समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (R={(a,b):\(a\equiv b+1 \pmod{2}\)}) है। (R) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (R={(a,b):\(a\equiv b+1 \pmod{2}\)}). What is the correct conclusion about (R)?
#reflexive relation
#modulo
#expert
A प्रतिवर्ती है / It is reflexive
B प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
C सिर्फ (a=1) पर प्रतिवर्ती है / Reflexive only at (a=1)
D सभी युग्म रखता है / It contains all pairs
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Correct Answer
B. प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
Step 1
Concept
विकर्ण पर (b=a) रखने से \(a\equiv a+1 \pmod{2}\) मिलता है। / On the diagonal, put (b=a), giving \(a\equiv a+1 \pmod{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
कोई संख्या अपने से (1) अधिक संख्या के समान शेषफल वाली नहीं हो सकती। / A number and the next number do not have the same parity.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण पर शर्त असत्य हो तो संबंध प्रतिवर्ती नहीं होता। / If the diagonal condition fails, the relation is not reflexive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (R={(a,b):\(a\equiv b \pmod{2}\)}) है। (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (R={(a,b):\(a\equiv b \pmod{2}\)}). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#modulo
#congruence
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल सम तत्वों पर / Only on even elements
D केवल विषम तत्वों पर / Only on odd elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती जांच के लिए (b=a) रखें। / To test reflexivity, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
हर (a) के लिए \(a\equiv a \pmod{2}\) सत्य है। / For every (a), \(a\equiv a \pmod{2}\) is true.
Step 3
Exam Tip
समान शेषफल वाला संबंध हमेशा विकर्ण युग्मों को शामिल करता है। / Congruence with the same element always includes diagonal pairs.
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\(यदि (A={1,2,3,4}) और (R={(a,b):a+b\) विषम है}) है, तो (R) के लिए सही कथन क्या है?
\(If (A={1,2,3,4}) and (R={(a,b):a+b\) is odd}), which statement is correct about (R)?
#reflexive relation
#parity
#odd even
A प्रतिवर्ती है / It is reflexive
B प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
C सार्वत्रिक संबंध है / It is universal relation
D केवल ((1,1)) रखता है / It contains only ((1,1))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
Step 1
Concept
((a,a)) के लिए योग (a+a=2a) होता है। / For ((a,a)), the sum is (a+a=2a).
Step 2
Why this answer is correct
(2a) हमेशा सम होता है, विषम नहीं। इसलिए कोई भी विकर्ण युग्म नहीं आएगा। / (2a) is always even, not odd, so no diagonal pair belongs to (R).
Step 3
Exam Tip
योग की सम-विषम प्रकृति देखकर प्रतिवर्तिता तुरंत जांची जा सकती है। / Parity of the diagonal sum gives a quick reflexivity check.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर एक संबंध (R) में सभी अविकर्ण युग्म हैं, पर कोई विकर्ण युग्म नहीं है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), a relation (R) contains all non-diagonal pairs but no diagonal pair. How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#non diagonal pairs
#expert
A 0
B 5
C 10
D 20
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती होने के लिए पांचों विकर्ण युग्म जरूरी हैं। / Reflexivity needs all five diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
संबंध में कोई विकर्ण युग्म नहीं है, इसलिए सभी पांच जोड़ने होंगे। / Since the relation has no diagonal pair, all five must be added.
Step 3
Exam Tip
अविकर्ण युग्मों की अधिक संख्या प्रतिवर्तिता की कमी पूरी नहीं करती। / Having many non-diagonal pairs does not compensate for missing diagonal pairs.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और (R) प्रतिवर्ती संबंध है, तो (R) में न्यूनतम कितने युग्म होंगे?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and (R) is reflexive, what is the minimum possible number of ordered pairs in (R)?
#reflexive relation
#minimum pairs
#class 12
A 1
B 4
C 8
D 16
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती संबंध में हर तत्व का स्वयं से युग्म होना चाहिए। / A reflexive relation must include every element paired with itself.
