In expressions with powers, evaluate the power first. चरण 1: पहले \(2^3=8\) निकालें। चरण 2: \(8\times3\times7=168\), इसलिए संख्या 168 है। चरण 3: घातों वाले रूप में पहले घात का मान निकालना आसान रहता है।
6 and 9 are composite, so do not leave them in the final prime form. चरण 1: \(54=2\times27\) लिखें। चरण 2: \(27=3^3\), इसलिए \(54=2\times3^3\)। चरण 3: 6 और 9 संयुक्त हैं, इसलिए उन्हें अंतिम अभाज्य रूप में न छोड़ें।
\(33=3\times11\) and \(10=2\times5\), so \(330=2\times3\times5\times11\).
Step 3
Exam Tip
In the final form, all factors must be prime. चरण 1: \(330=33\times10\) लिखें। चरण 2: \(33=3\times11\) और \(10=2\times5\), इसलिए \(330=2\times3\times5\times11\)। चरण 3: अंतिम रूप में सभी गुणनखंड अभाज्य होने चाहिए।
25 and 10 are composite, so do not keep them in the final prime form. चरण 1: \(250=2\times125\) लिखें। चरण 2: \(125=5^3\), इसलिए \(250=2\times5^3\)। चरण 3: 25 और 10 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम अभाज्य रूप में न रखें।
Use this relation directly for two numbers only. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: \(4\times84=336\)। चरण 3: यह संबंध दो संख्याओं के लिए ही सीधे प्रयोग करें।
\(4=2^2\) and \(63=3^2\times7\), so \(252=2^2\times3^2\times7\).
Step 3
Exam Tip
Do not keep composite factors in the final answer. चरण 1: \(252=4\times63\) लिखें। चरण 2: \(4=2^2\) और \(63=3^2\times7\), इसलिए \(252=2^2\times3^2\times7\)। चरण 3: अंतिम उत्तर में संयुक्त गुणनखंड न रखें।
\(8=2^3\) and \(27=3^3\), so \(216=2^3\times3^3\).
Step 3
Exam Tip
\(6^3\) gives the value, but 6 is not prime. चरण 1: \(216=8\times27\) लिखें। चरण 2: \(8=2^3\) और \(27=3^3\), इसलिए \(216=2^3\times3^3\)। चरण 3: \(6^3\) सही मान देता है, पर 6 अभाज्य नहीं है।
First evaluate the powers: \(2^2=4\) and \(3^2=9\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4\times9\times5=180\), so the number is 180.
Step 3
Exam Tip
Simplify powers first, then multiply. चरण 1: पहले घातों का मान निकालें: \(2^2=4\) और \(3^2=9\)। चरण 2: \(4\times9\times5=180\), इसलिए संख्या 180 है। चरण 3: पहले घात सरल करें, फिर गुणा करें।
Do not leave composite factors like 4 or 12 in the final prime factorisation. चरण 1: 48 को \(16\times3\) लिखा जा सकता है। चरण 2: \(16=2^4\), इसलिए \(48=2^4\times3\)। चरण 3: अंतिम अभाज्य गुणनखंडन में 4 या 12 जैसे संयुक्त गुणनखंड न छोड़ें।
\(21=3\times7\) and \(10=2\times5\), so \(210=2\times3\times5\times7\).
Step 3
Exam Tip
In the final form, all factors must be prime. चरण 1: \(210=21\times10\) लिखें। चरण 2: \(21=3\times7\) और \(10=2\times5\), इसलिए \(210=2\times3\times5\times7\)। चरण 3: अंतिम रूप में सभी गुणनखंड अभाज्य होने चाहिए।
\(8=2^3\) and \(25=5^2\), so \(200=2^3\times5^2\).
