बायाँ पक्ष \(-\frac{11}{5}\) बनता है और \(-\frac{11}{5}<\frac{5}{2}\) सत्य है। इसलिए हर वास्तविक (x) हल है। / The left side becomes \(-\frac{11}{5}\), and \(-\frac{11}{5}<\frac{5}{2}\) is true. Therefore every real (x) is a solution.
हर हटाने और सरलीकरण पर \(38\le 7x\) मिलता है। इसलिए \(x\ge \frac{38}{7}\) सही हल है। / After clearing denominators and simplifying, \(38\le 7x\). Therefore \(x\ge \frac{38}{7}\) is the correct solution.
हर हटाने पर (12x+11>35), इसलिए (x>2)। धनात्मक लघुत्तम समापवर्त्य से गुणा करने पर चिह्न नहीं बदलता। / Clearing denominators gives (12x+11>35), so (x>2). Multiplying by a positive LCM does not change the sign.
सरलीकरण के बाद \(2\ge 4\) मिलता है, जो असत्य है। असत्य स्थिर असमानता का हल रिक्त समुच्चय होता है। / After simplification, \(2\ge 4\), which is false. A false constant inequality has an empty solution set.
बायाँ पक्ष (-5) बनता है, इसलिए \(-5\le x-8\) और \(x\ge 3\)। चर कटने पर बचे स्थिर पद को सही तरफ रखें। / The left side becomes (-5), so \(-5\le x-8\) and \(x\ge 3\). When variables cancel, place the remaining constant correctly.
सरलीकरण से \(2x\ge 15\) मिलता है, इसलिए \(x\ge \frac{15}{2}\)। कोष्ठक खोलते समय ऋण चिह्न ध्यान से लगाएँ। / Simplification gives \(2x\ge 15\), so \(x\ge \frac{15}{2}\). Apply the negative sign carefully while opening brackets.
हर हटाने पर (6x+21<6x+18), जो असत्य है। यदि चर हट जाए और कथन असत्य हो, तो हल रिक्त होता है। / After clearing denominators, (6x+21<6x+18), which is false. If the variable cancels and the statement is false, the solution is empty.
हर हटाने पर \(7x-14\ge 12\), अतः \(x\ge \frac{26}{7}\)। भिन्नों में पहले लघुत्तम समापवर्त्य से गुणा करें। / Clearing denominators gives \(7x-14\ge 12\), hence \(x\ge \frac{26}{7}\). For fractions, multiply by the LCM first.
सरलीकरण पर (-6x>2) मिलता है, इसलिए \(x<-\frac{1}{3}\)। ऋणात्मक गुणांक से भाग देते समय चिह्न उलटता है। / Simplification gives (-6x>2), so \(x<-\frac{1}{3}\). Reverse the sign when dividing by a negative coefficient.
दोनों पक्ष समान बनते हैं, इसलिए असमानता हर वास्तविक (x) के लिए सत्य है। पहचान जैसी स्थिति में सभी वास्तविक संख्याएँ उत्तर होती हैं। / Both sides become identical, so the inequality is true for every real (x). In an identity-type inequality, all real numbers are the solution.
असमानता से \(ax+7<1\Rightarrow ax<-6\) मिलता है। हल \(x>3\) होने के लिए \(a\) ऋणात्मक होना चाहिए, क्योंकि ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न पलटता है। सीमा मान \(x=3\) रखने पर \(3a=-6\), अतः \(a=-2\)। जाँच: \(-2x+7<1\Rightarrow -2x<-6\Rightarrow x>3\)। \(a=2\) लेने पर \(x<-3\) मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय चिह्न अवश्य पलटें। / From \(ax+7<1\), we get \(ax<-6\). For the solution to be \(x>3\), \(a\) must be negative because dividing an inequality by a negative number reverses its sign. At the boundary value \(x=3\), \(3a=-6\), so \(a=-2\). Check: \(-2x+7<1\Rightarrow -2x<-6\Rightarrow x>3\). If \(a=2\), the result is \(x<-3\), so it is not correct. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative quantity.
असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 10 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(6x-4-5x-20\geq -10\)। अतः \(x-24\geq -10\), इसलिए \(x\geq 14\)। विकल्प \(x>14\) में 14 शामिल नहीं है, जबकि \(x=14\) मूल असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: हर भिन्न के हर का LCM लेकर गुणा करने से ऐसी असमानताएँ जल्दी हल होती हैं। / Multiplying both sides by the positive number 10 does not change the inequality sign: \(6x-4-5x-20\geq -10\). Thus, \(x-24\geq -10\), so \(x\geq 14\). The option \(x>14\) is incorrect because it excludes 14, and \(x=14\) satisfies the original inequality. Exam tip: Multiply by the LCM of the denominators to solve fractional inequalities efficiently.