Step 2
Why this answer is correct
चार तत्वों के लिए कम-से-कम ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) चाहिए। / For four elements, the minimum required pairs are ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)).
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम संख्या समुच्चय के तत्वों की संख्या के बराबर होती है। / The minimum count equals the number of elements in the set.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर ठीक (5) युग्मों वाला प्रतिवर्ती संबंध कितने तरीकों से बनाया जा सकता है?
In how many ways can a reflexive relation with exactly (5) ordered pairs be formed on \(A=\{1,2,3\}\)?
#reflexive relation
#exact pairs
#counting
A \(\binom{6}{2}\)
B \(\binom{9}{5}\)
C \(\binom{5}{3}\)
D \(2^6\)
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Correct Answer
A. \(\binom{6}{2}\)
Step 1
Concept
तीन विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / The (3) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल (5) युग्म चाहिए, इसलिए (2) अतिरिक्त युग्म चाहिए। / To have (5) total pairs, choose (2) additional pairs.
Step 3
Exam Tip
अविकर्ण युग्म (9-3=6) हैं, इसलिए \(\binom{6}{2}\) तरीके होंगे। / There are (6) non-diagonal pairs, so the number of ways is \(\binom{6}{2}\).
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) है, तो ठीक (9) युग्मों वाले प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या क्या होगी?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\), how many reflexive relations have exactly (9) ordered pairs?
#reflexive relation
#counting
#combinations
A \(\binom{20}{4}\)
B \(\binom{25}{9}\)
C \(\binom{20}{9}\)
D \(\binom{25}{4}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\binom{20}{4}\)
Step 1
Concept
पांच तत्वों के लिए (5) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / For five elements, (5) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल (9) युग्म चाहिए, इसलिए (9-5=4) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। / A relation with (9) pairs needs (9-5=4) additional non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
अविकर्ण युग्म (25-5=20) हैं, अतः उत्तर \(\binom{20}{4}\) है। / There are (25-5=20) non-diagonal pairs, so the answer is \(\binom{20}{4}\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर ठीक (10) युग्मों वाले प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many reflexive relations have exactly (10) ordered pairs?
#reflexive relation
#combinations
#counting
A \(\binom{12}{6}\)
B \(\binom{16}{10}\)
C \(\binom{10}{4}\)
D \(\binom{12}{4}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\binom{12}{6}\)
Step 1
Concept
\(A\times A\) में (16) युग्म हैं और (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / \(A\times A\) has (16) pairs and (4) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल (10) युग्म चाहिए, इसलिए बाकी (6) युग्म (12) अविकर्ण युग्मों में से चुनने होंगे। / To get exactly (10) pairs, choose (6) more from the (12) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
संख्या \(\binom{12}{6}\) होगी। / The count is \(\binom{12}{6}\).
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और कोई संबंध (R) ठीक (10) युग्मों वाला प्रतिवर्ती संबंध है, तो अनिवार्य विकर्ण युग्मों के अलावा कितने युग्म (R) में होंगे?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and a relation (R) is reflexive with exactly (10) ordered pairs, how many pairs in (R) are other than the compulsory diagonal pairs?
#reflexive relation
#ordered pairs
#counting
A 4
B 6
C 8
D 10
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Step 1
Concept
चार तत्वों वाले समुच्चय पर प्रतिवर्ती संबंध में (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / A reflexive relation on a four-element set must contain (4) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
कुल युग्म (10) हैं, इसलिए अतिरिक्त युग्म (10-4=6) होंगे। / Since the total number of pairs is (10), the remaining pairs are (10-4=6).
Step 3
Exam Tip
प्रतिवर्ती संबंध में पहले अनिवार्य विकर्ण युग्म घटाएं। / Always subtract compulsory diagonal pairs first.
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चार तत्वों वाले समुच्चय पर कितने संबंध प्रतिवर्ती नहीं होंगे?