Step 3
Exam Tip
20 and 10 are composite, so they are not prime factorisation. चरण 1: \(200=8\times25\) लिखें। चरण 2: \(8=2^3\) और \(25=5^2\), इसलिए \(200=2^3\times5^2\)। चरण 3: 20 और 10 संयुक्त हैं, इसलिए अभाज्य गुणनखंडन नहीं हैं।
Use this formula when the question is about two numbers. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: \(5\times60=300\)। चरण 3: इस सूत्र का प्रयोग तभी करें जब दो संख्याओं की बात हो।
\(4=2^2\) and \(27=3^3\), so \(108=2^2\times3^3\).
Step 3
Exam Tip
12 and 9 are composite, so they are not the final prime form. चरण 1: \(108=4\times27\) लिखें। चरण 2: \(4=2^2\) और \(27=3^3\), इसलिए \(108=2^2\times3^3\)। चरण 3: 12 और 9 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम अभाज्य रूप नहीं हैं।
To identify co-prime numbers, check common prime factors. चरण 1: सह-अभाज्य संख्याओं में 1 के अलावा कोई समान गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक 1 होता है। चरण 3: सह-अभाज्य पहचानते समय समान अभाज्य गुणनखंड देखें।
In factorisation with powers, evaluate the power first. चरण 1: पहले \(3^2=9\) निकालें। चरण 2: \(9\times5=45\), इसलिए संख्या 45 है। चरण 3: घात वाले गुणनखंडन में पहले घात का मान निकालें।
4, 10, and 25 are composite, so do not keep them in the final prime form. चरण 1: \(100=10\times10\) लिखें। चरण 2: हर 10 को \(2\times5\) लिखने पर \(100=2^2\times5^2\) मिलता है। चरण 3: 4, 10 और 25 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम अभाज्य रूप में न रखें।
So \(84=2^2\times3\times7\), where the power of 2 is 2.
Step 3
Exam Tip
To find the power, count repeated prime factors. चरण 1: \(84=2\times42=2\times2\times21\)। चरण 2: इसलिए \(84=2^2\times3\times7\), जिसमें 2 की घात 2 है। चरण 3: घात निकालते समय समान अभाज्य गुणनखंडों को गिनें।
In the final answer, keep only prime numbers as factors. चरण 1: 36 को छोटे अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ें। चरण 2: \(36=2\times2\times3\times3=2^2\times3^2\)। चरण 3: अंतिम उत्तर में केवल अभाज्य संख्याएं ही गुणनखंड के रूप में रखें।
Find the nearest lower multiple of 112 below 1365.
Step 2
Why this answer is correct
\(112\times12=1344\), so the remainder is (1365-1344=21).
Step 3
Exam Tip
In exams, always check that the final remainder is smaller than the divisor. चरण 1: 112 का 1365 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(112\times12=1344\), इसलिए शेषफल (1365-1344=21) है। चरण 3: परीक्षा में अंतिम शेषफल को भाजक से छोटा जरूर जांचें।
\(84\times12=1008\), so the remainder is (1025-1008=17).
Step 3
Exam Tip
The final remainder must be less than 84 for the form to be valid. चरण 1: 84 का 1025 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(84\times12=1008\), इसलिए शेषफल (1025-1008=17) है। चरण 3: अंतिम शेषफल 84 से छोटा होना चाहिए, तभी रूप वैध है।
By the division lemma, number \(=37\times18+r\), where \(0\le r<37\).
Step 2
Why this answer is correct
The greatest remainder is 36, so the number is (666+36=702).
Step 3
Exam Tip
The greatest remainder is always one less than the divisor. चरण 1: यूक्लिड प्रमेय से संख्या \(=37\times18+r\), जहाँ \(0\le r<37\)। चरण 2: अधिकतम संख्या के लिए शेषफल 36 होगा, इसलिए संख्या (666+36=702) नहीं, बल्कि \(37\times18=666\) और (666+36=702)। चरण 3: अधिकतम शेषफल हमेशा भाजक से 1 कम होता है।
\(867=255\times3+102\), and (102<255), so the quotient is 3 and the remainder is 102.