अंतराल खाली न हो इसके लिए बायाँ सिरा दाएँ खुले सिरे से छोटा होना चाहिए। (2p-5<p+4) से (p<9) मिलता है। / For the interval to be non-empty, the left endpoint must be less than the right open endpoint. From (2p-5<p+4), (p<9).
दोनों पक्षों को 6 से गुणा करने पर, क्योंकि 6 धनात्मक है, असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(9x-24<2x+18\)। अतः \(7x<42\), इसलिए \(x<6\)। \(x\leq6\) सही नहीं है क्योंकि मूल असमानता कठोर है और \(x=6\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं। परीक्षा टिप: असमानता को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही चिह्न की दिशा बदलती है। / Multiplying both sides by 6 does not reverse the inequality because 6 is positive: \(9x-24<2x+18\). Hence \(7x<42\), so \(x<6\). The option \(x\leq6\) is incorrect because the original inequality is strict; at \(x=6\), both sides are equal. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(4\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(2(x-5)\leq 3-x\)। अतः \(2x-10\leq 3-x\), इसलिए \(3x\leq 13\) और \(x\leq \frac{13}{3}\)। विकल्प C में \(x=\frac{13}{3}\) छूट जाता है, जबकि यह मान असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही चिह्न उलटता है। / Multiplying both sides by the positive number \(4\) does not change the inequality sign: \(2(x-5)\leq 3-x\). Thus, \(2x-10\leq 3-x\), so \(3x\leq 13\), giving \(x\leq \frac{13}{3}\). Option C incorrectly excludes \(x=\frac{13}{3}\), which satisfies the inequality. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
पहली असमानता में \(5-2x\geq -1\) से \(-2x\geq -6\) मिलता है। \(-2\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न पलटता है, इसलिए \(x\leq 3\)। दूसरी असमानता \(3x+4>1\) से \(3x>-3\), अर्थात \(x>-1\), मिलता है। दोनों शर्तें एक साथ सत्य होने पर \(-1<x\leq3\) होगा। विकल्प B में दोनों सिरों के चिह्न गलत हैं। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें। / From the first inequality, \(5-2x\geq -1\) gives \(-2x\geq -6\). Dividing by \(-2\) reverses the inequality, so \(x\leq 3\). From \(3x+4>1\), we get \(3x>-3\), hence \(x>-1\). Satisfying both conditions simultaneously gives \(-1<x\leq3\). Option B has the endpoint signs reversed. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 12 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(24-3(3x-1)<4(x+2)\)। अर्थात \(27-9x<4x+8\), इसलिए \(19<13x\) और \(x>\frac{19}{13}\)। विकल्प \(x<\frac{19}{13}\) में चिह्न की दिशा उलटी है। परीक्षा टिप: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही उसका चिह्न पलटता है। / Multiply both sides by the positive number 12, so the inequality sign remains unchanged: \(24-3(3x-1)<4(x+2)\). This gives \(27-9x<4x+8\), hence \(19<13x\) and \(x>\frac{19}{13}\). The option \(x<\frac{19}{13}\) reverses the inequality sign incorrectly. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
B. दोनों पक्षों को \(-5\) से गुणा करना/Multiplying both sides by \(-5\)
Explanation
Simple Explanation
किसी असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलटता है। इसलिए \(p<q\) को \(-5\) से गुणा करने पर \(-5p>-5q\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ने या धनात्मक संख्या से भाग देने पर चिह्न नहीं बदलता। परीक्षा टिप: असमानता हल करते समय ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते ही चिह्न को उलटना न भूलें। / When both sides of an inequality are multiplied or divided by a negative number, the inequality sign reverses. Therefore, multiplying \(p<q\) by \(-5\) gives \(-5p>-5q\). Adding the same number to both sides or dividing by a positive number does not change the sign. Exam tip: Always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative quantity.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 8 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(2(x+1)+(x+3)>8\)। अतः \(3x+5>8\), इसलिए \(3x>3\) और \(x>1\)। विकल्प \(x\geq1\) गलत है, क्योंकि \(x=1\) रखने पर बायाँ पक्ष 1 आता है, जो 1 से बड़ा नहीं है। परीक्षा टिप: असमानता को किसी धनात्मक संख्या से गुणा करने पर चिह्न वही रहता है। / Multiplying both sides by the positive number 8 does not change the inequality sign: \(2(x+1)+(x+3)>8\). Hence, \(3x+5>8\), so \(3x>3\) and \(x>1\). The option \(x\geq1\) is incorrect because at \(x=1\), the left-hand side equals 1, not a value greater than 1. Exam tip: multiplying an inequality by a positive number keeps its sign unchanged.
