‘कम से कम 13’ का अर्थ 13 या उससे अधिक होता है, इसलिए असमिका \(2x-5\geq 13\) होगी। दोनों पक्षों में 5 जोड़ने पर \(2x\geq 18\) और 2 से भाग देने पर \(x\geq 9\) प्राप्त होता है। 2 धनात्मक है, इसलिए असमिका का चिह्न नहीं बदलता। ध्यान रखें कि \(x=9\) भी मान्य है; इसलिए \(x>9\) सही उत्तर नहीं है। / ‘At least 13’ means 13 or more, so the inequality is \(2x-5\geq 13\). Adding 5 to both sides gives \(2x\geq 18\), and dividing by the positive number 2 gives \(x\geq 9\). The inequality sign does not change because the divisor is positive. Remember that \(x=9\) is included, so \(x>9\) is not correct.
\(\frac{x-3}{2}>1\) से (x-3>2) और (x>5) मिलता है। इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक हल (6) है। / The inequality \(\frac{x-3}{2}>1\) gives (x-3>2) and (x>5). Therefore the least integer solution is (6).
असमानता के सभी भागों को धनात्मक संख्या 2 से गुणा करने पर दिशा नहीं बदलती: \\(-6\leq x+1<8\\)। अब प्रत्येक भाग से 1 घटाने पर \\(-7\leq x<7\\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में दोनों सिरों पर असमानता की दिशाएँ अनावश्यक रूप से उलट दी गई हैं। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न उलटता है। / Multiplying all parts of the inequality by the positive number 2 does not reverse the signs, giving \\(-6\leq x+1<8\\). Subtracting 1 from all parts yields \\(-7\leq x<7\\), so option A is correct. Option B incorrectly reverses the endpoint conditions. Exam tip: an inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
(3) घटाने पर \(-\frac{x+2}{5}< -2\) मिलता है। ऋण पद हटाने पर चिन्ह बदलता है और (x>8) मिलता है। / Subtracting (3) gives \(-\frac{x+2}{5}< -2\). Removing the negative term reverses the sign and gives (x>8).
(1) घटाने पर \(\frac{2x-5}{4}\geq2\) और फिर \(2x-5\geq8\) मिलता है। इसलिए \(x\geq\frac{13}{2}\) है। / Subtracting (1) gives \(\frac{2x-5}{4}\geq2\) and then \(2x-5\geq8\). Hence \(x\geq\frac{13}{2}\).
(6) से गुणा करने पर (3(x+4)-2(x-2)<30) मिलता है। सरल करने पर (x+16<30) से (x<14) नहीं बल्कि (x<14) आता है। / Multiplying by (6) gives (3(x+4)-2(x-2)<30). Simplifying gives (x+16<30), so the correct result is (x<14).
कोष्ठक खोलने पर \(2x+6-x\geq10\), अर्थात् \(x+6\geq10\) मिलता है। दोनों पक्षों से 6 घटाने पर \(x\geq4\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में असमानता की दिशा गलत है। परीक्षा में ध्यान रखें कि ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न उलटता है। / Expanding the brackets gives \(2x+6-x\geq10\), which simplifies to \(x+6\geq10\). Subtracting 6 from both sides yields \(x\geq4\), so option A is correct. Option B has the inequality direction reversed. Remember that the inequality sign reverses only when multiplying or dividing by a negative number.
(2x) घटाने पर (3<5) मिलता है जो हमेशा सत्य है। चर मिटने पर बची हुई कथन की सत्यता जांचें। / Subtracting (2x) gives (3<5), which is always true. When the variable cancels, check the truth of the remaining statement.
असमानता \(x+2<k\) को \(x\) के लिए हल करने पर \(x<k-2\) प्राप्त होता है। दिए गए हल \(x<7\) से तुलना करने पर \(k-2=7\), अतः \(k=9\)। विकल्प 7 केवल हल की सीमा को दर्शाता है, \(k\) का मान नहीं। परीक्षा युक्ति: असमानता को पहले उसी चर के रूप में लिखें और फिर सीमाओं की तुलना करें। / Solving \(x+2<k\) for \(x\) gives \(x<k-2\). Comparing this with the given solution \(x<7\), we get \(k-2=7\), so \(k=9\). The value 7 is the boundary of the solution set, not the value of \(k\). Exam tip: first isolate the variable and then compare the resulting boundary values.
