\(A=\{1,2,3\}\) पर ऐसे कितने परावर्ती संबंध हैं जिनमें ((1,2)), ((2,3)), ((3,1)) में से ठीक एक युग्म शामिल हो?
On \(A=\{1,2,3\}\), how many reflexive relations contain exactly one of ((1,2)), ((2,3)), and ((3,1))?
#exactly one
#reflexive relation
#ordered pairs
#hard
A 12
B 24
C 8
D 16
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
3 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। / The 3 self-pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए 3 गैर-अपने युग्मों में से ठीक 1 चुनने के \(\binom{3}{1}=3\) तरीके हैं। / Choose exactly 1 of the given 3 non-self pairs in \(\binom{3}{1}=3\) ways.
Step 3
Exam Tip
बाकी 3 गैर-अपने युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(3\times2^3=24\) है। / The remaining 3 non-self pairs are free, so the count is \(3\times2^3=24\).
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर ऐसे कितने परावर्ती संबंध हैं जिनमें अधिकतम 6 युग्म हों?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many reflexive relations have at most 6 pairs?
#at most pairs
#reflexive relation
#counting
#class 12
A 79
B 13
C 66
D \(2^{12}-79\)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
4 अपने-अपने युग्म परावर्ती होने से निश्चित हैं। / Four self-pairs are fixed by reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
अधिकतम 6 कुल युग्मों का अर्थ है कि 12 गैर-अपने युग्मों में से 0, 1, या 2 युग्म चुने जा सकते हैं। / At most 6 total pairs means choosing 0, 1, or 2 pairs from the 12 non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल संख्या \(\binom{12}{0}+\binom{12}{1}+\binom{12}{2}=1+12+66=79\) है। / The count is \(\binom{12}{0}+\binom{12}{1}+\binom{12}{2}=1+12+66=79\).
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यदि (A) में 6 तत्व हैं, तो (A) पर ठीक 9 युग्मों वाले परावर्ती संबंधों की संख्या क्या होगी?
If (A) has 6 elements, what is the number of reflexive relations on (A) having exactly 9 pairs?
#exact pair count
#reflexive relation
#combinations
#hard
A \(\binom{30}{3}\)
B \(\binom{36}{9}\)
C \(\binom{30}{9}\)
D \(\binom{6}{3}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\binom{30}{3}\)
Step 1
Concept
6 तत्वों पर परावर्ती संबंध में 6 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। / On 6 elements, 6 self-pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल 9 युग्म चाहिए, इसलिए (36-6=30) गैर-अपने युग्मों में से 3 युग्म चुनने होंगे। / To have 9 total pairs, choose 3 pairs from the (36-6=30) non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
अतः संख्या \(\binom{30}{3}\) होगी। / Hence the number is \(\binom{30}{3}\).
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(P=\{(1,3),(3,1),(2,2)\}\) है, तो (A) पर ऐसे कितने परावर्ती संबंध (R) होंगे जिनमें \(P\subseteq R\)?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(P=\{(1,3),(3,1),(2,2)\}\), how many reflexive relations (R) on (A) satisfy \(P\subseteq R\)?
#reflexive relation
#counting
#fixed pairs
#class 12
A \(2^{12}\)
B \(2^{10}\)
C \(2^9\)
D \(2^{11}\)
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Correct Answer
B. \(2^{10}\)
Step 1
Concept
परावर्ती संबंध में ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) चार युग्म अनिवार्य हैं। / A reflexive relation must contain ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)).
Step 2
Why this answer is correct
(P) में ((2,2)) पहले से इन चार में गिना गया है, जबकि ((1,3)) और ((3,1)) दो अतिरिक्त निश्चित युग्म हैं। / In (P), ((2,2)) is already counted among these four, while ((1,3)) and ((3,1)) are two extra fixed pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल निश्चित युग्म 6 हैं, इसलिए (16-6=10) युग्म स्वतंत्र हैं और संख्या \(2^{10}\) है। / So 6 pairs are fixed, (16-6=10) pairs are free, and the count is \(2^{10}\).
