\(3x+4<19\) से \(3x<15\), अतः \(x<5\) मिलता है। धनात्मक पूर्णांक 1 से शुरू होते हैं, इसलिए संभव मान \(x=1,2,3,4\) हैं और कुल 4 हल हैं। विकल्प 5 गलत है, क्योंकि \(x=5\) रखने पर \(3(5)+4=19\) मिलता है, जबकि असमानता सख्त रूप से \(<19\) है। परीक्षा-युक्ति: सख्त असमानता में सीमा का मान शामिल नहीं किया जाता। / From \(3x+4<19\), we get \(3x<15\), so \(x<5\). Since positive integers start at 1, the possible values are \(x=1,2,3,4\), giving 4 solutions. The distractor 5 is incorrect because \(x=5\) gives \(3(5)+4=19\), which does not satisfy the strict inequality \(<19\). Exam tip: the boundary value is excluded in a strict inequality.
असमानता \(-3\le x<4\) में \(-3\) शामिल है क्योंकि वहाँ \(\le\) का चिन्ह है, जबकि \(4\) शामिल नहीं है क्योंकि वहाँ \(<\) का चिन्ह है। इसलिए \(-3\) से \(3\) तक के सभी पूर्णांक हल हैं, अर्थात विकल्प C सही है। विकल्प B में \(4\) अनावश्यक रूप से शामिल है। परीक्षा में बंद सिरा शामिल और खुला सिरा बहिष्कृत करना याद रखें। / In the inequality \(-3\le x<4\), \(-3\) is included because the symbol is \(\le\), while \(4\) is excluded because the symbol is \(<\). Thus, all integers from \(-3\) through \(3\) are solutions, so option C is correct. Option B is incorrect because it includes \(4\). In an exam, remember that a closed endpoint is included and an open endpoint is excluded.
हर का लघुत्तम समापवर्त्य 6 है। दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 6 से गुणा करने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती: \(5x+6>2x+54\)। अतः \(3x>48\), इसलिए \(x>16\)। इसीलिए विकल्प A सही है; \(x\geq16\) गलत है क्योंकि \(x=16\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर हो जाते हैं, जबकि यहाँ सख्त असमानता है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है। / The least common denominator is 6. Multiplying both sides by the positive number 6 does not change the inequality sign: \(5x+6>2x+54\). Thus, \(3x>48\), so \(x>16\). Therefore, option A is correct. The distractor \(x\geq16\) is incorrect because substituting \(x=16\) makes both sides equal, whereas the inequality is strict. Exam tip: when an inequality is multiplied or divided by a negative number, its sign must be reversed.
हर पद का समान हर 12 करने पर \(\frac{8x-3x}{12}\leq 5\), अर्थात् \(\frac{5x}{12}\leq 5\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को \(\frac{12}{5}\) से गुणा करने पर, जो धनात्मक है, असमानता की दिशा नहीं बदलती और \(x\leq 12\) मिलता है। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प C में \(x=12\) को छोड़ दिया गया है, जबकि मूल असमानता में बराबरी शामिल है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न अपरिवर्तित रहता है। / Using the common denominator 12, we get \(\frac{8x-3x}{12}\leq 5\), so \(\frac{5x}{12}\leq 5\). Multiplying both sides by the positive number \(\frac{12}{5}\) does not reverse the inequality, giving \(x\leq 12\). Hence, option B is correct. Option C is incorrect because it excludes \(x=12\), even though equality is included in the original inequality. Exam tip: multiplying or dividing an inequality by a positive number leaves its direction unchanged.
