\(x\leq-1\) में (-1) और उससे छोटी वास्तविक संख्याएं आती हैं। वास्तविक हल के लिए \(\mathbb{R}\) लिखना उचित है। / The inequality \(x\leq-1\) includes (-1) and all smaller real numbers. For real solutions writing \(\mathbb{R}\) is appropriate.
हल \(x\geq2\) है इसलिए अंतराल \([2,\infty\)) है। बराबरी शामिल हो तो वर्ग कोष्ठक लगाएं। / The solution is \(x\geq2\) so the interval is \([2,\infty\)). Use a square bracket when equality is included.
(3) से गुणा करने पर \(3<x-2\leq12\) और फिर \(5<x\leq14\) मिलता है। धन गुणक से चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by (3) gives \(3<x-2\leq12\) and then \(5<x\leq14\). A positive multiplier does not change the signs.
सभी भागों से (2) घटाने पर \(-6\leq2x<8\) और फिर \(-3\leq x<4\) मिलता है। खुले और बंद चिन्ह को जस का तस रखें। / Subtracting (2) from all parts gives \(-6\leq2x<8\) and then \(-3\leq x<4\). Keep open and closed signs correctly.
तीनों भागों से (3) घटाने पर \(-1<x\leq5\) मिलता है। युग्म असमानता में वही क्रिया सभी भागों पर करें। / Subtracting (3) from all parts gives \(-1<x\leq5\). In a compound inequality apply the same operation to every part.
बायां पक्ष (5+2x) बनता है इसलिए (5+2x>3x-4) से (x<9) मिलता है। ऋण कोष्ठक खोलते समय संकेत बदलते हैं। / The left side becomes (5+2x) so (5+2x>3x-4) gives (x<9). Signs change while opening a negative bracket.
कोष्ठक खोलने पर \(5x+10-3\leq 2x+16\), अर्थात् \(5x+7\leq 2x+16\) मिलता है। दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(3x\leq 9\), और धनात्मक संख्या \(3\) से भाग देने पर \(x\leq 3\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता की दिशा गलत है; दिशा केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर बदलती है। परीक्षा-युक्ति: असमानता को सरल करते समय ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह अवश्य पलटें। / Expanding the brackets gives \(5x+10-3\leq 2x+16\), or \(5x+7\leq 2x+16\). Subtracting \(2x\) from both sides yields \(3x\leq 9\). Dividing by the positive number \(3\) gives \(x\leq 3\), so option A is correct. Option B incorrectly reverses the inequality sign; the sign changes only when multiplying or dividing by a negative number. Exam tip: always check whether the number used to divide an inequality is positive or negative.
विस्तार से (6x+2<5x+9) मिलता है इसलिए (x<7) है। दोनों पक्षों में चर हो तो छोटे चरणों में हल करें। / Expansion gives (6x+2<5x+9) so (x<7). When both sides have variables solve in small steps.
विस्तार करने पर \(3x-6\geq2x+5\) और इसलिए \(x\geq11\) मिलता है। कोष्ठक खोलते समय चिन्हों का ध्यान रखें। / Expanding gives \(3x-6\geq2x+5\) and hence \(x\geq11\). Watch the signs while opening brackets.
दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(4x+1>13\) मिलता है। फिर दोनों पक्षों से \(1\) घटाने पर \(4x>12\), अतः \(x>3\)। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प C में \(x=3\) भी शामिल है, लेकिन मूल असमानता में चिन्ह \(>\) है, इसलिए बराबरी मान्य नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिन्ह उलट जाता है; यहाँ ऐसा कोई चरण नहीं है। / Subtracting \(2x\) from both sides gives \(4x+1>13\). Subtracting \(1\) and then dividing by the positive number \(4\) gives \(x>3\), so option A is correct. Option C is incorrect because it includes \(x=3\), whereas the strict sign \(>\) excludes equality. Exam tip: The inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number; that does not occur here.
समान पदों को एक तरफ लाने पर \(3x\leq15\) मिलता है इसलिए \(x\leq5\) है। चर पदों को एक ही तरफ सावधानी से रखें। / Bringing like terms together gives \(3x\leq15\) so \(x\leq5\). Keep variable terms on one side carefully.