On a set with four elements, how many relations are not reflexive?
#reflexive relation
#non reflexive
#counting
A \(2^{16}\)
B \(2^{12}\)
C \(2^{16}-2^{12}\)
D \(4^2-4\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. \(2^{16}-2^{12}\)
Step 1
Concept
कुल संबंध \(2^{4^2}=2^{16}\) होते हैं। / The total number of relations is \(2^{4^2}=2^{16}\).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{16-4}=2^{12}\) है। / The number of reflexive relations is \(2^{16-4}=2^{12}\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिवर्ती नहीं होने वाले संबंध \(2^{16}-2^{12}\) होंगे। / Non-reflexive relations are \(2^{16}-2^{12}\).
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तीन तत्वों वाले समुच्चय (A) पर प्रतिवर्ती संबंधों की कुल संख्या कितनी होगी?
How many reflexive relations are possible on a set (A) with three elements?
#reflexive relation
#counting
#class 12
A (8)
B (32)
C (64)
D (512)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(n=3) होने पर \(A\times A\) में (9) युग्म हैं। / For (n=3), \(A\times A\) has (9) pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(3) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए (9-3=6) युग्म स्वतंत्र हैं। / The (3) diagonal pairs are compulsory, so (6) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
कुल प्रतिवर्ती संबंध \(2^6=64\) होंगे। / The number of reflexive relations is \(2^6=64\).
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समुच्चय (A) में (n) तत्व हैं। (A) पर ऐसे संबंधों की संख्या कितनी है जो प्रतिवर्ती हों?
A set (A) has (n) elements. How many relations on (A) are reflexive?
#reflexive relation
#counting relations
#formula
#class 12
A \(2^{n^2}\)
B \(2^n\)
C \(2^{n^2-n}\)
D \(n^2-n\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. \(2^{n^2-n}\)
Step 1
Concept
\(A\times A\) में कुल \(n^2\) युग्म होते हैं। / \(A\times A\) has \(n^2\) ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिवर्ती संबंध में (n) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं, बाकी \(n^2-n\) युग्म चुने या छोड़े जा सकते हैं। / A reflexive relation must include the (n) diagonal pairs, while the remaining \(n^2-n\) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
स्वतंत्र चुनावों की संख्या \(2^{n^2-n}\) होती है। / Hence the number is \(2^{n^2-n}\).
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=A\times A-{(2,2)}\) है, तो सही कथन चुनिए।
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(R=A\times A-{(2,2)}\), choose the correct statement.
#reflexive relation
#cartesian product
#missing diagonal
A (R) प्रतिवर्ती है / (R) is reflexive
B (R) प्रतिवर्ती नहीं है / (R) is not reflexive
C (R) रिक्त संबंध है / (R) is empty relation
D (R) में कोई विकर्ण युग्म नहीं है / (R) has no diagonal pair
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (R) प्रतिवर्ती नहीं है / (R) is not reflexive
Step 1
Concept
\(A\times A\) में सभी विकर्ण युग्म होते हैं। / \(A\times A\) contains all diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
((2,2)) हटा दिया गया है, इसलिए एक जरूरी विकर्ण युग्म गायब है। / The pair ((2,2)) has been removed, so one required diagonal pair is missing.
Step 3
Exam Tip
प्रतिवर्तिता में एक भी विकर्ण युग्म गायब हो तो संबंध प्रतिवर्ती नहीं रहता। / A relation is not reflexive if even one diagonal pair is absent.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b\geq 2a\}\) है। (R) के प्रतिवर्ती होने का सही कारण क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R=\{(a,b):a+b\geq 2a\}\). What is the correct reason that (R) is reflexive?