कोष्ठक खोलने पर \\(10-2x+3>3x-12\\), अर्थात् \\(13-2x>3x-12\\) मिलता है। दोनों पक्षों में \\(12\\) जोड़ने पर \\(25>5x\\) और 5 से भाग देने पर \\(x<5\\) प्राप्त होता है। यहाँ 5 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प B गलत दिशा दर्शाता है, जबकि C और D में बराबर होने की स्थिति अनावश्यक रूप से शामिल है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न उलटता है। / Expanding the brackets gives \\(10-2x+3>3x-12\\), or \\(13-2x>3x-12\\). Adding \\(12\\) to both sides gives \\(25>5x\\); dividing by the positive number 5 yields \\(x<5\\). The inequality sign does not reverse because the divisor is positive. Option B gives the opposite direction, while C and D incorrectly include equality. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
मान लीजिए कि और बैठने वाले यात्रियों की संख्या \(x\) है। बस की क्षमता के अनुसार \(x+19\leq52\), इसलिए \(x\leq33\)। अतः अधिकतम 33 और यात्री बैठ सकते हैं। विकल्प 34 गलत है, क्योंकि तब कुल यात्री 53 हो जाएंगे, जो बस की क्षमता से अधिक है। परीक्षा में “अधिकतम” या “at most” का अर्थ \(\leq\) लगाना याद रखें। / Let \(x\) be the number of additional passengers. The capacity condition is \(x+19\leq52\), so \(x\leq33\). Therefore, at most 33 more passengers can sit. Option 34 is incorrect because it would make the total 53 passengers, exceeding the capacity of the bus. In an exam, remember that “at most” translates to \(\leq\).
यदि पेन की संख्या को x मानें, तो बची हुई राशि 120-15x होगी। शर्त के अनुसार, \(120-15x\geq 30\), इसलिए \(-15x\geq -90\) और \(x\leq 6\)। पेन की संख्या पूर्णांक होनी चाहिए, अतः अधिकतम 6 पेन खरीदे जा सकते हैं। 7 पेन खरीदने पर केवल 15 रुपये बचेंगे, जो 30 रुपये से कम हैं। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से असमिका को भाग देने पर असमिका का चिन्ह उलट जाता है। / Let the number of pens be x. The remaining money is \(120-15x\), and the saving condition gives \(120-15x\geq 30\). Thus, \(-15x\geq -90\), so \(x\leq 6\). Since the number of pens must be a whole number, the maximum is 6. Buying 7 pens would leave only 15 rupees, which is less than the required 30 rupees. Exam tip: When an inequality is divided by a negative number, its sign is reversed.
‘अधिकतम 35’ का अर्थ है कि परिणाम 35 से कम या उसके बराबर होगा, इसलिए असमिका \(4x+3\leq 35\) है। दोनों पक्षों से 3 घटाने पर \(4x\leq 32\) और 4 से भाग देने पर \(x\leq 8\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: ‘अधिकतम’ के लिए \(\leq\) और ‘न्यूनतम’ के लिए \(\geq\) का प्रयोग करें। / ‘At most 35’ means the result is less than or equal to 35, so the inequality is \(4x+3\leq 35\). Subtracting 3 from both sides gives \(4x\leq 32\), and dividing by the positive number 4 gives \(x\leq 8\). Therefore, option B is correct. Exam tip: use \(\leq\) for ‘at most’ and \(\geq\) for ‘at least’.
“30 से कम नहीं” का अर्थ 30 या उससे अधिक, अर्थात् \(x+11\geq 30\), होता है। दोनों पक्षों से 11 घटाने पर \(x\geq 19\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमिका की दिशा उलट गई है, जबकि विकल्प C में 19 को शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा-टिप: “कम नहीं” को \(\geq\) और “अधिक नहीं” को \(\leq\) के रूप में लिखें। / “Not less than 30” means 30 or more, so the inequality is \(x+11\geq 30\). Subtracting 11 from both sides gives \(x\geq 19\), making option A correct. Option B reverses the inequality, while option C incorrectly excludes 19. Exam tip: translate “not less than” as \(\geq\) and “not more than” as \(\leq\).
किसी संख्या को x मानने पर उसका 6 गुना 6x होगा। ‘42 से अधिक’ का अर्थ 42 से बड़ा है, इसलिए असमानता का चिह्न > लगेगा और सही रूप 6x>42 होगा। विकल्प A और D में संख्या में 6 जोड़ा या घटाया गया है, जबकि विकल्प C में ‘कम’ का अर्थ निकलता है। परीक्षा में ‘गुना’ को गुणा और ‘अधिक’ को > के रूप में लिखना याद रखें। / Let the number be x. Six times the number is written as 6x, and ‘greater than 42’ requires the symbol >. Therefore, the correct inequality is 6x>42. Options A and D represent adding or subtracting 6, not multiplying by 6, while option C means less than 42. In exams, translate ‘times’ as multiplication and ‘greater than’ as >.