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\(यदि (A={1,2,3,4}) और (R={(a,b):a=b\) और a+b सम है}) है, तो (R) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
\(If (A={1,2,3,4}) and (R={(a,b):a=b\) and a+b is even}), what is the correct conclusion about (R)?
#reflexive relation
#and condition
#parity
A प्रतिवर्ती है / It is reflexive
B प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
C केवल सम तत्वों पर है / It is only on even elements
D रिक्त संबंध है / It is empty relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. प्रतिवर्ती है / It is reflexive
Step 1
Concept
विकर्ण पर (a=b) सत्य होता है। / On the diagonal, (a=b) is true.
Step 2
Why this answer is correct
साथ ही (a+b=2a) सम होता है। दोनों शर्तें हर (a) पर सत्य हैं। / Also, (a+b=2a), which is even, so both conditions hold for every (a).
Step 3
Exam Tip
और वाली शर्त में दोनों भाग जांचना जरूरी है। / In an and condition, verify both parts.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) इस प्रकार परिभाषित है: \((a,b)\in R\) तभी जब (a=b) या (a+b=5)। क्या (R) प्रतिवर्ती है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) is defined as \((a,b)\in R\) if (a=b) or (a+b=5). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#or condition
#identity
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल ((1,4)) और ((4,1)) के कारण / Only because of ((1,4)) and ((4,1))
D केवल जब (a+b=5) / Only when (a+b=5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती जांच में ((a,a)) रखें। / For reflexivity, test ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
दी गई शर्त में (a=b) वाला भाग हर विकर्ण युग्म के लिए सत्य है। / The condition (a=b) is true for every diagonal pair.
Step 3
Exam Tip
या वाली शर्त में एक भाग सत्य हो तो पूरा कथन सत्य होता है। / In an or condition, one true part is enough to include the pair.
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यदि \(A=\{2,3,4,5,6\}\) और \((a,b)\in R\) तभी जब (a) और (b) का कोई समान अभाज्य गुणनखंड हो, तो (R) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(A=\{2,3,4,5,6\}\) and \((a,b)\in R\) if (a) and (b) have a common prime factor, which statement about (R) is correct?
#reflexive relation
#prime factor
#expert
A (R) प्रतिवर्ती है / (R) is reflexive
B (R) प्रतिवर्ती नहीं है / (R) is not reflexive
C (R) रिक्त है / (R) is empty
D (R) केवल (6) पर प्रतिवर्ती है / (R) is reflexive only at (6)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (R) प्रतिवर्ती है / (R) is reflexive
Step 1
Concept
(A) का हर तत्व (1) से बड़ा है, इसलिए हर तत्व का कम-से-कम एक अभाज्य गुणनखंड है। / Every element of (A) is greater than (1), so each has at least one prime factor.
Step 2
Why this answer is correct
कोई संख्या अपने ही अभाज्य गुणनखंड को स्वयं के साथ साझा करती है। / A number shares its own prime factor with itself.
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर ((a,a)) संबंध में है। / Therefore, every ((a,a)) belongs to the relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध (R) इस प्रकार है कि \((a,b)\in R\) तभी जब (a) और (b) का समान अभाज्य गुणनखंड हो। क्या (R) प्रतिवर्ती है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), relation (R) is defined by \((a,b)\in R\) if (a) and (b) have a common prime factor. Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#prime factor
#number theory
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (2,3,4) के कारण हाँ / Yes because of (2,3,4) only
D केवल (1) के कारण हाँ / Yes because of (1) only
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. नहीं / No
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1)) भी होना चाहिए। / Reflexivity requires ((1,1)) as well.
Step 2
Why this answer is correct
(1) का कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता, इसलिए \((1,1)\in R\) नहीं है। / The number (1) has no prime factor, so \((1,1)\notin R\).
