Factors divisible by \(6=2\times3\) must have power of (2) at least (1) and power of (3) at least (1), so \(5\times4\times2=40\).
Step 3
Exam Tip
Not divisible by (6) means total minus divisible factors, (60-40=20). चरण 1: कुल गुणनखंड ((5+1)(4+1)(1+1)=60) हैं। चरण 2: \(6=2\times3\) से विभाज्य गुणनखंडों में (2) की घात कम से कम (1) और (3) की घात कम से कम (1) होगी। ऐसे गुणनखंड \(5\times4\times2=40\) हैं। चरण 3: जो (6) से विभाज्य नहीं हैं, वे (60-40=20) नहीं? ध्यान दें (2) के लिए (1) से (5) तक (5) तरीके, (3) के लिए (1) से (4) तक (4) तरीके, (7) के लिए (2) तरीके; इसलिए (40), और उत्तर (60-40=20) है।
Since \(10=2\times5\), the factor must contain at least one (2) and one (5).
Step 2
Why this answer is correct
Powers of (2): (1,2,3) give (3) choices; powers of (3): (0,1,2) give (3) choices; powers of (5): (1,2) give (2) choices. Total (=18).
Step 3
Exam Tip
For divisibility, check the required minimum prime powers. चरण 1: \(10=2\times5\), इसलिए गुणनखंड में (2) और (5) दोनों कम से कम एक बार होने चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2,3) यानी (3) तरीके; (3) की घात (0,1,2) यानी (3) तरीके; (5) की घात (1,2) यानी (2) तरीके। कुल \(3\times3\times2=18\)। चरण 3: किसी संख्या से विभाज्यता में उसके अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात देखें।
\(4=2^2\) and \(189=27\times7=3^3\times7\), so \(756=2^2\times3^3\times7\).
Step 3
Exam Tip
Break a large number into convenient factors first. चरण 1: (756) को पहले \(4\times189\) के रूप में देख सकते हैं। चरण 2: \(4=2^2\) और \(189=27\times7=3^3\times7\), इसलिए \(756=2^2\times3^3\times7\)। चरण 3: बड़ी संख्या को सुविधाजनक गुणनखंडों में तोड़कर आगे अभाज्य बनाएं।
Product of two numbers equals HCF multiplied by LCM.
Step 2
Why this answer is correct
Multiply \(2^2\times3\) with \(2^5\times3^3\times5\); add exponents to get \(2^7\times3^4\times5\).
Step 3
Exam Tip
When multiplying same bases, add exponents. चरण 1: दो संख्याओं का गुणनफल उनके महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: \(2^2\times3\) और \(2^5\times3^3\times5\) को गुणा करने पर घातें जुड़ती हैं, इसलिए \(2^7\times3^4\times5\)। चरण 3: समान आधारों को गुणा करते समय घातें जोड़ें।
Division reduces exponents, and a perfect cube needs remaining exponents as multiples of (3).
Step 2
Why this answer is correct
Divide \(2^4\) by (2), \(3^5\) by \(3^2\), and \(11^2\) by \(11^2\).
Step 3
Exam Tip
In division questions, reduce each exponent to the nearest lower multiple of (3). चरण 1: भाग देने पर घातें घटती हैं और पूर्ण घन के लिए बची घातें (3) की गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^4\) से \(2^3\) बचाने के लिए (2), \(3^5\) से \(3^3\) बचाने के लिए \(3^2\), और \(11^2\) से \(11^0\) बचाने के लिए \(11^2\) से भाग दें। चरण 3: भाग वाले प्रश्न में घात को नीचे की (3) की गुणज तक घटाएं।
\(2^2\) is already fine, \(3^3\) needs one (3), and \(5^1\) needs one (5).
Step 3
Exam Tip
Make only the odd exponents even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी घातें सम होनी चाहिए। चरण 2: \(2^2\) ठीक है, \(3^3\) को \(3^4\) बनाने के लिए (3) और \(5^1\) को \(5^2\) बनाने के लिए (5) चाहिए। चरण 3: केवल विषम घातों को एक-एक बढ़ाकर सम बनाएं।
\(9\div3=3\), \(6\div3=2\), and \(3\div3=1\), so the cube root is \(2^3\times3^2\times7\).
Step 3
Exam Tip
In a perfect cube, all exponents are multiples of (3). चरण 1: घनमूल लेते समय हर अभाज्य घात को (3) से भाग देते हैं। चरण 2: \(9\div3=3\), \(6\div3=2\), और \(3\div3=1\), इसलिए घनमूल \(2^3\times3^2\times7\) है। चरण 3: पूर्ण घन में सभी घातें (3) की गुणज होती हैं।
\(2^6\) becomes \(2^3\), \(3^4\) becomes \(3^2\), and \(5^2\) becomes (5).