पहले \(ax+4>10\) से \(ax>6\) प्राप्त होता है। अब \(a<0\) है, इसलिए दोनों पक्षों को \(a\) से विभाजित करने पर असमिका का चिह्न उलट जाता है और \(x<\frac{6}{a}\) मिलता है। विकल्प B में चिह्न उलटने की बात नहीं मानी गई है, जबकि विकल्प C और D में अनावश्यक रूप से बराबरी का चिह्न जोड़ा गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी ऋणात्मक संख्या से असमिका को भाग देने या गुणा करने पर असमिका का चिह्न अवश्य बदलें। / From \(ax+4>10\), we first obtain \(ax>6\). Since \(a<0\), dividing both sides by \(a\) reverses the inequality sign, giving \(x<\frac{6}{a}\). Option B ignores this sign reversal, while options C and D incorrectly include equality. Exam tip: always reverse the inequality sign when multiplying or dividing an inequality by a negative number.
पहले \(ax-7\geq 2\) से \(ax\geq 9\) प्राप्त होता है। चूँकि \(a>0\) है, इसलिए दोनों पक्षों को \(a\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा और \(x\geq \frac{9}{a}\) मिलेगा। विकल्प C गलत है, क्योंकि \(x=\frac{9}{a}\) भी हल में शामिल है। परीक्षा-युक्ति: असमानता को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर चिह्न उलट जाता है; धनात्मक संख्या के मामले में ऐसा नहीं होता। / From \(ax-7\geq 2\), adding 7 to both sides gives \(ax\geq 9\). Since \(a>0\), division by \(a\) does not reverse the inequality sign, so \(x\geq \frac{9}{a}\). Option C is incorrect because it excludes the equality case \(x=\frac{9}{a}\). Exam tip: the inequality sign reverses when multiplying or dividing by a negative number, but not when the number is positive.
दोनों पक्षों से \\(5x\\) घटाने पर \\(-6 \ge 2\\) प्राप्त होता है, जो असत्य है। इसलिए कोई भी वास्तविक संख्या इस असमानता को संतुष्ट नहीं करती और हल-समुच्चय रिक्त है। विकल्प B और D में \\(x\\) के लिए सीमा बताई गई है, जबकि यहाँ \\(x\\) वाले पद पूरी तरह कट जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: समान पदों को घटाने के बाद यदि असत्य कथन मिले, तो असमानता का कोई हल नहीं होता। / Subtracting \\(5x\\) from both sides gives \\(-6 \ge 2\\), which is false. Therefore, no real number satisfies the inequality, so the solution set is empty. Options B and D incorrectly give bounds for \\(x\\), even though all \\(x\\)-terms cancel. Exam tip: after simplifying an inequality, a false statement means there is no solution.
असमानता को हल करने पर \(20-2x\le 6\), अर्थात् \(-2x\le -14\) मिलता है। दोनों पक्षों को \(-2\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न बदल जाता है और \(x\ge 7\) प्राप्त होता है। इसलिए दिए गए मानों में केवल \(x=7\) सही है; इसमें बराबरी का मान शामिल है। उदाहरण के लिए, \(x=6\) रखने पर \(20-12=8\), और \(8\le 6\) गलत है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से भाग या गुणा करते समय असमानता का चिह्न अवश्य उलटें। / Solving the inequality \(20-2x\le 6\) gives \(-2x\le -14\). Dividing both sides by \(-2\) reverses the inequality sign, so \(x\ge 7\). Therefore, among the given values, only \(x=7\) satisfies the inequality, including the equality case. For example, substituting \(x=6\) gives \(20-12=8\), and \(8\le 6\) is false. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता \(5x+2\ge 27\) में दोनों पक्षों से 2 घटाने पर \(5x\ge 25\) मिलता है। 5 से भाग देने पर \(x\ge 5\) प्राप्त होता है, क्योंकि 5 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलता। अतः \(x=5\) सीमा मान होने के कारण सही है। \(x=4\) रखने पर \(22\ge 27\) मिलता है, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न अपरिवर्तित रहता है। / Starting with \(5x+2\ge 27\), subtracting 2 from both sides gives \(5x\ge 25\). Dividing by 5 gives \(x\ge 5\); the inequality sign remains unchanged because 5 is positive. Therefore, \(x=5\) is correct as it is the boundary value. The closest distractor, \(x=4\), gives \(22\ge 27\), which is false. Exam tip: the inequality sign reverses only when dividing or multiplying by a negative number.