Step 3
Exam Tip
एक भी तत्व विकर्ण शर्त तोड़ दे तो संबंध प्रतिवर्ती नहीं होता। / If even one diagonal pair is missing, the relation is not reflexive.
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यदि \(S=\{1,2,3\}\) और (A=\mathcal{P}(S)) है। (A) पर \(R=\{(X,Y):X\triangle Y=\varnothing\}\) है। (R) के लिए सही कथन चुनिए।
If \(S=\{1,2,3\}\) and (A=\mathcal{P}(S)). On (A), \(R=\{(X,Y):X\triangle Y=\varnothing\}\). Choose the correct statement about (R).
#reflexive relation
#symmetric difference
#power set
A (R) प्रतिवर्ती है / (R) is reflexive
B (R) प्रतिवर्ती नहीं है / (R) is not reflexive
C (R) में कोई युग्म नहीं है / (R) has no pair
D (R) केवल रिक्त समुच्चय पर है / (R) is only for empty set
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (R) प्रतिवर्ती है / (R) is reflexive
Step 1
Concept
विकर्ण पर \(X\triangle X=\varnothing\) होता है। / On the diagonal, \(X\triangle X=\varnothing\).
Step 2
Why this answer is correct
किसी समुच्चय का स्वयं से सममित अंतर रिक्त समुच्चय होता है। / The symmetric difference of a set with itself is the empty set.
Step 3
Exam Tip
सममित अंतर वाले संबंध में समान समुच्चय रखने से प्रतिवर्तिता स्पष्ट हो जाती है। / For symmetric-difference relations, checking equal sets quickly proves reflexivity.
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यदि \(S=\{1,2\}\) और (A=\mathcal{P}(S)) है। (A) पर \(R=\{(X,Y):X\cup Y=S\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे?
If \(S=\{1,2\}\) and (A=\mathcal{P}(S)). On (A), \(R=\{(X,Y):X\cup Y=S\}\). How many diagonal pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#power set
#union
A 1
B 2
C 3
D 4
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(A=\mathcal{P}(S)) में (4) तत्व हैं। / (A=\mathcal{P}(S)) has (4) elements.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण पर \(X\cup X=X\), जो (S) के बराबर केवल (X=S) पर है। / On the diagonal, \(X\cup X=X\), which equals (S) only when (X=S).
Step 3
Exam Tip
चार में से एक विकर्ण युग्म पहले से है, इसलिए (3) जोड़ने होंगे। / One diagonal pair is already present, so (3) must be added.
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यदि \(S=\{1,2,3\}\) और (A=\mathcal{P}(S)) है। (A) पर \(R=\{(X,Y):X\cap Y=X\}\) है। क्या (R) प्रतिवर्ती है?
If \(S=\{1,2,3\}\) and (A=\mathcal{P}(S)). On (A), \(R=\{(X,Y):X\cap Y=X\}\). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#power set
#intersection
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल रिक्त समुच्चय पर / Only for empty set
D केवल (S) पर / Only for (S)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
((X,X)) रखने पर \(X\cap X=X\) मिलता है। / For ((X,X)), the condition becomes \(X\cap X=X\).
Step 2
Why this answer is correct
किसी समुच्चय का स्वयं से प्रतिच्छेद वही समुच्चय होता है। / The intersection of a set with itself is the same set.
Step 3
Exam Tip
समुच्चय संक्रियाओं में विकर्ण पर समान समुच्चय रखकर जांचें। / In set-operation relations, substitute the same set on the diagonal.
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समुच्चय \(A=\{{1},{2},{1,2}\}\) पर (XRY) तभी जब \(X\subset Y\) है। (R) कैसा है?
On \(A=\{{1},{2},{1,2}\}\), (XRY) if \(X\subset Y\). What is (R) with respect to reflexivity?
#reflexive relation
#proper subset
#sets
A प्रतिवर्ती / Reflexive
B प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
C सार्वत्रिक / Universal
D पहचान संबंध / Identity relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
Step 1
Concept
\(X\subset Y\) में उचित उपसमुच्चय की बात है। / \(X\subset Y\) means proper subset.