Step 3
Exam Tip
This direct method works when all exponents are even. चरण 1: वर्गमूल लेते समय हर अभाज्य गुणनखंड की घात आधी हो जाती है। चरण 2: \(2^6\) से \(2^3\), \(3^4\) से \(3^2\), और \(5^2\) से (5) मिलेगा। चरण 3: यह विधि तभी सीधे लागू होती है जब सभी घातें सम हों।
A. हर (1) से बड़ी पूर्ण संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में एक ही मूल रूप में लिखा जा सकता है/Every integer greater than (1) can be written as a product of primes in one basic way
Step 1
Concept
The fundamental theorem of arithmetic says every integer greater than (1) has a unique prime factorisation except for order.
Step 2
Why this answer is correct
Option A states this correctly.
Step 3
Exam Tip
Unique means the same prime factors appear, only their order may change. चरण 1: अंकगणित का मूल सिद्धांत कहता है कि (1) से बड़ी हर संख्या का अभाज्य गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है। चरण 2: विकल्प A यही बात सही ढंग से कहता है। चरण 3: अद्वितीयता का अर्थ है कि गुणनखंड वही रहेंगे, केवल क्रम बदल सकता है।
Coprime numbers do not have any common factor greater than (1).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, their HCF is always (1), even if their product is large.
Step 3
Exam Tip
When you see coprime, think about common factors first. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में कोई भी (1) से बड़ा समान गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक हमेशा (1) होता है, चाहे उनका गुणनफल कितना भी बड़ा हो। चरण 3: सहअभाज्य शब्द दिखे तो पहले समान गुणनखंड की बात सोचें।
Power of (2) is only (0); power of (3) has (3) choices and power of (5) has (2) choices. Total \(=3\times2=6\).
Step 3
Exam Tip
When counting odd factors, ignore the power choices of (2) except zero. चरण 1: विषम गुणनखंड में (2) का कोई गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 2: इसलिए (2) की घात केवल (0) होगी; (3) की घात (0,1,2) यानी (3) तरीके और (5) की घात (0,1) यानी (2) तरीके। कुल \(3\times2=6\)। चरण 3: विषम गुणनखंड गिनते समय (2) को हटा दें।
A factor divisible by (2) must contain \(2^1\) at least.
Step 2
Why this answer is correct
Powers of (2) can be (1,2,3), giving (3) choices; powers of (3) give (3) choices; (5) and (7) give (2) choices each. Total \(=3\times3\times2\times2=36\).
Step 3
Exam Tip
For conditional factors, adjust only the restricted prime exponent. चरण 1: (2) से विभाज्य गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2,3) यानी (3) तरीके; (3) के लिए (3) तरीके; (5) और (7) के लिए (2-2) तरीके। कुल \(3\times3\times2\times2=36\)। चरण 3: शर्त वाले गुणनखंडों में उस अभाज्य की घात की सीमा ध्यान से बदलें।
For an unknown exponent, apply the factor-count rule directly. चरण 1: कुल गुणनखंड ((a+1)(2+1)(1+1)) होंगे। चरण 2: ((a+1)\times3\times2=24), इसलिए (a+1=4) और (a=3)। चरण 3: अज्ञात घात वाले प्रश्न में गुणनखंडों का नियम सीधे लगाएं।
Multiply the prime factors according to their powers.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^2=4\) and \(7^2=49\), so \(4\times3\times49=588\).
Step 3
Exam Tip
First evaluate powers, then multiply carefully. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडों को उनकी घात के अनुसार गुणा करें। चरण 2: \(2^2=4\), \(7^2=49\), इसलिए \(4\times3\times49=588\)। चरण 3: पहले घातों का मान निकालें, फिर धीरे-धीरे गुणा करें।
LCM uses higher exponents and HCF uses lower exponents.
Step 2
Why this answer is correct
In the ratio, subtract exponents: \(2^{4-2}\times3^{3-1}\times5^{2-1}=2^2\times3^2\times5\).
Step 3
Exam Tip
Use exponent difference instead of calculating both full numbers. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात और महत्तम समापवर्तक में छोटी घात होती है। चरण 2: अनुपात में घातें घटती हैं: \(2^{4-2}\times3^{3-1}\times5^{2-1}=2^2\times3^2\times5\)। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पूरी संख्या निकालने की जगह घातों का अंतर लें।
LCM includes every prime factor with its highest exponent.
Step 2
Why this answer is correct
Highest powers are \(2^3\), \(3^2\), and \(5^2\).
Step 3
Exam Tip
For LCM, do not miss a prime factor that appears in either number. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंड अपनी सबसे बड़ी घात के साथ लिए जाते हैं। चरण 2: (2) की बड़ी घात (3), (3) की घात (2), और (5) की बड़ी घात (2) है। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में कोई अभाज्य गुणनखंड छूटना नहीं चाहिए।
The smaller power of (2) is (2), and the smaller power of (3) is (2). So HCF \(=2^2\times3^2\).
Step 3
Exam Tip
For HCF, choose the smaller exponent of common primes. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। चरण 2: (2) की छोटी घात (2) और (3) की छोटी घात (2) है, इसलिए उत्तर \(2^2\times3^2\) है। चरण 3: महत्तम समापवर्तक के लिए छोटी घात चुनें।
In a perfect cube, every prime exponent must be a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(2^5\) needs one more (2), \(3^2\) needs one more (3), and \(7^1\) needs \(7^2\).