(2) से गुणा करने पर (7-3x<-2) और (-3x<-9) मिलता है। (-3) से भाग देने पर चिन्ह बदलकर (x>3) होता है। / Multiplying by (2) gives (7-3x<-2) and (-3x<-9). Dividing by (-3) reverses the sign to (x>3).
(5) से गुणा करने पर \(2x+3\geq15\) और फिर \(2x\geq12\) से \(x\geq6\) मिलता है। हर धन हो तो चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying by (5) gives \(2x+3\geq15\) and then \(2x\geq12\) gives \(x\geq6\). A positive denominator does not reverse the sign.
(2) से गुणा करने पर \(x-1\leq10\) और इसलिए \(x\leq11\) है। पहले हर हटाना समाधान को आसान बनाता है। / Multiplying by (2) gives \(x-1\leq10\) so \(x\leq11\). Clearing the denominator first makes the solution easier.
(2) घटाने पर \(\frac{x}{3}>4\) और (3) से गुणा करने पर (x>12) मिलता है। धन संख्या से गुणा करने पर चिन्ह वही रहता है। / Subtracting (2) gives \(\frac{x}{3}>4\) and multiplying by (3) gives (x>12). Multiplying by a positive number keeps the sign unchanged.
(5) घटाने पर \(-2x\geq6\) और (-2) से भाग देने पर \(x\leq-3\) मिलता है। ऋण गुणांक पर चिन्ह बदलना न भूलें। / Subtracting (5) gives \(-2x\geq6\) and dividing by (-2) gives \(x\leq-3\). Do not forget to reverse the sign for a negative coefficient.
दोनों पक्षों से 7 घटाने पर \\(2x\leq8\\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 2 से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता, इसलिए \\(x\leq4\\) प्राप्त होता है। विकल्प B में चिह्न उलटा है और विकल्प C में बराबरी शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न बदलता है। / Subtracting 7 from both sides gives \\(2x\leq8\\). Dividing both sides by the positive number 2 does not reverse the inequality sign, so \\(x\leq4\\). Option B reverses the sign incorrectly, while option C excludes the equality case. Exam tip: the inequality sign changes direction only when multiplying or dividing by a negative number.
(3x-5>10) में (5) जोड़कर (3x>15) और फिर (x>5) मिलता है। परीक्षा में समान धन संख्या से भाग देने पर चिन्ह नहीं बदलता। / Adding (5) gives (3x>15) and then (x>5). In exams remember that dividing by a positive number does not reverse the sign.
हरों का लघुत्तम समापवर्त्य 10 है। दोनों पक्षों को 10 से गुणा करने पर, क्योंकि 10 धनात्मक है, असमानता का चिह्न नहीं बदलेगा: \(2(x-4)-(x+1)\geq 20\)। अतः \(2x-8-x-1\geq 20\), यानी \(x-9\geq 20\), इसलिए \(x\geq 29\)। इसीलिए विकल्प B सही है। परीक्षा-युक्ति: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही चिह्न की दिशा बदलती है। / The least common denominator is 10. Multiplying both sides by 10 does not reverse the inequality sign because 10 is positive: \(2(x-4)-(x+1)\geq 20\). Thus, \(2x-8-x-1\geq 20\), so \(x-9\geq 20\), which gives \(x\geq 29\). Therefore, option B is correct. Exam tip: the inequality sign reverses only when both sides are multiplied or divided by a negative number.
बाएँ पक्ष को सरल करने पर \(3(5-x)+2=17-3x\) मिलता है। अतः \(17-3x<4x-11\), जिससे \(28<7x\) और इसलिए \(x>4\) प्राप्त होता है। सही उत्तर C है। विकल्प D गलत है क्योंकि मूल असमानता सख्त है, इसलिए \(x=4\) शामिल नहीं होगा। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न पलटने का ध्यान रखें। / Simplifying the left-hand side gives \(3(5-x)+2=17-3x\). Thus, \(17-3x<4x-11\), which leads to \(28<7x\), and hence \(x>4\). Therefore, option C is correct. Option D is incorrect because the original inequality is strict, so \(x=4\) is not included. In exams, remember to reverse the inequality sign whenever you multiply or divide by a negative number.
