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2115 questions tagged with linear inequalities.
What is the greatest integer (x) satisfying (4x-3<18)?
A. (5)
(4x<21) से \(x<\frac{21}{4}\), इसलिए सबसे बड़ा पूर्णांक (5) है। परीक्षा में पूर्णांक उत्तर मांगने पर सीमा के पास जांच करें।
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What is the solution set of the compound inequality \(1<\frac{x-2}{3}\le 4\)?
A. \(5<x\le 14\)
दिया है \(1<\frac{x-2}{3}\le4\)। चूँकि 3 धनात्मक है, इसलिए तीनों भागों को 3 से गुणा करने पर असमीका-चिह्न नहीं बदलते: \(3<x-2\le12\)। अब तीनों भागों में 2 जोड़ने पर \(5<x\le14\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(x=5\) शामिल है, जबकि मूल असमीका में बायाँ चिह्न \(<\) है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर चिह्न वही रहते हैं; ऋणात्मक संख्या होने पर चिह्न उलटते हैं। / Given \(1<\frac{x-2}{3}\le4\), multiply all three parts by 3. Since 3 is positive, the inequality signs do not change: \(3<x-2\le12\). Adding 2 throughout gives \(5<x\le14\). Hence, option A is correct. Option B incorrectly includes \(x=5\), although the left inequality in the original statement is strict. Exam tip: inequality signs reverse only when multiplying or dividing by a negative number.
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Solve the inequality \(\frac{7-2x}{3}\le \frac{x+1}{6}\).
D. \(x\ge \frac{13}{5}\)
हर (6) से गुणा करने पर \(14-4x\le x+1\), इसलिए \(x\ge \frac{13}{5}\)। परीक्षा में चर को दाईं तरफ ले जाना कभी-कभी आसान होता है। / Multiplying by (6) gives \(14-4x\le x+1\), hence \(x\ge \frac{13}{5}\). Moving the variable to the right can sometimes simplify the work.
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Find the solution set of \(\frac{2x}{3}-\frac{5}{6}\ge \frac{x}{2}+1\).
C. \(x\ge 11\)
हर (6) से गुणा करने पर \(4x-5\ge 3x+6\), इसलिए \(x\ge 11\)। परीक्षा में छोटे हरों का लघुत्तम समापवर्त्य जल्दी लिखें। / Multiplying by (6) gives \(4x-5\ge 3x+6\), so \(x\ge 11\). Quickly identify the LCM of small denominators.
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Solve the inequality \(\frac{4x-7}{5}>\frac{x+2}{10}\).
B. \(x>\frac{16}{7}\)
हर (10) से गुणा करने पर (8x-14>x+2), इसलिए \(x>\frac{16}{7}\)। परीक्षा में भिन्न हटाते समय पूरा अंश गुणा करें। / Multiplying by (10) gives (8x-14>x+2), hence \(x>\frac{16}{7}\). Multiply the complete numerator while clearing fractions.
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What is the solution of \(\frac{x+1}{2}+\frac{x+2}{3}\le \frac{x+3}{4}\)?
A. \(x\le -\frac{5}{7}\)
हर (12) से गुणा करने पर \(6x+6+4x+8\le 3x+9\), इसलिए \(x\le -\frac{5}{7}\)। परीक्षा में समान हर हटाकर रैखिक पद मिलाएं। / Multiplying by (12) gives \(6x+6+4x+8\le 3x+9\), so \(x\le -\frac{5}{7}\). Clear denominators and combine linear terms.
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Solve the inequality (-2(x-4)+5<3(1-x)).
D. (x<-10)
(-2x+13<3-3x) से (x+13<3), इसलिए (x<-10)। परीक्षा में दोनों पक्षों में चर जोड़कर सरल करें।
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Choose the solution set of (5(2-x)\ge 3(4+x)+1).
