quadratic-roots se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
141 questions tagged with quadratic-roots.
A. \(b^2=4ac\)
समान वास्तविक जड़ों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होता है। इसलिए \(b^2=4ac\) सही संबंध है। / For equal real roots, the discriminant \(D=b^2-4ac=0\). Therefore \(b^2=4ac\) is the correct relation.
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If \(\alpha,\beta\) are roots of \(x^2-7x+10=0\), what is \(\frac{1}{\alpha-1}+\frac{1}{\beta-1}\)?
A. \(\frac{5}{4}\)
हर (\(\alpha-1\)\(\beta-1\)=\alpha\beta-\(\alpha+\beta\)+1=4) है। ऊपर \(\alpha+\beta-2=5\), इसलिए मान \(\frac{5}{4}\) है। / The denominator (\(\alpha-1\)\(\beta-1\)=\alpha\beta-\(\alpha+\beta\)+1=4). The numerator is \(\alpha+\beta-2=5\), so the value is \(\frac{5}{4}\).
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If the roots of \(x^2-4x+k=0\) are real and reciprocal, what is (k)?
A. (1)
व्युत्क्रम जड़ों के लिए \(\alpha\beta=1\) होता है। यहाँ \(\alpha\beta=k\), इसलिए (k=1), और (D=12>0) से जड़ें वास्तविक भी हैं। / For reciprocal roots, \(\alpha\beta=1\). Here \(\alpha\beta=k\), so (k=1), and (D=12>0) confirms real roots.
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If the roots of a quadratic equation are \(2+\sqrt{5}\) and \(2-\sqrt{5}\), which is the equation?
A. \(x^2-4x-1=0\)
जड़ों का योग (4) और गुणनफल (-1) है। \(समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) से उत्तर मिलता है। \(/ The sum of roots is (4) and the product is (-1). Use (x^2-(\)sum)x+product\(=0) to get the answer.\)
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If \(\alpha,\beta\) are the roots of \(x^2-3x-2=0\), which equation has roots \(\alpha^2,\beta^2\)?
A. \(x^2-13x+4=0\)
\(\alpha+\beta=3\) और \(\alpha\beta=-2\) है। इसलिए \(\alpha^2+\beta^2=13\) और \(\alpha^2\beta^2=4\), अतः समीकरण \(x^2-13x+4=0\) है। / Here \(\alpha+\beta=3\) and \(\alpha\beta=-2\). Thus \(\alpha^2+\beta^2=13\) and \(\alpha^2\beta^2=4\), so the equation is \(x^2-13x+4=0\).
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Can the sum of the roots of ((m+1)x-2-2(m-1)x+(m-3)=0) be (2)?
D. नहीं, कोई मान नहींNo, no value
जड़ों का योग (\frac{2(m-1)}{m+1}) है। इसे (2) रखने पर (m-1=m+1) आता है, जो असंभव है। / The sum of roots is (\frac{2(m-1)}{m+1}). Setting it equal to (2) gives (m-1=m+1), which is impossible.
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C. (14)
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\) होता है। \(\alpha+\beta=-4\) और \(\alpha\beta=1\) से मान (14) आता है। / \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\). With \(\alpha+\beta=-4\) and \(\alpha\beta=1\), the value is (14).
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For \(kx^2+6x+9=0\) to have real roots with \(k\ne0\), which condition on (k) is correct?
A. \(k\le 1,\ k\ne0\)
वास्तविक जड़ों के लिए \(D=36-36k\ge0\) होना चाहिए। इसलिए \(k\le1\) और द्विघात के लिए \(k\ne0\) भी जरूरी है। / For real roots, \(D=36-36k\ge0\) is required. Thus \(k\le1\), and \(k\ne0\) is also needed for a quadratic equation.
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If the roots of \(3x^2+px+12=0\) are in the ratio (1:4), what are the possible values of (p)?
A. (15) या (-15)(15) or (-15)
जड़ें (r) और (4r) मानने पर \(4r^2=4\), इसलिए \(r=\pm1\)। योग \(5r=-\frac{p}{3}\) से \(p=\pm15\) मिलता है। / Let the roots be (r) and (4r). Then \(4r^2=4\), so \(r=\pm1\); using \(5r=-\frac{p}{3}\), we get \(p=\pm15\).
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The roots of \(x^2-5x+6=0\) are \(\alpha,\beta\). Which equation has roots \(\alpha+1,\beta+1\)?
