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((2,3)) और ((3,1)) (R) में हैं। / ((2,3)) and ((3,1)) are in (R).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामी होने के लिए ((2,1)) होना चाहिए। पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए (R) संक्रामी नहीं है। / Transitivity requires ((2,1)), but it is missing. Hence (R) is not transitive.
Step 3
Exam Tip
किसी एक टूटे हुए क्रम से उत्तर सिद्ध किया जा सकता है। / One broken chain is enough to prove non-transitivity.
यदि (a>b) और (b>c), तो (a>c) होगा। / If (a>b) and (b>c), then (a>c).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलेगा। यह संक्रामी की शर्त पूरी करता है। / Therefore ((a,b)) and ((b,c)) imply ((a,c)). This satisfies transitivity.
Step 3
Exam Tip
बड़े-छोटे क्रम वाले सम्बन्ध अक्सर संक्रामी होते हैं। / Usual order relations are generally transitive.
यदि (a), (b) का पिता है और (b), (c) का पिता है, तो (a), (c) का पिता नहीं बल्कि दादा हो सकता है। / If (a) is the father of (b), and (b) is the father of (c), then (a) may be the grandfather of (c), not the father.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,c)) उसी सम्बन्ध में जरूरी नहीं आएगा। अतः यह संक्रामी नहीं है। / So ((a,c)) need not belong to the same relation. Hence it is not transitive.
Step 3
Exam Tip
रिश्तों वाले प्रश्नों में सम्बन्ध का नाम ठीक-ठीक पढ़ें। / In family relation questions, read the exact relation name carefully.
((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो है। / ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,2)) के साथ बने युग्म फिर वही युग्म देते हैं, और ((4,4)) भी कोई कमी नहीं बनाता। इसलिए (R) संक्रामी है। / Chains involving ((2,2)) give existing pairs again, and ((4,4)) does not create a missing pair. Hence (R) is transitive.
Step 3
Exam Tip
सभी संभावित जुड़े युग्मों को व्यवस्थित रूप से देखें। / Check all connected pairs systematically.
A. यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\), तो \((a,c)\in R\)/If \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), then \((a,c)\in R\)
Step 1
Concept
संक्रामी की पहचान दो जुड़े हुए युग्मों से होती है। / Transitivity is identified using two connected ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
((a,b)) और ((b,c)) मिलने पर ((a,c)) भी होना चाहिए। यही सही परिभाषा है। / If ((a,b)) and ((b,c)) are present, ((a,c)) must also be present. This is the correct definition.
Step 3
Exam Tip
सममित और आत्म सम्बन्ध की परिभाषाओं से इसे अलग रखें। / Keep it separate from symmetric and reflexive definitions.
((1,2)) और ((2,3)) (R) में हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) are in (R).
Step 2
Why this answer is correct
इनके कारण ((1,3)) चाहिए, पर यह नहीं है। बाकी आत्म युग्म समस्या नहीं बनाते। इसलिए ((1,3)) जोड़ना होगा। / They require ((1,3)), which is missing. Reflexive pairs do not create a problem here. So ((1,3)) must be added.
Step 3
Exam Tip
पहले उन युग्मों को देखें जो नई दूरी बनाते हैं। / First check pairs that create a new reach from start to end.
A. क्योंकि \(a \equiv b \pmod{5}\) और \(b \equiv c \pmod{5}\) से \(a \equiv c \pmod{5}\)/Because \(a \equiv b \pmod{5}\) and \(b \equiv c \pmod{5}\) imply \(a \equiv c \pmod{5}\)
Step 1
Concept
समान शेषफल का अर्थ है कि दो संख्याओं का अंतर (5) से विभाज्य है। / Same remainder means the difference of two numbers is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) और (b-c) दोनों (5) से विभाज्य हैं, तो (a-c) भी (5) से विभाज्य होगा। इसलिए सम्बन्ध संक्रामी है। / If (a-b) and (b-c) are divisible by (5), then (a-c) is also divisible by (5). Hence the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता वाले प्रश्नों में अंतर का विचार करें। / For congruence relations, think in terms of differences.