दिया गया असमिकरण \(mx+2>8\) से \(mx>6\) मिलता है। क्योंकि हल \(x<-3\) है, इसलिए \(m\) ऋणात्मक होना चाहिए; ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर असमिकरण का चिह्न उलट जाता है। अतः सीमा मान \(\frac{6}{m}=-3\) होगा। इससे \(m=-2\) प्राप्त होता है। \(m=2\) लेने पर हल \(x>3\) आता, इसलिए वह निकटतम गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: असमिकरण में ऋणात्मक गुणांक से भाग या गुणा करते समय चिह्न अवश्य पलटें। / From \(mx+2>8\), we get \(mx>6\). Since the solution is \(x<-3\), \(m\) must be negative because dividing an inequality by a negative number reverses its sign. Hence the boundary value satisfies \(\frac{6}{m}=-3\), which gives \(m=-2\). If \(m=2\), the solution would be \(x>3\), so it is the closest incorrect option. Exam tip: always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(6\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(5x-4\geq 2(x+2)+6\)। अतः \(5x-4\geq 2x+10\), इसलिए \(3x\geq 14\) और \(x\geq \frac{14}{3}\)। विकल्प \(x>\frac{14}{3}\) गलत है, क्योंकि \(x=\frac{14}{3}\) पर भी असमानता सत्य है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न पलटता है। / Multiplying both sides by the positive number \(6\) does not reverse the inequality: \(5x-4\geq 2(x+2)+6\). Hence \(5x-4\geq 2x+10\), so \(3x\geq 14\) and \(x\geq \frac{14}{3}\). The option \(x>\frac{14}{3}\) is incorrect because \(x=\frac{14}{3}\) also satisfies the inequality. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
बाएँ पक्ष को खोलने पर \(6x-3-4x-8>x-9\) मिलता है, अर्थात \(2x-11>x-9\)। दोनों पक्षों से \(x\) जोड़ने पर \(x>2\) प्राप्त होता है। \(x\geq2\) गलत है क्योंकि मूल असमानता में \(>\) है, इसलिए \(x=2\) हल नहीं है। परीक्षा टिप: असमानता में केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न पलटता है। / Expanding the left-hand side gives \(6x-3-4x-8>x-9\), or \(2x-11>x-9\). Adding \(x\) to both sides gives \(x>2\). \(x\geq2\) is incorrect because the original inequality is strict, so \(x=2\) is not included. Exam tip: Reverse the inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
पहली असमानता \(2x-3<5\) से \(2x<8\), अतः \(x<4\) मिलता है। दूसरी असमानता \(x+4\geq1\) से \(x\geq-3\) मिलता है। दोनों शर्तें एक साथ पूरी करने पर \( -3 \leq x < 4 \) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(-3\) को शामिल नहीं किया गया है और \(4\) को शामिल कर दिया गया है, जो दोनों असमानताओं के विपरीत है। परीक्षा टिप: ‘और’ का अर्थ दोनों हल-समुच्चयों का प्रतिच्छेद होता है। / From \(2x-3<5\), we get \(2x<8\), so \(x<4\). From \(x+4\geq1\), we get \(x\geq-3\). Satisfying both conditions gives \( -3 \leq x < 4 \), so option A is correct. Option B incorrectly excludes \(-3\) and includes \(4\). Exam tip: the word “and” means take the intersection of the solution sets.
असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 6 से गुणा करने पर \(4x+10\leq 42-x\) मिलता है। अतः \(5x\leq 32\), इसलिए \(x\leq \frac{32}{5}\)। विकल्प \(x<\frac{32}{5}\) गलत है, क्योंकि \(x=\frac{32}{5}\) पर असमानता में बराबरी संभव है। परीक्षा टिप: असमानता को किसी धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Multiplying both sides of the inequality by the positive number 6 gives \(4x+10\leq 42-x\). Hence, \(5x\leq 32\), so \(x\leq \frac{32}{5}\). The option \(x<\frac{32}{5}\) is incorrect because equality holds at \(x=\frac{32}{5}\). Exam tip: Multiplying an inequality by a positive number does not reverse its sign.
