीक्षा टिप: \(S_n\) से \(S_{n+k}\) तक जाने पर बीच के सभी पद जोड़ें। / To obtain the sum of the first 34 natural numbers, add the numbers after 31, namely 32, 33, and 34, to the given sum. Thus, \(S_{34}=496+32+33+34=595\). Therefore, 595 is correct. Adding only 34 would be incorrect because 32 and 33 are also new terms. Exam tip: When moving from \(S_n\) to \(S_{n+k}\), add every intervening term.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \,\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{35}=\frac{35\times36}{2}=630\) तथा \(S_{19}=\frac{19\times20}{2}=190\)। इसलिए \(S_{35}-S_{19}=630-190=440\)। यह 20 से 35 तक की प्राकृतिक संख्याओं के योग के बराबर भी है। परीक्षा टिप: \(S_b-S_a\) का अर्थ \(a+1\) से \(b\) तक का योग होता है। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{35}=\frac{35\times36}{2}=630\) and \(S_{19}=\frac{19\times20}{2}=190\). Therefore, \(S_{35}-S_{19}=630-190=440\). It is also the sum of the natural numbers from 20 to 35. Exam tip: \(S_b-S_a\) represents the sum from \(a+1\) to \(b\).
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{41}=\frac{41\times42}{2}=861\) और \(S_{23}=\frac{23\times24}{2}=276\)। इसलिए \(S_{41}-S_{23}=861-276=585\)। यह वास्तव में 24 से 41 तक की प्राकृतिक संख्याओं का योग है। 575 केवल निकट का मान है, सही अंतर नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्न में दोनों योग निकालने के बजाय 24 से 41 तक के पदों का योग भी सीधे लिया जा सकता है। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{41}=\frac{41\times42}{2}=861\) and \(S_{23}=\frac{23\times24}{2}=276\). Therefore, \(S_{41}-S_{23}=861-276=585\). This is also the sum of the natural numbers from 24 to 41. Option 575 is only a nearby value, not the correct difference. Exam tip: You may also directly find the sum from 24 to 41 in such questions.
पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{22}=\frac{22\times23}{2}=253\) और \(S_{17}=\frac{17\times18}{2}=153\)। इसलिए \(S_{22}+S_{17}=253+153=406\)। 396 एक निकट का विकल्प है, पर यह दोनों सही योगों को जोड़ने पर नहीं मिलता। परीक्षा टिप: \(S_n\) दिखे तो तुरंत \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र लगाएँ। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{22}=\frac{22\times23}{2}=253\) and \(S_{17}=\frac{17\times18}{2}=153\). Therefore, \(S_{22}+S_{17}=253+153=406\). Although 396 is close, it is not obtained by adding the two correct sums. Exam tip: whenever \(S_n\) appears, use \(\frac{n(n+1)}{2}\) directly.
81 से 90 तक कुल \(10\) संख्याएँ हैं। इनका औसत \(\frac{81+90}{2}=85.5\) है, इसलिए योग \(10\times 85.5=855\) होगा। अतः विकल्प B सही है। \(845\) जैसे विकल्प सामान्यतः पदों की संख्या या औसत की गणना में गलती से प्राप्त हो सकते हैं। परीक्षा टिप: लगातार संख्याओं के योग के लिए \(\text{पदों की संख्या}\times\text{पहला और अंतिम पद का औसत}\) विधि अपनाएँ। / There are \(10\) numbers from 81 to 90. Their average is \(\frac{81+90}{2}=85.5\), so the sum is \(10\times 85.5=855\). Hence, option B is correct. A value such as \(845\) can result from an error in counting the terms or finding the average. Exam tip: for consecutive numbers, use \(\text{number of terms}\times\text{average of the first and last terms}\).