मुख्य श्रृंखलाएँ ((1,2),(2,3)), ((2,3),(3,4)), ((1,3),(3,4)) हैं। / The main chains are ((1,2),(2,3)), ((2,3),(3,4)), and ((1,3),(3,4)).
Step 2
Why this answer is correct
इनके लिए क्रमशः ((1,3)), ((2,4)), ((1,4)) चाहिए, और ये सभी मौजूद हैं। इसलिए (R) संक्रामी है। / They require ((1,3)), ((2,4)), and ((1,4)), all of which are present. Hence (R) is transitive.
Step 3
Exam Tip
संक्रामी होने के लिए हर आत्म या उल्टा युग्म जरूरी नहीं है। / Transitivity does not require every reflexive or reverse pair.
संक्रामी सम्बन्ध की परिभाषा सीधे इसी रूप में दी जाती है। / The definition of transitivity is exactly in this form.
Step 2
Why this answer is correct
((x,y)) और ((y,z)) से ((x,z)) अनिवार्य होता है। उल्टे युग्मों का निष्कर्ष नहीं निकलता। / From ((x,y)) and ((y,z)), ((x,z)) must belong to (R). Reverse pairs do not follow.
Step 3
Exam Tip
प्रतीकों वाले प्रश्न में (x,y,z) को (a,b,c) जैसा ही पढ़ें। / In symbolic questions, read (x,y,z) just like (a,b,c).
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो है। / From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required and present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, जो है। बाकी आत्म युग्म अपने-अपने साथ शर्त पूरी करते हैं। इसलिए (R) संक्रामी है। / From ((2,1)) and ((1,2)), ((2,2)) is required and present. Other reflexive pairs satisfy their own chains. Hence (R) is transitive.
Step 3
Exam Tip
दोतरफा युग्मों के साथ आत्म युग्म मौजूद हों तो जाँच आसान हो जाती है। / When reverse pairs exist, check whether the needed reflexive pairs are present.
((1,2)) और ((2,2)) से ((1,2)) चाहिए, जो है। / From ((1,2)) and ((2,2)), ((1,2)) is required and present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो है। ((2,2)) और ((2,3)) से ((2,3)) चाहिए, जो है। इसलिए शर्त नहीं टूटती। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required and present. From ((2,2)) and ((2,3)), ((2,3)) is required and present. So the condition does not fail.
Step 3
Exam Tip
आत्म युग्मों के साथ बने युग्मों को अलग से देखें। / Check chains involving reflexive pairs separately.
मित्रता में यदि (a), (b) का मित्र है और (b), (c) का मित्र है, तो जरूरी नहीं कि (a), (c) का भी मित्र हो। / In friendship, if (a) is a friend of (b), and (b) is a friend of (c), it is not necessary that (a) is a friend of (c).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए संक्रामी शर्त सामान्य रूप से पूरी नहीं होती। / So the transitive condition does not generally hold.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक जीवन के सम्बन्धों में जरूरी नियम को उदाहरण से जाँचें। / For real-life relations, test the rule using examples.
यदि व्यक्ति (a) की आयु (b) के बराबर है और (b) की आयु (c) के बराबर है, तो (a) की आयु (c) के बराबर होगी। / If person (a) has the same age as (b), and (b) has the same age as (c), then (a) has the same age as (c).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,c)) भी सम्बन्ध में होगा। अतः सम्बन्ध संक्रामी है। / Hence ((a,c)) also belongs to the relation, so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
समान गुण वाले सम्बन्ध अक्सर संक्रामी होते हैं। / Relations based on the same property are often transitive.