#reflexive relation
#inequality
#expert
A क्योंकि ((a,a)) पर \(2a\geq2a\) सत्य है / Because at ((a,a)), \(2a\geq2a\) is true
B क्योंकि (a+b) हमेशा बड़ा होता है / Because (a+b) is always greater
C क्योंकि (A) में पांच तत्व हैं / Because (A) has five elements
D क्योंकि सभी युग्म (R) में हैं / Because all pairs are in (R)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि ((a,a)) पर \(2a\geq2a\) सत्य है / Because at ((a,a)), \(2a\geq2a\) is true
Step 1
Concept
प्रतिवर्तिता के लिए (b=a) रखें। / For reflexivity, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
तब शर्त \(a+a\geq2a\), यानी \(2a\geq2a\) बनती है, जो हर (a) के लिए सत्य है। / The condition becomes \(a+a\geq2a\), i.e. \(2a\geq2a\), true for every (a).
Step 3
Exam Tip
चर बदलने से पहले विकर्ण पर शर्त को सरल करें। / Simplify the condition on the diagonal first.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(R=\{(a,b):a+b\leq 6\}\) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(R=\{(a,b):a+b\leq 6\}\), how many diagonal pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#diagonal pairs
#inequality
A 0
B 1
C 2
D 4
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
विकर्ण युग्मों के लिए (a+b=2a) होगा। / For diagonal pairs, (a+b=2a).
Step 2
Why this answer is correct
(a=1,2,3) पर \(2a\leq6\) सत्य है, लेकिन (a=4) पर \(8\leq6\) असत्य है। / For (a=1,2,3), \(2a\leq6\) is true, but for (a=4), \(8\leq6\) is false.
Step 3
Exam Tip
केवल ((4,4)) जोड़ना होगा। / Only ((4,4)) must be added.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):|a-b|<0\}\) है। (R) कैसा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R=\{(a,b):|a-b|<0\}\). What is (R) with respect to reflexivity?
#reflexive relation
#absolute value
#strict inequality
A प्रतिवर्ती है / It is reflexive
B प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
C सार्वत्रिक है / It is universal
D केवल (5) पर प्रतिवर्ती है / Reflexive only at (5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती होने के लिए (|a-a|<0) हर (a) पर सत्य होना चाहिए। / Reflexivity would require (|a-a|<0) for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
(|a-a|=0), पर (0<0) असत्य है। / But (|a-a|=0), and (0<0) is false.
Step 3
Exam Tip
कड़ा असमान चिन्ह देखकर विकर्ण युग्म जरूर जांचें। / With strict inequalities, diagonal pairs often fail.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):|a-b|\leq 1\}\) है। क्या (R) प्रतिवर्ती है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):|a-b|\leq 1\}\). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#absolute value
#class 12
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (1) और (4) के लिए / Only for (1) and (4)
D केवल बीच के तत्वों के लिए / Only for middle elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
((a,a)) रखने पर (|a-a|=0) मिलता है। / Put ((a,a)) in the condition to get (|a-a|=0).
Step 2
Why this answer is correct
\(0\leq 1\) सत्य है, इसलिए हर विकर्ण युग्म संबंध में है। / Since \(0\leq 1\), every diagonal pair is in the relation.
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष मान वाले प्रश्न में पहले अंतर को शून्य मानकर जांचें। / For absolute-difference relations, test the diagonal by making the difference zero.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,3)\}\) है, तो (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कौन-सा युग्म जोड़ना आवश्यक है?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,3)\}\), which pair must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#missing pair
#ordered pairs
A ((3,3))
B ((1,3))
C ((3,1))
D ((2,1))
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Correct Answer
A. ((3,3))
Step 1
Concept
(A) के लिए जरूरी विकर्ण युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) हैं। / The required diagonal pairs are ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए (R) में पहले दो युग्म हैं, पर ((3,3)) नहीं है। / The relation already has the first two but misses ((3,3)).
Step 3
Exam Tip
प्रतिवर्ती बनाने के लिए केवल गायब विकर्ण युग्म जोड़ें। / To make a relation reflexive, add only the missing diagonal pair.