असमानता \(\frac{x-6}{-3}>2\) के दोनों पक्षों को \(-3\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न उलट जाएगा: \(x-6<-6\)। अतः \(x<0\) प्राप्त होता है। \(x>0\) विकल्प में ऋणात्मक संख्या से गुणा करते समय चिह्न नहीं बदला गया है। परीक्षा टिप: असमानता को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते ही उसका चिह्न अवश्य उलटें। / Multiplying both sides of \(\frac{x-6}{-3}>2\) by \(-3\) reverses the inequality sign: \(x-6<-6\). Therefore, \(x<0\). The option \(x>0\) results from forgetting to reverse the sign when multiplying by a negative number. Exam tip: Always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative quantity.
बाएँ पक्ष को सरल करने पर \(12-3(2x+1)=12-6x-3=9-6x\) मिलता है। अतः \(9-6x\leq x-5\), यानी \(14\leq 7x\)। 7 से भाग देने पर \(x\geq 2\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। \(x>2\) में \(x=2\) छूट जाता है, जबकि \(x=2\) असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: असमानता को धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Simplifying the left-hand side gives \(12-3(2x+1)=12-6x-3=9-6x\). Thus, \(9-6x\leq x-5\), which gives \(14\leq 7x\). Dividing by 7 gives \(x\geq 2\), so option A is correct. The option \(x>2\) incorrectly excludes \(x=2\), which satisfies the inequality. Exam tip: the inequality sign does not change when dividing by a positive number.
असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(8\) से गुणा करने पर \(3x+2<4(x-1)+8\) मिलता है। सरल करने पर \(3x+2<4x+4\), अतः \(-2<x\), अर्थात \(x>-2\)। विकल्प \(x\geq -2\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता सख्त है और \(x=-2\) इसमें शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: असमानता को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर उसका चिह्न नहीं बदलता। / Multiplying both sides of the inequality by the positive number \(8\) gives \(3x+2<4(x-1)+8\). Simplifying, \(3x+2<4x+4\), so \(-2<x\), i.e. \(x>-2\). The option \(x\geq -2\) is incorrect because the original inequality is strict, so \(x=-2\) is not included. Exam tip: The inequality sign does not reverse when multiplying by a positive number.
असमानता के दोनों पक्षों को 10 से गुणा करने पर \(5x+30>4x-2\) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से \(4x\) घटाने पर \(x+30>-2\), अतः \(x>-32\)। विकल्प \(x\geq -32\) गलत है, क्योंकि \(x=-32\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं, जबकि प्रश्न में \(>\) है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Multiplying both sides of the inequality by 10 gives \(5x+30>4x-2\). Subtracting \(4x\) from both sides gives \(x+30>-2\), so \(x>-32\). The option \(x\geq -32\) is incorrect because at \(x=-32\), both sides are equal, whereas the given sign is \(>\). Exam tip: multiplying or dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
दिया गया व्यंजक सरल करने पर \(5x-2(3x-4)\geq11\Rightarrow5x-6x+8\geq11\Rightarrow-x\geq3\) मिलता है। दोनों पक्षों को \(-1\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न पलटता है, इसलिए \(x\leq-3\) होगा। \(x<-3\) गलत है क्योंकि \(x=-3\) रखने पर भी समानता सत्य होती है। परीक्षा टिप: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देते समय चिह्न अवश्य पलटें। / Simplifying gives \(5x-2(3x-4)\geq11\Rightarrow5x-6x+8\geq11\Rightarrow-x\geq3\). On multiplying both sides by \(-1\), the inequality sign reverses, so \(x\leq-3\). The option \(x<-3\) is incorrect because \(x=-3\) also satisfies the equality. Exam tip: always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता को हल करने पर, \(4x-7\leq 2x+1\) से \(2x\leq 8\) मिलता है, अतः \(x\leq 4\)। चूँकि \(x\) प्राकृतिक संख्या है, इसलिए इस शर्त को संतुष्ट करने वाली सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या \(4\) है। विकल्प 5 गलत है क्योंकि \(x=5\) रखने पर असमानता सत्य नहीं रहती। परीक्षा टिप: असमानता में चर वाले पदों को एक ओर और स्थिरांकों को दूसरी ओर लाकर फिर सीमा जाँचें। / Solving the inequality, \(4x-7\leq 2x+1\) gives \(2x\leq 8\), hence \(x\leq 4\). Since \(x\) is a natural number, the greatest natural number satisfying the condition is \(4\). Option 5 is incorrect because substituting \(x=5\) does not satisfy the inequality. Exam tip: Bring variable terms to one side and constants to the other before checking the boundary value.
