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A. \(x=6\) पर स्पर्श करेगा/It will touch at \(x=6\)
Explanation
Simple Explanation
\(p(x)=(x-6)^2\) में \(x=6\) एक पुनरावृत्त शून्य (multiplicity 2) है। किसी शून्य का गुणांक यदि सम (even) होता है तो ग्राफ x-अक्ष को स्पर्श करके वापस मुड़ता है, इसलिए ग्राफ \(x=6\) पर स्पर्श करेगा। विकल्प B गलत है क्योंकि सही शून्य \(6\) है न कि \(-6\)। विकल्प C तभी सही होता यदि दो अलग वास्तविक शून्य होते; यहाँ दोनों मूल एक ही बिंदु पर दोहराए गए हैं। विकल्प D गलत है क्योंकि वास्तविक शून्य मौजूद है। परीक्षा युक्ति: गुणता (multiplicity) सम → स्पर्श, विषम → काटना। / In \(p(x)=(x-6)^2\) the root \(x=6\) has multiplicity 2 (a repeated root). An even multiplicity causes the graph to touch the x-axis and turn back, so the curve touches at \(x=6\). Option B is wrong due to the wrong sign; option C would require two distinct real roots, not a repeated one; option D is wrong because a real root exists. Exam tip: even multiplicity → touch/turn, odd multiplicity → cross the axis.
शून्यक (-3), (2), (8) हैं और सबसे छोटा (-3) है। टिप: ऋणात्मक संख्या धनात्मक से छोटी होती है। / The zeroes are (-3), (2), (8), and the smallest is (-3). Tip: a negative number is smaller than a positive number.
C. कोई वास्तविक शून्यक नहीं है/There is no real zero
Explanation
Simple Explanation
ग्राफ (x)-अक्ष से नहीं मिलता और दिए गए मान भी शून्य नहीं हैं। टिप: फलन मान (0) न हो तो शून्यक न मानें। / The graph does not meet the (x)-axis and the given values are not zero. Tip: do not call a value a zero unless the function value is (0).
दूरी (6-(-2)=8) इकाई है। टिप: (x)-अक्ष पर दूरी (x)-मानों के अंतर का परिमाण है। / The distance is (6-(-2)=8) units. Tip: distance on the (x)-axis is the absolute difference of (x)-values.
शून्यक पाने के लिए p(x)=0 रखें:
\(-x^2+25=0\) से \(x^2=25\), इसलिए \(x=\pm5\)। अतः वास्तविक शून्यक 5 और −5 हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि वह \(x^2\) का मान (25) और उसका ऋण (-25) बताता है, पर शून्यक वह x के मान हैं जो समीकरण को शून्य बनाते हैं — यहाँ \(x=\pm5\)। विकल्प C गलत है क्योंकि p(0)=25 है, शून्य नहीं। विकल्प D गलत है क्योंकि वास्तविक शून्यक मौजूद हैं। टिप: परवा(पैरबोला) ऊर्ध्वाधर पर उतरती (downward) हो सकती है पर शून्यक पाते समय हमेशा p(x)=0 रखें। / Set p(x)=0 to find zeros:
\(-x^2+25=0\) gives \(x^2=25\), so \(x=\pm5\). Thus the real zeros are 5 and −5. Option B is incorrect because it confuses the value of \(x^2\) (25) with the values of x; the roots are the square roots, \(\pm5\). Option C is wrong since p(0)=25, not 0. Option D is wrong because real zeros do exist. Exam tip: always solve p(x)=0 (or set y=0) and then solve the resulting equation step by step.
((x-3)2=0) से केवल (x=3) मिलता है और वर्ग के कारण स्पर्श होता है। टिप: बाहर का (2) शून्यक नहीं बदलता। / ((x-3)2=0) gives only (x=3), and the square causes touching. Tip: the outside (2) does not change the zero.
शून्यक के लिए फलन मान (0) होना चाहिए। टिप: बीच में होना शून्यक होने की गारंटी नहीं देता। / For a zero, the function value must be (0). Tip: being between zeroes does not guarantee being a zero.
C. वे (y)-अक्ष के दोनों ओर समान दूरी पर हैं/They are equally distant on both sides of the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
(-2) और (2) (y)-अक्ष से समान दूरी पर हैं। टिप: विपरीत शून्यक ग्राफ में सममिति का संकेत दे सकते हैं। / (-2) and (2) are equally distant from the (y)-axis. Tip: opposite zeroes may indicate symmetry in the graph.
तीन अलग (x)-मान तीन अलग (x)-अक्ष बिंदु देते हैं। टिप: अलग शून्यक अलग कटान बिंदु बनाते हैं। / Three distinct (x)-values give three distinct (x)-axis points. Tip: distinct zeroes make distinct intersection points.