प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{n(n+1)}{2}=3240\) से \(n=80\) मिलता है। इसलिए \(S_{n+1}-S_n=S_{81}-S_{80}=81\), क्योंकि अगले योग में केवल अगली प्राकृतिक संख्या जुड़ती है। \(80\) निकट का विकल्प है, पर वह \(S_{80}\) की अंतिम संख्या है; अंतर में जुड़ने वाली संख्या \(81\) है। परीक्षा टिप: क्रमिक योगों का अंतर हमेशा अगला पद होता है। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{n(n+1)}{2}=3240\), we get \(n=80\). Hence, \(S_{n+1}-S_n=S_{81}-S_{80}=81\), because the next sum includes only the next natural number. \(80\) is a close distractor, but it is the last number included in \(S_{80}\); the added number is \(81\). Exam tip: the difference of consecutive partial sums is always the next term.
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{30}=\frac{30\times31}{2}=465\) और \(S_{20}=\frac{20\times21}{2}=210\)। इसलिए \(S_{30}:S_{20}=465:210=31:14\)। विकल्प 31:15 में दूसरा पद सही अनुपात के अनुसार नहीं है। परीक्षा टिप: अनुपात को हमेशा दोनों पदों के महत्तम समापवर्तक से भाग देकर सरलतम रूप में लिखें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{30}=\frac{30\times31}{2}=465\) and \(S_{20}=\frac{20\times21}{2}=210\). Therefore, \(S_{30}:S_{20}=465:210=31:14\). In 31:15, the second term does not match the simplified ratio. Exam tip: always divide both terms of a ratio by their greatest common factor to obtain the simplest form.
यदि \(S_n\), पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है, तो \(S_{36}=1+2+\cdots+36\) होगा। इसमें अगले दो क्रमागत पद \(37\) और \(38\) जोड़ने पर \(1+2+\cdots+36+37+38=S_{38}\) प्राप्त होता है। \(S_{37}\) में केवल 37 तक का योग होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: आंशिक योग में अगला पद जोड़ने पर सूचकांक एक बढ़ता है। / If \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers, then \(S_{36}=1+2+\cdots+36\). Adding the next two consecutive terms, 37 and 38, gives \(1+2+\cdots+36+37+38=S_{38}\). \(S_{37}\) includes terms only up to 37, so it is not correct. Exam tip: each next term added to a partial sum increases its subscript by 1.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{n(n+1)}{2}=2850\) से \(n=75\) मिलता है। अतः \(S_{n-5}=S_{70}=\frac{70\times71}{2}=2485\)। विकल्प 2556, \(S_{71}\) का योग है, इसलिए वह यहाँ सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले दिए गए योग से \(n\) ज्ञात करें, फिर बदले हुए पदांक का योग निकालें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{n(n+1)}{2}=2850\), we get \(n=75\). Therefore, \(S_{n-5}=S_{70}=\frac{70\times71}{2}=2485\). The value 2556 is \(S_{71}\), so it is not correct here. Exam tip: first find \(n\) from the given sum, then calculate the sum for the required index.
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \\(\frac{n(n+1)}{2}\\) होता है। अतः पहले 20 प्राकृतिक संख्याओं का योग \\(\frac{20\times21}{2}=210\\) और पहले 5 प्राकृतिक संख्याओं का योग \\(\frac{5\times6}{2}=15\\) है। इसलिए कुल योग \\(210+15=225\\) होगा। 220 केवल पहले 20 प्राकृतिक संख्याओं का योग नहीं है; वह गलत गणना से प्राप्त हो सकता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों योग अलग-अलग निकालकर अंत में जोड़ें। / The sum of the first n natural numbers is \\(\frac{n(n+1)}{2}\\). Thus, the sum of the first 20 natural numbers is \\(\frac{20\times21}{2}=210\\), and the sum of the first 5 natural numbers is \\(\frac{5\times6}{2}=15\\). Therefore, the required total is \\(210+15=225\\). The value 220 does not equal the sum of the first 20 natural numbers and may result from an incorrect calculation. Exam tip: calculate each sum separately before adding them.