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\(समुच्चय (A={2,4,6,8}) पर (R={(a,b):a\) b को विभाजित करता है}) दिया है। (R) प्रतिवर्ती क्यों है?
\(On (A={2,4,6,8}), (R={(a,b):a\) divides b}) is given. Why is (R) reflexive?
#reflexive relation
#divisibility
#class 12
A क्योंकि हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है / Because every number divides itself
B क्योंकि हर संख्या (2) से विभाजित है / Because every number is divisible by (2)
C क्योंकि (A) में केवल सम संख्याएं हैं / Because (A) has only even numbers
D क्योंकि \(R=A\times A\) है / Because \(R=A\times A\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है / Because every number divides itself
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती होने के लिए ((a,a)) सभी \(a\in A\) के लिए चाहिए। / Reflexivity needs ((a,a)) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
हर अशून्य संख्या स्वयं को विभाजित करती है, इसलिए \(a\mid a\) सत्य है। / Every non-zero number divides itself, so \(a\mid a\) is true.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता में प्रतिवर्तिता का आधार स्वयं से विभाजन है। / In divisibility relations, self-divisibility is the key reflexive check.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(R=\{(a,b):a\leq b\}\) है, तो (R) कैसा है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(R=\{(a,b):a\leq b\}\), what type of relation is (R) with respect to reflexivity?
#reflexive relation
#inequality
#class 12
A प्रतिवर्ती / Reflexive
B अप्रतिवर्ती / Irreflexive
C केवल सममित / Only symmetric
D रिक्त / Empty
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Correct Answer
A. प्रतिवर्ती / Reflexive
Step 1
Concept
((a,a)) के लिए शर्त \(a\leq a\) बनती है। / For ((a,a)), the condition becomes \(a\leq a\).
Step 2
Why this answer is correct
हर संख्या अपने बराबर होती है, इसलिए \(a\leq a\) सत्य है। / Every number is equal to itself, so \(a\leq a\) is true.
Step 3
Exam Tip
\(\leq\) वाले संबंध में प्रतिवर्तिता सीधे मिल जाती है। / Relations defined by \(\leq\) are naturally reflexive on the given set.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a<b\}\) है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a<b\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#less than relation
#class 12
A 1
B 2
C 4
D 6
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Step 1
Concept
प्रतिवर्ती संबंध में ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) होना जरूरी है। / A reflexive relation must contain ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)).
Step 2
Why this answer is correct
(a<a) कभी सत्य नहीं होता, इसलिए कोई भी विकर्ण युग्म (R) में नहीं है। / Since (a<a) is never true, no diagonal pair is present.
Step 3
Exam Tip
कुल (4) विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / Therefore, all (4) diagonal pairs must be added.
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यदि \(A=\{0,1,2,3\}\) और \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\) है, तो (R) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(A=\{0,1,2,3\}\) and \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\), which statement about (R) is correct?
#reflexive relation
#equality relation
#class 12
#expert
A प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
B प्रतिवर्ती है / It is reflexive
C केवल रिक्त समुच्चय पर प्रतिवर्ती है / Reflexive only on empty set
D केवल (0) के लिए प्रतिवर्ती है / Reflexive only for (0)
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Correct Answer
B. प्रतिवर्ती है / It is reflexive
Step 1
Concept
हर \(a\in A\) के लिए ((a,a)) जांचें। / Check ((a,a)) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
\(a^2=a^2\) हर तत्व के लिए सत्य है, इसलिए \((a,a)\in R\) है। / Since \(a^2=a^2\) for every element, all diagonal pairs belong to (R).
Step 3
Exam Tip
समानता वाले संबंधों में विकर्ण युग्म सामान्यतः सुरक्षित रहते हैं। / Equality-based conditions usually contain all diagonal pairs.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5}) पर (R={(a,b):a-b\) 3 से विभाज्य है}) है। क्या (R) प्रतिवर्ती है?