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी समुच्चय स्वयं का उचित उपसमुच्चय नहीं होता, इसलिए \(X\subset X\) असत्य है। / No set is a proper subset of itself, so \(X\subset X\) is false.
Step 3
Exam Tip
\(\subseteq\) और \(\subset\) का अंतर परीक्षा में बहुत जरूरी है। / The difference between \(\subseteq\) and \(\subset\) is very important in exams.
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समुच्चय \(A=\{{1},{2},{1,2}\}\) पर संबंध (R) इस प्रकार है कि (XRY) तभी जब \(X\subseteq Y\)। क्या (R) प्रतिवर्ती है?
On \(A=\{{1},{2},{1,2}\}\), relation (R) is defined by (XRY) if \(X\subseteq Y\). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#subset relation
#sets
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल ({1,2}) पर / Only for ({1,2})
D केवल एकल समुच्चयों पर / Only for singleton sets
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
प्रतिवर्तिता के लिए हर \(X\in A\) पर \(X\subseteq X\) चाहिए। / Reflexivity requires \(X\subseteq X\) for every \(X\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है। / Every set is a subset of itself.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय संबंध हमेशा अपने आधार समुच्चय पर प्रतिवर्ती होता है। / The subset relation is reflexive on any collection of sets.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर \(R=\{(a,b):\operatorname{lcm}(a,b)=a\}\) है। (R) प्रतिवर्ती क्यों है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), \(R=\{(a,b):\operatorname{lcm}(a,b)=a\}\). Why is (R) reflexive?
#reflexive relation
#lcm
#class 12
A क्योंकि (\operatorname{lcm}(a,a)=a) / Because (\operatorname{lcm}(a,a)=a)
B क्योंकि (\operatorname{lcm}(a,b)) हमेशा (1) है / Because (\operatorname{lcm}(a,b)) is always (1)
C क्योंकि हर संख्या (6) को विभाजित करती है / Because every number divides (6)
D क्योंकि (R) में केवल अविकर्ण युग्म हैं / Because (R) has only non-diagonal pairs
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (\operatorname{lcm}(a,a)=a) / Because (\operatorname{lcm}(a,a)=a)
Step 1
Concept
प्रतिवर्तिता के लिए ((a,a)) जांचना है। / For reflexivity, check ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
किसी संख्या का स्वयं के साथ लघुत्तम समापवर्त्य वही संख्या होती है, इसलिए (\operatorname{lcm}(a,a)=a)। / The least common multiple of a number with itself is the number itself, so (\operatorname{lcm}(a,a)=a).
Step 3
Exam Tip
समान संख्याओं पर मान निकालना सबसे सरल तरीका है। / Evaluating the expression at equal numbers is the simplest method.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=1\}\) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=1\}\), how many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#gcd
#coprime relation
A 1
B 2
C 4
D 5
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
विकर्ण पर (\gcd(a,a)=a) होता है। / On the diagonal, (\gcd(a,a)=a).
Step 2
Why this answer is correct
यह (1) के बराबर केवल (a=1) पर है, इसलिए सिर्फ ((1,1)) मौजूद है। / This equals (1) only for (a=1), so only ((1,1)) is present.
Step 3
Exam Tip
बाकी चार विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / The other four diagonal pairs must be added.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=a\}\) है, तो (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=a\}\), is (R) reflexive?
#reflexive relation
#gcd
#class 12
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल अभाज्य तत्वों पर / Only on prime elements
D केवल (1) पर / Only at (1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
विकर्ण पर (\gcd(a,a)=a) होता है। / On the diagonal, (\gcd(a,a)=a).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) है। / Hence \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\).
Step 3
Exam Tip
महत्तम समापवर्तक वाले प्रश्न में समान संख्याओं का मान याद रखें। / For greatest common divisor relations, remember the value for equal numbers.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):\max(a,b)=b\}\) है। सही निष्कर्ष कौन-सा है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):\max(a,b)=b\}\). Which conclusion is correct?