A. \(x^2-7x+12=0\)
मूल जड़ें (2) और (3) हैं, इसलिए नई जड़ें (3) और (4) होंगी। उनका समीकरण \(x^2-7x+12=0\) है। / The original roots are (2) and (3), so the new roots are (3) and (4). Their equation is \(x^2-7x+12=0\).
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If the difference between the roots of (x-2+(a-2)x+a=0) is (3), what is the value of (a)?
A. \(4+\sqrt{21}\) या \(4-\sqrt{21}\)\(4+\sqrt{21}\) or \(4-\sqrt{21}\)
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta) में (\(\alpha-\beta\)2=9) रखें। इससे \(a^2-8a-5=0\) और \(a=4\pm\sqrt{21}\) मिलता है। / Put (\(\alpha-\beta\)2=9) in (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta). This gives \(a^2-8a-5=0\), so \(a=4\pm\sqrt{21}\).
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If \(\alpha,\beta\) are the roots of \(x^2-6x+m=0\) and \(\alpha^3+\beta^3=72\), what is (m)?
C. (8)
\(\alpha+\beta=6\) और \(\alpha\beta=m\) है। (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)) से (m=8) मिलता है। / Here \(\alpha+\beta=6\) and \(\alpha\beta=m\). Using (\alpha-3+\beta-3=\(\alpha+\beta\)3-3\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), we get (m=8).
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If \(\alpha,\beta\) are the roots of \(2x^2-7x+3=0\), what is the value of (\(\alpha-\beta\)2)?
B. \(\frac{25}{4}\)
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta) का प्रयोग करें। यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{7}{2}\) और \(\alpha\beta=\frac{3}{2}\), इसलिए मान \(\frac{25}{4}\) है। / Use (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta). Here \(\alpha+\beta=\frac{7}{2}\) and \(\alpha\beta=\frac{3}{2}\), so the value is \(\frac{25}{4}\).
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If one root of (x-2+(k-3)x+k=0) is twice the other root, what is the value of (k)?
A. \(\frac{21+3\sqrt{33}}{4}\) या \(\frac{21-3\sqrt{33}}{4}\)\(\frac{21+3\sqrt{33}}{4}\) or \(\frac{21-3\sqrt{33}}{4}\)
जड़ें (r) और (2r) मानने पर (3r=3-k) और \(2r^2=k\) मिलता है। हल करने पर \(2k^2-21k+18=0\), इसलिए दिए गए दोनों मान मिलते हैं। / Taking the roots as (r) and (2r), we get (3r=3-k) and \(2r^2=k\). Solving \(2k^2-21k+18=0\) gives the two listed values.
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A. \(3x^2-10x+3=0\)
यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{10}{3}\) और \(\alpha\beta=1\) है। व्युत्क्रम जड़ों का योग \(\frac{10}{3}\) और गुणनफल (1) ही रहता है। / Here \(\alpha+\beta=\frac{10}{3}\) and \(\alpha\beta=1\). The reciprocal roots also have sum \(\frac{10}{3}\) and product (1).
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The roots of \(x^2-px+36=0\) are positive integers and their difference is (5). What is (p)?
C. (13)
गुणनफल (36) और अंतर (5) वाली धनात्मक जड़ें (4) और (9) हैं। उनका योग (13) है, इसलिए (p=13)। / The positive roots with product (36) and difference (5) are (4) and (9). Their sum is (13), so (p=13).
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B. (3)
यहाँ \(\alpha+\beta=\frac{5}{2}\) और \(\alpha\beta=\frac{m}{2}\) है। (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) से (m=3) मिलता है। / Here \(\alpha+\beta=\frac{5}{2}\) and \(\alpha\beta=\frac{m}{2}\). Using (\alpha-2+\beta-2=\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta), we get (m=3).
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If the roots of \(x^2-7x+k=0\) are reciprocals of each other, what is the value of (k)?
A. (1)
व्युत्क्रम जड़ों के लिए गुणनफल (1) होता है और यहाँ गुणनफल (k) है। इसलिए (k=1); परीक्षा में पहले गुणनफल देखें। / For reciprocal roots, the product is (1), and here the product is (k). Hence (k=1); in exams, check the product first.
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What are the roots of \(3x^2-10x+3=0\)?
