Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
B. एकैकी क्योंकि (x) का गुणांक शून्य नहीं है/One-one because the coefficient of (x) is non-zero
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Let (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
(5-2a=5-2b) से (a=b) प्राप्त होता है। / From (5-2a=5-2b), we get (a=b).
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक ढाल समस्या नहीं है यदि ढाल शून्य नहीं है तो रैखिक फलन एकैकी होता है। / A negative slope is not a problem; a linear function is one-one if its slope is non-zero.
((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए। / ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,4)) मौजूद है, और ((4,4)) कोई कमी नहीं बनाता। इसलिए संबंध संक्रमण है। / ((1,4)) is present, and ((4,4)) does not create any missing pair. Therefore the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
सभी श्रृंखलाओं को खोजकर आवश्यक अंतिम जोड़ी मिलाएं। / Find each chain and match the required final pair.
संक्रमण में यदि \((a,b) \in R\) और \((b,c) \in R\), तो \((a,c) \in R\) होना चाहिए। / In a transitive relation, if \((a,b) \in R\) and \((b,c) \in R\), then \((a,c) \in R\) must be present.
Step 2
Why this answer is correct
यहां ((1,2)) और ((2,3)) हैं, साथ में ((1,3)) भी है। इसलिए शर्त पूरी होती है। / Here ((1,2)) and ((2,3)) are present, and ((1,3)) is also present. So the condition holds.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में हमेशा बीच वाले तत्व को मिलाकर तीसरी जोड़ी जांचें। / In exams, always check the missing direct pair after linking two pairs.
((1,2),(2,3)) से ((1,3)), ((2,3),(3,4)) से ((2,4)), और ((1,3),(3,4)) से ((1,4)) चाहिए। / ((1,2),(2,3)) require ((1,3)); ((2,3),(3,4)) require ((2,4)); and ((1,3),(3,4)) require ((1,4)).
Step 2
Why this answer is correct
ये सभी युग्म (R) में हैं। ((4,4)) भी कोई नई कमी नहीं बनाता। अतः (R) संक्रामी है। / All these pairs are present in (R). ((4,4)) does not create a missing pair. Hence (R) is transitive.
Step 3
Exam Tip
बड़ी सूची में जरूरी युग्मों को निशान लगाकर जाँचें। / In a long list, mark the required pairs while checking.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,2)) और ((2,3)) से ((2,3)), तथा ((2,3)) और ((3,3)) से ((2,3)) ही चाहिए, जो मौजूद है। इसलिए (R) संक्रामी है। / ((2,2)) with ((2,3)) requires ((2,3)), and ((2,3)) with ((3,3)) again requires ((2,3)), which is present. Hence (R) is transitive.
Step 3
Exam Tip
केवल जरूरी बने युग्मों को ही जाँचें। / Check only the pairs that are actually required.
((1,2)) के बाद कोई ऐसा युग्म नहीं है जो (2) से शुरू हो। ((3,4)) के बाद भी कोई युग्म (4) से शुरू नहीं है। / After ((1,2)), there is no pair starting with (2). After ((3,4)), there is no pair starting with (4).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए कोई संक्रामी बाध्यता बनती ही नहीं। अतः (R) संक्रामी है। / So no transitive requirement is created. Hence (R) is transitive.
Step 3
Exam Tip
हर छोटे सम्बन्ध को असंक्रामी मानना गलत है। / Do not assume every small relation is non-transitive.
संक्रामी शर्त तभी सक्रिय होती है जब ((a,b)) और ((b,c)) जैसे जुड़े युग्म हों। / The transitive condition becomes active only when pairs like ((a,b)) and ((b,c)) exist.
Step 2
Why this answer is correct
यदि ऐसे युग्म ही नहीं हैं, तो शर्त टूटने का अवसर नहीं मिलता। इसलिए सम्बन्ध संक्रामी माना जाएगा। / If no such connected pairs exist, there is no chance for the condition to fail. So the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
संक्रामी जाँच में पहले जुड़े युग्म खोजें। / First search for connected pairs when testing transitivity.