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{28}=\frac{28\times29}{2}=406\) और \(S_{14}=\frac{14\times15}{2}=105\)। इसलिए अंतर \(406-105=301\) है। 291 पाने की गलती प्रायः 14 तक की संख्याओं को सही ढंग से घटाने के बजाय गणना में त्रुटि करने से होती है। परीक्षा टिप: अंतर वाले प्रश्न में दोनों योगों का सूत्र लगाकर बड़े योग में से छोटा योग घटाएँ। / The sum of the first n natural numbers is
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{28}=\frac{28\times29}{2}=406\) and \(S_{14}=\frac{14\times15}{2}=105\). Therefore, the difference is \(406-105=301\). An answer such as 291 usually results from an arithmetic error while subtracting the sum up to 14. Exam tip: for a difference of sums, calculate both sums using the formula and subtract the smaller one from the larger one.
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{15}=\frac{15\times16}{2}=120\) और \(S_{10}=\frac{10\times11}{2}=55\)। इसलिए अनुपात \(120:55=24:11\) है। \(11:5\) निकट लगता है, लेकिन यह \(120:55\) का सरल रूप नहीं है। परीक्षा टिप: अनुपात को अंत में दोनों पदों के महत्तम समापवर्तक से भाग देकर सरल करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{15}=\frac{15\times16}{2}=120\) and \(S_{10}=\frac{10\times11}{2}=55\). Therefore, \(120:55=24:11\). Although \(11:5\) is close, it is not the simplified form of \(120:55\). Exam tip: always divide both terms of a ratio by their greatest common factor to simplify it.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(1176=\frac{48\times49}{2}\), अतः \(n=48\) है। इसलिए \(S_{n-1}=S_{47}=\frac{47\times48}{2}=1128\)। 1176, \(S_{48}\) है, इसलिए वह पिछले पद तक का योग नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: पहले दिए गए योग को दो क्रमागत संख्याओं के गुणनफल के आधे के रूप में पहचानें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(1176=\frac{48\times49}{2}\), so \(n=48\). Therefore, \(S_{n-1}=S_{47}=\frac{47\times48}{2}=1128\). The value 1176 is \(S_{48}\), not the sum up to the previous term. Exam tip: identify the given sum as half the product of two consecutive numbers first.
पहली 100 प्राकृतिक संख्याओं के योग में से पहली 90 प्राकृतिक संख्याओं का योग घटाने पर केवल 91 से 100 तक की संख्याएँ बचती हैं। अतः योग = \(91+92+\cdots+100\) = \(\frac{(91+100)\times10}{2}=955\)। इसलिए सही विकल्प B है। 945 निकट का विकल्प है, पर वह 91 से 100 तक के सही औसत \(95.5\) का उपयोग नहीं करता। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर में समान प्रारम्भिक पद कट जाते हैं; शेष पदों की सीमा सीधे लिखें। / Subtracting the sum of the first 90 natural numbers from the sum of the first 100 leaves only the numbers from 91 to 100. Thus, the sum is \(91+92+\cdots+100=\frac{(91+100)\times10}{2}=955\). Therefore, option B is correct. 945 is a close distractor, but it does not use the correct average, \(95.5\), of the numbers from 91 to 100. Exam tip: In such differences, cancel the common initial terms and write the remaining range directly.
पहली 80 प्राकृतिक संख्याओं के योग में से पहली 75 प्राकृतिक संख्याओं का योग घटाने पर केवल 76 से 80 तक की संख्याएँ बचती हैं। अतः अंतर \(76+77+78+79+80=390\) है। इसलिए सही विकल्प A है। 395 निकट का विकल्प है, पर वह इन पाँच संख्याओं का सही योग नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर में समान प्रारम्भिक पद कट जाते हैं; केवल शेष पदों का योग करें। / When the sum of the first 75 natural numbers is subtracted from the sum of the first 80 natural numbers, only the terms from 76 to 80 remain. Thus, the difference is \(76+77+78+79+80=390\). Therefore, option A is correct. Although 395 is close, it is not the sum of these five numbers. Exam tip: In differences of partial sums, cancel the common initial terms and add only the remaining terms.
