sequences and progressions MCQ Questions for Class 9
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चौथा पद पाने के लिए n के स्थान पर 4 रखें: \(a_4=2^4+1=16+1=17\)। इसलिए सही उत्तर 17 है। 16 निकटतम भ्रामक विकल्प है, क्योंकि उसमें \(2^4\) के बाद 1 जोड़ना छूट जाता है। परीक्षा टिप: पहले घात का मान निकालें, फिर शेष संक्रियाएँ करें। / To find the fourth term, substitute \(n=4\): \(a_4=2^4+1=16+1=17\). Therefore, the correct answer is 17. The close distractor 16 results from forgetting to add 1 after evaluating \(2^4\). Exam tip: evaluate the exponent first, then perform the remaining operations.
तीसरे पद के लिए n=3 रखें। अतः \(a_3=5^3=5\times5\times5=125\)। इसलिए सही उत्तर 125 है। 25, \(5^2\) का मान है, इसलिए वह दूसरा पद होगा, तीसरा नहीं। परीक्षा टिप: nवें पद में दिए गए n के स्थान पर पद की संख्या सीधे रखें। / For the third term, substitute n=3. Thus, \(a_3=5^3=5\times5\times5=125\). Therefore, 125 is correct. The value 25 equals \(5^2\), so it is the second term, not the third. Exam tip: substitute the required term number directly for n in the nth-term formula.
दसवें पद के लिए \(n=10\) रखें: \(a_{10}=30-10=20\)। इसलिए सही उत्तर \(20\) है। \(21\) तब मिलता यदि गलती से \(n=9\) रखा जाए। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के सूत्र में पहले पद संख्या का मान सही ढंग से प्रतिस्थापित करें। / For the tenth term, substitute \(n=10\): \(a_{10}=30-10=20\). Therefore, the correct answer is \(20\). The value \(21\) would result from incorrectly using \(n=9\). Exam tip: first substitute the given term number carefully into the formula for the \(n\)th term.
दूसरा पद ज्ञात करने के लिए सूत्र में \(n=2\) रखें: \(a_2=12\times2+1=24+1=25\)। इसलिए सही उत्तर 25 है। 24 केवल \(12\times2\) का मान है; इसमें सूत्र का \(+1\) अभी जोड़ा नहीं गया है। परीक्षा टिप: किसी भी \(n\)वें पद के प्रश्न में पहले \(n\) का सही मान सूत्र में प्रतिस्थापित करें। / To find the second term, substitute \(n=2\) in the formula: \(a_2=12\times2+1=24+1=25\). Therefore, the correct answer is 25. The value 24 is only \(12\times2\); the \(+1\) in the formula has not yet been added. Exam tip: For an \(n\)th-term question, first substitute the required value of \(n\) correctly.
पहला पद प्राप्त करने के लिए सूत्र में \(n=1\) रखते हैं: \(a_1=4(1)-3=1\)। इसलिए सही विकल्प 1 है। विकल्प 3, \(n=1\) रखने पर नहीं मिलता; यह सूत्र के स्थिर पद से भ्रमित करने वाला विकल्प है। परीक्षा टिप: किसी भी अनुक्रम का पहला पद निकालने के लिए \(n\) के स्थान पर 1 रखें। / To find the first term, substitute \(n=1\) in the formula: \(a_1=4(1)-3=1\). Therefore, 1 is the correct option. Option 3 does not result from substituting \(n=1\); it may be chosen by confusing it with the constant part of the expression. Exam tip: For the first term of any sequence, put \(n=1\).
तीसरे पद के लिए \(n=3\) रखें: \(a_3=9\times 3-4=27-4=23\)। इसलिए सही उत्तर 23 है। 21 तब मिलता यदि घटाने में गलती हो जाए। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के सूत्र में पहले पद संख्या का मान लिखकर फिर क्रम से गणना करें। / For the third term, substitute \(n=3\): \(a_3=9\times 3-4=27-4=23\). Therefore, the correct answer is 23. The value 21 may result from an error in subtraction. Exam tip: first substitute the term number into the \(n\)th-term formula, then simplify step by step.