Step 3
Exam Tip
In exams, always check that the remainder is smaller than the divisor. चरण 1: बड़े अंक को छोटे अंक से विभाजित करें। चरण 2: \(867=255\times3+102\) और (102<255), इसलिए भागफल 3 और शेषफल 102 है। चरण 3: परीक्षा में हमेशा जांचें कि शेषफल भाजक से छोटा हो।
On division by (31), the remainder must be from (0) to (30).
Step 2
Why this answer is correct
In (31q+30), the remainder is (30), which is less than (31).
Step 3
Exam Tip
A remainder (31), (37), or negative is not in standard form. चरण 1: (31) से भाग देने पर शेषफल (0) से (30) तक होना चाहिए। चरण 2: (31q+30) में शेषफल (30) है, जो (31) से छोटा है। चरण 3: शेषफल (31), (37) या ऋणात्मक हो तो वह मानक रूप नहीं होगा।
If the sum crosses the divisor, subtract the divisor once. चरण 1: (a=42q+40) में शेषफल (40) है। चरण 2: (a+5=42q+45=42(q+1)+3), इसलिए शेषफल (3) है। चरण 3: यदि योग भाजक से आगे निकल जाए तो एक बार भाजक घटाएं।
In (a=42q+41), the remainder is (41), one less than (42).
Step 2
Why this answer is correct
(a+1=42q+42=42(q+1)+0), so the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
Adding (1) to a (b-1) remainder gives exact division. चरण 1: (a=42q+41) में शेषफल (41) है, जो (42) से एक कम है। चरण 2: (a+1=42q+42=42(q+1)+0), इसलिए शेषफल (0) होगा। चरण 3: (b-1) शेषफल में (1) जोड़ने पर पूर्ण विभाजन हो जाता है।
(a-3=13q-2), but the remainder should not be negative.
Step 2
Why this answer is correct
(13q-2=13(q-1)+11), so the remainder is (11).
Step 3
Exam Tip
When a negative remainder appears, add the divisor to make the correct remainder. चरण 1: (a-3=13q-2) मिलता है, पर शेषफल ऋणात्मक नहीं होना चाहिए। चरण 2: (13q-2=13(q-1)+11), इसलिए शेषफल (11) है। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल मिलने पर भाजक जोड़कर सही शेषफल बनाएं।
\(26=13 \times 2+0\), so the new remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
Do not forget to divide the new sum by the same divisor. चरण 1: पुराने शेषफल (12) में (14) जोड़ने पर (26) मिलता है। चरण 2: \(26=13 \times 2+0\), इसलिए नया शेषफल (0) है। चरण 3: नए योग को उसी भाजक से बाँटना न भूलें।
Since (280) is greater than (275), the quotient is (9).
Step 3
Exam Tip
Choose the quotient whose product does not exceed the dividend. चरण 1: \(28 \times 9=252\) और \(28 \times 10=280\) है। चरण 2: (280), (275) से बड़ा है, इसलिए भागफल (9) है। चरण 3: भागफल वही लें जिससे गुणनफल भाज्य से अधिक न हो।
Since (280) is greater, the remainder is (275-252=23).
Step 3
Exam Tip
If the next multiple is greater, choose the previous multiple. चरण 1: \(28 \times 9=252\) और \(28 \times 10=280\) है। चरण 2: (280) बड़ा है, इसलिए (275-252=23) शेषफल होगा। चरण 3: अगला गुणज बड़ा हो तो उससे पीछे वाला गुणज लें।
Just after an exactly divisible number, the remainder is (1). चरण 1: (a=bq) पूरी तरह (b) से विभाजित है। चरण 2: (a+1=bq+1), इसलिए शेषफल (1) होगा। चरण 3: पूर्ण विभाजित संख्या के ठीक बाद शेषफल (1) आता है।