((2,3)) और ((3,2)) दोनों (R) में हैं। / ((2,3)) and ((3,2)) are both in (R).
Step 2
Why this answer is correct
इनके कारण ((2,2)) होना चाहिए। यह युग्म (R) में नहीं है, इसलिए सम्बन्ध संक्रामी नहीं है। / They require ((2,2)), which is not in (R). Hence the relation is not transitive.
Step 3
Exam Tip
उल्टे जुड़े युग्म आत्म युग्म की मांग करते हैं। / Opposite connected pairs often demand reflexive pairs.
यदि (a), (b) का पूर्वज है और (b), (c) का पूर्वज है, तो (a), (c) का भी पूर्वज होगा। / If (a) is an ancestor of (b), and (b) is an ancestor of (c), then (a) is also an ancestor of (c).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलता है। अतः सम्बन्ध संक्रामी है। / Therefore ((a,b)) and ((b,c)) imply ((a,c)). Hence the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
पूर्वज जैसा सम्बन्ध पीढ़ियों में आगे बढ़ता है। / An ancestor relation continues through generations.
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो है। / ((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, जो है। आत्म युग्मों के साथ भी कोई नई कमी नहीं है। इसलिए (R) संक्रामी है। / ((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)), which is present. Reflexive chains also create no missing pair. So (R) is transitive.
Step 3
Exam Tip
तीसरे तत्व का न आना अपने आप समस्या नहीं है। / The absence of pairs involving the third element is not automatically a problem.
A. \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\), पर \((a,c)\notin R\)/\((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), but \((a,c)\notin R\)
Step 1
Concept
असंक्रामी सिद्ध करने के लिए संक्रामी नियम का टूटना दिखाना होता है। / To prove non-transitivity, we must show the transitive rule fails.
Step 2
Why this answer is correct
यानी दो जुड़े युग्म (R) में हों, पर उनसे बनने वाला तीसरा युग्म (R) में न हो। यही स्थिति सही है। / That means two connected pairs are in (R), but the required third pair is not in (R). This is the correct situation.
Step 3
Exam Tip
विरोधी उदाहरण हमेशा स्पष्ट युग्मों से लिखें। / Always write a counterexample using clear ordered pairs.
यहाँ मुख्य श्रृंखला ((1,3)) और ((3,4)) है। / The main chain is ((1,3)) and ((3,4)).
Step 2
Why this answer is correct
इनके लिए ((1,4)) चाहिए, जो मौजूद है। ((2,2)) केवल अपने साथ ((2,2)) ही माँगता है। इसलिए (R) संक्रामी है। / It requires ((1,4)), which is present. ((2,2)) only requires itself with itself. Hence (R) is transitive.
Step 3
Exam Tip
प्रत्येक युग्म से आगे चलने वाला युग्म ढूँढें। / For each pair, look for another pair that starts from its second element.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,1)) और ((1,2)) से ((1,2)), तथा ((2,2)) और ((2,3)) से ((2,3)) ही चाहिए, जो हैं। इसलिए (R) संक्रामी है। / Chains with ((1,1)) and ((2,2)) require already existing pairs. Therefore (R) is transitive.
Step 3
Exam Tip
अनावश्यक आत्म युग्मों की कमी से भ्रमित न हों। / Do not be confused by missing reflexive pairs that are not required by a chain.
((1,1)) जोड़ने से ((1,1)) और ((1,2)) से ((1,2)), तथा ((1,1)) और ((1,3)) से ((1,3)) ही चाहिए। / Adding ((1,1)) makes chains such as ((1,1)) with ((1,2)) requiring ((1,2)), and ((1,1)) with ((1,3)) requiring ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
ये दोनों पहले से उपस्थित हैं, इसलिए नई कमी नहीं बनेगी। / These pairs are already present, so no new missing requirement appears.
Step 3
Exam Tip
नया युग्म जोड़ने पर उससे बनने वाली सभी श्रृंखलाएँ सोचें। / When adding a pair, check all chains it creates.