असमानता \(kx+1\leq 9\) में \(x=2\) रखने पर \(2k+1\leq 9\) प्राप्त होता है। अतः \(2k\leq 8\), इसलिए \(k\leq 4\)। प्रश्न में \(k>0\) भी दिया गया है, इसलिए दोनों शर्तों को मिलाकर \(0<k\leq 4\) मिलता है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(k>4\) होने पर असमानता संतुष्ट नहीं होगी। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए मान को प्रतिस्थापित करें और अंत में सभी शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / Substituting \(x=2\) into \(kx+1\leq 9\) gives \(2k+1\leq 9\). Thus, \(2k\leq 8\), so \(k\leq 4\). Since the question also states \(k>0\), combining both conditions gives \(0<k\leq 4\). Option B is incorrect because values \(k>4\) do not satisfy the inequality. In such questions, first substitute the given value and then take the intersection of all conditions.
दिए गए अंतराल में \(-1\) शामिल है, जबकि \(4\) शामिल नहीं है। इसलिए पूर्णांक हल \(-1,0,1,2,3\) हैं। इनकी कुल संख्या \(5\) है। परीक्षा-युक्ति: \(\leq\) वाले छोर को गिनें और \(<\) वाले छोर को न गिनें। / The interval includes \(-1\) because of \(\leq\), but excludes \(4\) because of \(<\). Thus the integer solutions are \(-1,0,1,2,3\), giving a total of \(5\) solutions. Exam tip: include an endpoint marked by \(\leq\) and exclude one marked by \(<\).
दिए गए असमानता से \(5x-1>14\) में दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर \(5x>15\) मिलता है। 5 से भाग देने पर \(x>3\) प्राप्त होता है। इसलिए 3 से बड़ी सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या 4 है। ध्यान रखें कि सख्त असमानता \(x>3\) में \(x=3\) शामिल नहीं होता। / Starting with \(5x-1>14\), add 1 to both sides to get \(5x>15\), and then divide by 5 to obtain \(x>3\). Therefore, the least natural number greater than 3 is 4. Since the inequality is strict, \(x=3\) is not included.
असमानता \(3x+2\leq 11\) को हल करने पर \(3x\leq 9\), इसलिए \(x\leq 3\) प्राप्त होता है। इस सीमा को संतुष्ट करने वाला सबसे बड़ा पूर्णांक \(3\) है। विकल्प 4 और 5 असमानता को संतुष्ट नहीं करते, क्योंकि इनके लिए बायाँ पक्ष 14 या 17 होगा। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से असमानता के दोनों पक्षों को भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Solving \(3x+2\leq 11\) gives \(3x\leq 9\), and hence \(x\leq 3\). Therefore, the greatest integer satisfying the inequality is \(3\). The nearby distractor 4 is incorrect because it gives \(3(4)+2=14>11\); 5 also fails. Exam tip: dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
more than का अर्थ कठोर रूप से बड़ा है इसलिए (a>18) है। यदि exactly (18) हो तो यह शर्त पूरी नहीं होती। / More than means strictly greater so (a>18). If the age is exactly (18), the condition is not satisfied.
कम से कम में सीमा मान शामिल होता है इसलिए \(m\geq33\) है। ऐसे शब्दों में बराबरी पर ध्यान दें। / At least includes the boundary value so \(m\geq33\). Pay attention to equality in such phrases.
“28 से अधिक नहीं” का अर्थ 28 से कम या उसके बराबर होता है, इसलिए असमिका \(4x\leq28\) होगी। दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से भाग देने पर असमिका का चिह्न नहीं बदलता और \(x\leq7\) प्राप्त होता है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \(x=7\) शामिल नहीं है, जबकि 28 के बराबर होना मान्य है। परीक्षा-युक्ति: “not more than” या “अधिक नहीं” दिखे तो \(\leq\) का प्रयोग करें। / “Not more than 28” means less than or equal to 28, so the inequality is \(4x\leq28\). Dividing both sides by the positive number 4 does not reverse the inequality sign, giving \(x\leq7\). Option B is incorrect because it excludes \(x=7\), even though equality is allowed. Exam tip: “not more than” means \(\leq\).