A. \(3, \frac{1}{3}\)
गुणनखंड विधि से: गुणांक का गुणनफल \(a\cdot c=3\cdot 3=9\) और मध्यम पद का गुणा -10 है, इसलिए उन दो संख्याओं की तलाश करें जिनका गुणनफल 9 और योग -10 हो — वे हैं -9 और -1। अब \(3x^2-10x+3=3x^2-9x-x+3=3x(x-3)-1(x-3)=(3x-1)(x-3)\)। इसलिए मूल \(x=\frac{1}{3}\) और \(x=3\) हैं (क्रम कोई मायने नहीं रखता)। विकल्प B (1, 3) गलत है क्योंकि \(x=1\) पर बहुपद का मान \(3-10+3=-4\) होता है, न कि शून्य। परीक्षा संकेत: किसी भी द्विघात के लिए पहले \(a\cdot c\) देखें और ऐसे दो संख्याएँ खोजें जिनका गुणनफल \(a\cdot c\) और योग middle-coefficient हों; फिर समूहबद्ध कर के गुणा करें या सिधे क्वाड्रैटिक सूत्र से जाँच करें। / Factorization method: compute \(a\cdot c=3\cdot3=9\) and note the middle coefficient is -10, so find two numbers with product 9 and sum -10 — they are -9 and -1. Rewrite: \(3x^2-10x+3=3x^2-9x-x+3=3x(x-3)-1(x-3)=(3x-1)(x-3)\). Hence roots are \(x=\frac{1}{3}\) and \(x=3\). Option B (1, 3) is wrong because substituting \(x=1\) gives \(3-10+3=-4\), not zero. Exam tip: use the product-sum (ac method) and factor by grouping, and always verify roots by substitution or the quadratic formula if unsure.
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What is the value of \(ac\) in the equation \(4x^2+13x+3=0\)?
A. 12
किसी द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में \(a\) और \(c\) के गुणनफल को \(ac\) कहते हैं। यहाँ \(a=4\) और \(c=3\) हैं, इसलिए \(ac=4\times3=12\)। विकल्प B (13) अक्सर गलत उत्तर बनता है यदि किसी ने \(b\) को \(ac\) समझ लिया हो; C (16) तब गलत होगा जब कोई \(a\) को \(4\) और \(c\) को \(4\) मान ले। परीक्षा सुझाव: पहले हमेशा स्पष्ट रूप से \(a, b, c\) की पहचान करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), \(ac\) is the product of coefficients \(a\) and \(c\). Here \(a=4\) and \(c=3\), so \(ac=4\times3=12\). Option B (13) is incorrect because 13 is the value of \(b\), not \(ac\); option C (16) would be wrong if someone mistakenly took both coefficients as 4. Exam tip: always identify \(a, b, c\) explicitly before computing any derived quantity.
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If \(p(x)=36x^2-49\), what are the x-axis intersections of its graph?
A. \left\(\frac{7}{6},0\right\), \left\(-\frac{7}{6},0\right\)
बहुपद \(36x^2-49\) एक वर्गों का अंतर है: \(36x^2-49=(6x-7)(6x+7)\)। x-अक्ष के कटान के लिए \(p(x)=0\) रखना होगा, अतः \(6x=\pm7\) से \(x=\pm\frac{7}{6}\) मिलता है। इसलिए कटान बिंदु \(\left(\frac{7}{6},0\right)\) और \(\left(-\frac{7}{6},0\right)\) हैं। निकटभ्रामक विकल्प C में अंक उलट दिए गए हैं (\(\frac{6}{7}\) है, सही उत्तर का व्युत्क्रम), और विकल्प B में 6 से विभाजन छूट गया है। परीक्षा-टिप: \(a^2-b^2\) के रूप को तुरंत पहचाने — तुरंत \(a-b\) और \(a+b\) पर फैक्टर कर लें। / The polynomial is a difference of squares: \(36x^2-49=(6x-7)(6x+7)\). Setting \(p(x)=0\) gives \(6x=\pm7\), so \(x=\pm\frac{7}{6}\). Hence the x-intercepts are \(\left(\frac{7}{6},0\right)\) and \(\left(-\frac{7}{6},0\right)\). Distractors: option C shows the reciprocal \(\frac{6}{7}\) instead of \(\frac{7}{6}\); option B wrongly omits dividing by 6. Exam tip: look for the pattern \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) or take square roots immediately as \(6x=\pm7\).
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