Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
हर संख्या का वर्ग स्वयं के वर्ग के बराबर है, इसलिए स्वसमता है। / Every number has the same square as itself, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a^2=b^2\), तो \(b^2=a^2\), इसलिए सममितता है। / If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
वर्ग की समानता तीसरी संख्या तक भी चलती है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Equality of squares transfers to a third number, so it is an equivalence relation.
सभी अपने युग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध स्वसम है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(1,2,3) के बीच उल्टे युग्म भी पूरे हैं और (4) केवल स्वयं से संबंधित है। / Reverse pairs among (1,2,3) are complete, and (4) is related only to itself.
Step 3
Exam Tip
प्रत्येक जुड़े समूह के भीतर संक्रमणीयता पूरी है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Transitivity holds inside each connected group, so it is an equivalence relation.
A. यह हमेशा स्वसम, सममित और संक्रमणीय होता है/It is always reflexive, symmetric and transitive
Step 1
Concept
तत्समक संबंध में केवल अपने युग्म होते हैं। / An identity relation contains only self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
ये युग्म स्वसमता देते हैं, अपने उल्टे स्वयं हैं और संक्रमणीयता भी नहीं तोड़ते। / These pairs give reflexivity, are their own reverses, and do not break transitivity.
Step 3
Exam Tip
इसलिए तत्समक संबंध तुल्यता संबंध का सरल उदाहरण है। / So identity relation is a simple example of an equivalence relation.
तुल्यता संबंध संक्रमणीय होता है। / An equivalence relation is transitive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) अवश्य मिलेगा। / From ((1,2)) and ((2,4)), ((1,4)) must be present.
Step 3
Exam Tip
फिर सममितता से ((4,1)) भी मिल सकता है, पर पहले सीधा निष्कर्ष ((1,4)) है। / Symmetry can then give ((4,1)), but the direct transitive conclusion is ((1,4)).
हर (a) के लिए (a=a), इसलिए स्वसमता है। / For every (a), (a=a), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a=b) या (a=-b), तो उल्टा संबंध भी सही रहता है। / If (a=b) or (a=-b), the reverse relation also holds.
Step 3
Exam Tip
यह संबंध (|a|=|b|) जैसा है, इसलिए संक्रमणीयता भी मिलती है और यह तुल्यता संबंध है। / This relation is like (|a|=|b|), so transitivity also holds and it is an equivalence relation.
(|a|=|a|), इसलिए स्वसमता है। / (|a|=|a|), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(|a|=|b|) होने पर (|b|=|a|), इसलिए सममितता है। / If (|a|=|b|), then (|b|=|a|), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
समान परम मान तीसरी संख्या तक भी जुड़ता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Equality of absolute values transfers through a third number, so it is an equivalence relation.
हर संख्या का शेष अपने साथ समान है, इसलिए स्वसमता है। / Every number has the same remainder as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) का शेष समान है, तो (b) और (a) का भी समान है। / If (a) and (b) have the same remainder, then (b) and (a) also do.
Step 3
Exam Tip
समान शेष की कड़ी तीसरी संख्या तक जाती है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / The same-remainder link passes to a third number, so it is an equivalence relation.
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
सभी अपने युग्म मौजूद हैं, इसलिए स्वसमता है। / All self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) और ((3,1)) दोनों हैं, इसलिए सममितता है। / Both ((1,3)) and ((3,1)) are present, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,3)) और ((3,1)) से ((1,1)) तथा ((3,3)) चाहिए, जो मौजूद हैं, इसलिए संक्रमणीयता भी है। / ((1,3)) and ((3,1)) require ((1,1)) and ((3,3)), which are present, so it is transitive.
(a-a=0), (3) से विभाज्य है, इसलिए स्वसमता है। / (a-a=0), which is divisible by (3), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) विभाज्य है, तो (b-a) भी विभाज्य है, इसलिए सममितता है। / If (a-b) is divisible by (3), then (b-a) is also divisible by (3), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता वाले अंतरों का जोड़ फिर (3) से विभाज्य रहता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / The sum of such divisible differences remains divisible by (3), so it is an equivalence relation.
चारों अपने युग्म हैं, इसलिए संबंध स्वसम है। / All four self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((3,4)) के साथ ((4,3)) हैं, इसलिए सममितता है। / ((1,2)) has ((2,1)), and ((3,4)) has ((4,3)), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
हर छोटे समूह में संक्रमणीयता भी पूरी है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Transitivity is satisfied inside each small group, so it is an equivalence relation.
पहले विकल्प में सभी अपने युग्म हैं, इसलिए स्वसमता है। / The first option has all self-pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)) है, इसलिए सममितता है। / ((1,2)) is paired with ((2,1)), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
जुड़े हुए युग्मों से बनने वाली शर्तें भी पूरी हैं, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / The required linked-pair conditions are also satisfied, so it is an equivalence relation.
हर विद्यार्थी अपने साथ उसी कक्षा में है, इसलिए स्वसमता है। / Every student is in the same class as themselves, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a), (b) की कक्षा में है, तो (b), (a) की कक्षा में है, इसलिए सममितता है। / If (a) is in the same class as (b), then (b) is in the same class as (a), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
एक ही कक्षा की कड़ी तीसरे विद्यार्थी तक भी सही रहती है, इसलिए तुल्यता संबंध है। / The same-class link transfers to a third student, so it is an equivalence relation.
हर व्यक्ति का जन्मदिन अपने ही जन्मदिन जैसा है, इसलिए स्वसमता है। / Every person has the same birthday date as themselves, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) की तारीख (b) जैसी है, तो (b) की तारीख (a) जैसी है, इसलिए सममितता है। / If (a)'s date matches (b)'s date, then (b)'s date matches (a)'s date, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
समान तारीख का संबंध तीसरे व्यक्ति तक भी जुड़ता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Matching the same date passes through a third person, so it is an equivalence relation.
(a-a=0) सम है, इसलिए स्वसमता है। / (a-a=0) is even, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) सम है, तो (b-a) भी सम है, इसलिए सममितता है। / If (a-b) is even, then (b-a) is also even, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
दो सम अंतरों को जोड़ने पर फिर सम अंतर मिलता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Adding two even differences gives an even difference, so it is an equivalence relation.
B. यह स्वसम, सममित और संक्रमणीय है/It is reflexive, symmetric and transitive
Step 1
Concept
\(A\times A\) में सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। / \(A\times A\) contains all possible ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए अपने युग्म, उल्टे युग्म और संक्रमणीयता के लिए जरूरी युग्म सभी मिल जाते हैं। / So all self-pairs, reverse pairs and required transitive pairs are present.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध को कई बार तुल्यता संबंध भी माना जा सकता है। / The universal relation can also be an equivalence relation.
(a-a=0) संख्या (5) से विभाज्य है, इसलिए प्रतिवर्ती है। / (a-a=0) is divisible by (5), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) विभाज्य है, तो (b-a) भी विभाज्य है। / If (a-b) is divisible by (5), then (b-a) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
दो ऐसे अंतरों का योग भी (5) से विभाज्य होता है, इसलिए संबंध समतुल्यता है। / The sum of two such differences is also divisible by (5), so it is an equivalence relation.