पाँचवें पद के लिए n=5 रखें: \(a_5=5^2+1=25+1=26\)। इसलिए सही उत्तर 26 है। 25 केवल 5 का वर्ग है; इसमें सूत्र के अनुसार 1 जोड़ना बाकी है। परीक्षा टिप: nवाँ पद निकालते समय पहले n के स्थान पर पद संख्या रखें, फिर गणना करें। / For the fifth term, substitute n=5: \(a_5=5^2+1=25+1=26\). Therefore, 26 is the correct answer. 25 is only the square of 5; the +1 from the formula must still be added. Exam tip: To find an nth term, first substitute the term number for n and then simplify.
सातवें पद के लिए \(n=7\) रखेंगे: \(a_7=3\times 7+4=21+4=25\)। इसलिए सही उत्तर \(25\) है। \(23\) पाने के लिए गुणा या जोड़ में गलती हो सकती है। परीक्षा टिप: पद संख्या को सूत्र में रखने के बाद पहले गुणा करें, फिर जोड़ें। / For the seventh term, substitute \(n=7\): \(a_7=3\times 7+4=21+4=25\). Therefore, the correct answer is \(25\). \(23\) may result from an error in multiplication or addition. Exam tip: after substituting the term number, multiply first and then add.
तीसरे पद के लिए n=3 रखें: \(a_3=4\times3+2=12+2=14\)। इसलिए सही उत्तर 14 है। 12 केवल \(4\times3\) का मान है; उसमें +2 जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: किसी भी nवें पद के प्रश्न में पहले n का सही मान सूत्र में प्रतिस्थापित करें। / For the third term, substitute n=3: \(a_3=4\times3+2=12+2=14\). Therefore, 14 is correct. The value 12 is only \(4\times3\); the +2 must also be added. Exam tip: In an nth-term question, first substitute the required value of n correctly into the formula.
सातवें पद के लिए n=7 रखें। अतः a_7=72=49, इसलिए सही उत्तर 49 है। 64, 82 है, इसलिए वह आठवाँ पद होगा। परीक्षा टिप: nवें पद के सूत्र में हमेशा दी गई पद-संख्या का मान रखकर गणना करें। / For the seventh term, substitute n=7. Thus, a_7=72=49, so the correct answer is 49. The value 64 equals 82, so it would be the eighth term. Exam tip: substitute the given term number into the nth-term formula before calculating.
छठे पद के लिए \(n=6\) रखें: \(a_6=10-6=4\)। इसलिए सही उत्तर 4 है। विकल्प 5 तब मिलता यदि \(n=5\) रखा जाता, जो पाँचवाँ पद है। परीक्षा टिप: किसी भी \(n\)वें पद के सूत्र में पहले पद संख्या का सही मान रखें। / For the sixth term, substitute \(n=6\): \(a_6=10-6=4\). Therefore, the correct answer is 4. Option 5 would result from using \(n=5\), which gives the fifth term. Exam tip: In an nth-term formula, first substitute the correct term number.
चौथे पद के लिए n=4 रखें। तब a_4=5×4−1=20−1=19 होता है, इसलिए सही उत्तर 19 है। 21 प्राप्त करना घटाव के बजाय जोड़ करने की गलती से हो सकता है। परीक्षा टिप: n का मान रखने के बाद पहले गुणा करें, फिर जोड़ या घटाव करें। / For the fourth term, substitute n=4. Then a_4=5×4−1=20−1=19, so 19 is correct. The value 21 may result from adding 1 instead of subtracting it. Exam tip: after substituting n, perform multiplication before addition or subtraction.
पाँचवें पद के लिए \(n=5\) रखें। तब \(a_5=2(5)+3=10+3=13\)। इसलिए सही उत्तर 13 है। 15 प्राप्त करना जोड़ या गुणा में गलती होने पर हो सकता है। परीक्षा टिप: किसी भी \(n\)वें पद के प्रश्न में पहले दी गई पद संख्या को \(n\) के स्थान पर सावधानी से रखें। / For the fifth term, substitute \(n=5\). Then \(a_5=2(5)+3=10+3=13\). Therefore, 13 is the correct answer. A value such as 15 may result from an error in multiplication or addition. Exam tip: in an \(n\)th-term question, first substitute the given term number carefully for \(n\).
