दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 10 से गुणा करने पर \(2(1-2x)\leq 5(3-x)\) मिलता है। अर्थात \(2-4x\leq 15-5x\)। दोनों पक्षों में \(5x\) जोड़ने पर \(2+x\leq 15\), इसलिए \(x\leq 13\)। \(x<13\) निकटतम विकल्प है, पर \(x=13\) पर दोनों पक्ष बराबर हैं, इसलिए 13 भी हल में शामिल है। परीक्षा टिप: किसी असमानता को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Multiplying both sides by the positive number 10 gives \(2(1-2x)\leq 5(3-x)\), or \(2-4x\leq 15-5x\). Adding \(5x\) to both sides gives \(2+x\leq 15\), hence \(x\leq 13\). The closest distractor is \(x<13\), but \(x=13\) makes both sides equal, so it must be included. Exam tip: multiplying an inequality by a positive number does not reverse its sign.
असमानता से \(kx-3\leq 9\) ⇒ \(kx\leq 12\) प्राप्त होता है। क्योंकि \(k>0\) है, इसलिए \(k\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(x\leq \frac{12}{k}\) मिलता है। दिया है कि हल \(x\leq 4\) है, अतः \(\frac{12}{k}=4\), जिससे \(k=3\)। विकल्प 4 लेने पर सीमा \(x\leq 3\) आती, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न वही रहता है; ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिह्न उलटता है। / From \(kx-3\leq 9\), we get \(kx\leq 12\). Since \(k>0\), dividing by \(k\) does not reverse the inequality, so \(x\leq \frac{12}{k}\). The given solution is \(x\leq 4\); hence \(\frac{12}{k}=4\), giving \(k=3\). If \(k=4\), the boundary would be \(x\leq 3\), so it is not correct. Exam tip: dividing an inequality by a positive number keeps its sign unchanged, while dividing by a negative number reverses it.
चूँकि 3 धनात्मक है, इसलिए पूरी संयुक्त असमानता को 3 से गुणा करने पर असमानता के चिह्न नहीं बदलते: \(-12\leq x-1<6\)। अब तीनों भागों में 1 जोड़ने पर \(-11\leq x<7\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(x-1\) से \(x\) पाने के लिए 1 जोड़ने का चरण छूट गया है। परीक्षा टिप: संयुक्त असमानता में प्रत्येक संक्रिया को बाएँ, मध्य और दाएँ—तीनों भागों पर लागू करें। / Since 3 is positive, multiplying every part of the compound inequality by 3 does not reverse the inequality signs: \(-12\leq x-1<6\). Adding 1 to all three parts gives \(-11\leq x<7\). Hence, option A is correct. Option B incorrectly stops before adding 1 to isolate \(x\). Exam tip: In a compound inequality, apply each operation to the left, middle, and right parts alike.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(7-3x<2x+2\)। अतः \(5<5x\), इसलिए \(x>1\)। \(x\geq1\) सही नहीं है, क्योंकि \(x=1\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं, जबकि प्रश्न में कठोर असमानता \(<\) है। परीक्षा टिप: असमानता को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही उसका चिह्न पलटता है। / Multiplying both sides by the positive number 4 does not change the inequality sign: \(7-3x<2x+2\). Hence \(5<5x\), so \(x>1\). Option \(x\geq1\) is not correct because at \(x=1\), both sides are equal, whereas the question has a strict inequality, \(<\). Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
दिया है: \(2(3-x)>x+9\)। कोष्ठक खोलने पर \(6-2x>x+9\) मिलता है। दोनों पक्षों से \(x\) घटाने पर \(6-3x>9\), अर्थात \(-3x>3\)। अब \(-3\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न पलट जाता है, इसलिए \(x<-1\)। \(x\leq -1\) गलत है क्योंकि मूल असमानता में चिह्न \(>\) है, अतः \(x=-1\) शामिल नहीं होगा। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न अवश्य पलटें। / Given \(2(3-x)>x+9\), expand the bracket: \(6-2x>x+9\). Subtracting \(x\) from both sides gives \(6-3x>9\), so \(-3x>3\). On dividing by \(-3\), the inequality sign reverses; hence \(x<-1\). The option \(x\leq -1\) is incorrect because the original inequality is strict, so \(x=-1\) is not included. Exam tip: always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 10 से गुणा करने पर \(8x+6>20-(x-1)=21-x\) प्राप्त होता है। अतः \(9x>15\), इसलिए \(x>\frac{5}{3}\)। \(x<\frac{5}{3}\) में असमानता की दिशा गलत हो जाती है; धनात्मक संख्या से गुणा करने पर दिशा नहीं बदलती। परीक्षा टिप: कोष्ठक खोलते समय \(-(x-1)=-x+1\) लिखना न भूलें। / Multiplying both sides by the positive number 10 gives \(8x+6>20-(x-1)=21-x\). Hence, \(9x>15\), so \(x>\frac{5}{3}\). The option \(x<\frac{5}{3}\) reverses the inequality incorrectly; multiplication by a positive number does not change the inequality sign. Exam tip: while removing brackets, remember that \(-(x-1)=-x+1\).
