\(25 \times 7\) gives the value, but it is not final prime factorisation. चरण 1: (175) को \(25 \times 7\) लिखें। चरण 2: \(25=5^2\), इसलिए \(175=5^2 \times 7\)। चरण 3: \(25 \times 7\) मान देता है, पर अंतिम अभाज्य गुणनखंडन नहीं है।
Calculate the number yourself before checking the options. चरण 1: \(2^4=16\) होता है। चरण 2: \(16 \times 3 \times 5=16 \times 15=240\)। चरण 3: विकल्पों में जाने से पहले स्वयं संख्या निकालें।
A trailing zero is made by one pair of (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) is (5) and of (5) is (3), so (3) pairs are possible.
Step 3
Exam Tip
For trailing zeros, choose the smaller exponent. चरण 1: अंतिम शून्य (2) और (5) के एक जोड़े से बनता है। चरण 2: (2) की घात (5) और (5) की घात (3) है, इसलिए जोड़े (3) बनेंगे। चरण 3: अंतिम शून्यों के लिए छोटी घात चुनें।
\(32=2^5\) and \(9=3^2\), so \(288=2^5 \times 3^2\).
Step 3
Exam Tip
Clearly identify the required exponent in the final answer. चरण 1: (288) को \(32 \times 9\) लिखें। चरण 2: \(32=2^5\) और \(9=3^2\), इसलिए \(288=2^5 \times 3^2\)। चरण 3: मांगी गई घात को अंतिम उत्तर में साफ पहचानें।
Forming small products first reduces mistakes. चरण 1: \(2^2\) का मान (4) है। चरण 2: \(4 \times 3 \times 11=12 \times 11=132\)। चरण 3: छोटे गुणनफल बनाकर आगे गुणा करने से गलती कम होती है।
\(16=2^4\) and \(27=3^3\), so \(432=2^4 \times 3^3\).
Step 3
Exam Tip
Recognising squares and cubes makes factorisation faster. चरण 1: (432) को \(16 \times 27\) लिखें। चरण 2: \(16=2^4\) और \(27=3^3\), इसलिए \(432=2^4 \times 3^3\)। चरण 3: वर्ग और घन संख्याएं पहचानना अभाज्य गुणनखंडन को तेज बनाता है।
\(32=2^5\) and \(10=2 \times 5\), so \(320=2^6 \times 5\).
Step 3
Exam Tip
Do not keep (10) in the final form because it is not prime. चरण 1: (320) को \(32 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(32=2^5\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(320=2^6 \times 5\)। चरण 3: (10) को अंतिम रूप में न रखें क्योंकि वह अभाज्य नहीं है।
The exponents are (3,1,2), so the total is (3+1+2=6).
Step 3
Exam Tip
If no exponent is written, treat it as (1). चरण 1: कुल आवृत्ति घातों के योग से मिलती है। चरण 2: यहां घातें (3,1,2) हैं, इसलिए कुल (3+1+2=6) है। चरण 3: जहां घात नहीं लिखी होती, वहां घात (1) मानी जाती है।
While counting factors, focus on the prime exponents. चरण 1: कुल गुणनखंडों के लिए हर घात में (1) जोड़ते हैं। चरण 2: \((4+1)(2+1)=5 \times 3=15\)। चरण 3: गुणनखंडों की संख्या निकालते समय अभाज्य घातों पर ध्यान दें।
\(4=2^2\) and \(63=3^2 \times 7\), so (a=2) and (b=2). Hence (a+b=4).
Step 3
Exam Tip
Match prime bases to identify unknown exponents. चरण 1: (252) को \(4 \times 63\) लिखें। चरण 2: \(4=2^2\) और \(63=3^2 \times 7\), इसलिए (a=2) और (b=2)। अतः (a+b=4)। चरण 3: अज्ञात घातों को पहचानने के लिए अभाज्य आधारों को मिलाएं।
Do not leave composite bases like (4) or (14) in the final answer. चरण 1: (196) को \(14 \times 14\) लिखें। चरण 2: \(14=2 \times 7\), इसलिए \(196=2^2 \times 7^2\)। चरण 3: अंतिम उत्तर में (4) या (14) जैसे संयुक्त आधार न छोड़ें।
\(2^2=4\) and \(3^3=27\), so \(4 \times 27 \times 5=540\).