प्रश्न के अनुसार असमानता \(x+6<20\) होगी। दोनों पक्षों से 6 घटाने पर \(x<14\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(x=14\) रखने पर \(x+6=20\) मिलता है, जो 20 से कम नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ‘से कम’ का अर्थ हमेशा सख्त असमानता \(<\) होता है, जबकि ‘से कम या बराबर’ के लिए \(\leq\) प्रयोग किया जाता है। / The statement translates to the inequality \(x+6<20\). Subtracting 6 from both sides gives \(x<14\), so option A is correct. Option C is incorrect because when \(x=14\), the result is exactly 20, not less than 20. Exam tip: ‘less than’ indicates the strict inequality \(<\), whereas ‘less than or equal to’ indicates \(\leq\).
A. 5 पर खुला बिंदु और दाईं ओर छायांकन/Open point at 5 and shading to the right
Explanation
Simple Explanation
दोनों पक्षों से 4 घटाने पर \(x+4>9\) से \(x>5\) प्राप्त होता है। इसलिए 5 संख्या शामिल नहीं है और वहाँ खुला बिंदु बनाया जाता है। 5 से बड़ी सभी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं, इसलिए दाईं ओर छायांकन होगा। विकल्प B में बंद बिंदु गलत है क्योंकि असमानता में \(>\) है, \(\geq\) नहीं। परीक्षा-युक्ति: कठोर असमानता \(>\) या \(<\) के लिए खुला बिंदु और \(\geq\) या \(\leq\) के लिए बंद बिंदु लगाएँ। / Subtracting 4 from both sides gives \(x+4>9\Rightarrow x>5\). Thus, 5 is not included, so an open point is placed at 5. All numbers greater than 5 lie to the right, so the shading is directed to the right. Option B is incorrect because a closed point represents inclusion, as in \(x\geq5\), not the strict inequality \(x>5\). Exam tip: use an open point for \(>\) or \(<\), and a closed point for \(\geq\) or \(\leq\).
बंद बिंदु बराबरी को शामिल करता है और दाईं ओर बड़े मान होते हैं। इसलिए \(x\geq-2\) सही है। / A closed point includes equality and right shading represents larger values. Hence \(x\geq-2\) is correct.
खुला बिंदु बराबरी को हटाता है और बाईं ओर छोटे मान दिखाता है। इसलिए असमानता (x<3) है। / An open point excludes equality and left shading shows smaller values. Therefore the inequality is (x<3).
विकल्प A में \(4x+8\ge 0\) से \(4x\ge -8\) और, 4 से भाग देने पर, \(x\ge -2\) प्राप्त होता है। चूँकि 4 धनात्मक है, असमानता का चिह्न नहीं बदलता। विकल्प B का हल \(x\le -2\), विकल्प C का हल \(x<-2\), तथा विकल्प D का हल \(x\ge 2\) है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न अपरिवर्तित रहता है। / In option A, \(4x+8\ge 0\) gives \(4x\ge -8\), and dividing by 4 gives \(x\ge -2\). Since 4 is positive, the inequality sign remains unchanged. Option B gives \(x\le -2\), option C gives \(x<-2\), and option D gives \(x\ge 2\). Exam tip: dividing or multiplying an inequality by a positive number does not reverse its sign.