\(On (A={1,2,3,4,5}), (R={(a,b):a-b\) is divisible by 3}). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#divisibility
#ordered pairs
#class 12
A हाँ क्योंकि (a-a=0) होता है / Yes because (a-a=0)
B नहीं क्योंकि \(3\notin A\) / No because \(3\notin A\)
C हाँ केवल जब (a) विषम हो / Yes only when (a) is odd
D नहीं क्योंकि सभी युग्म नहीं हैं / No because all pairs are not present
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ क्योंकि (a-a=0) होता है / Yes because (a-a=0)
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती होने के लिए हर \(a\in A\) के लिए ((a,a)) होना चाहिए। / Reflexivity requires ((a,a)) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
हर (a) पर (a-a=0), और (0) किसी भी अशून्य संख्या से विभाज्य माना जाता है। / For every (a), (a-a=0), and (0) is divisible by any non-zero integer.
Step 3
Exam Tip
पूरी सूची बनाने के बजाय पहले ((a,a)) की शर्त जांचें। / In exams, test the diagonal condition before listing all pairs.
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\(मान लें (A={1,2,3,4,5}) और (R={(a,b)\in A\times A:a+b\) सम है})। इस संबंध को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कम-से-कम कितने युग्म जोड़ने होंगे?
\(Let (A={1,2,3,4,5}) and (R={(a,b)\in A\times A:a+b\) is even}). What is the minimum number of ordered pairs that must be added to make this relation reflexive?
#reflexive relation
#relations functions
#class 12
#expert
A 0
B 2
C 3
D 5
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Step 1
Concept
प्रतिवर्ती संबंध के लिए हर \(a\in A\) पर \((a,a)\in R\) होना चाहिए। / A reflexive relation needs every ((a,a)) for \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
((a,a)) में (a+a=2a) हमेशा सम होता है, इसलिए सभी विकर्ण युग्म पहले से हैं। / Since (a+a=2a) is always even, every diagonal pair is already present.
Step 3
Exam Tip
ध्यान से देखें कि यहां कोई युग्म जोड़ने की जरूरत नहीं है। / The exam trick is to check diagonal pairs first, not the whole relation.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर (R) परावर्ती है। यदि (R) में ((1,2)) और ((2,3)) हैं, तो \(R\circ R\) में कौन सा युग्म अनिवार्य होगा?
On \(A=\{1,2,3\}\), (R) is reflexive. If (R) contains ((1,2)) and ((2,3)), which pair must be in \(R\circ R\)?
#composition
#required pair
#reflexive relation
#hard
A ((1,3))
B ((3,1))
C ((2,1))
D ((3,2))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ((1,3))
Step 1
Concept
संयोजन में ((1,2)) और ((2,3)) को मध्य तत्व (2) के माध्यम से जोड़ा जाता है। / In composition, ((1,2)) and ((2,3)) connect through the middle element 2.
Step 2
Why this answer is correct
इससे ((1,3)) \(R\circ R\) में आएगा। / This forces ((1,3)) to belong to \(R\circ R\).
Step 3
Exam Tip
संयोजन वाले प्रश्न में पहले लगातार जुड़ने वाले युग्मों को पहचानें। / In composition questions, first identify pairs that connect consecutively.
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यदि (A) में (n) तत्व हैं, तो ऐसे परावर्ती संबंधों की संख्या क्या है जिनमें ठीक (n+2) युग्म हों?
If (A) has (n) elements, what is the number of reflexive relations having exactly (n+2) pairs?
#general formula
#exact size
#reflexive relation
#hard
A \(\binom{n^2-n}{2}\)
B \(\binom{n^2}{2}\)
C \(2^{n^2-n}\)
D (n+2)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\binom{n^2-n}{2}\)
Step 1
Concept
परावर्ती संबंध में (n) अपने-अपने युग्म अनिवार्य होते हैं। / A reflexive relation has (n) compulsory self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
ठीक (n+2) युग्मों के लिए 2 अतिरिक्त गैर-अपने युग्म चुनने होंगे। / To have exactly (n+2) pairs, choose 2 additional non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
गैर-अपने युग्म \(n^2-n\) हैं, इसलिए संख्या \(\binom{n^2-n}{2}\) होगी। / There are \(n^2-n\) non-self pairs, so the number is \(\binom{n^2-n}{2}\).