Step 3
Exam Tip
Complete each exponent to the next multiple of (3). चरण 1: पूर्ण घन में हर अभाज्य गुणनखंड की घात (3) की गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^5\) को \(2^6\) बनाने के लिए (2), \(3^2\) को \(3^3\) बनाने के लिए (3), और \(7^1\) को \(7^3\) बनाने के लिए \(7^2\) चाहिए। चरण 3: घातों को अगली (3) की गुणज तक पूरा करें।
In a perfect square, every prime factor must have an even exponent.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^4\) and \(5^2\) are already even powers, but \(3^3\) is odd. Dividing by (3) leaves \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
Fix only the prime factor with an odd exponent. चरण 1: पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य गुणनखंड की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: \(2^4\) और \(5^2\) की घात सम है, पर \(3^3\) विषम है। (3) से भाग देने पर \(3^2\) रह जाएगा। चरण 3: केवल विषम घात वाले गुणनखंड को ठीक करें, पूरी संख्या को नहीं।
For prime factorisation \(p^a q^b r^c\), total factors are ((a+1)(b+1)(c+1)).
Step 2
Why this answer is correct
Here the powers are (3,2,1), so factors (=(4)(3)(2)=24).
Step 3
Exam Tip
In exams, always add (1) to each exponent before multiplying. चरण 1: किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंड \(p^a q^b r^c\) हों, तो कुल गुणनखंड ((a+1)(b+1)(c+1)) होते हैं। चरण 2: यहां घातें (3,2,1) हैं, इसलिए संख्या ((3+1)(2+1)(1+1)=24) होगी। चरण 3: परीक्षा में घातों में (1) जोड़ना न भूलें।
Apply the HCF-LCM relation carefully. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: \(24\times360=8640\)। चरण 3: महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के संबंध को ध्यान से लगाएं।
\(72=2^3\times3^2\) and \(10=2\times5\), so \(720=2^4\times3^2\times5\).
Step 3
Exam Tip
Do not keep composite factors in the final answer. चरण 1: \(720=72\times10\) लिखें। चरण 2: \(72=2^3\times3^2\) और \(10=2\times5\), इसलिए \(720=2^4\times3^2\times5\)। चरण 3: अंतिम उत्तर में संयुक्त गुणनखंड न रखें।
When the question has two numbers, this formula gives the answer quickly. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: \(15\times210=3150\)। चरण 3: सवाल में दो संख्याएं हों तो यह सूत्र जल्दी उत्तर देता है।
\(54=2\times3^3\) and \(10=2\times5\), so \(540=2^2\times3^3\times5\).
Step 3
Exam Tip
Do not leave composite factors like 54 and 10 in the final form. चरण 1: \(540=54\times10\) लिखें। चरण 2: \(54=2\times3^3\) और \(10=2\times5\), इसलिए \(540=2^2\times3^3\times5\)। चरण 3: अंतिम रूप में 54 और 10 जैसे संयुक्त गुणनखंड न रखें।
\(42=2\times3\times7\), so \(462=2\times3\times7\times11\).
Step 3
Exam Tip
In the final form, all factors must be prime. चरण 1: \(462=42\times11\) लिखें। चरण 2: \(42=2\times3\times7\), इसलिए \(462=2\times3\times7\times11\)। चरण 3: अंतिम रूप में सभी गुणनखंड अभाज्य होने चाहिए।
15 and 25 are composite, so do not keep them in the final prime form. चरण 1: \(375=3\times125\) लिखें। चरण 2: \(125=5^3\), इसलिए \(375=3\times5^3\)। चरण 3: 15 और 25 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम अभाज्य रूप में न रखें।
Apply this relation directly for two numbers. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: \(6\times72=432\)। चरण 3: यह संबंध दो संख्याओं पर सीधे लागू करें।
\(36=2^2\times3^2\) and \(10=2\times5\), so \(360=2^3\times3^2\times5\).
Step 3
Exam Tip
Combine repeated prime factors using powers. चरण 1: \(360=36\times10\) लिखें। चरण 2: \(36=2^2\times3^2\) और \(10=2\times5\), इसलिए \(360=2^3\times3^2\times5\)। चरण 3: समान अभाज्य गुणनखंडों को घात में जोड़ें।
To identify co-prime numbers, check common prime factors. चरण 1: सह-अभाज्य संख्याओं में 1 के अलावा कोई समान गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक 1 होता है। चरण 3: सह-अभाज्य पहचानते समय समान अभाज्य गुणनखंड देखें।
\(32=2^5\) and \(9=3^2\), so \(288=2^5\times3^2\).
Step 3
Exam Tip
32 and 9 are composite, so write prime powers in the final form. चरण 1: \(288=32\times9\) लिखें। चरण 2: \(32=2^5\) और \(9=3^2\), इसलिए \(288=2^5\times3^2\)। चरण 3: 32 और 9 संयुक्त हैं, इसलिए अंतिम रूप में अभाज्य घातें लिखें।