C. \(x\le -\frac{3}{8}\)
\(10-5x\ge 13+3x\) से \(-8x\ge 3\), इसलिए \(x\le -\frac{3}{8}\)। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक से भाग देने पर चिन्ह पलटें। / \(10-5x\ge 13+3x\) gives \(-8x\ge 3\), so \(x\le -\frac{3}{8}\). Reverse the sign when dividing by a negative coefficient.
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What is the solution of \(\frac{3x}{4}-2>\frac{x}{2}+5\)?
B. (x>28)
\(\frac{x}{4}>7\) मिलता है, इसलिए (x>28)। परीक्षा में चर पदों को एक तरफ और स्थिर पदों को दूसरी तरफ रखें। / We get \(\frac{x}{4}>7\), so (x>28). Keep variable terms on one side and constants on the other.
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Solve the inequality \(\frac{5x+2}{4}\le \frac{3x-1}{2}+1\).
A. \(x\ge 0\)
हर (4) से गुणा करने पर (5x+2\le 2(3x-1)+4), इसलिए \(x\ge 0\)। परीक्षा में पूरे दाएं पक्ष पर हर का गुणा करें। / Multiplying by (4) gives (5x+2\le 2(3x-1)+4), hence \(x\ge 0\). Multiply the entire right side while clearing denominators.
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Choose the solution set of \(\frac{2x-1}{3}+\frac{x+5}{6}\ge 2\).
D. \(x\ge \frac{9}{5}\)
हर (6) से गुणा करने पर (2(2x-1)+(x+5)\ge 12), इसलिए \(5x+3\ge 12\) और \(x\ge \frac{9}{5}\)। परीक्षा में लघुत्तम समापवर्त्य से हर हटाएं। / Multiplying by (6) gives (2(2x-1)+(x+5)\ge 12), so \(5x+3\ge 12\) and \(x\ge \frac{9}{5}\). Use the LCM to clear denominators.
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What is the solution of \(\frac{x+3}{2}-\frac{x-1}{3}<4\)?
C. (x<13)
हर (6) से गुणा करने पर (3(x+3)-2(x-1)<24), इसलिए (x<13)। परीक्षा में भिन्नों को हटाने के बाद कोष्ठक जरूर खोलें। / Multiplying by (6) gives (3(x+3)-2(x-1)<24), hence (x<13). After clearing fractions, expand brackets carefully.
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D. \(x\ge 1\)
\(7-8x\le 3x-4\) से \(11\le 11x\), इसलिए \(x\ge 1\)। परीक्षा में ऋणात्मक गुणा से कोष्ठक खोलते समय चिन्ह ध्यान रखें। / \(7-8x\le 3x-4\) gives \(11\le 11x\), hence \(x\ge 1\). Be careful with signs while expanding a negative multiple.
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Choose the solution set of (2(3x-1)-5\ge 4x+7).
C. \(x\ge 7\)
\(6x-7\ge 4x+7\) से \(2x\ge 14\), इसलिए \(x\ge 7\)। परीक्षा में कोष्ठक और स्थिर पद दोनों ध्यान से सरल करें। / \(6x-7\ge 4x+7\) gives \(2x\ge 14\), so \(x\ge 7\). Simplify brackets and constants carefully.
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What is the solution of (12-5x<2)?
B. (x>2)
(-5x<-10), इसलिए चिन्ह पलटकर (x>2) मिलता है। परीक्षा में ऋणात्मक भाग देने पर चिन्ह अवश्य पलटें। / (-5x<-10), so reversing the sign gives (x>2). Always reverse the sign when dividing by a negative.
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Solve the inequality \(-4x+9\ge 25\).
A. \(x\le -4\)
\(-4x\ge 16\) और ऋणात्मक से भाग देने पर \(x\le -4\)। परीक्षा में अंतिम चरण में असमीका चिन्ह जांचें। / \(-4x\ge 16\), and dividing by a negative gives \(x\le -4\). Check the inequality sign in the final step.
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Find the solution set of (1.5-0.3x<0.6).