पहली असमानता को हल करने पर \(2x-3>7\Rightarrow 2x>10\Rightarrow x>5\) मिलता है। दूसरी असमानता \(x<8\) है। इसलिए दोनों शर्तों का साझा हल \(5<x<8\), अर्थात् अंतराल \((5,8)\), होगा। 5 और 8 दोनों शामिल नहीं होंगे, क्योंकि दोनों असमानताएँ सख्त हैं। परीक्षा-युक्ति: \(>\) और \(<\) के लिए संबंधित सीमा-बिंदु खुले सिरे से लिखे जाते हैं। / Solving the first inequality gives \(2x-3>7\Rightarrow 2x>10\Rightarrow x>5\). The second condition is \(x<8\). Thus, their common solution is \(5<x<8\), represented by the interval \((5,8)\). Neither 5 nor 8 is included because both inequalities are strict. Exam tip: use an open endpoint for \(>\) or \(<\), and a closed endpoint only for \(\geq\) or \(\leq\).
दिया है: \(2x+3>15\)। दोनों पक्षों से 3 घटाने पर \(2x>12\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 2 से विभाजित करने पर \(x>6\) प्राप्त होता है। विकल्प C गलत है क्योंकि मूल कथन में ‘से अधिक’ है, इसलिए 6 को शामिल नहीं किया जा सकता। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / We have \(2x+3>15\). Subtracting 3 from both sides gives \(2x>12\). Dividing both sides by the positive number 2 gives \(x>6\). Option C is incorrect because “greater than” is a strict inequality, so 6 is not included. Exam tip: the inequality sign does not reverse when multiplying or dividing by a positive number.
दोनों पक्षों को 6 से गुणा करने पर, जो धनात्मक है, \(2(2x+1)\leq x+9\) मिलता है। अतः \(4x+2\leq x+9\), इसलिए \(3x\leq7\) और \(x\leq\frac{7}{3}\)। विकल्प B में असमानता की दिशा गलत रूप से बदल दी गई है, जबकि C और D में अनावश्यक रूप से कड़ी असमानता लगाई गई है। परीक्षा-युक्ति: किसी धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिन्ह नहीं बदलता। / Multiplying both sides by 6, which is positive, gives \(2(2x+1)\leq x+9\). Thus, \(4x+2\leq x+9\), so \(3x\leq7\) and \(x\leq\frac{7}{3}\). Option B incorrectly reverses the inequality, while C and D replace the non-strict inequality with an unnecessarily strict one. Exam tip: multiplying or dividing an inequality by a positive number does not change its sign.
दोनों हरों 3 और 6 का लघुत्तम समापवर्त्य 6 है। 6 से गुणा करने पर, क्योंकि 6 धनात्मक है, असमानता की दिशा नहीं बदलेगी: \(2(2x+1)\leq x+9\), अर्थात् \(4x+2\leq x+9\)। इसलिए \(3x\leq7\), और \(x\leq\frac{7}{3}\)। अतः सही विकल्प A है। विकल्प C में \(x=\frac{7}{3}\) शामिल नहीं है, जबकि मूल असमानता में बराबरी स्वीकार्य है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है; यहाँ 6 धनात्मक है। / The least common multiple of the denominators 3 and 6 is 6. Multiplying by 6 does not reverse the inequality because 6 is positive: \(2(2x+1)\leq x+9\), so \(4x+2\leq x+9\). Thus, \(3x\leq7\), giving \(x\leq\frac{7}{3}\). Therefore, option A is correct. Option C is incorrect because it excludes \(x=\frac{7}{3}\), even though equality is allowed in the original inequality. Exam tip: reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number; here, 6 is positive.
कोष्ठक खोलने पर \(6-x-2\leq 2x-5\), अर्थात् \(4-x\leq 2x-5\) मिलता है। दोनों पक्षों में \(x\) और \(5\) को व्यवस्थित करने पर \(9\leq 3x\) प्राप्त होता है। अब 3 से भाग देने पर \(x\geq 3\), इसलिए सही विकल्प B है। विकल्प A में असमानता की दिशा उलट दी गई है। परीक्षा-युक्ति: किसी धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Expanding the bracket gives \(6-x-2\leq 2x-5\), or \(4-x\leq 2x-5\). Rearranging the terms yields \(9\leq 3x\). Dividing by the positive number 3 gives \(x\geq 3\), so option B is correct. Option A incorrectly reverses the direction of the inequality. Exam tip: the inequality sign changes only when multiplying or dividing by a negative number.