#reflexive relation
#max function
#expert
A (R) प्रतिवर्ती है / (R) is reflexive
B (R) प्रतिवर्ती नहीं है / (R) is not reflexive
C (R) में केवल एक युग्म है / (R) has only one pair
D (R) में कोई विकर्ण युग्म नहीं है / (R) has no diagonal pair
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (R) प्रतिवर्ती है / (R) is reflexive
Step 1
Concept
((a,a)) पर (\max(a,a)=a) होता है। / For ((a,a)), (\max(a,a)=a).
Step 2
Why this answer is correct
यहां (b=a) है, इसलिए (\max(a,a)=b) भी सत्य है। / Since (b=a) on the diagonal, (\max(a,a)=b) is true.
Step 3
Exam Tip
प्रतिवर्तिता में केवल समान तत्वों की शर्त जरूरी है। / Reflexivity only needs the same-element cases to hold.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(R=\{(a,b):\min(a,b)=a\}\) है, तो (R) कैसा है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(R=\{(a,b):\min(a,b)=a\}\), what is (R) with respect to reflexivity?
#reflexive relation
#min function
#class 12
A प्रतिवर्ती / Reflexive
B प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
C रिक्त / Empty
D केवल (1) पर प्रतिवर्ती / Reflexive only at (1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. प्रतिवर्ती / Reflexive
Step 1
Concept
विकर्ण पर (\min(a,a)=a) होता है। / On the diagonal, (\min(a,a)=a).
Step 2
Why this answer is correct
यह हर \(a\in A\) के लिए सत्य है, इसलिए सभी ((a,a)) संबंध में हैं। / This is true for every \(a\in A\), so all ((a,a)) are in the relation.
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम और अधिकतम वाले संबंधों में समान तत्व रखकर तुरंत जांचें। / For minimum and maximum conditions, substitute equal elements first.
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समुच्चय \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b>0\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), \(R=\{(a,b):a+b>0\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#minimum addition
#inequality
A 2
B 3
C 4
D 5
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
कुल पांच विकर्ण युग्म चाहिए। / Five diagonal pairs are required.
Step 2
Why this answer is correct
((1,1)) और ((2,2)) पहले से हैं, क्योंकि उनका योग धनात्मक है। / ((1,1)) and ((2,2)) are already present because their sums are positive.
Step 3
Exam Tip
बाकी ((-2,-2),(-1,-1),(0,0)) जोड़ने होंगे, इसलिए संख्या (3) है। / The remaining three diagonal pairs must be added.
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यदि \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) और \(R=\{(a,b):a+b>0\}\) है, तो (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?
If \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) and \(R=\{(a,b):a+b>0\}\), how many diagonal pairs are in (R)?
#reflexive relation
#diagonal count
#inequality
A 1
B 2
C 3
D 5
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
विकर्ण पर (a+b=2a) होगा। / On the diagonal, (a+b=2a).
Step 2
Why this answer is correct
(2a>0) तभी होगा जब (a>0), यानी (a=1,2)। / (2a>0) only when (a>0), so (a=1,2).
Step 3
Exam Tip
इसलिए केवल ((1,1)) और ((2,2)) विकर्ण युग्म हैं। / Therefore, the diagonal pairs are ((1,1)) and ((2,2)).
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समुच्चय \(A=\{-1,0,1\}\) पर \(R=\{(a,b):ab\geq0\}\) है। (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?
On \(A=\{-1,0,1\}\), \(R=\{(a,b):ab\geq0\}\). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#product condition
#non negative
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (0) पर / Only at (0)
D केवल (-1) और (1) पर / Only at (-1) and (1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
प्रतिवर्तिता के लिए (a=b) रखने पर \(ab=a^2\) मिलता है। / For reflexivity, put (a=b), giving \(ab=a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
हर वास्तविक संख्या का वर्ग (0) या धनात्मक होता है, इसलिए \(a^2\geq0\) सत्य है। / The square of any real number is non-negative, so \(a^2\geq0\) is true.