((1,2)) और ((2,3)) (R) में हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) are in (R).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामी होने के लिए ((1,3)) होना चाहिए, पर यह नहीं है। इसलिए असंक्रामी होने का साफ कारण यही है। / Transitivity requires ((1,3)), but it is absent. This is a clear reason (R) is not transitive.
Step 3
Exam Tip
सूची में सबसे छोटी श्रृंखला से जाँच शुरू करें। / Start checking from the shortest visible chain.
संघ में युग्म अलग-अलग सम्बन्धों से आ सकते हैं। / In a union, the two pairs may come from different relations.
Step 2
Why this answer is correct
उदाहरण के लिए \(R=\{(1,2)\}\) और \(S=\{(2,3)\}\) दोनों अलग-अलग संक्रामी हैं, पर \(R \cup S\) में ((1,2)) और ((2,3)) हैं, जबकि ((1,3)) नहीं है। / For example, \(R=\{(1,2)\}\) and \(S=\{(2,3)\}\) are individually transitive, but \(R \cup S\) has ((1,2)) and ((2,3)) without ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
संघ को प्रतिच्छेद जैसा सुरक्षित नियम न मानें। / Do not treat union like intersection for transitivity.
A. \(R \cap S\) हमेशा संक्रामी है/\(R \cap S\) is always transitive
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) और ((b,c)), \(R \cap S\) में हैं, तो वे (R) और (S) दोनों में होंगे। / If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R \cap S\), then they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R) और (S) दोनों संक्रामी हैं, इसलिए ((a,c)) दोनों में होगा। अतः ((a,c)), \(R \cap S\) में होगा। / Since both are transitive, ((a,c)) belongs to both, so it belongs to \(R \cap S\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद के प्रश्न में सदस्यता दोनों सम्बन्धों में जाँचें। / For intersection, check membership in both relations.
((1,3)) और ((3,1)) दोनों (R) में हैं। / Both ((1,3)) and ((3,1)) are in (R).
Step 2
Why this answer is correct
इनके कारण ((1,1)) चाहिए, लेकिन ((1,1)) नहीं है। इसलिए (R) संक्रामी नहीं है। / They require ((1,1)), but ((1,1)) is not present. Hence (R) is not transitive.
Step 3
Exam Tip
चक्र जैसे युग्मों में आत्म युग्मों की जाँच जरूर करें। / In cyclic pairs, check the required reflexive pairs carefully.
संक्रामी न होने के लिए एक विरोधी उदाहरण काफी है। / One counterexample is enough to show a relation is not transitive.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\ne2\) और \(2\ne1\), पर \(1\ne1\) गलत है। इसलिए ((1,2)) और ((2,1)) हैं, लेकिन ((1,1)) नहीं होगा। / \(1\ne2\) and \(2\ne1\), but \(1\ne1\) is false. So ((1,2)) and ((2,1)) are present, but ((1,1)) is not.
Step 3
Exam Tip
असमानता \(a\ne b\) को हमेशा संक्रामी न मानें। / Do not assume the relation \(a\ne b\) is transitive.
यह समानता सम्बन्ध जैसा है, जिसमें केवल ((a,a)) रूप के युग्म हैं। / This behaves like the equality relation, containing only pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
((a,a)) और ((a,a)) से फिर ((a,a)) ही चाहिए, जो उपस्थित है। इसलिए सम्बन्ध संक्रामी है। / From ((a,a)) and ((a,a)), the required pair is again ((a,a)), which is present. So the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
केवल आत्म युग्म वाला सम्बन्ध संक्रामी होता है। / A relation with only identity pairs is transitive.
संक्रामी नियम में पहले युग्म का दूसरा तत्व और दूसरे युग्म का पहला तत्व समान होता है। / In the transitive rule, the second element of the first pair matches the first element of the second pair.
Step 2
Why this answer is correct
((2,5)) और ((5,7)) से सीधा युग्म ((2,7)) बनता है। इसलिए यह आवश्यक है। / From ((2,5)) and ((5,7)), the required pair is ((2,7)).