असमानता \(3x+a<12\) से \(3x<12-a\), अतः \(x<\frac{12-a}{3}\) प्राप्त होता है। दिया है कि इसका हल \(x<2\) है, इसलिए \(\frac{12-a}{3}=2\)। इससे \(12-a=6\) और \(a=6\) मिलता है। उदाहरण के लिए, \(a=5\) रखने पर सीमा \(x<\frac{7}{3}\) होगी, जो \(x<2\) नहीं है। परीक्षा टिप: किसी रैखिक असमानता के हल में दी गई सीमा को पहले सीमा-बिंदु वाले व्यंजक के बराबर रखें। / From \(3x+a<12\), we get \(3x<12-a\), so \(x<\frac{12-a}{3}\). Since the given solution is \(x<2\), the boundary values must be equal: \(\frac{12-a}{3}=2\). Thus, \(12-a=6\), giving \(a=6\). For example, if \(a=5\), the solution would be \(x<\frac{7}{3}\), not \(x<2\). Exam tip: when a solution boundary is given, equate it to the boundary expression obtained after solving the inequality.
असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(6\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(36-2x\geq 6x-3\)। अतः \(39\geq 8x\), इसलिए \(x\leq \frac{39}{8}\)। विकल्प \(x<\frac{39}{8}\) गलत है, क्योंकि \(x=\frac{39}{8}\) पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं और \(\geq\) में बराबरी शामिल होती है। परीक्षा टिप: असमानता को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही चिह्न पलटता है। / Multiplying both sides by the positive number \(6\) does not change the inequality sign: \(36-2x\geq 6x-3\). Hence, \(39\geq 8x\), so \(x\leq \frac{39}{8}\). The option \(x<\frac{39}{8}\) is incorrect because \(x=\frac{39}{8}\) makes both sides equal, and \(\geq\) includes equality. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता को हल करें: \(2x-5<11\Rightarrow 2x<16\Rightarrow x<8\)। प्राकृतिक संख्याओं को \(1,2,3,\ldots\) मानने पर \(x\) के संभव मान \(1,2,3,4,5,6,7\) हैं। अतः कुल 7 मान हैं। विकल्प 8 तब मिलता यदि 0 को भी प्राकृतिक संख्या माना जाए, पर इस प्रश्न में प्रचलित स्कूल-परिभाषा \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}\) ली गई है। परीक्षा टिप: असमानता हल करने के बाद दिए गए संख्या-समुच्चय के अनुसार मानों को अलग से गिनें। / Solve the inequality: \(2x-5<11\Rightarrow 2x<16\Rightarrow x<8\). Taking natural numbers as \(1,2,3,\ldots\), the possible values of \(x\) are \(1,2,3,4,5,6,7\). Hence, there are 7 values. The answer would be 8 only under the convention that 0 is included in natural numbers; this question uses the common school convention \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}\). Exam tip: After solving an inequality, count values according to the specified number set.
असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(-2(x-6)\leq 3x+2\)। अतः \(-2x+12\leq 3x+2\), जिससे \(10\leq 5x\) और इसलिए \(x\geq 2\) मिलता है। \(x>2\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, पर \(x=2\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं, इसलिए 2 भी हल में शामिल है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न पलटता है। / Multiplying both sides by the positive number 4 does not reverse the inequality: \(-2(x-6)\leq 3x+2\). Thus, \(-2x+12\leq 3x+2\), so \(10\leq 5x\), giving \(x\geq 2\). The closest distractor is \(x>2\), but \(x=2\) makes both sides equal, so 2 must be included. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
दिया गया व्यंजक सरल करने पर \(9-4x-4<2x-7\), अर्थात \(5-4x<2x-7\) मिलता है। दोनों पक्षों में \(4x+7\) जोड़ने पर \(12<6x\) प्राप्त होता है। चूँकि 6 धनात्मक है, 6 से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(x>2\) मिलता है। \(x\geq2\) गलत है क्योंकि मूल असमानता में चिह्न \(<\) है, इसलिए \(x=2\) शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: किसी धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न अपरिवर्तित रहता है। / On simplifying, \(9-4x-4<2x-7\), so \(5-4x<2x-7\). Adding \(4x+7\) to both sides gives \(12<6x\). Since 6 is positive, dividing by 6 does not reverse the inequality sign, giving \(x>2\). The option \(x\geq2\) is incorrect because the original inequality is strict, so \(x=2\) is not included. Exam tip: An inequality sign remains unchanged when dividing by a positive number.
हरों 3, 4 और 6 का लघुत्तम समापवर्त्य 12 है। असमता के दोनों पक्षों को 12 से गुणा करने पर \(8x+4-3x+6\geq 2x+10\) मिलता है। अतः \(5x+10\geq 2x+10\), इसलिए \(3x\geq 0\), अर्थात \(x\geq 0\)। विकल्प \(x>0\) गलत है क्योंकि \(x=0\) भी असमता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमता का चिह्न नहीं बदलता। / The LCM of the denominators 3, 4, and 6 is 12. Multiplying both sides of the inequality by 12 gives \(8x+4-3x+6\geq 2x+10\). Thus, \(5x+10\geq 2x+10\), so \(3x\geq 0\), which gives \(x\geq 0\). The option \(x>0\) is incorrect because \(x=0\) also satisfies the inequality. Exam tip: the inequality sign does not change when multiplying by a positive number.
दशमलव हटाने के लिए असमानता के दोनों पक्षों को 10 से गुणा करें: \(4x-12\leq x+21\)। अब \(x\) वाले पदों को एक ओर रखने पर \(3x\leq 33\) मिलता है, अतः \(x\leq 11\)। विकल्प \(x<11\) सही नहीं है, क्योंकि \(x=11\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं और बराबरी का चिह्न \(\leq\) में शामिल है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Multiply both sides by 10 to remove the decimals: \(4x-12\leq x+21\). Collecting the \(x\)-terms on one side gives \(3x\leq 33\), so \(x\leq 11\). The option \(x<11\) is not correct because \(x=11\) makes both sides equal, and equality is included in \(\leq\). Exam tip: multiplying or dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
कोष्ठक खोलने पर बायाँ पक्ष \(2x-2+3x+6=5x+4\) मिलता है। इसलिए \(5x+4\geq 4x+11\) से दोनों पक्षों से \(4x\) घटाने पर \(x+4\geq 11\), अर्थात \(x\geq 7\)। \(x>7\) सही नहीं है, क्योंकि \(x=7\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं और \(\geq\) में बराबरी शामिल होती है। परीक्षा टिप: असमानता में बराबरी का चिह्न होने पर सीमा मान को अवश्य जाँचें। / Expanding the brackets gives the left-hand side as \(2x-2+3x+6=5x+4\). Thus, \(5x+4\geq 4x+11\) gives \(x+4\geq 11\) after subtracting \(4x\) from both sides, so \(x\geq 7\). The option \(x>7\) is not correct because at \(x=7\), both sides are equal, and \(\geq\) includes equality. Exam tip: When an inequality includes equality, always test the boundary value.
A. यह एक अंतराल, किरण, एकल बिंदु, समस्त वास्तविक संख्याएँ अथवा रिक्त समुच्चय हो सकता है।
Explanation
Simple Explanation
एक चर वाली प्रत्येक रैखिक असमिका का हल एक किरण, समस्त वास्तविक संख्याएँ या रिक्त समुच्चय होता है। किसी तंत्र में सभी असमिकाएँ एक साथ सत्य होनी चाहिए, इसलिए उनके हलों का प्रतिच्छेद लिया जाता है। किरणों और अंतरालों का प्रतिच्छेद फिर से अंतराल, किरण, एकल बिंदु, समस्त वास्तविक संख्याएँ या रिक्त समुच्चय ही देता है। विकल्प B गलत है, क्योंकि केवल ‘और’ वाले तंत्र का हल दो अलग-अलग असंबद्ध अंतराल नहीं बना सकता। परीक्षा टिप: ‘और’ के लिए प्रतिच्छेद तथा ‘या’ के लिए संघ का विचार करें। / Each linear inequality in one variable gives a ray, all real numbers, or an empty set. In a system, all inequalities must hold simultaneously, so we take the intersection of their solution sets. An intersection of rays or intervals is again an interval, a ray, a single point, all real numbers, or the empty set. Option B is incorrect because an AND-system cannot produce two separated non-empty intervals. Exam tip: use intersection for “and” and union for “or”.
