sequences and progressions MCQ Questions for Class 9
sequences and progressions se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
पहले 150 प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(\frac{150\times151}{2}=11325\) है और पहले 100 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{100\times101}{2}=5050\) है। अतः अंतर \(11325-5050=6275\) होगा। यह वास्तव में 101 से 150 तक की संख्याओं का योग है। 6175 जैसा निकट विकल्प गलत गणना से आ सकता है। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर वाले प्रश्न में शेष पदों की सीमा 101 से शुरू होती है, 100 से नहीं। / The sum of the first 150 natural numbers is \(\frac{150\times151}{2}=11325\), and the sum of the first 100 natural numbers is \(\frac{100\times101}{2}=5050\). Therefore, the difference is \(11325-5050=6275\). Equivalently, it is the sum of the numbers from 101 to 150. A nearby value such as 6175 results from an incorrect calculation. Exam tip: when subtracting two consecutive sums, the remaining terms begin at 101, not 100.
पहली 100 प्राकृतिक संख्याओं के योग में, पहली 99 प्राकृतिक संख्याओं के योग की अपेक्षा केवल अगली संख्या 100 अतिरिक्त होती है। अतः अंतर \(S_{100}-S_{99}=100\) है। विकल्प 99 पहली 99 संख्याओं की अंतिम संख्या है, लेकिन यह योगों का अंतर नहीं है। परीक्षा टिप: क्रमिक प्राकृतिक संख्याओं के योगों का अंतर हमेशा अगली प्राकृतिक संख्या होता है। / The sum of the first 100 natural numbers contains exactly one additional term beyond the sum of the first 99 natural numbers: 100. Therefore, \(S_{100}-S_{99}=100\). Option 99 is the last number among the first 99 natural numbers, not the difference between the two sums. Exam tip: The difference between sums of consecutive natural-number terms is always the next natural number.
पहले n प्राकृतिक संख्याओं के योग को \(S_n\) मानें। \(S_{n+1}-S_{n-2}\) में \(1\) से \(n-2\) तक के समान पद कट जाते हैं और केवल \((n-1)+n+(n+1)\) बचते हैं। अतः \(S_{n+1}-S_{n-2}=3n=150\), इसलिए \(n=50\)। विकल्प 49 लेने पर योगांतर \(147\) होगा, 150 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे योगांतर में समान प्रारम्भिक पदों को काटकर बचे हुए लगातार पद लिखें। / Let \(S_n\) be the sum of the first \(n\) natural numbers. In \(S_{n+1}-S_{n-2}\), the common terms from 1 to \(n-2\) cancel, leaving \((n-1)+n+(n+1)\). Hence, \(S_{n+1}-S_{n-2}=3n=150\), so \(n=50\). If \(n=49\), the difference would be 147, not 150. Exam tip: In differences of sums, cancel the common initial terms and write the remaining consecutive terms.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n+1)}{2}=4560\) से \(n=95\) मिलता है। इसलिए \(S_{n+5}-S_n\) अगली पाँच संख्याओं, अर्थात् \(96+97+98+99+100\), का योग है, जो \(490\) है। \(495\) तब मिलता यदि 101 को भी जोड़ दिया जाता। परीक्षा टिप: \(S_{n+k}-S_n\) हमेशा \(n+1\) से \(n+k\) तक के पदों का योग होता है। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{n(n+1)}{2}=4560\), we get \(n=95\). Hence, \(S_{n+5}-S_n\) is the sum of the next five natural numbers: \(96+97+98+99+100=490\). The value \(495\) would result if 101 were also included. Exam tip: \(S_{n+k}-S_n\) always represents the sum of terms from \(n+1\) to \(n+k\).
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(\frac{n(n+1)}{2}=3655\) से \(n=85\) मिलता है, क्योंकि \(\frac{85\times86}{2}=3655\)। अतः \(S_n-S_{n-4}=S_{85}-S_{81}\), यानी अंतिम चार पदों \(82+83+84+85\) का योग। यह \(334\) है। 330 केवल \(81+82+83+84\) लेने पर मिलता, जो गलत चार पद हैं। परीक्षा टिप: \(S_n-S_{n-r}\) हमेशा n तक के अंतिम r पदों का योग देता है। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{n(n+1)}{2}=3655\), we get \(n=85\), since \(\frac{85\times86}{2}=3655\). Therefore, \(S_n-S_{n-4}=S_{85}-S_{81}\), which is the sum of the last four terms: \(82+83+84+85=334\). The value 330 would result from adding \(81+82+83+84\), which is not the required set of final four terms. Exam tip: \(S_n-S_{n-r}\) equals the sum of the last r terms up to n.