(x=0) या (x-5=0) से (x=0,5) मिलते हैं। टिप: गुणनफल शून्य हो तो कम से कम एक कारक शून्य होता है। / From (x=0) or (x-5=0), we get (x=0,5). Tip: if a product is zero, at least one factor is zero.
शून्यक (r) और (s) हैं, इसलिए औसत \(\frac{r+s}{2}\) है। टिप: औसत में योग को संख्या से भाग दें। / The zeroes are (r) and (s), so the average is \(\frac{r+s}{2}\). Tip: divide the sum by the number of values.
बिंदु ((-2,0)) और ((6,0)) का मध्यबिंदु ((2,0)) है। टिप: समान (y)-मान हो तो केवल (x)-मानों का औसत लें। / The midpoint of ((-2,0)) and ((6,0)) is ((2,0)). Tip: when (y)-values are equal, average the (x)-values.
दूरी को संख्या रेखा पर बिंदुओं के बीच का परिमाण माना जाता है, इसलिए यह हमेशा धनात्मक होती है और इसे अंतरों का абсолют मान लेकर निकाला जाता है। यहाँ दूरी \\(|9-(-3)| = |12| = 12\\) है। विकल्प B (9) केवल एक शून्य का मान है, दूरी नहीं; विकल्प D (-12) नकारात्मक है और दूरी के लिए स्वीकार्य नहीं। परीक्षित सुझाव: संख्या रेखा पर दूरी निकालते समय हमेशा \\(|x_2-x_1|\\) का प्रयोग करें। / Distance on the number line is the absolute difference between the coordinates, so it is always nonnegative. Here distance = \\(|9-(-3)| = |12| = 12\\). Option B (9) is just one zero's x-value, not the distance; option D (-12) is negative and therefore not a valid distance. Exam tip: always use |x2 - x1| to find distance between two zeros on the x-axis.
A. ग्राफ (x=2) और (x=5) के बीच (x)-अक्ष को पार कर सकता है/The graph may cross the (x)-axis between (x=2) and (x=5)
Explanation
Simple Explanation
चिह्न बदलना बीच में (x)-अक्ष से मिलने का संकेत देता है। टिप: बहुपद के ग्राफ सतत होते हैं। / A change of sign indicates a meeting with the (x)-axis in between. Tip: polynomial graphs are continuous.
घात (4) वाला बहुपद अधिकतम (4) वास्तविक शून्यक रख सकता है। टिप: वास्तविक शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं होती। / A degree (4) polynomial can have at most (4) real zeroes. Tip: the number of real zeroes cannot exceed the degree.
B. क्योंकि उनके (y)-मान (0) नहीं हैं/Because their (y)-values are not (0)
Explanation
Simple Explanation
(3) और (5) पर (p(x)) क्रमशः (4) और (-1) है। टिप: शून्यक के लिए फलन मान बिल्कुल (0) होना चाहिए। / At (3) and (5), (p(x)) is (4) and (-1). Tip: for a zero, the function value must be exactly (0).
शून्यक (-5) और (1) हैं, जिनमें (1) बड़ा है। टिप: संख्या रेखा पर दाईं ओर वाला मान बड़ा होता है। / The zeroes are (-5) and (1), and (1) is greater. Tip: the value to the right on the number line is greater.
कारण: वास्तविक मानों के लिए \(x^2\ge0\) होता है, अतः \(x^2+9\ge9>0\)। इसलिए \(x^2+9=0\) का कोई वास्तविक समाधान नहीं है और ग्राफ x-अक्ष को कभी नहीं काटेगा। डिस्क्रिमिनेंट से भी देख सकते हैं: \(D=b^2-4ac=0^2-4\cdot1\cdot9=-36<0\), जिससे कोई वास्तविक मूल नहीं है। निकटतम विकर्षक “दो बार” इसलिए गलत है क्योंकि द्विघात समीकरण में दो छेद तभी होते हैं जब \(D>0\)। परीक्षा-सुझाव: किसी द्विघात के वास्तविक मूल जानने के लिए तुरंत डिस्क्रिमिनेंट की जांच करें या शीर्ष-बिंदु/न्यूनतम मान देखें। / Reason: For real x, \(x^2\ge0\), so \(x^2+9\ge9>0\). Thus \(x^2+9=0\) has no real solution and the parabola never meets the x-axis. Using the discriminant: \(D=b^2-4ac=0^2-4\cdot1\cdot9=-36<0\), confirming no real roots. The closest distractor “Two times” is wrong because a quadratic has two x-intercepts only when \(D>0\). Exam tip: check the discriminant or the vertex/minimum value to decide intersection with the x-axis quickly.