Step 3
Exam Tip
गुणनफल वाले संबंध में विकर्ण पर वर्ग बनता है। / Product-based diagonal checks often reduce to squares.
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यदि \(A=\{0,1,2\}\) और \(R=\{(a,b):ab>0\}\) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
If \(A=\{0,1,2\}\) and \(R=\{(a,b):ab>0\}\), how many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#product condition
#zero
A 0
B 1
C 2
D 3
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
विकर्ण पर \(ab=a^2\) होगा। / On the diagonal, \(ab=a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
(a=1,2) पर \(a^2>0\) सत्य है, पर (a=0) पर (0>0) असत्य है। / For (a=1,2), \(a^2>0\) is true, but for (a=0), (0>0) is false.
Step 3
Exam Tip
केवल ((0,0)) जोड़ना होगा। / Only ((0,0)) must be added.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):ab=0\Rightarrow a=b\}\) है। क्या (R) प्रतिवर्ती है?
On \(A=\{0,1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):ab=0\Rightarrow a=b\}\). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#implication
#expert
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (0) के कारण नहीं / No only because of (0)
D केवल धनात्मक तत्वों पर / Only on positive elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
((a,a)) के लिए शर्त \(a^2=0\Rightarrow a=a\) बनती है। / For ((a,a)), the condition is \(a^2=0\Rightarrow a=a\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a=0) हो तो निष्कर्ष (0=0) सत्य है, और यदि \(a\neq0\) हो तो आरंभिक बात असत्य होने से कथन सत्य माना जाता है। / If (a=0), the conclusion (0=0) is true; if \(a\neq0\), the implication is still true because its premise is false.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में निहित कथन को सावधानी से पढ़ें। / Read implication-based conditions carefully.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(R=\{(a,b):a+b=6\}\) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and \(R=\{(a,b):a+b=6\}\), how many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#minimum addition
#class 12
A 1
B 3
C 4
D 5
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Step 1
Concept
प्रतिवर्ती संबंध के लिए पांच विकर्ण युग्म चाहिए। / A reflexive relation on five elements needs five diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
दी गई शर्त में केवल ((3,3)) विकर्ण युग्म है। / The given relation contains only the diagonal pair ((3,3)).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (5-1=4) विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / Hence (5-1=4) diagonal pairs must be added.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b=6\}\) है। (R) में कितने विकर्ण युग्म पहले से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R=\{(a,b):a+b=6\}\). How many diagonal pairs are already in (R)?
#reflexive relation
#diagonal pairs
#linear condition
A 0
B 1
C 2
D 5
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Step 1
Concept
विकर्ण युग्म के लिए (2a=6) चाहिए। / A diagonal pair must satisfy (2a=6).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (a=3) मिलता है, इसलिए केवल ((3,3)) विकर्ण युग्म है। / This gives (a=3), so only ((3,3)) is a diagonal pair in (R).
Step 3
Exam Tip
प्रतिवर्ती बनाने के लिए बाकी चार विकर्ण युग्म चाहिए होंगे। / To make it reflexive, the remaining four diagonal pairs would be needed.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(R=\{(a,b):a+b=5\}\) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(R=\{(a,b):a+b=5\}\), how many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#linear equation
#missing diagonal
A 2
B 3
C 4
D 0
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
विकर्ण युग्म के लिए (a+b=2a) होगा। / For a diagonal pair, (a+b=2a).
Step 2
Why this answer is correct
(2a=5) का कोई पूर्णांक हल (A) में नहीं है, इसलिए कोई विकर्ण युग्म नहीं है। / The equation (2a=5) has no integer solution in (A), so no diagonal pair is present.
Step 3
Exam Tip
चारों विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / All four diagonal pairs must be added.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b=2a\}\) है। (R) के बारे में सही कथन क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R=\{(a,b):a+b=2a\}\). Which statement about (R) is correct?