(51) से (60) तक कुल 10 क्रमागत संख्याएँ हैं। इनका औसत \(\frac{51+60}{2}=55.5\) है, इसलिए योग \(10\times55.5=555\) होगा। विकल्प 545 सही नहीं है, क्योंकि वह इन 10 संख्याओं के सही औसत से प्राप्त नहीं होता। परीक्षा में क्रमागत संख्याओं का योग निकालने के लिए \(\text{पदों की संख्या}\times\text{पहला और अंतिम पद का औसत}\) विधि अपनाएँ। / There are 10 consecutive numbers from 51 to 60. Their average is \(\frac{51+60}{2}=55.5\), so the sum is \(10\times55.5=555\). Option 545 is incorrect because it does not result from the correct average of these 10 numbers. Exam tip: for consecutive terms, use \(\text{number of terms}\times\text{average of first and last terms}\).
पहले n प्राकृतिक संख्याओं के योग को \(S_n\) मानें। तब \(S_n-S_{n-2}\) में केवल अंतिम दो पद \((n-1)\) और \(n\) बचते हैं। इसलिए \(S_n-S_{n-2}=(n-1)+n=2n-1\)। अब \(2n-1=79\) से \(2n=80\), अतः \(n=40\)। विकल्प 39 लेने पर मान \(2(39)-1=77\) होगा, जो 79 नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर में कटने वाले योग के बाद बचे पदों को सीधे लिखें। / Let \(S_n\) be the sum of the first \(n\) natural numbers. In \(S_n-S_{n-2}\), only the last two terms, \((n-1)\) and \(n\), remain. Hence, \(S_n-S_{n-2}=(n-1)+n=2n-1\). Now \(2n-1=79\) gives \(2n=80\), so \(n=40\). If \(n=39\), the value would be \(2(39)-1=77\), not 79. Exam tip: In differences of partial sums, write the terms that remain after cancellation.
पहली 70 प्राकृतिक संख्याओं के योग में से पहली 60 प्राकृतिक संख्याओं का योग घटाने पर केवल 61 से 70 तक की संख्याएँ बचती हैं। अतः अंतर \(=61+62+\cdots+70\)। यह 10 पदों की समांतर श्रेणी है, इसलिए योग \(=\frac{10}{2}(61+70)=5\times131=655\)। इसलिए सही उत्तर 655 है। 645 सही नहीं है, क्योंकि 61 से 70 तक के 10 पदों का औसत \(65.5\) है, अतः योग \(10\times65.5=655\) होगा। परीक्षा टिप: दो क्रमिक ‘पहले n’ योगों का अंतर बीच में बचने वाले पदों का योग होता है। / Subtracting the sum of the first 60 natural numbers from the sum of the first 70 leaves only the numbers from 61 to 70. Thus, the difference is \(61+62+\cdots+70\). This is an arithmetic progression with 10 terms, so its sum is \(\frac{10}{2}(61+70)=5\times131=655\). Therefore, 655 is correct. 645 is incorrect because the average of the 10 numbers from 61 to 70 is \(65.5\), giving a total of \(10\times65.5=655\). Exam tip: The difference between two “first n” sums equals the sum of the terms left in between.
26 से 35 तक कुल 10 संख्याएँ हैं। अतः समान्तर श्रेणी के योग का सूत्र लगाने पर,
a = 26, d = 1, n = 10
aयोग = \\(\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) = \\(\frac{10}{2}[2(26)+9]\) = \\(5(61) = 305\)। इसलिए सही उत्तर 305 है। 295 प्राप्त करने में पदों की संख्या या अंतिम पद लेने में गलती हो सकती है। परीक्षा टिप: लगातार संख्याओं का योग निकालते समय पहले पदों की संख्या अवश्य गिनें। / There are 10 numbers from 26 to 35. Using the sum formula for an arithmetic progression,
a = 26, d = 1, n = 10
\\(S_n = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) = \\(\frac{10}{2}[2(26)+9]\) = \\(5(61) = 305\). Therefore, 305 is the correct answer. A result such as 295 may arise from counting the terms incorrectly or using the wrong last term. Exam tip: For sums of consecutive integers, first determine the number of terms carefully.