−4x − 1 < 11 से −4x < 12 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को −4 से भाग देने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है, इसलिए x > −3। चूँकि यह सख्त असमानता है, −3 शामिल नहीं होगा; अतः अंतराल (−3, ∞) है। परीक्षा-टिप: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिन्ह अवश्य उलटें। / From −4x − 1 < 11, we get −4x < 12. Dividing both sides by −4 reverses the inequality sign, giving x > −3. Since the inequality is strict, −3 is not included, so the interval is (−3, ∞). Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
दिए गए असमानता से \(9x-4\leq 5x+12\) ⇒ \(4x\leq 16\) ⇒ \(x\leq 4\) प्राप्त होता है। इसलिए 4 सहित सभी 4 से छोटी संख्याएँ हल हैं, जिसका अंतराल रूप \((- infty,4]\) है। 4 पर वर्ग कोष्ठक इसलिए लगाया जाता है क्योंकि बराबरी शामिल है; विकल्प C में 4 को गलत रूप से बाहर रखा गया है। परीक्षा-युक्ति: \(\leq\) या \(\geq\) होने पर संबंधित अंतिम बिंदु को बंद कोष्ठक से लिखें। / Starting with \(9x-4\leq 5x+12\), we get \(4x\leq 16\), and hence \(x\leq 4\). Thus, all numbers less than or equal to 4 are solutions, represented in interval notation by \((- infty,4]\). The square bracket at 4 shows that equality is included; option C is incorrect because it excludes 4. Exam tip: use a closed bracket at an endpoint when the inequality contains \(\leq\) or \(\geq\).
हरों को हटाने के लिए दोनों पक्षों को 4 से गुणा करें। 4 धनात्मक है, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा: \(2(x+5)+(x-1)\geq 24\)। इससे \(3x+9\geq 24\), अतः \(3x\geq 15\) और \(x\geq 5\)। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-टिप: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर चिह्न उलट जाता है, लेकिन यहाँ 4 धनात्मक है। / Multiply both sides by 4 to clear the denominators. Since 4 is positive, the inequality sign remains unchanged: \(2(x+5)+(x-1)\geq 24\). This gives \(3x+9\geq 24\), so \(3x\geq 15\) and hence \(x\geq 5\). Therefore, option A is correct. Exam tip: the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number; here, 4 is positive.
चूँकि 3 धनात्मक है, इसलिए दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर \(7-x\leq 6\) मिलता है। अतः \(-x\leq -1\)। दोनों पक्षों को \(-1\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है और \(x\geq 1\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर असमानता का चिह्न अवश्य उलटें। / Since 3 is positive, multiplying both sides by 3 gives \(7-x\leq 6\). Thus, \(-x\leq -1\). Multiplying both sides by \(-1\) reverses the inequality sign, giving \(x\geq 1\). Therefore, option B is correct. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing an inequality by a negative number.
असमानता को हल करने पर \(5x+1\leq 26\Rightarrow 5x\leq 25\Rightarrow x\leq 5\) मिलता है। प्राकृतिक संख्याएँ \(1,2,3,\ldots\) से शुरू होती हैं, इसलिए संभव मान \(1,2,3,4,5\) हैं और कुल 5 मान हैं। विकल्प 6 तब मिलता यदि \(0\) को भी प्राकृतिक संख्या माना जाता, लेकिन इस प्रश्न में प्रचलित विद्यालयी परिभाषा के अनुसार प्राकृतिक संख्याएँ 1 से शुरू हैं। परीक्षा युक्ति: असमानता हल करने के बाद दिए गए संख्या-समुच्चय में मानों की सूची बनाकर गिनती करें। / Solving the inequality gives \(5x+1\leq 26\Rightarrow 5x\leq 25\Rightarrow x\leq 5\). Natural numbers begin with \(1\), so the possible values are \(1,2,3,4,5\), giving a total of 5 values. The answer 6 would result only if \(0\) were included as a natural number; here, the usual school convention takes natural numbers to begin with 1. Exam tip: After solving an inequality, list the allowed values and count them carefully.