कोष्ठक खोलने पर \(10-5x\leq 12-3x-8\), अर्थात \(10-5x\leq 4-3x\) मिलता है। दोनों पक्षों में \(5x\) जोड़ने पर \(10\leq 4+2x\), इसलिए \(6\leq 2x\) और \(x\geq 3\) प्राप्त होता है। \(x>3\) निकटतम विकल्प है, पर वह \(x=3\) को छोड़ देता है, जबकि मूल असमानता में \(\leq\) होने से \(x=3\) भी शामिल है। परीक्षा टिप: असमानता को किसी धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिह्न नहीं बदलता। / Expanding the brackets gives \(10-5x\leq 12-3x-8\), i.e. \(10-5x\leq 4-3x\). Adding \(5x\) to both sides gives \(10\leq 4+2x\), so \(6\leq 2x\) and hence \(x\geq 3\). The closest distractor is \(x>3\), but it excludes \(x=3\); the equality case is included because the original sign is \(\leq\). Exam tip: dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
दिया है: \( -3\leq 2x+5<11 \)। तीनों भागों में से 5 घटाने पर \( -8\leq 2x<6 \) मिलता है। अब तीनों भागों को धनात्मक संख्या 2 से भाग देने पर असमानता के चिह्न नहीं बदलते और \( -4\leq x<3 \) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में दोनों सिरों के खुले-बंद चिह्न उलट गए हैं। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिह्न वही रहते हैं, जबकि ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर चिह्न पलटते हैं। / Given \( -3\leq 2x+5<11 \), subtract 5 from all three parts to get \( -8\leq 2x<6 \). Dividing all parts by the positive number 2 does not reverse the inequality signs, giving \( -4\leq x<3 \). Hence, option A is correct. In option C, the open and closed endpoints have been reversed. Exam tip: Inequality signs remain unchanged when dividing by a positive number, but reverse when dividing by a negative number.
सरलीकरण से (-5x>-3) मिलता है और ऋणात्मक से भाग देने पर चिह्न बदलता है। परीक्षा में इसी स्टेप पर सबसे अधिक गलती होती है। / Simplification gives (-5x>-3) and division by a negative reverses the sign. This is the most common exam error.
हर पद को (12) से गुणा करने पर \(5x-31\leq 0\) मिलता है। परीक्षा में हरात्मक हटाते समय चिह्न ध्यान से रखें। / Multiplying every term by (12) gives \(5x-31\leq 0\). In exams keep the inequality sign unchanged when multiplying by a positive number.
लघुत्तम समापवर्त्य (4) से गुणा करने पर \(21-3x\le 8x+14\) मिलता है, इसलिए \(x\ge \frac{7}{11}\)। भिन्न हटाने के बाद पदों को सही पक्ष में ले जाएँ। / Multiplying by (LCM\(=4) gives (21-3x\le 8x+14), so (x\ge \frac{7}{11}). After removing fractions, move terms to the correct side carefully.\)
सरल करने पर (1-2x>4x-11) यानी (12>6x) से (x<2) मिलता है। अंतराल लिखते समय खुले और बंद सिरों पर ध्यान दें। / Simplifying gives (1-2x>4x-11), so (12>6x) and (x<2). While writing intervals, pay attention to open and closed endpoints.
बाईं ओर (x-14) है, इसलिए \(x-14\ge 5-\frac{x}{2}\) से \(\frac{3x}{2}\ge 19\) और \(x\ge \frac{38}{3}\) मिलता है। कोष्ठक खोलते समय संकेतों की गलती सबसे आम होती है। / The left side is (x-14), so \(x-14\ge 5-\frac{x}{2}\) gives \(\frac{3x}{2}\ge 19\) and \(x\ge \frac{38}{3}\). Sign errors while opening brackets are very common in exams.