#reflexive relation
#identity relation
#linear condition
A (R) प्रतिवर्ती है / (R) is reflexive
B (R) प्रतिवर्ती नहीं है / (R) is not reflexive
C (R) रिक्त है / (R) is empty
D (R) में सभी युग्म हैं / (R) contains all pairs
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Correct Answer
A. (R) प्रतिवर्ती है / (R) is reflexive
Step 1
Concept
दी गई शर्त (a+b=2a) को सरल करने पर (b=a) मिलता है। / Simplifying (a+b=2a) gives (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (R) में ठीक सभी ((a,a)) युग्म हैं। / Thus (R) contains exactly the diagonal pairs ((a,a)).
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध प्रतिवर्ती होता है। / The identity relation is reflexive.
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\(यदि (A={1,2,3,4}) और (R={(a,b):a^2-b^2\) विषम है}) है, तो (R) कैसा है?
\(If (A={1,2,3,4}) and (R={(a,b):a^2-b^2\) is odd}), what is (R) with respect to reflexivity?
#reflexive relation
#parity
#squares
A प्रतिवर्ती / Reflexive
B प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
C सार्वत्रिक / Universal
D केवल पहचान संबंध / Identity relation only
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Correct Answer
B. प्रतिवर्ती नहीं / Not reflexive
Step 1
Concept
((a,a)) पर \(a^2-a^2=0\) मिलता है। / For ((a,a)), \(a^2-a^2=0\).
Step 2
Why this answer is correct
(0) विषम नहीं है, इसलिए कोई विकर्ण युग्म शर्त पूरी नहीं करता। / (0) is not odd, so no diagonal pair satisfies the condition.
Step 3
Exam Tip
अंतर शून्य होने पर विषमता की शर्त तुरंत असत्य हो जाती है। / When the diagonal difference is zero, an oddness condition fails immediately.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a^2+b^2\) सम है}) है। (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a^2+b^2\) is even}). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#parity
#squares
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल सम तत्वों पर / Only on even elements
D केवल विषम तत्वों पर / Only on odd elements
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
विकर्ण पर \(a^2+b^2=2a^2\) होगा। / On the diagonal, \(a^2+b^2=2a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(2a^2\) हमेशा सम है, इसलिए हर ((a,a)) संबंध में है। / \(2a^2\) is always even, so every ((a,a)) belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण पर अभिव्यक्ति को सरल करना तेज तरीका है। / Simplifying the expression on the diagonal is the fastest method.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और (R={(a,b):\(a^2\equiv b^2 \pmod{3}\)}) है, तो (R) का प्रतिवर्ती होना किस कारण से सही है?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and (R={(a,b):\(a^2\equiv b^2 \pmod{3}\)}), why is (R) reflexive?
#reflexive relation
#modulo
#squares
A क्योंकि \(a^2\equiv a^2 \pmod{3}\) हर (a) पर सत्य है / Because \(a^2\equiv a^2 \pmod{3}\) for every (a)
B क्योंकि सभी वर्ग (3) से विभाज्य हैं / Because all squares are divisible by (3)
C क्योंकि (A) में (3) है / Because (A) contains (3)
D क्योंकि (R) खाली है / Because (R) is empty
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Correct Answer
A. क्योंकि \(a^2\equiv a^2 \pmod{3}\) हर (a) पर सत्य है / Because \(a^2\equiv a^2 \pmod{3}\) for every (a)
Step 1
Concept
प्रतिवर्तिता में ((a,a)) को शर्त में रखें। / For reflexivity, substitute ((a,a)) into the condition.
Step 2
Why this answer is correct
तब \(a^2\equiv a^2 \pmod{3}\) मिलेगा, जो समानता के कारण हमेशा सत्य है। / This gives \(a^2\equiv a^2 \pmod{3}\), which is always true by equality.
Step 3
Exam Tip
घात और शेषफल वाले संबंध में भी पहले समान तत्व की जांच करें। / Even in power and modulo relations, test the same element first.
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