D. (x>3)
(-0.3x<-0.9) और ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर (x>3)। परीक्षा में दशमलव के साथ भी चिन्ह पलटने का नियम वही रहता है। / (-0.3x<-0.9), and division by a negative gives (x>3). The sign reversal rule also applies with decimals.
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What is the solution of \(0.4x+1.2\le 3.6\)?
C. \(x\le 6\)
\(0.4x\le 2.4\), इसलिए \(x\le 6\)। परीक्षा में दशमलव को भिन्न में बदलना गणना आसान कर सकता है। / \(0.4x\le 2.4\), so \(x\le 6\). Converting decimals to fractions can simplify exam calculations.
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Solve the inequality \(\frac{3x+1}{2}>\frac{x-5}{4}\).
B. \(x>-\frac{7}{5}\)
(2(3x+1)>x-5) से (6x+2>x-5), इसलिए \(x>-\frac{7}{5}\)। परीक्षा में हर हटाते समय हर पक्ष पर सही गुणा करें। / (2(3x+1)>x-5) gives (6x+2>x-5), so \(x>-\frac{7}{5}\). Multiply both sides correctly while clearing denominators.
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Choose the solution set of \(\frac{x-2}{5}\le \frac{x+4}{3}\).
A. \(x\ge -13\)
(3(x-2)\le 5(x+4)) से \(3x-6\le 5x+20\), इसलिए \(x\ge -13\)। परीक्षा में लघुत्तम समापवर्त्य से हर हटाएं। / (3(x-2)\le 5(x+4)) gives \(3x-6\le 5x+20\), hence \(x\ge -13\). Use the LCM to clear denominators.
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Solve the inequality (6x-1\ge 2(2x+7)).
D. \(x\ge \frac{15}{2}\)
\(6x-1\ge 4x+14\) से \(2x\ge 15\), इसलिए \(x\ge \frac{15}{2}\)। परीक्षा में दोनों पक्षों को पहले सरल करें। / \(6x-1\ge 4x+14\) gives \(2x\ge 15\), so \(x\ge \frac{15}{2}\). Simplify both sides first in exams.
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Find the solution set of (2x+5<3x-4).
C. \(x>9\)
दिए गए असमीकरण में दोनों पक्षों से \(2x\) घटाने पर \(5<x-4\) मिलता है। अब दोनों पक्षों में \(4\) जोड़ने पर \(9<x\), अर्थात \(x>9\) प्राप्त होता है। \(x\geq 9\) सही नहीं है, क्योंकि मूल असमीकरण में चिह्न \(<\) है और \(x=9\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर हो जाते हैं। परीक्षा टिप: असमीकरण में केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर चिह्न उलटता है। / Subtracting \(2x\) from both sides gives \(5<x-4\). Adding \(4\) to both sides gives \(9<x\), or \(x>9\). The option \(x\geq 9\) is not correct because the original inequality is strict; at \(x=9\), both sides are equal. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
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What will be the solution of (7-3(x+1)>2x-6)?
B. \(x<2\)
पहले कोष्ठक खोलने पर \(7-3x-3>2x-6\), अर्थात \(4-3x>2x-6\) मिलता है। दोनों पक्षों में \(3x\) और \(6\) जोड़ने पर \(10>5x\) होगा। 5 धनात्मक है, इसलिए 5 से भाग देने पर असमीका का चिह्न नहीं बदलेगा और \(x<2\) प्राप्त होगा। \(x\leq2\) गलत है क्योंकि दी गई असमीका में चिह्न \(>\) है, बराबरी शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमीका का चिह्न उलटता है। / On expanding the bracket, \(7-3x-3>2x-6\), so \(4-3x>2x-6\). Adding \(3x\) and \(6\) to both sides gives \(10>5x\). Since 5 is positive, dividing by 5 does not reverse the inequality sign, giving \(x<2\). The option \(x\leq2\) is incorrect because the original inequality is strict and does not include equality. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
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Solve the inequality (4(x-2)+3\le 2x+9).