(LCM=10) से गुणा करने पर \(2x-4\le 1-2x\) मिलता है, इसलिए \(4x\le 5\) और \(x\le \frac{5}{4}\)। दिए गए विकल्पों में यह नहीं है, इसलिए प्रश्न में निकट विकल्प नहीं चुनना चाहिए। / Multiplying by (LCM\(=10) gives (2x-4\le 1-2x), so (4x\le 5) and (x\le \frac{5}{4}). Do not choose an approximate option when the exact answer is absent.\)
सरल करने पर (7-6x<10-5x) यानी (-x<3) से (x>-3) नहीं, बल्कि दोबारा जाँच पर (7<10+x) इसलिए (x>-3) मिलता है। विकल्पों में सही अंतराल नहीं है, इसलिए यह प्रश्न सावधानी से पढ़ना चाहिए। / Simplifying gives (7-6x<10-5x), so (7<10+x) and hence (x>-3). Since the exact interval is not listed, this item tests careful option checking.
दोनों भाग अलग हल करने पर \(x\ge \frac{3}{5}\) और \(x>-\frac{2}{3}\) मिलते हैं, इसलिए साझा हल \(x\ge \frac{3}{5}\) है। संयुक्त असमानता में हमेशा प्रतिच्छेद लें। / Solving both parts separately gives \(x\ge \frac{3}{5}\) and \(x>-\frac{2}{3}\), so the common solution is \(x\ge \frac{3}{5}\). For compound inequalities, always take the intersection.
हर पद को (LCM=6) से गुणा करने पर (,x-13>1,) मिलता है, इसलिए (x>14)। परीक्षा में भिन्न हटाने के बाद चिन्ह ध्यान से रखें। / Multiplying every term by (LCM\(=6) gives (x-13>1), so (x>14). In exams, remove fractions first and track the inequality sign carefully.\)
सरलीकरण से \(4x-13\le x+4\) मिलता है। इसलिए \(3x\le17\) और अंतिम हल \(x\le\frac{17}{3}\) है। / Simplification gives \(4x-13\le x+4\). Hence \(3x\le17\), and the final solution is \(x\le\frac{17}{3}\).
बाईं ओर को सरल करने पर \(3(2x-1)-2(x+5)=6x-3-2x-10=4x-13\) मिलता है। अतः \(4x-13\le x+4\), यानी \(3x\le17\)। 3 धनात्मक है, इसलिए दोनों पक्षों को 3 से भाग देने पर असमता का चिह्न नहीं बदलता और \(x\le\frac{17}{3}\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प D में असमता का चिह्न विपरीत है। परीक्षा टिप: किसी असमता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही उसका चिह्न पलटता है। / Simplifying the left-hand side gives \(3(2x-1)-2(x+5)=6x-3-2x-10=4x-13\). Thus, \(4x-13\le x+4\), so \(3x\le17\). Since 3 is positive, dividing both sides by 3 does not reverse the inequality sign, giving \(x\le\frac{17}{3}\). Therefore, option C is correct. Option D has the inequality sign reversed. Exam tip: Reverse an inequality only when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता
\(-10<4x+2\le18\) में सभी भागों से 2 घटाने पर \(-12<4x\le16\) मिलता है। 4 धनात्मक है, इसलिए 4 से भाग देने पर असमानता के चिह्न नहीं बदलते: \(-3<x\le4\)। इस अंतराल में सबसे बड़ा पूर्णांक \(4\) है। \(5\) लेने पर \(4x+2=22\) होगा, जो 18 से बड़ा है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न वही रहता है। / From \(-10<4x+2\le18\), subtract 2 throughout to get \(-12<4x\le16\). Since 4 is positive, dividing by 4 does not reverse either inequality sign: \(-3<x\le4\). The greatest integer in this interval is \(4\). For \(x=5\), \(4x+2=22\), which is greater than 18. Exam tip: inequality signs reverse only when multiplying or dividing by a negative number.
धनात्मक (6) से गुणा करने पर (24-2(2x+1)\ge3(1-x)) मिलता है। इससे \(22-4x\ge3-3x\), इसलिए \(x\le19\)। / Multiplying by positive (6) gives (24-2(2x+1)\ge3(1-x)). Thus \(22-4x\ge3-3x\), so \(x\le19\).