Step 3
Exam Tip
क्रमित युग्मों में क्रम बदलने की गलती न करें। / Do not reverse the order of ordered pairs.
A. नहीं, क्योंकि ((1,1)) और ((2,2)) चाहिए/No, because ((1,1)) and ((2,2)) are required
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) से संक्रामी शर्त के अनुसार ((1,1)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,1)), transitivity requires ((1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
इसी प्रकार ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए। दोनों नहीं हैं, इसलिए (R) संक्रामी नहीं है। / Similarly, from ((2,1)) and ((1,2)), ((2,2)) is required. Both are missing, so (R) is not transitive.
Step 3
Exam Tip
उल्टे युग्म होने पर आत्म युग्मों की जरूरत बन सकती है। / Reverse pairs can force reflexive pairs in transitivity checks.
यदि (a-b) और (b-c), दोनों (3) से विभाज्य हैं, तो उनका योग (a-c) भी (3) से विभाज्य होगा। / If (a-b) and (b-c) are both divisible by (3), then their sum (a-c) is also divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलता है। अतः सम्बन्ध संक्रामी है। / Thus ((a,b)) and ((b,c)) imply ((a,c)), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता में योग का नियम याद रखें। / Use the addition property of divisibility.
((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) चाहिए। / From ((1,3)) and ((3,4)), ((1,4)) is required.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,4)) से भी ((1,4)) ही चाहिए। यह युग्म सूची में नहीं है, इसलिए इसे जोड़ना जरूरी है। / From ((1,2)) and ((2,4)), ((1,4)) is also required. Since it is missing, it must be added.
Step 3
Exam Tip
लम्बी श्रृंखला में बने अंतिम युग्मों को अवश्य जाँचें। / In longer chains, check the end-to-end pair.
सार्वत्रिक सम्बन्ध में (A) के हर सम्भव क्रमित युग्म होते हैं। / A universal relation contains every possible ordered pair from (A).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यदि ((a,b)) और ((b,c)) हैं, तो ((a,c)) भी निश्चित रूप से होगा। अतः यह संक्रामी है। / Therefore, if ((a,b)) and ((b,c)) are present, ((a,c)) is also certainly present. Hence it is transitive.
Step 3
Exam Tip
\(A\times A\) वाले प्रश्नों में कोई युग्म छूटता नहीं। / In \(A\times A\), no required pair is missing.
A. हाँ, शर्त टूटने का कोई उदाहरण नहीं है/Yes, there is no case that violates the condition
Step 1
Concept
संक्रामी न होने के लिए ऐसा उदाहरण चाहिए जिसमें ((a,b)) और ((b,c)) हों पर ((a,c)) न हो। / To disprove transitivity, we need ((a,b)) and ((b,c)) present but ((a,c)) absent.
Step 2
Why this answer is correct
खाली सम्बन्ध में कोई भी पहला युग्म नहीं है, इसलिए शर्त कभी टूटती नहीं। अतः यह संक्रामी माना जाता है। / In the empty relation, no starting pair exists, so the condition is never violated. Hence it is transitive.
Step 3
Exam Tip
खाली सम्बन्ध को देखकर जल्दी असंक्रामी न मानें। / Do not assume an empty relation is non-transitive.
संक्रामी के लिए हर आत्म युग्म जरूरी नहीं होता, केवल आवश्यक बने हुए युग्म चाहिए। / Transitivity does not require every reflexive pair; it only requires the pairs forced by chains.
Step 2
Why this answer is correct
((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए, जो मौजूद है। ((a,b)) और ((b,b)) से ((a,b)) फिर मिल जाता है। / ((a,b)) and ((b,c)) require ((a,c)), which is present. ((a,b)) and ((b,b)) again require ((a,b)).
Step 3
Exam Tip
संक्रामी को आत्म सम्बन्ध से अलग पहचानें। / Do not confuse transitivity with reflexivity.