A. \(x\le 7\)
सरलीकरण से \(4x-5\le 2x+9\), इसलिए \(2x\le 14\) और \(x\le 7\)। परीक्षा में कोष्ठक सही खोलें। / Simplifying gives \(4x-5\le 2x+9\), so \(2x\le 14\) and \(x\le 7\). Open brackets carefully in exams.
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Choose the solution set of the inequality \(\frac{2x-5}{4}\ge 3\).
D. \(x\ge \frac{17}{2}\)
\(2x-5\ge 12\) से \(2x\ge 17\), इसलिए \(x\ge \frac{17}{2}\)। परीक्षा में धनात्मक हर से गुणा करने पर चिन्ह नहीं बदलता। / From \(2x-5\ge 12\), \(2x\ge 17\), so \(x\ge \frac{17}{2}\). Multiplying by a positive denominator does not change the sign.
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What is the solution of the inequality \(\frac{x}{3}+4<7\)?
C. \(x<9\)
दिया है \(\frac{x}{3}+4<7\)। दोनों पक्षों से 4 घटाने पर \(\frac{x}{3}<3\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 3 से गुणा करने पर असमीका का चिह्न नहीं बदलता और \(x<9\) प्राप्त होता है। \(x\leq 9\) गलत है, क्योंकि मूल असमीका में चिह्न कठोर \(<\) है। परीक्षा टिप: किसी असमीका को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही चिह्न की दिशा बदलती है। / Given \(\frac{x}{3}+4<7\), subtracting 4 from both sides gives \(\frac{x}{3}<3\). Multiplying both sides by the positive number 3 does not change the inequality sign, so \(x<9\). The option \(x\leq 9\) is incorrect because the original inequality is strict. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
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Solve the inequality \(5-2x\le 13\).
B. \(x\ge -4\)
\(-2x\le 8\) और ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिन्ह पलटता है इसलिए \(x\ge -4\)। परीक्षा में ऋणात्मक गुणांक पर विशेष ध्यान दें। / \(-2x\le 8\) and dividing by a negative reverses the sign so \(x\ge -4\). Watch the sign reversal in exams.
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Find the solution set of the inequality (3x-7>11).
A. \(x>6\)
दिया है \(3x-7>11\)। दोनों पक्षों में 7 जोड़ने पर \(3x>18\) मिलता है। अब 3 से भाग देने पर असमीका की दिशा नहीं बदलती, इसलिए \(x>6\)। \(x\geq6\) सही नहीं है, क्योंकि मूल असमीका में बराबरी का चिह्न नहीं है और \(x=6\) रखने पर \(11>11\) असत्य होता है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमीका का चिह्न नहीं बदलता। / Given \(3x-7>11\), add 7 to both sides to get \(3x>18\). Dividing by the positive number 3 does not reverse the inequality, so \(x>6\). The option \(x\geq6\) is incorrect because equality is not included; substituting \(x=6\) gives \(11>11\), which is false. Exam tip: an inequality sign changes direction only when multiplying or dividing by a negative number.
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What is the solution of the inequality \(\frac{3x-1}{2}\leq x+4\)?
A. \(x\leq9\)
(2) से गुणा करने पर \(3x-1\leq2x+8\) मिलता है। समान पद मिलाने पर \(x\leq9\) सही हल है। / Multiplying by (2) gives \(3x-1\leq2x+8\). Combining like terms gives the correct solution \(x\leq9\).
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What is the solution set of the inequality (5(x-1)+2<5x)?
A. सभी \(x\in\mathbb{R}\)All \(x\in\mathbb{R}\)
सरल करने पर (5x-3<5x) मिलता है। (5x) घटाने पर (-3<0) सत्य है इसलिए सभी वास्तविक (x) हल हैं। / Simplifying gives (5x-3<5x). Subtracting (5x) gives (-3<0), which is true, so all real (x) are solutions.
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