यहाँ प्रथम पद \(a=10\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=9\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है। अतः \(S_9=\frac{10(2^9-1)}{2-1}=10(512-1)=5110\)। विकल्प 5120 केवल \(10\times 2^9\) है; इसमें योग के सूत्र में आवश्यक \(-1\) शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: \(r\ne1\) होने पर योग का सूत्र लगाने से पहले \(a\), \(r\) और \(n\) स्पष्ट लिखें। / Here, the first term is \(a=10\), the common ratio is \(r=2\), and the number of terms is \(n=9\). The sum of the first \(n\) terms of a GP is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Thus, \(S_9=\frac{10(2^9-1)}{2-1}=10(512-1)=5110\). Option 5120 is only \(10\times2^9\); it misses the required \(-1\) in the sum formula. Exam tip: before applying the formula, identify \(a\), \(r\), and \(n\).
यहाँ पहले चार पद 7, 21, 63 और 189 हैं। अतः \(S_4=7+21+63+189=280\)। इसे गुणोत्तर श्रेणी के सूत्र \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) से भी जाँचा जा सकता है, जहाँ \(a=7\) और \(r=3\)। विकल्प 294 अंतिम पद 189 को गलत जोड़ने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: कम पदों वाली श्रेणी में सीधे जोड़कर उत्तर को सूत्र से सत्यापित करें। / The first four terms are 7, 21, 63, and 189. Therefore, \(S_4=7+21+63+189=280\). This can also be checked using \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\), where \(a=7\) and \(r=3\). The option 294 may result from an incorrect addition involving the last term. Exam tip: for a small number of terms, add directly and verify with the GP sum formula if needed.
गुणोत्तर श्रेणी का \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः \(a_6=3r^5=96\), इसलिए \(r^5=32=2^5\)। चूँकि \(r\) धनात्मक है, \(r=2\) होगा। \(r=3\) लेने पर \(3\times3^5\), 96 के बराबर नहीं होता। परीक्षा टिप: छठे पद में घात \(6-1=5\) लगती है। / The \(n\)th term of a GP is \(a_n=ar^{n-1}\). Thus, \(a_6=3r^5=96\), so \(r^5=32=2^5\). Since \(r\) is positive, \(r=2\). If \(r=3\), then \(3\times3^5\) is not equal to 96. Exam tip: for the sixth term, the exponent of \(r\) is \(6-1=5\).
यहाँ प्रथम पद \(a=8\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=8\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है। अतः \(S_8=\frac{8(2^8-1)}{2-1}=8(256-1)=2040\)। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प 4080 में योग को अनावश्यक रूप से दोगुना कर दिया गया है। परीक्षा टिप: पहले \(a\), \(r\) और \(n\) पहचानकर ही सूत्र लगाएँ। / Here, the first term is \(a=8\), the common ratio is \(r=2\), and the number of terms is \(n=8\). The sum of the first \(n\) terms of a geometric progression is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Thus, \(S_8=\frac{8(2^8-1)}{2-1}=8(256-1)=2040\). Therefore, option C is correct. Option 4080 incorrectly doubles the sum. Exam tip: identify \(a\), \(r\), and \(n\) before applying the GP sum formula.
गुणोत्तर श्रेणी का nवाँ पद aₙ = arⁿ⁻¹ होता है। अतः पाँचवाँ पद 4r⁴ = 324 होगा। इसलिए r⁴ = 81 = 3⁴। चूँकि r धनात्मक दिया है, इसलिए r = 3। r = −3 भी r⁴ = 81 को संतुष्ट करता, पर वह धनात्मक नहीं है। परीक्षा टिप: पाँचवें पद में r की घात 4 होती है, 5 नहीं। / The nth term of a geometric progression is aₙ = arⁿ⁻¹. Hence, for the fifth term, 4r⁴ = 324. So, r⁴ = 81 = 3⁴. Since r is stated to be positive, r = 3. Although r = −3 also gives r⁴ = 81, it is not positive. Exam tip: in the fifth term, the power of r is 4, not 5.
गुणोत्तर श्रेणी का सामान्य पद सूत्र \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। इसलिए \(a_4=10r^3=270\), अतः \(r^3=27\) और धनात्मक \(r=3\) मिलता है। विकल्प 2 लेने पर चौथा पद \(10\times2^3=80\) होगा, 270 नहीं। परीक्षा टिप: \(a_n\) में \(r\) की घात हमेशा \(n-1\) होती है। / The general-term formula of a GP is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Thus, \(a_4=10r^3=270\), so \(r^3=27\) and the positive value is \(r=3\). If 2 were used, the fourth term would be \(10\times2^3=80\), not 270. Exam tip: in \(a_n\), the exponent of \(r\) is always \(n-1\).