B. जो x-अक्ष को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करे (टैन्जेन्ट)/One that touches the x-axis at only one point (tangent)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक वे x-मूल्य होते हैं जहाँ ग्राफ़ x-अक्ष से मिलते हैं। अगर ग्राफ़ x-अक्ष को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करता है (टैन्जेन्ट होता है), तो उस x‑स्थान पर ही एक वास्तविक शून्यक होता है — यह अक्सर एक गुणनात्मक गुण (multiplicity) >1 वाला वास्तविक मूल होता है परन्तु x का सिर्फ़ एक मान देता है, इसलिए सही विकल्प B है। विकल्प A में ग्राफ़ x-अक्ष को दो अलग बिंदुओं पर काटता है इसलिए दो वास्तविक शून्यक होंगे; विकल्प C में शून्यक नहीं होंगे क्योंकि ग्राफ़ कभी x-अक्ष को नहीं छूता; विकल्प D में पूरा ग्राफ़ x-अक्ष पर होने से अनगिनत (अनंत) शून्यक होंगे। टिप: परीक्षा में देखें कि क्या ग्राफ़ x-अक्ष को काटता है (crosses) या सिर्फ़ स्पर्श करता है (touches) — स्पर्श एक ही x‑मान देता है। / A zero corresponds to an x-value where the graph meets the x-axis. If a graph touches the x-axis at exactly one point (is tangent there), that x-location is a single real zero — although the root may have multiplicity >1, it still gives only one distinct real solution, so B is correct. Option A gives two distinct intersections → two real zeros. Option C never meets the x-axis → no real zeros. Option D (graph coincides with the x-axis) yields infinitely many zeros. Exam tip: check whether the graph crosses the x-axis (gives distinct zeros) or merely touches it (gives one distinct zero with even multiplicity).
शून्यक (-6) और (2) हैं, इसलिए गुणनफल (-12) है। टिप: (y)-निर्देशांक को गुणन में शामिल न करें। / The zeroes are (-6) and (2), so the product is (-12). Tip: do not include the (y)-coordinate in the product.
कारकों को शून्य करने पर (x=4) और (x=-2) मिलते हैं। टिप: शून्यक को ((x,0)) बिंदु में बदलें। / Setting the factors to zero gives (x=4) and (x=-2). Tip: convert each zero into the point ((x,0)).
शून्यक उन बिंदुओं के (x)-मान हैं जहाँ (y=0) है। टिप: ((0,-5)) (y)-अक्ष कटान है, शून्यक नहीं। / Zeroes are the (x)-values of points where (y=0). Tip: ((0,-5)) is a (y)-intercept, not a zero.
जब आलेख (x)-अक्ष से नहीं मिलता तो (p(x)=0) नहीं होता। टिप: वास्तविक शून्यक हमेशा (x)-अक्ष पर दिखता है। / When the graph does not meet the (x)-axis, (p(x)=0) never occurs. Tip: a real zero is seen on the (x)-axis.
तीन अलग (x)-अक्ष कटान हैं इसलिए तीन वास्तविक शून्यक हैं। टिप: केवल (y=0) वाले बिंदु गिनें। / There are three distinct (x)-axis intersections, so there are three real zeroes. Tip: count only points with (y=0).
A. आलेख (-6,0) पर x-अक्ष को काटे/The graph cuts the x-axis at (-6,0)
Explanation
Simple Explanation
किसी बहुपद का शून्यक a होने का अर्थ है p(a)=0। जब ग्राफ x-अक्ष को बिंदु (-6,0) पर काटता है तो y-मान 0 होता है, अतः p(-6)=0 और -6 शून्यक है। विकल्प B गलत है क्योंकि (0,-6) y-अक्ष पर है जहाँ x=0, न कि x=-6; विकल्प C गलत है क्योंकि वहाँ x=6 है, न कि -6; विकल्प D में y=6 है इसलिए p(-6)=6≠0। टिप: शून्यक के लिए हमेशा बिंदु का दूसरा घटक (y) शून्य होना चाहिए और क्रम (x,y) का ध्यान रखें। / A number a is a zero (root) of a polynomial if p(a)=0. If the graph meets the x-axis at (-6,0) then the function value at x=-6 is 0, so p(-6)=0 and -6 is a zero. Option B is wrong because (0,-6) is a y-axis intercept (x=0), not x=-6. Option C gives x=6, the wrong sign. Option D has y=6, so p(-6)=6≠0. Exam tip: a root corresponds to an x-intercept, so check the coordinate is (-6,0) with y=0 and the correct sign for x.