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग
\(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। इसलिए \(S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\) और \(S_{60}=\frac{60\times61}{2}=1830\)। अतः अनुपात \(4095:1830=273:122\) है। \(3:2\) केवल 90 और 60 का अनुपात है, उनके योगों का नहीं। परीक्षा टिप: योगों का अनुपात निकालते समय \(n(n+1)/2\) में \(n+1\) गुणक को भी अवश्य शामिल करें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\) and \(S_{60}=\frac{60\times61}{2}=1830\). Therefore, \(4095:1830=273:122\). The ratio \(3:2\) is only the ratio of 90 to 60, not of their sums. Exam tip: When comparing such sums, include the \(n+1\) factor in \(n(n+1)/2\).
पहले 120 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{120\times121}{2}=7260\) है और पहले 80 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{80\times81}{2}=3240\) है। अतः आवश्यक परिणाम \(7260-3240=4020\) होगा। यह वास्तव में 81 से 120 तक की संख्याओं का योग है। 4040 जैसा विकल्प घटाव में त्रुटि करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) लगाकर दोनों योगों का अंतर निकालें। / The sum of the first 120 natural numbers is \(\frac{120\times121}{2}=7260\), and the sum of the first 80 natural numbers is \(\frac{80\times81}{2}=3240\). Therefore, the required result is \(7260-3240=4020\). This is also the sum of the numbers from 81 to 120. An option such as 4040 can result from an arithmetic error in subtraction. Exam tip: use \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) and subtract the two sums carefully.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के योग को \(S_n\) मानें। तब \(S_{n+2}-S_n\) में केवल अगली दो संख्याएँ बचती हैं: \((n+1)+(n+2)=2n+3\)। अतः \(2n+3=155\), इसलिए \(2n=152\) और \(n=76\)। विकल्प 77 लेने पर अंतर \(157\) होता, 155 नहीं। परीक्षा टिप: योगों के अंतर में समान प्रारम्भिक पद कट जाते हैं; केवल बचे हुए पद जोड़ें। / Let \(S_n\) be the sum of the first \(n\) natural numbers. In \(S_{n+2}-S_n\), the common initial terms cancel, leaving \((n+1)+(n+2)=2n+3\). Thus, \(2n+3=155\), so \(2n=152\) and \(n=76\). If \(n=77\), the difference would be \(157\), not \(155\). Exam tip: In differences of sums, cancel the common terms and add only the remaining terms.
A. n, 4 का गुणज हो या 4 से भाग देने पर शेष 3 हो/n is a multiple of 4 or leaves remainder 3 when divided by 4
Explanation
Simple Explanation
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग n(n+1)/2 होता है। n और n+1 में एक सम है; योग सम तभी बनेगा जब 2 से भाग के बाद शेष गुणनखंड भी सम हो, अर्थात n ≡ 0 या 3 (mod 4)। परीक्षा में n को 4 से भाग देने पर शेष देखकर तुरंत निर्णय लें। / The sum of the first n natural numbers is n(n+1)/2. One of n and n+1 is even; after dividing by 2, the remaining factor must also be even. Thus the sum is even when n ≡ 0 or 3 (mod 4). Exam tip: check n modulo 4 directly.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। यहाँ \(S_n-S_{50}=1575\) और \(S_{50}=\frac{50\times51}{2}=1275\) है। अतः \(S_n=1575+1275=2850\)। अब \(\frac{n(n+1)}{2}=2850\), अर्थात \(n(n+1)=5700=75\times76\)। इसलिए \(n=75\)। निकटतम विकल्प 80 के लिए योगांतर \(S_{80}-S_{50}\) 1575 नहीं होगा। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए \(S_k\) का मान जोड़कर \(S_n\) ज्ञात करें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Here, \(S_n-S_{50}=1575\) and \(S_{50}=\frac{50\times51}{2}=1275\). Therefore, \(S_n=1575+1275=2850\). Now \(\frac{n(n+1)}{2}=2850\), so \(n(n+1)=5700=75\times76\). Hence, \(n=75\). The nearby option 80 does not give a difference of 1575 from \(S_{50}\). Exam tip: In such questions, first add the known \(S_k\) to find \(S_n\).