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):ab\ge k\}\) है। (R) के परावर्ती होने के लिए (k) का अधिकतम मान क्या है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):ab\ge k\}\). What is the maximum value of (k) for (R) to be reflexive?
#product inequality
#parameter
#reflexive relation
#hard
A 1
B 3
C 6
D 9
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
अपने-अपने युग्मों के लिए गुणनफल \(a^2\) होगा। / For self-pairs, the product is \(a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(1^2,2^2,3^2\) के मान (1,4,9) हैं। / The values \(1^2,2^2,3^2\) are (1,4,9).
Step 3
Exam Tip
सभी अपने-अपने युग्म शामिल करने के लिए (k) सबसे छोटे मान 1 से अधिक नहीं हो सकता। / To include all self-pairs, (k) cannot exceed the smallest value, 1.
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\(A=\{2,4,6\}\) पर \(R=\{(a,b):|a-b|<k\}\) है। (R) के परावर्ती होने के लिए (k) पर कौन सी शर्त आवश्यक और पर्याप्त है?
On \(A=\{2,4,6\}\), \(R=\{(a,b):|a-b|<k\}\). Which condition on (k) is necessary and sufficient for (R) to be reflexive?
#absolute value
#strict condition
#parameter
#reflexive relation
A (k>0)
B \(k\ge0\)
C \(k\ge2\)
D (k<0)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
अपने-अपने युग्म के लिए (|a-a|=0) होता है। / For a self-pair, (|a-a|=0).
Step 2
Why this answer is correct
नियम (|a-b|<k) में अपने-अपने युग्म के लिए (0<k) चाहिए। / In the rule (|a-b|<k), a self-pair needs (0<k).
Step 3
Exam Tip
इसलिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त (k>0) है। / Therefore the necessary and sufficient condition is (k>0).
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\(A=\{1,3,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b<k\}\) है। (R) के परावर्ती होने के लिए (k) का न्यूनतम पूर्णांक मान क्या है?
On \(A=\{1,3,5\}\), \(R=\{(a,b):a+b<k\}\). What is the minimum integer value of (k) for (R) to be reflexive?
#strict inequality
#parameter
#reflexive relation
#mcq
A 11
B 10
C 12
D 6
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
अपने-अपने युग्मों के योग (2,6,10) हैं। / The self-pair sums are (2,6,10).
Step 2
Why this answer is correct
शर्त (a+b<k) कठोर है, इसलिए सबसे बड़े योग 10 को भी (k) से छोटा होना चाहिए। / The condition (a+b<k) is strict, so even the largest sum 10 must be less than (k).
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम पूर्णांक (k=11) होगा। / The minimum integer value is (k=11).
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b\le k\}\) है। (R) के परावर्ती होने के लिए (k) का न्यूनतम मान क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a+b\le k\}\). What is the minimum value of (k) for (R) to be reflexive?
#parameter
#sum inequality
#reflexive relation
#hard
A 8
B 6
C 7
D 4
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
परावर्ती होने के लिए सभी अपने-अपने युग्म नियम में आने चाहिए। / For reflexivity, all self-pairs must satisfy the rule.
Step 2
Why this answer is correct
अपने-अपने योग (2,4,6,8) हैं और सबसे बड़ा योग 8 है। / The self-sums are (2,4,6,8), and the largest is 8.
Step 3
Exam Tip
सभी अपने-अपने युग्म शामिल करने के लिए \(k\ge8\) चाहिए, इसलिए न्यूनतम मान 8 है। / To include all self-pairs, \(k\ge8\), so the minimum value is 8.
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