यहाँ प्रथम पद \(a=20\), सार्व अनुपात \(r=2\) और \(n=8\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है। अतः \(S_8=\frac{20(2^8-1)}{2-1}=20(256-1)=5100\)। इसलिए सही उत्तर 5100 है। 5120 प्राप्त होना सामान्यतः \(2^8-1\) के स्थान पर \(2^8\) लेने की गलती से होता है। परीक्षा टिप: \(r\ne1\) होने पर हर \(r-1\) अवश्य लिखें। / Here, the first term is \(a=20\), the common ratio is \(r=2\), and \(n=8\). The sum of the first \(n\) terms of a GP is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Thus, \(S_8=\frac{20(2^8-1)}{2-1}=20(256-1)=5100\). Therefore, 5100 is correct. The nearby answer 5120 can result from using \(2^8\) instead of \(2^8-1\). Exam tip: when \(r\ne1\), always include the denominator \(r-1\).
यहाँ प्रथम पद \(a=7\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=9\) है। गुणोत्तर श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) होता है। अतः \(S_9=\frac{7(2^9-1)}{2-1}=7(512-1)=7\times511=3577\)। इसलिए विकल्प A सही है। 3584 जैसे निकट विकल्प में घात या घटाव की गणना में त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: \(r=2\) होने पर \(2^n\) का मान पहले निकालें। / Here, the first term is \(a=7\), the common ratio is \(r=2\), and \(n=9\). The sum of the first \(n\) terms of a GP is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Thus, \(S_9=\frac{7(2^9-1)}{2-1}=7(512-1)=7\times511=3577\). Therefore, option A is correct. A close value such as 3584 can result from an error while evaluating the power or subtraction. Exam tip: when \(r=2\), calculate \(2^n\) carefully before substituting.
यहाँ \(S_4\) पहले चार पदों का योग है: 5 + 25 + 125 + 625 = 780। अतः सही उत्तर 780 है। 775 केवल पहले तीन पदों का योग है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: जब पदों की संख्या कम हो, तो सीधे जोड़कर योग निकालना सबसे तेज़ और सुरक्षित तरीका है। / Here, \(S_4\) denotes the sum of the first four terms: 5 + 25 + 125 + 625 = 780. Therefore, the correct answer is 780. The value 775 is only the sum of the first three terms, so it is a close but incorrect option. Exam tip: When there are only a few terms, direct addition is usually the quickest and safest method.
गुणोत्तर श्रेणी में छठा पद
\(a_6=ar^{6-1}=ar^5\) होता है। अतः \(416=13r^5\), इसलिए \(r^5=32=2^5\)। चूँकि \(r\) धनात्मक है, इसलिए \(r=2\)। \(r=3\) लेने पर \(13\times3^5\) प्राप्त होगा, जो 416 नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद लिखते समय घात \(n-1\) रखें। / In a geometric progression, the sixth term is \(a_6=ar^{6-1}=ar^5\). Thus, \(416=13r^5\), so \(r^5=32=2^5\). Since \(r\) is positive, \(r=2\). If \(r=3\), then \(13\times3^5\) is not 416. Exam tip: for the \(n\)th term, use the exponent \(n-1\).
गुणोत्तर श्रेणी में सातवाँ पद
\(a_7=ar^6\) होता है। अतः \(1458=2r^6\), इसलिए \(r^6=729=3^6\)। चूँकि \(r\) धनात्मक दिया है, इसलिए \(r=3\) होगा। विकल्प 2 लेने पर \(2\times2^6=128\) आता है, जो 1458 नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के सूत्र \(a_n=ar^{n-1}\) में घात हमेशा \(n-1\) होती है। / In a GP, the seventh term is \(a_7=ar^6\). Thus, \(1458=2r^6\), so \(r^6=729=3^6\). Since \(r\) is specified as positive, \(r=3\). For example, choosing 2 gives \(2\times2^6=128\), not 1458. Exam tip: in \(a_n=ar^{n-1}\), the exponent is always \(n-1\).
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=15\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=9\) है। अतः \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) से \(S_9=\frac{15(2^9-1)}{2-1}=15(512-1)=7665\)। इसलिए सही उत्तर 7665 है। 7680 जैसी संख्या तब आ सकती है जब सूत्र में घटाव या अंतिम गणना में त्रुटि हो। परीक्षा टिप: पहले \(a\), \(r\) और \(n\) अलग से लिखकर फिर योग का सूत्र लगाएँ। / For this GP, the first term is \(a=15\), the common ratio is \(r=2\), and \(n=9\). Using \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\), we get \(S_9=\frac{15(2^9-1)}{2-1}=15(512-1)=7665\). Hence, 7665 is correct. A value such as 7680 can result from an error in subtraction or in the final calculation. Exam tip: identify \(a\), \(r\), and \(n\) before substituting in the GP sum formula.