40 से 80 तक कुल पदों की संख्या \(80-40+1=41\) है। अतः योग \(=\frac{41(40+80)}{2}=41\times 60=2460\) होगा। विकल्प 2420 तब मिल सकता है जब पदों की संख्या या औसत निकालने में गलती हो जाए। परीक्षा टिप: किसी सीमा से दूसरी सीमा तक पूर्णांकों की संख्या हमेशा \(\text{अंतिम}-\text{प्रथम}+1\) होती है। / There are \(80-40+1=41\) terms from 40 to 80. Therefore, the sum is \(\frac{41(40+80)}{2}=41\times 60=2460\). Option 2420 may result from an error in counting the terms or finding the average. Exam tip: the number of integers from a first value to a last value is always \(\text{last}-\text{first}+1\).
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{n(n+1)}{2}=1081\) से \(n=46\) मिलता है। इसलिए \(S_{n+4}-S_n\) अगले चार पदों का योग है: \(47+48+49+50=194\)। 198 निकट का विकल्प है, पर वह इन चार क्रमागत संख्याओं का सही योग नहीं है। परीक्षा टिप: \(S_{n+k}-S_n\) को हमेशा \(n+1\) से \(n+k\) तक के पदों के योग के रूप में लिखें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{n(n+1)}{2}=1081\), we get \(n=46\). Hence, \(S_{n+4}-S_n\) is the sum of the next four terms: \(47+48+49+50=194\). Although 198 is close, it is not the correct sum of these four consecutive numbers. Exam tip: Rewrite \(S_{n+k}-S_n\) as the sum of terms from \(n+1\) to \(n+k\).
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{72}=\frac{72\times73}{2}=2628\) और \(S_{48}=\frac{48\times49}{2}=1176\)। इसलिए अंतर \(2628-1176=1452\) है। यह वास्तव में 49 से 72 तक की संख्याओं का योग है; 1462 जैसे विकल्प में गणना की त्रुटि है। परीक्षा में अंतर वाले प्रश्नों में सीधे \(S_{72}-S_{48}\) लिखें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{72}=\frac{72\times73}{2}=2628\) and \(S_{48}=\frac{48\times49}{2}=1176\). Hence, the difference is \(2628-1176=1452\). It is also the sum of the numbers from 49 to 72; an option such as 1462 results from an arithmetic error. Exam tip: for such questions, write \(S_{72}-S_{48}\) directly.
\(S_{n+1}=1+2+\cdots+n+(n+1)\) और \(S_{n-1}=1+2+\cdots+(n-1)\) है। घटाने पर समान पद कट जाते हैं और \(n+(n+1)=2n+1\) बचता है। इसलिए सही उत्तर \(2n+1\) है। \(n+1\) केवल अगला जोड़ा गया पद है; इसमें \(n\) भी शामिल होना चाहिए। परीक्षा टिप: ऐसे व्यंजकों में दोनों योगों को फैलाकर कटने वाले पद पहचानें। / \(S_{n+1}=1+2+\cdots+n+(n+1)\) and \(S_{n-1}=1+2+\cdots+(n-1)\). On subtracting, the common terms cancel, leaving \(n+(n+1)=2n+1\). Hence, the correct answer is \(2n+1\). \(n+1\) is only the newly added last term; the term \(n\) must also be included. Exam tip: Expand the two sums and identify the terms that cancel.
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। \(S_n-S_{n-2}\) में पहले \(n-2\) पद कट जाते हैं और केवल \((n-1)+n=2n-1\) बचता है। अतः \(2n-1=101\) से \(n=51\)। इसलिए \(S_{51}=\frac{51\times52}{2}=1326\)। विकल्प 1275, \(S_{50}\) है, इसलिए वह निकट होने पर भी सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे अंतर में समान प्रारम्भिक पदों को काटकर बचे हुए पद लिखें। / Here, \(S_n\) is the sum of the first \(n\) natural numbers. In \(S_n-S_{n-2}\), the first \(n-2\) terms cancel, leaving \((n-1)+n=2n-1\). Thus, \(2n-1=101\) gives \(n=51\). Therefore, \(S_{51}=\frac{51\times52}{2}=1326\). Option 1275 is \(S_{50}\), so it is close but not correct. Exam tip: In differences of partial sums, cancel the common initial terms and write the remaining terms.