Step 3
Exam Tip
Solving powers before multiplication is a safe method. चरण 1: पहले घातों का मान निकालें। चरण 2: \(2^2=4\) और \(3^3=27\), इसलिए \(4 \times 27 \times 5=540\)। चरण 3: गणना में पहले घात और फिर गुणा करना सुरक्षित तरीका है।
\(8=2^3\) and \(21=3 \times 7\), so \(168=2^3 \times 3 \times 7\).
Step 3
Exam Tip
To find the required exponent, you do not need to calculate any extra value. चरण 1: (168) को \(8 \times 21\) के रूप में लिखें। चरण 2: \(8=2^3\) और \(21=3 \times 7\), इसलिए \(168=2^3 \times 3 \times 7\)। चरण 3: मांगी गई घात के लिए पूरी संख्या का मान निकालना जरूरी नहीं होता।
\(21=3 \times 7\) and \(10=2 \times 5\), so \(210=2 \times 3 \times 5 \times 7\).
Step 3
Exam Tip
After factorisation, check that every base is prime. चरण 1: (210) को \(21 \times 10\) लिखें। चरण 2: \(21=3 \times 7\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(210=2 \times 3 \times 5 \times 7\)। चरण 3: गुणनखंडन के बाद सभी आधार अभाज्य हैं या नहीं यह जरूर जांचें।
A. (1) का कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता/(1) has no prime factor
Step 1
Concept
A prime number has exactly two positive factors.
Step 2
Why this answer is correct
(1) has only one positive factor, so it is not prime and has no prime factor.
Step 3
Exam Tip
Do not make the mistake of treating (1) as prime. चरण 1: अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक गुणनखंड होते हैं। चरण 2: (1) का केवल एक धनात्मक गुणनखंड है, इसलिए (1) अभाज्य नहीं है और उसका कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता। चरण 3: (1) को अभाज्य मानने की गलती न करें।
B. अंकगणित का मूल प्रमेय/Fundamental theorem of arithmetic
Step 1
Concept
Every integer greater than (1) has a unique prime factorisation apart from the order.
Step 2
Why this answer is correct
This comes from the fundamental theorem of arithmetic.
Step 3
Exam Tip
Remember uniqueness of prime factorisation with this theorem. चरण 1: (1) से बड़ी हर पूर्ण संख्या का अभाज्य गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है। चरण 2: यह बात अंकगणित के मूल प्रमेय से आती है। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता को इसी प्रमेय से जोड़कर याद रखें।
In a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
For (2), choices are (0,2), so (2) choices; for (3), choices are (0,2), so (2) choices; for (5), only (0), so (1) choice. Total \(2 \times 2 \times 1=4\).
Step 3
Exam Tip
Count even exponent choices separately. चरण 1: पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: (2) के लिए घात (0,2) के (2) विकल्प, (3) के लिए (0,2) के (2) विकल्प और (5) के लिए केवल (0) का (1) विकल्प है। कुल \(2 \times 2 \times 1=4\)। चरण 3: सम घातों के विकल्प अलग-अलग गिनें।
A factor divisible by (10) must contain both (2) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) can be (1) to (4), giving (4) choices, and the exponent of (5) can be (1) to (2), giving (2) choices. Total \(4 \times 2=8\).
Step 3
Exam Tip
Divisibility by (10) needs both prime factors. चरण 1: (10) से विभाज्य गुणनखंड में (2) और (5) दोनों होने चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1) से (4) तक (4) विकल्प देती है और (5) की घात (1) से (2) तक (2) विकल्प देती है। कुल \(4 \times 2=8\)। चरण 3: (10) के लिए दोनों अभाज्य गुणनखंड जरूरी हैं।
A factor divisible by (3) must have exponent of (3) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
The exponent of (2) has (3) choices (0,1,2), and exponent of (3) has (3) choices (1,2,3). Total \(3 \times 3=9\).
Step 3
Exam Tip
For conditional factors, adjust exponent choices carefully. चरण 1: (3) से विभाज्य गुणनखंड में (3) की घात कम से कम (1) होगी। चरण 2: (2) की घात के (0,1,2) यानी (3) विकल्प हैं और (3) की घात (1,2,3) यानी (3) विकल्प हैं। कुल \(3 \times 3=9\)। चरण 3: शर्त वाले गुणनखंडों में घातों की सीमा ध्यान से बदलें।
Here (2,3,5) are prime factors, and the greatest is (5).