विकल्प A में \(3x+2<14\) है। दोनों पक्षों से 2 घटाने पर \(3x<12\) और 3 से भाग देने पर \(x<4\) मिलता है। विकल्प B से \(x>4\), विकल्प C से भी \(x>4\), तथा विकल्प D से \(x\geq4\) प्राप्त होता है। अतः केवल विकल्प A का हल समुच्चय दिया गया है। परीक्षा-टिप: धनात्मक संख्या से असमानता के दोनों पक्षों को भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / In option A, \(3x+2<14\). Subtracting 2 from both sides gives \(3x<12\), and dividing by 3 gives \(x<4\). Option B gives \(x>4\), option C also gives \(x>4\), while option D gives \(x\geq4\). Therefore, only option A has the stated solution set. Exam tip: Dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
असमिका \(-2x\geq10\) के दोनों पक्षों को \(-2\) से भाग देने पर ऋणात्मक संख्या से भाग दिया जाता है, इसलिए असमिका का चिन्ह उलट जाता है: \(x\leq-5\)। \(-5\) शामिल है क्योंकि मूल चिन्ह \(\geq\) था। विकल्प B में चिन्ह न पलटने की वही गलती है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमिका को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर चिन्ह अवश्य उलटें। / Dividing both sides of \(-2x\geq10\) by \(-2\) reverses the inequality sign because the divisor is negative: \(x\leq-5\). The value \(-5\) is included because the original relation was \(\geq\). Option B repeats the mistake of not reversing the sign. Exam tip: Always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता \(-5x<20\) में दोनों पक्षों को \(-5\) से भाग देने पर ऋणात्मक संख्या से भाग देने का नियम लागू होता है, इसलिए असमानता का चिन्ह पलट जाता है: \(x>\frac{20}{-5}=-4\)। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में चिन्ह पलटने की बात नहीं मानी गई है, जबकि विकल्प C और D में \(20\div(-5)=-4\) का चिन्ह गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देते समय चिन्ह अवश्य पलटें। / In \(-5x<20\), dividing both sides by \(-5\) reverses the inequality sign because the divisor is negative. Thus, \(x>\frac{20}{-5}=-4\), so option A is correct. Option B incorrectly keeps the original sign, while options C and D use the wrong sign for \(20\div(-5)\). Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
A. असमानता का चिन्ह पलटेगा/The inequality sign reverses
Explanation
Simple Explanation
ऋण संख्या से भाग देने पर असमानता का क्रम उलट जाता है। यह रैखिक असमानताओं की सबसे सामान्य गलती है। / Dividing by a negative number reverses the order of an inequality. This is the most common mistake in linear inequalities.
असमानता \(7-3x\leq 1\) को हल करने पर \(-3x\leq -6\) मिलता है। दोनों पक्षों को \(-3\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x\geq 2\)। अतः \(x=2,3,4\) हल हैं, जबकि \(x=1\) हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: किसी विकल्प की जाँच के लिए उसका मान मूल असमानता में रखने पर भी उत्तर शीघ्र मिल जाता है। / Solving \(7-3x\leq 1\) gives \(-3x\leq -6\). Dividing both sides by \(-3\) reverses the inequality sign, so \(x\geq 2\). Therefore, \(x=2,3,4\) are solutions, whereas \(x=1\) is not. Exam tip: You can also substitute each option directly into the original inequality for a quick check.
हल (x<3) है इसलिए (x=2) संतुष्ट करता है। विकल्प जांचते समय पहले सामान्य हल निकालना तेज रहता है। / The solution is (x<3) so (x=2) satisfies it. Finding the general solution first is faster than testing all options.
असमानता को हल करते हुए, \(5-2x>-7\) से \(-2x>-12\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को \(-2\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x<6\)। चूँकि \(x\) पूर्णांक है, 6 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 5 है। परीक्षा-युक्ति: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य उलटें। / Solving the inequality, \(5-2x>-7\) gives \(-2x>-12\). Dividing both sides by \(-2\) reverses the inequality sign, so \(x<6\). Since \(x\) is an integer, the greatest integer less than 6 is 5. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता को हल करने पर \(3x-4\ge 8\Rightarrow 3x\ge 12\Rightarrow x\ge 4\) मिलता है। क्योंकि \(x\) पूर्णांक है, सबसे छोटा संभव मान 4 है। विकल्प 3 गलत है, क्योंकि \(3(3)-4=5\), जो 8 से कम है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से असमानता के दोनों पक्षों को भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Solving the inequality gives \(3x-4\ge 8\Rightarrow 3x\ge 12\Rightarrow x\ge 4\). Since \(x\) is an integer, the smallest possible value is 4. Option 3 is incorrect because \(3(3)-4=5\), which is less than 8. Exam tip: dividing both sides of an inequality by a positive number does not reverse the inequality sign.
\(9-3x\leq0\) से \(-3x\leq-9\) और \(x\geq3\) मिलता है। ऋण से भाग देने पर चिन्ह बदलता है। / From \(9-3x\leq0\) we get \(-3x\leq-9\) and then \(x\geq3\). The sign reverses when dividing by a negative number.