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{45}=\frac{45\times46}{2}=1035\) और \(S_{30}=\frac{30\times31}{2}=465\)। इसलिए \(S_{45}:S_{30}=1035:465=69:31\)। विकल्प \(45:30\) केवल पदों की संख्याओं का अनुपात है, उनके योगों का नहीं। परीक्षा टिप: योगों के अनुपात में पहले \(\frac{n(n+1)}{2}\) का सूत्र लगाएँ, फिर समान गुणनखंड काटें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{45}=\frac{45\times46}{2}=1035\) and \(S_{30}=\frac{30\times31}{2}=465\). Therefore, \(S_{45}:S_{30}=1035:465=69:31\). The option \(45:30\) is only the ratio of the numbers of terms, not the ratio of their sums. Exam tip: For ratios of such sums, apply \(\frac{n(n+1)}{2}\) first and then cancel common factors.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(5050=\frac{100\times101}{2}\), अतः \(n=100\)। इसलिए \(S_{n-10}=S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\)। विकल्प 4186 सही नहीं है, क्योंकि वह प्रथम 91 प्राकृतिक संख्याओं का योग है। परीक्षा टिप: 5050 को पहचानें कि यह \(S_{100}\) है, फिर सूचकांक में 10 घटाएँ। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Since \(5050=\frac{100\times101}{2}\), we get \(n=100\). Therefore, \(S_{n-10}=S_{90}=\frac{90\times91}{2}=4095\). Option 4186 is not correct because it is the sum of the first 91 natural numbers. Exam tip: Recognise 5050 as \(S_{100}\), then reduce the subscript by 10.
101 से 120 तक कुल 20 संख्याएँ हैं। अतः समांतर श्रेणी का योग
\(S=\frac{20}{2}(101+120)=10\times221=2210\) होगा। इसलिए विकल्प B सही है। 2190, 100 से 119 तक की संख्याओं का योग है, इसलिए वह इस प्रश्न के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी अंतराल में पदों की संख्या निकालने के लिए \(\text{अंतिम पद}-\text{प्रथम पद}+1\) करें। / There are 20 numbers from 101 to 120, inclusive. Therefore, using the sum of an arithmetic progression,
\(S=\frac{20}{2}(101+120)=10\times221=2210\). Hence, option B is correct. The value 2190 is the sum from 100 to 119, so it does not match the given range. Exam tip: Count terms in an inclusive range using \(\text{last term}-\text{first term}+1\).
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{n(n+1)}{2}=595\) से \(n=34\) मिलता है। अतः \(S_{n+6}-S_n=S_{40}-S_{34}=35+36+37+38+39+40=225\)। 230 निकट लग सकता है, लेकिन इसमें अगले छह पदों के स्थान पर गलत पदों का योग होगा। परीक्षा में पहले n ज्ञात करें, फिर केवल जोड़े गए पदों का योग लें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{n(n+1)}{2}=595\), we get \(n=34\). Therefore, \(S_{n+6}-S_n=S_{40}-S_{34}=35+36+37+38+39+40=225\). Although 230 may seem close, it does not equal the sum of the next six terms. In exams, first find n and then add only the newly included terms.
पहले 80 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{80\times81}{2}=3240\) और पहले 50 प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{50\times51}{2}=1275\) है। अतः आवश्यक अंतर \(3240-1275=1965\) होगा। यह सीधे 51 से 80 तक की संख्याओं का योग भी है। 1975 जैसे निकट विकल्प से बचने के लिए दोनों योगों की गणना में \(n(n+1)/2\) सूत्र सावधानी से लगाएँ। / The sum of the first 80 natural numbers is \(\frac{80\times81}{2}=3240\), and the sum of the first 50 natural numbers is \(\frac{50\times51}{2}=1275\). Therefore, the required difference is \(3240-1275=1965\). Equivalently, it is the sum of the integers from 51 to 80. Exam tip: use \(n(n+1)/2\) carefully for both sums to avoid a close error such as 1975.
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। \(\frac{n(n+1)}{2}=2485\) से \(n=70\) मिलता है, क्योंकि \(\frac{70\times71}{2}=2485\)। अतः \(S_n-S_{n-5}=S_{70}-S_{65}\), अर्थात अंतिम पाँच संख्याओं \(66,67,68,69,70\) का योग। इसलिए \(66+67+68+69+70=340\)। विकल्प 350 लेने पर पाँच पदों के सही आरंभिक पद 66 को शामिल नहीं किया जाएगा। परीक्षा टिप: \(S_n-S_{n-r}\) हमेशा अंतिम \(r\) पदों का योग दर्शाता है। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers. From \(\frac{n(n+1)}{2}=2485\), we get \(n=70\), since \(\frac{70\times71}{2}=2485\). Therefore, \(S_n-S_{n-5}=S_{70}-S_{65}\), which is the sum of the last five numbers: \(66,67,68,69,70\). Hence, \(66+67+68+69+70=340\). Choosing 350 would miss the correct first term, 66, among these five terms. Exam tip: \(S_n-S_{n-r}\) always represents the sum of the last \(r\) terms.
पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{25}=\frac{25\times26}{2}=325\) और \(S_{10}=\frac{10\times11}{2}=55\)। इसलिए अनुपात \(325:55=65:11\) है। विकल्प 55:13 सही नहीं है, क्योंकि यह 325:55 को सही ढंग से सरल करने पर नहीं मिलता। परीक्षा टिप: अनुपात को अंतिम उत्तर लिखने से पहले दोनों पदों के महत्तम समापवर्तक से अवश्य सरल करें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{25}=\frac{25\times26}{2}=325\) and \(S_{10}=\frac{10\times11}{2}=55\). Therefore, the ratio is \(325:55=65:11\). Option 55:13 is incorrect because it is not obtained by simplifying 325:55 correctly. Exam tip: always reduce a ratio by dividing both terms by their greatest common factor.
पहली \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{60}=\frac{60\times61}{2}=1830\) और \(S_{40}=\frac{40\times41}{2}=820\)। इसलिए अंतर \(1830-820=1010\) है। यह \(41\) से \(60\) तक की संख्याओं के योग के बराबर भी है; \(1000\) लेने पर यह अंतर सही नहीं मिलता। परीक्षा टिप: दो क्रमिक योगों का अंतर पूछने पर बीच की बची हुई संख्याओं का योग भी लिया जा सकता है। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{60}=\frac{60\times61}{2}=1830\) and \(S_{40}=\frac{40\times41}{2}=820\). Therefore, the difference is \(1830-820=1010\). It is also the sum of the numbers from \(41\) to \(60\); \(1000\) does not give the correct difference. Exam tip: the difference of two such sums can be found by adding the remaining consecutive terms directly.
यहाँ \(S_n-S_{n-4}\) का अर्थ \((n-3)\)वें से \(n\)वें तक की चार प्राकृतिक संख्याओं का योग है: \(S_n-S_{n-4}=(n-3)+(n-2)+(n-1)+n=4n-6\)। अतः \(4n-6=250\), इसलिए \(4n=256\) और \(n=64\)। इसलिए सही विकल्प 64 है। उदाहरण के लिए, \(n=63\) लेने पर योग \(60+61+62+63=246\) होगा, जो 250 नहीं है। परीक्षा टिप: \(S_n-S_{n-k}\) हमेशा अंतिम \(k\) पदों का योग दर्शाता है। / Here, \(S_n-S_{n-4}\) represents the sum of the four natural numbers from the \((n-3)\)th term to the \(n\)th term: \(S_n-S_{n-4}=(n-3)+(n-2)+(n-1)+n=4n-6\). Hence, \(4n-6=250\), so \(4n=256\) and \(n=64\). Therefore, 64 is the correct option. For instance, if \(n=63\), the sum is \(60+61+62+63=246\), not 250. Exam tip: \(S_n-S_{n-k}\) always gives the sum of the last \(k\) terms.
पहली 67 प्राकृतिक संख्याओं के योग में से पहली 62 प्राकृतिक संख्याओं का योग घटाने पर केवल 63 से 67 तक के पद बचते हैं। अतः आवश्यक योग \(63+64+65+66+67=325\) है। इसलिए विकल्प B सही है। 315 लेने पर पदों का योग गलत होगा। परीक्षा टिप: ऐसे दो क्रमिक योगों का अंतर, उनके बीच आने वाले पदों का योग होता है। / When the sum of the first 62 natural numbers is subtracted from the sum of the first 67 natural numbers, only the terms from 63 to 67 remain. Thus, \(63+64+65+66+67=325\). Hence, option B is correct. A value of 315 would result from an incorrect addition of these terms. Exam tip: the difference of two consecutive partial sums equals the sum of the intervening terms.
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। \(\frac{a(a+1)}{2}=820\) से \(a=40\), क्योंकि \(\frac{40\times41}{2}=820\)। इसी प्रकार \(\frac{b(b+1)}{2}=1035\) से \(b=45\), क्योंकि \(\frac{45\times46}{2}=1035\)। अतः \(b-a=45-40=5\)। 4 निकट का विकल्प लग सकता है, पर वह सूचकांकों के वास्तविक अंतर से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: दिए गए योग को \(\frac{n(n+1)}{2}\) के बराबर रखकर n ज्ञात करें। / The sum of the first n natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). From \(\frac{a(a+1)}{2}=820\), we get \(a=40\), since \(\frac{40\times41}{2}=820\). Similarly, \(\frac{b(b+1)}{2}=1035\) gives \(b=45\), since \(\frac{45\times46}{2}=1035\). Therefore, \(b-a=45-40=5\). Option 4 may seem close, but it does not equal the actual difference between the indices. Exam tip: equate the given sum to \(\frac{n(n+1)}{2}\) to find the index n.