असमानता \(4x-3<21\) में दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर \(4x<24\) मिलता है। 4 से भाग देने पर \(x<6\) प्राप्त होता है। इसलिए 6 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 5 है। विकल्प 6 गलत है, क्योंकि सख्त असमानता में \(x=6\) स्वीकार्य नहीं है। परीक्षा-टिप: \(<\) या \(>\) वाली असमानता में सीमा मान शामिल नहीं होता। / Adding 3 to both sides of \(4x-3<21\) gives \(4x<24\). Dividing by the positive number 4 yields \(x<6\). Therefore, the greatest integer less than 6 is 5. Option 6 is incorrect because a strict inequality does not include the boundary value \(x=6\). Exam tip: In inequalities with \(<\) or \(>\), the endpoint is not included.
असमानता \(2\le 3x-1<11\) के तीनों भागों में 1 जोड़ने पर \(3\le 3x<12\) मिलता है। अब 3 से भाग देने पर \(1\le x<4\) प्राप्त होता है। इसलिए 1 शामिल है, जिसके लिए कोष्ठक [ लगाया जाता है, जबकि 4 शामिल नहीं है, इसलिए वहाँ ) लगाया जाता है। अतः सही अंतराल \([1,4)\) है। परीक्षा-टिप: \(\le\) या \(\ge\) वाले छोर को square bracket और \(<\) या \(>\) वाले छोर को round bracket से लिखें। / Adding 1 to all three parts of \(2\le 3x-1<11\) gives \(3\le 3x<12\). Dividing throughout by 3 gives \(1\le x<4\). Thus, 1 is included and is written with a square bracket, whereas 4 is excluded and is written with a round bracket. Therefore, the interval is \([1,4)\). Exam tip: use a square bracket for an included endpoint marked by \(\le\) or \(\ge\), and a round bracket for an excluded endpoint marked by \(<\) or \(>\).
कोष्ठक खोलने पर \(10x+5-3x<26\) मिलता है। समान पदों को मिलाने पर \(7x+5<26\), इसलिए \(7x<21\)। 7 से भाग देने पर \(x<3\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर B है। विकल्प C \(x≤3\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता में '<' है और \(x=3\) स्वीकार्य नहीं है। परीक्षा-टिप: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है; यहाँ 7 धनात्मक है, इसलिए चिह्न नहीं बदलेगा। / Expanding the brackets gives \(10x+5-3x<26\). Combining like terms, \(7x+5<26\), so \(7x<21\). Dividing by the positive number 7 gives \(x<3\), making option B correct. Option C, \(x≤3\), is incorrect because the original inequality is strict; \(x=3\) does not satisfy it. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number; since 7 is positive here, the sign remains unchanged.
पहले बाएँ पक्ष को सरल करें: \(3(x-4)+5=3x-12+5=3x-7\)। अतः \(3x-7\leq 2x+1\), जिससे \(x\leq 8\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। \(x\geq 8\) विकल्प B नहीं हो सकता, क्योंकि असमानता को हल करते समय किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग नहीं किया गया, इसलिए असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा। परीक्षा-युक्ति: खुले और बंद सिरों का ध्यान रखें—\(\leq\) में 8 भी हल-समुच्चय में शामिल होता है। / Simplify the left-hand side: \(3(x-4)+5=3x-12+5=3x-7\). Thus, \(3x-7\leq 2x+1\), which gives \(x\leq 8\). Therefore, option A is correct. Option B, \(x\geq 8\), is incorrect because no multiplication or division by a negative number occurs, so the inequality sign does not reverse. Exam tip: Since the sign is \(\leq\), the endpoint 8 is included in the solution set.
\(6x-7>2x+17\) में दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(4x-7>17\) मिलता है। दोनों पक्षों में 7 जोड़ने पर \(4x>24\), और 4 से भाग देने पर \(x>6\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प D है। विकल्प C \(x\geq6\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता में \(>\) है, \(\geq\) नहीं। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Starting with \(6x-7>2x+17\), subtracting \(2x\) from both sides gives \(4x-7>17\). Adding 7 and then dividing by the positive number 4 gives \(4x>24\), hence \(x>6\). Therefore, option D is correct. Option C, \(x\geq6\), is incorrect because the original inequality is strict and does not include equality. Exam tip: dividing by a positive number does not reverse the inequality sign.