A. सही, क्योंकि \(S_4=320\)/True, because \(S_4=320\)
Explanation
Simple Explanation
ज्यामितीय श्रेणी के पहले \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\), जब \(r\ne1\), होता है। अतः \(S_4=\frac{8(3^4-1)}{3-1}=\frac{8(81-1)}{2}=320\)। इसलिए दिया गया कथन सही है। \(312\) या \(324\) जैसे मान गलत गणना से मिल सकते हैं। परीक्षा टिप: योग का सूत्र लगाने से पहले \(r^n\) में \(n=4\) अवश्य रखें। / For a geometric progression with \(r\ne1\), the sum of the first \(n\) terms is \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\). Thus, \(S_4=\frac{8(3^4-1)}{3-1}=\frac{8(81-1)}{2}=320\). Hence, the given statement is true. Values such as \(312\) or \(324\) result from an incorrect calculation. Exam tip: substitute \(n=4\) correctly in \(r^n\) before simplifying.
गुणोत्तर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः \(a_5=9r^4=2304\), इसलिए \(r^4=256=4^4\)। चूँकि \(r\) धनात्मक दिया है, इसलिए \(r=4\) होगा। \(r=2\) लेने पर \(9\times2^4=144\) मिलता है, जो 2304 नहीं है। परीक्षा टिप: पाँचवें पद में घात \(5-1=4\) लिखें। / The nth term of a GP is \(a_n=ar^{n-1}\). Thus, \(a_5=9r^4=2304\), so \(r^4=256=4^4\). Since \(r\) is stated to be positive, \(r=4\). If \(r=2\), then \(9\times2^4=144\), not 2304. Exam tip: for the fifth term, use the exponent \(5-1=4\).
गुणोत्तर श्रेणी में सातवाँ पद \(a_7=ar^6\) होता है। अतः \(320=5r^6\), इसलिए \(r^6=64=2^6\)। \(r\) धनात्मक दिया है, इसलिए \(r=2\) होगा; \(-2\) भी छठी घात पर 64 देता है, पर वह धनात्मक नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद में घात \(n-1\) होती है। / In a GP, the seventh term is \(a_7=ar^6\). Thus, \(320=5r^6\), so \(r^6=64=2^6\). Since \(r\) is stated to be positive, \(r=2\); although \(-2\) also has sixth power 64, it is not positive. Exam tip: the exponent of \(r\) in the \(n\)th term is \(n-1\).
गुणोत्तर श्रेढ़ी का सामान्य पद \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_4=9r^3=72\), इसलिए \(r^3=8\) और धनात्मक \(r=2\) होगा। विकल्प 8, \(r^3\) का मान है, स्वयं \(r\) का नहीं। परीक्षा टिप: \(a_n\) में घात हमेशा \(n-1\) होती है। / The general term of a GP is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Thus, \(a_4=9r^3=72\), so \(r^3=8\) and the positive value of \(r\) is 2. Option 8 is the value of \(r^3\), not of \(r\). Exam tip: in \(a_n\), the exponent of \(r\) is always \(n-1\).
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=4\), सार्व अनुपात \(r=2\) और पदों की संख्या \(n=10\) है। अतः \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) से \(S_{10}=\frac{4(2^{10}-1)}{2-1}=4(1024-1)=4092\)। इसलिए विकल्प A सही है। \(4096\) केवल \(4\times 2^{10}\) है; इसमें \(-1\) वाला भाग शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: \(r\ne1\) होने पर GP के योग के सूत्र में \(r-1\) से भाग देना न भूलें। / For this GP, the first term is \(a=4\), the common ratio is \(r=2\), and \(n=10\). Using \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\), \(S_{10}=\frac{4(2^{10}-1)}{2-1}=4(1024-1)=4092\). Hence, option A is correct. \(4096\) is only \(4\times2^{10}\); it misses the \(-1\) part of the sum formula. Exam tip: when \(r\ne1\), do not forget the denominator \(r-1\) in the GP sum formula.