पहली \(t\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(\frac{t(t+1)}{2}\) होता है। अतः \(\frac{t(t+1)}{2}=231\), यानी \(t(t+1)=462\)। क्योंकि \(21\times22=462\), इसलिए \(t=21\)। अतः \(t+5=21+5=26\)। विकल्प 25 तब मिलता यदि \(t\) को 20 मान लिया जाए, लेकिन 1 से 20 तक का योग 210 है। परीक्षा टिप: योग दिए होने पर पहले \(\frac{n(n+1)}{2}\) सूत्र से \(n\) ज्ञात करें, फिर पूछा गया व्यंजक निकालें। / The sum of the first \(t\) natural numbers is \(\frac{t(t+1)}{2}\). Thus, \(\frac{t(t+1)}{2}=231\), so \(t(t+1)=462\). Since \(21\times22=462\), \(t=21\). Therefore, \(t+5=21+5=26\). Option 25 would result from taking \(t=20\), but the sum from 1 to 20 is 210. Exam tip: When a sum is given, first find \(n\) using \(\frac{n(n+1)}{2}\), then evaluate the expression asked.
पहले \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\) होता है। अतः \(S_{30}=\frac{30\times31}{2}=465\) और \(S_{15}=\frac{15\times16}{2}=120\)। इसलिए \(S_{30}:S_{15}=465:120=31:8\)। \(31:9\) तब मिलता यदि हर का मान गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: अनुपात को अंत में दोनों पदों के महत्तम समापवर्तक से सरल करें। / The sum of the first \(n\) natural numbers is \(S_n=\frac{n(n+1)}{2}\). Thus, \(S_{30}=\frac{30\times31}{2}=465\) and \(S_{15}=\frac{15\times16}{2}=120\). Therefore, \(S_{30}:S_{15}=465:120=31:8\). The ratio \(31:9\) would result from using an incorrect value for the second sum. Exam tip: simplify a ratio at the end by dividing both terms by their greatest common factor.
यदि \(S_{45}=1+2+\cdots+45\) है, तो \(46\), \(47\) और \(48\) जोड़ने पर योग \(1+2+\cdots+45+46+47+48=S_{48}\) बनता है। \(S_{47}\) तक पहुँचने के लिए केवल 46 और 47 तक के पद जुड़ते हैं; 48 जोड़ने पर परिणाम \(S_{48}\) होगा। परीक्षा टिप: लगातार अगली प्राकृतिक संख्याएँ जोड़ने पर योग का उपसूचक अंतिम जोड़ी गई संख्या के बराबर हो जाता है। / If \(S_{45}=1+2+\cdots+45\), then adding \(46\), \(47\), and \(48\) gives \(1+2+\cdots+45+46+47+48=S_{48}\). \(S_{47}\) would include terms only up to 47; adding 48 makes the result \(S_{48}\). Exam tip: when consecutive next natural numbers are added, the subscript of the sum becomes the last number added.
यहाँ \(S_n\), प्रथम \(n\) प्राकृतिक संख्याओं का योग है। इसलिए \(S_{22}\) प्राप्त करने के लिए \(S_{18}\) में अगली चार संख्याएँ \(19,20,21\) और \(22\) जोड़ते हैं: \(S_{22}=171+19+20+21+22=253\)। अतः सही उत्तर 253 है। 243 केवल \(171+19+20+21+12\) जैसे गलत जोड़ से आ सकता है; 18 के बाद 19 से 22 तक सभी पद जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: \(S_m\) से \(S_n\) तक जाने पर \(m+1\) से \(n\) तक के पद जोड़ें। / Here, \(S_n\) denotes the sum of the first \(n\) natural numbers. To obtain \(S_{22}\) from \(S_{18}\), add the next four natural numbers, \(19,20,21\), and \(22\): \(S_{22}=171+19+20+21+22=253\). Hence, the correct answer is 253. One must include every term from 19 through 22, not skip any term. Exam tip: When moving from \(S_m\) to \(S_n\), add all terms from \(m+1\) to \(n\).