Step 3
Exam Tip
When the greatest prime factor is asked, do not choose a composite number. चरण 1: अभाज्य गुणनखंड आधार संख्याएं हैं। चरण 2: यहां (2,3,5) अभाज्य गुणनखंड हैं, इनमें सबसे बड़ा (5) है। चरण 3: सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड पूछे जाने पर संयुक्त संख्या को विकल्प न चुनें।
In a perfect cube, all prime exponents are multiples of (3).
Step 2
Why this answer is correct
Both exponents are (3), so (n) is a perfect cube.
Step 3
Exam Tip
For a perfect cube, check exponents using (3). चरण 1: पूर्ण घन में सभी अभाज्य घातें (3) की गुणज होती हैं। चरण 2: यहां दोनों घातें (3) हैं, इसलिए (n) पूर्ण घन है। चरण 3: पूर्ण घन के लिए घातों को (3) से जांचें।
In a perfect square, all prime exponents are even.
Step 2
Why this answer is correct
Here every exponent is (2), so (n) is a perfect square.
Step 3
Exam Tip
To identify a perfect square, check whether exponents are even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी अभाज्य घातें सम होती हैं। चरण 2: यहां हर घात (2) है, इसलिए (n) पूर्ण वर्ग है। चरण 3: पूर्ण वर्ग पहचानने के लिए घातों की समता देखें।
The exponent of (2) is (4) and of (5) is (1), so only (1) pair of (10) can be formed.
Step 3
Exam Tip
The maximum number of divisions by (10) is decided by the smaller exponent. चरण 1: \(10=2 \times 5\) होता है। चरण 2: (2) की घात (4) और (5) की घात (1) है, इसलिए (10) का केवल (1) जोड़ा बनेगा। चरण 3: (10) से भाग की अधिकतम संख्या छोटी घात से तय होती है।
Do not leave (25) in the final answer because it is not prime. चरण 1: \(75=3 \times 25\) लिखें। चरण 2: \(25=5^2\), इसलिए \(75=3 \times 5^2\)। चरण 3: (25) को अंतिम उत्तर में न छोड़ें क्योंकि वह अभाज्य नहीं है।
The bases in prime factorisation are the prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
Here the bases are (2) and (3), and the smallest is (2).
Step 3
Exam Tip
To find the smallest prime factor, do not focus on exponents. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में आधार संख्याएं अभाज्य गुणनखंड होती हैं। चरण 2: यहां आधार (2) और (3) हैं, इनमें सबसे छोटा (2) है। चरण 3: सबसे छोटा अभाज्य गुणनखंड खोजते समय घातों को न देखें।
Do not forget primes with exponent (1). चरण 1: कुल गुणनखंडों के लिए हर घात में (1) जोड़ें। चरण 2: \((2+1)(1+1)(1+1)=3 \times 2 \times 2=12\)। चरण 3: घात (1) वाले अभाज्य को गिनना न भूलें।
B. अभाज्य गुणनखंडन में केवल अभाज्य संख्याएं आधार होती हैं/Only prime numbers are bases in prime factorisation
Step 1
Concept
Prime factorisation means writing a number as a product of prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, the bases must be prime numbers only.
Step 3
Exam Tip
Treating (1) as a prime factor is a major mistake. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन का अर्थ है संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल में लिखना। चरण 2: इसलिए आधार केवल अभाज्य संख्याएं होनी चाहिए। चरण 3: (1) को अभाज्य गुणनखंड मानना बड़ी गलती है।
\(4^3\) gives the value, but it is not prime factorisation because (4) is not prime. चरण 1: (64) को (2) से बार-बार भाग दें। चरण 2: \(64=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2=2^6\)। चरण 3: \(4^3\) मान के लिए सही है, पर अभाज्य गुणनखंडन नहीं है क्योंकि (4) अभाज्य नहीं है।
In a perfect square, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
To make \(2^3\) into \(2^4\) and (3) into \(3^2\), multiply by \(2 \times 3=6\).
Step 3
Exam Tip
For a square, increase odd exponents by one to make them even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। चरण 2: \(2^3\) को \(2^4\) और (3) को \(3^2\) बनाने के लिए \(2 \times 3=6\) से गुणा करना होगा। चरण 3: पूर्ण वर्ग के लिए विषम घातों को एक-एक बढ़ाकर सम करें।