परिभाषा के अनुसार किसी संख्या a को बहुपद का शून्यक तभी कहते हैं जब \(p(a)=0\) हो। यहाँ \(p(2)=3\) दिया है, जो कि शून्य नहीं है, अतः 2 शून्यक नहीं है। विकल्प C गलत है क्योंकि बहुपद की डिग्री (जैसे द्विघात होना) इस निर्णय को प्रभावित नहीं करती—किसी भी डिग्री के लिए शर्त वही है: \(p(a)=0\)। परीक्षा टिप: किसी संभावित शून्यक पर बहुपद का मान निकालें; यदि परिणाम 0 आया तो वह शून्यक है। / By definition a number a is a zero (root) of a polynomial iff \(p(a)=0\). Here \(p(2)=3\), which is not zero, so 2 is not a zero. Option C is incorrect because the degree (quadratic or otherwise) does not change the criterion; any degree requires \(p(a)=0\) to be a root. Exam tip: evaluate the polynomial at the given value—if the result is 0, it is a root.
शून्य वह x मान है जिसके लिए y = 0 होता है। रेखा \(y=5-x\) में \(0=5-x\) रखने पर \(x=5\) मिलता है। इसलिए शून्य 5 है। निकटभ्रामक विकल्प \(0\) गलत है क्योंकि \(x=0\) पर \(y=5\) होता है, न कि 0। परीक्षा टिप: ग्राफ़ का शून्य निकालने के लिए हमेशा y को 0 मानकर x समाधान करें। / The zero is the x-value for which y = 0. For the line \(y=5-x\), set \(0=5-x\) which gives \(x=5\). Hence the zero is 5. The closest distractor 0 is wrong because at \(x=0\) the value is \(y=5\), not 0. Exam tip: to find the x-intercept of a line, set \(y=0\) and solve for \(x\).
मूल बिंदु (0,0) का अर्थ है कि जब x=0 लिया जाए तो बहुपद का मान p(0)=0 होगा। इसलिए x=0 अवश्य एक शून्यक (root) है। अन्य विकल्प — जैसे 1 या -1 — तभी शून्यक होंगे जब p(1)=0 या p(-1)=0; लेकिन origin से गुजरने से इनके लिए कोई गारंटी नहीं मिलती। परीक्षात्मक सुझाव: किसी बिंदु से गुजरने की स्थिति में उस बिंदु के x‑मान को बहुपद में रखकर p(x) = 0 की जाँच करें। / Passing through the origin (0,0) means p(0)=0, so x=0 is necessarily a root of the polynomial. Other choices (1, -1, 2) would be roots only if p(1)=0, p(-1)=0, or p(2)=0 respectively; the graph passing through the origin does not guarantee those. Exam tip: substitute x=0 into the polynomial to check quickly whether 0 is a root.
A. \((4)\) बहुपद का शून्यक है/\((4)\) is a zero (root) of the polynomial
Explanation
Simple Explanation
बिंदु \((4,0)\) का अर्थ है कि \(x=4\) पर बहुपद की मान \(p(x)=0\) है, अतः \(4\) बहुपद का शून्यक (root) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \((0)\) तभी शून्यक होगा जब बिंदु \((0,0)\) या \(p(0)=0\) हो — यहाँ \(x=4\) है, न कि 0। विकल्प C गलत है क्योंकि y-अक्ष पर कटान वह बिंदु होता है जहाँ \(x=0\)। विकल्प D गलत है क्योंकि एक बिंदु \((4,0)\) होने से बहुपद का स्थिर होना सिद्ध नहीं होता (स्थिर बहुपद के सभी बिंदु एक समान y देंगें)। परीक्षा-टिप: x-अक्ष पर कटान (a,0) हमेशा शून्यक a देता है; y-अक्ष पर कटान के लिए x=0 लगाएँ। / The point \((4,0)\) means the polynomial value is \(p(4)=0\), so 4 is a root (zero) of the polynomial. Option B is wrong because 0 would be a root only if \(x=0\) (i.e. point \((0,0)\) or \(p(0)=0\)); here x=4. Option C is incorrect because a y-intercept occurs at \(x=0\), not at \(x=4\). Option D is wrong since a single x-intercept does not imply the polynomial is constant. Exam tip: x-intercepts \((a,0)\) correspond to roots a; to find y-intercept set \(x=0\).
A. न तो काटेगा न छुएगा/It will neither cut nor touch it
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष से मिलने पर दिखता है। कोई वास्तविक शून्यक न होने पर ग्राफ (x)-अक्ष से नहीं मिलेगा। / A real zero appears when the graph meets the (x)-axis. With no real zero, the graph will not meet the (x)-axis.