कोष्ठक खोलने पर \(8x-6<5x+15\) मिलता है। दोनों पक्षों से \(5x\) घटाने पर \(3x-6<15\), अर्थात् \(3x<21\) प्राप्त होता है। 3 से भाग देने पर \(x<7\) मिलता है, इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। चूँकि मूल असमानता में '<' है, इसलिए \(x=7\) शामिल नहीं होगा; अतः \(x\leq7\) सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से असमानता को गुणा या भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Expanding the brackets gives \(8x-6<5x+15\). Subtracting \(5x\) from both sides gives \(3x-6<15\), or \(3x<21\). Dividing by 3 yields \(x<7\), so option A is correct. Since the original inequality is strict, \(x=7\) is not included; therefore, \(x\leq7\) is incorrect. Exam tip: the inequality sign changes only when multiplying or dividing by a negative number, not by a positive number.
पहले दोनों पक्षों से 7 घटाने पर \(-2x\geq -16\) मिलता है। अब \(-2\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x\leq 8\)। अतः 8 सहित सभी छोटी संख्याएँ हल हैं और अंतराल \((-\infty,8]\) होगा। विकल्प B में 8 को शामिल नहीं किया गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य उलटें। / Subtracting 7 from both sides gives \(-2x\geq -16\). Dividing by \(-2\) reverses the inequality sign, so \(x\leq 8\). Therefore, all numbers less than or equal to 8 are solutions, giving the interval \((-\infty,8]\). Option B excludes 8, so it is incorrect. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता को हल करने पर 4x + 1 > 17 ⇒ 4x > 16 ⇒ x > 4 प्राप्त होता है। इसलिए हल-समुच्चय का सीमा बिंदु 4 है। चूँकि असमानता सख्त (> ) है, इसलिए 4 हल-समुच्चय में शामिल नहीं होता और इसे खुले बिंदु से दर्शाया जाता है। परीक्षा-युक्ति: x के गुणांक से भाग देने के बाद प्राप्त वह मान सीमा बिंदु होता है जहाँ असमानता का चिह्न बदलकर बराबरी पर विचार किया जाता है। / Solving the inequality gives 4x + 1 > 17 ⇒ 4x > 16 ⇒ x > 4. Hence, the boundary point of the solution set is 4. Since the inequality is strict (>), 4 is not included in the solution set and is represented by an open point. Exam tip: After isolating x, the resulting value is the boundary point; check whether the inequality sign is strict or inclusive to decide whether the point is excluded or included.
असमानता को हल करने पर \(2x-5\leq 9\) से \(2x\leq 14\) और फिर \(x\leq 7\) प्राप्त होता है। इसलिए \(x=7\) हल-समुच्चय में शामिल है, क्योंकि \(\leq\) का अर्थ ‘छोटा या बराबर’ होता है और इसमें बराबरी का मान भी स्वीकार किया जाता है। विकल्प A गलत है, क्योंकि \(x<7\) में \(x=7\) शामिल नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: \(\leq\) या \(\geq\) होने पर सीमा-बिंदु शामिल होता है। / Solving the inequality gives \(2x-5\leq 9\), so \(2x\leq 14\) and therefore \(x\leq 7\). Thus, \(x=7\) belongs to the solution set because \(\leq\) means ‘less than or equal to’, which includes equality. Option A is incorrect because \(x<7\) excludes \(x=7\). Exam tip: The boundary value is included when the inequality sign is \(\leq\) or \(\geq\).
असमानता को सरल करने पर \\(11x+6\geq 7x+34\\) से \\(4x\geq 28\\), अतः \\(x\geq 7\\) प्राप्त होता है। इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक हल 7 है। 6 गलत है क्योंकि वह \\(x\geq 7\\) को संतुष्ट नहीं करता, जबकि 8 और 9 सही हल तो हैं, पर सबसे छोटे नहीं। परीक्षा में असमानता हल करने के बाद सबसे छोटी पूर्णांक सीमा अवश्य जाँचें। / Simplifying \\(11x+6\geq 7x+34\\) gives \\(4x\geq 28\\), so \\(x\geq 7\\). Therefore, the least integer solution is 7. The value 6 is not allowed because it does not satisfy the inequality, while 8 and 9 are valid solutions but are not the least. In an exam, check the smallest integer at the boundary after solving the inequality.
