Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो \(a\le c\) अवश्य होगा। / If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
यही संक्रामी सम्बन्ध की मुख्य शर्त है। इसलिए दिया गया सम्बन्ध संक्रामी है। / This is exactly the condition for transitivity, so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
\(\le\) और (<) दोनों सामान्य क्रम में संक्रामी होते हैं। / Both \(\le\) and (<) are transitive in usual order.
यदि (a-b) सम है और (b-c) सम है, तो उनका योग ((a-b)+(b-c)=a-c) भी सम होगा। / If (a-b) is even and (b-c) is even, then their sum ((a-b)+(b-c)=a-c) is also even.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,c)) भी (R) में होगा। अतः सम्बन्ध संक्रामी है। / Hence ((a,c)) belongs to (R), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में अंतरों को जोड़कर देखें। / In such questions, add the given differences.
यदि (a) किसी (b) को विभाजित करता है और (b) किसी (c) को विभाजित करता है, तो (a) भी (c) को विभाजित करेगा। / If (a) divides (b) and (b) divides (c), then (a) divides (c).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलता है। यह संक्रामी की शर्त है। / Thus ((a,b)) and ((b,c)) imply ((a,c)), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता वाले प्रश्नों में गुणन रूप लिखना जल्दी मदद करता है। / For divisibility questions, write the numbers in multiplication form.
संक्रामी जाँच में ((a,b)) और ((b,c)) को साथ देखकर ((a,c)) खोजते हैं। / To test transitivity, look for ((a,b)) and ((b,c)), then check ((a,c)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) दोनों (R) में हैं, इसलिए ((1,3)) भी होना चाहिए। पर ((1,3)) नहीं है, इसलिए (R) संक्रामी नहीं है। / Since ((1,2)) and ((2,3)) are in (R), ((1,3)) must also be in (R). It is missing, so (R) is not transitive.
Step 3
Exam Tip
एक ही कमी भी सम्बन्ध को असंक्रामी सिद्ध कर देती है। / A single missing required pair is enough to disprove transitivity.
A. हाँ, क्योंकि सभी जरूरी युग्म उपस्थित हैं/Yes, because all required pairs are present
Step 1
Concept
संक्रामी होने के लिए यदि \((a,b) \in R\) और \((b,c) \in R\), तो \((a,c) \in R\) होना चाहिए। / A relation is transitive if \((a,b) \in R\) and \((b,c) \in R\) imply \((a,c) \in R\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो उपस्थित है। बाकी जरूरी स्थितियाँ भी टूटती नहीं हैं। / Here ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present. Other required cases also do not fail.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले बीच वाले तत्व को मिलाकर जांचें। / In exams, first check pairs with matching middle elements.
परावर्तकता में सभी ((a,a)) युग्म चाहिए। / Reflexivity requires all ((a,a)) pairs.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामीता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। ये अलग शर्तें हैं। / Transitivity requires ((a,c)) whenever ((a,b)) and ((b,c)) are present. These are different conditions.
Step 3
Exam Tip
परावर्तक देखकर संक्रामी मान लेना परीक्षा में सामान्य गलती है। / Assuming transitivity from reflexivity is a common exam mistake.
(\operatorname{lcm}(a,b)=\operatorname{lcm}(b,a)) होता है। / (\operatorname{lcm}(a,b)=\operatorname{lcm}(b,a)).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यदि किसी युग्म का लघुत्तम समापवर्त्य (6) है, तो उल्टे युग्म का भी (6) होगा। / Therefore, if a pair has least common multiple (6), its reverse also has least common multiple (6).
Step 3
Exam Tip
लघुत्तम समापवर्त्य और महत्तम समापवर्तक दोनों में क्रम बदलने से मान नहीं बदलता। / Both LCM and GCD remain unchanged when the order is swapped.
पहले दिए गए युग्मों का उलटा बनाइए। / First form the reverse of each given pair.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) पहले से जोड़ी बनाते हैं, लेकिन ((3,4)) का उलटा ((4,3)) नहीं है। / ((1,2)) and ((2,1)) already form a pair, but ((4,3)) is missing for ((3,4)).
Step 3
Exam Tip
कमी हमेशा उलटे युग्म से पहचानें। / Identify the missing part through the reverse pair.
A. यह जरूरी नहीं कि परावर्ती हो/It need not be reflexive
Step 1
Concept
(S) में सभी अपने-अपने युग्म होते हैं। / (S) contains all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(R-S) में (S) के युग्म हट जाते हैं, इसलिए अपने-अपने युग्म भी हट सकते हैं। / In (R-S), pairs of (S) are removed, so self-pairs may also be removed.
Step 3
Exam Tip
अंतर वाले प्रश्नों में अनिवार्य युग्म हट रहे हैं या नहीं, यह जरूर देखें। / In difference of relations, check whether compulsory pairs are being removed.