पहले दोनों पक्षों से 13 घटाने पर \\(-3x\leq -9\\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को \\(-3\\) से भाग देने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है, इसलिए \\(x\geq 3\\)। विकल्प A में चिन्ह उलटने का नियम लागू नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिन्ह अवश्य बदलें। / Subtracting 13 from both sides gives \\(-3x\leq -9\\). Dividing by \\(-3\\) reverses the inequality sign, so \\(x\geq 3\\). Option A is incorrect because it does not reverse the sign after division by a negative number. Exam tip: Always reverse an inequality sign when multiplying or dividing both sides by a negative number.
बाएँ पक्ष को सरल करने पर \(2x-10+3=2x-7\) और दाएँ पक्ष को सरल करने पर \(3x-12-7=3x-19\) मिलता है। अतः \(2x-7\geq 3x-19\)। दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(-7\geq x-19\), और 19 जोड़ने पर \(12\geq x\), अर्थात \(x\leq 12\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट जाती है। परीक्षा-युक्ति: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही चिह्न उलटता है। / Simplifying the left side gives \(2x-10+3=2x-7\), and simplifying the right side gives \(3x-12-7=3x-19\). Thus, \(2x-7\geq 3x-19\). Subtracting \(2x\) from both sides gives \(-7\geq x-19\); adding 19 gives \(12\geq x\), or \(x\leq 12\). Therefore, option A is correct. Option B reverses the direction incorrectly. Exam tip: the inequality sign changes direction only when multiplying or dividing by a negative number.
कथन का गणितीय रूप \(2x-9\ge -1\) है, क्योंकि “कम नहीं” का अर्थ “से बड़ा या बराबर” होता है। अतः \(2x\ge 8\), इसलिए \(x\ge 4\)। विकल्प C गलत है, क्योंकि \(x>4\) में \(x=4\) शामिल नहीं होता, जबकि \(x=4\) मूल असमिका को संतुष्ट करता है। परीक्षा-युक्ति: असमिका में धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमिका का चिह्न नहीं बदलता। / The statement translates to \(2x-9\ge -1\), because “not less than” means “greater than or equal to.” Thus, \(2x\ge 8\), giving \(x\ge 4\). Option C is incorrect because \(x>4\) excludes \(x=4\), whereas \(x=4\) satisfies the original inequality. Exam tip: when dividing an inequality by a positive number, its sign remains unchanged.
कोष्ठक खोलने पर \(9-4x-8>x-14\), अर्थात् \(1-4x>x-14\) मिलता है। दोनों पक्षों को सरल करने पर \(15>5x\) और इसलिए \(x<3\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प A है। विकल्प C गलत है क्योंकि मूल असमानता सख्त है, इसलिए \(x=3\) शामिल नहीं होगा। परीक्षा-युक्ति: किसी धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता; ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिह्न उलटता है। / Expanding the bracket gives \(9-4x-8>x-14\), or \(1-4x>x-14\). Simplifying further yields \(15>5x\), so \(x<3\). Therefore, option A is correct. Option C is incorrect because the original inequality is strict, so \(x=3\) is not included. Exam tip: the inequality sign reverses when both sides are divided or multiplied by a negative number, but not when divided by the positive number 5.
असमानता \(3<2x+1\leq 13\) में सभी पक्षों से 1 घटाने पर \(2<2x\leq 12\) मिलता है। 2 से भाग देने पर \(1<x\leq 6\) प्राप्त होता है। इसलिए पूर्णांक मान \(x=2,3,4,5,6\) हैं, जिनकी कुल संख्या 5 है। ध्यान रखें कि \(x=1\) शामिल नहीं है, जबकि \(x=6\) शामिल है क्योंकि दायाँ चिह्न \(\leq\) है। / Subtracting 1 from all parts of \(3<2x+1\leq 13\) gives \(2<2x\leq 12\). Dividing by the positive number 2 yields \(1<x\leq 6\). Thus the integer values are \(x=2,3,4,5,6\), giving a total of 5 values. Remember that \(x=1\) is excluded, while \(x=6\) is included because the right-hand inequality uses \(\leq\).
