समतुल्यता संबंध से बने किसी वर्ग के भीतर दो तत्वों के बारे में सही बात क्या है?
What is correct about two elements inside the same class formed by an equivalence relation?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#related elements
A वे आपस में संबंधित होते हैं / They are related to each other
B वे कभी संबंधित नहीं होते / They are never related
C वे केवल छोटे-बड़े होते हैं / They are only greater or smaller
D उनका कोई संबंध तय नहीं होता / Their relation is not decided
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Correct Answer
A. वे आपस में संबंधित होते हैं / They are related to each other
Step 1
Concept
समतुल्यता वर्ग का अर्थ ही ऐसे तत्वों का समूह है जो एक-दूसरे से संबंधित हैं। / An equivalence class is a group of elements related to one another.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए एक ही वर्ग में मौजूद दो तत्वों का युग्म संबंध में आता है। / Therefore, two elements in the same class form a pair in the relation.
Step 3
Exam Tip
वर्ग के भीतर संबंध मानकर युग्म लिखें। / For elements inside the same class, write the related pair.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों (2) से विभाज्य हों या दोनों (2) से विभाज्य न हों। (2) का वर्ग कौन-सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) when (a) and (b) are both divisible by (2) or both not divisible by (2). Which is the class of (2)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#divisibility
#equivalence class
A ({2,4,6})
B ({1,3,5})
C ({1,2})
D ({2,3,4})
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Correct Answer
A. ({2,4,6})
Step 1
Concept
(2) सम संख्या है और (2) से विभाज्य है। / (2) is even and divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में (2,4,6) सभी (2) से विभाज्य हैं। / In the given set, (2,4,6) are all divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
वर्ग बनाते समय वही गुण रखने वाले सभी तत्व जोड़ें। / While forming a class, include all elements with the same property.
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समुच्चय \(A=\{-2,-1,1,2\}\) पर (aRb) तब है जब (|a|=|b|)। (-2) का समतुल्यता वर्ग क्या है?
On \(A=\{-2,-1,1,2\}\), (aRb) when (|a|=|b|). What is the equivalence class of (-2)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#absolute value
#equivalence class
A ({-2,2})
B ({-1,1})
C ({-2,-1})
D ({1,2})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({-2,2})
Step 1
Concept
(|-2|=2) है। / (|-2|=2).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में (2) का परम मान भी (2) है, इसलिए वर्ग ({-2,2}) है। / In the given set, (2) also has absolute value (2), so the class is ({-2,2}).
Step 3
Exam Tip
परम मान वाले प्रश्न में चिन्ह के बजाय दूरी जैसे मान को देखें। / In absolute value questions, focus on the magnitude rather than the sign.
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यदि (R) समतुल्यता संबंध है और (a) किसी समुच्चय का तत्व है, तो ([a]) में कौन-से तत्व आते हैं?
If (R) is an equivalence relation and (a) is an element of a set, which elements come in ([a])?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#notation
A वे सभी तत्व जो (a) से संबंधित हैं / All elements related to (a)
B केवल (a) से बड़े तत्व / Only elements greater than (a)
C केवल (a) से छोटे तत्व / Only elements smaller than (a)
D केवल कोई एक बाहरी तत्व / Only one outside element
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Correct Answer
A. वे सभी तत्व जो (a) से संबंधित हैं / All elements related to (a)
Step 1
Concept
([a]) का अर्थ (a) का समतुल्यता वर्ग है। / ([a]) means the equivalence class of (a).
Step 2
Why this answer is correct
इसमें वे सभी तत्व आते हैं जो संबंध (R) के अनुसार (a) से जुड़े हैं। / It contains all elements related to (a) according to (R).
Step 3
Exam Tip
वर्ग निकालते समय संबंध की शर्त को सीधे लागू करें। / To find a class, directly apply the condition of the relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों (5) से भाग देने पर समान शेषफल दें। (5) का समतुल्यता वर्ग क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) when (a) and (b) give the same remainder on division by (5). What is the equivalence class of (5)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#modulo 5
A ({5})
B ({0,5})
C ({1,5})
D ({2,5})
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Step 1
Concept
(5) को (5) से भाग देने पर शेषफल (0) आता है। / (5) leaves remainder (0) on division by (5).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में केवल (5) ही शेषफल (0) देता है। / In the given set, only (5) leaves remainder (0).
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता वर्ग में दिए गए समुच्चय के बाहर का (0) नहीं जोड़ना चाहिए। / Do not include (0) outside the given set in the equivalence class.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब \(a \equiv b \pmod{3}\)। (4) का समतुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) when \(a \equiv b \pmod{3}\). Which is the equivalence class of (4)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#modulo 3
A ({1,4})
B ({2,5})
C ({3,6})
D ({4,5,6})
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Correct Answer
A. ({1,4})
Step 1
Concept
(4) को (3) से भाग देने पर शेषफल (1) आता है। / (4) leaves remainder (1) on division by (3).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में (1) भी वही शेषफल देता है, इसलिए वर्ग ({1,4}) है। / In the given set, (1) also leaves the same remainder, so the class is ({1,4}).
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता वर्ग में केवल वही तत्व रखें जो समान शेषफल दें। / Put only elements with the same remainder in the equivalence class.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर संबंध (R) इस प्रकार है कि (aRb) जब (a) और (b) दोनों (3) से भाग देने पर समान शेषफल दें। (1) का समतुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On the set \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), relation (R) is defined by (aRb) when (a) and (b) give the same remainder on division by (3). Which is the equivalence class of (1)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#modulo
A ({1,4})
B ({2,5})
C ({3,6})
D ({1,2,3})
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Correct Answer
A. ({1,4})
Step 1
Concept
(1) को (3) से भाग देने पर शेषफल (1) आता है। / On division by (3), (1) leaves remainder (1).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में (4) भी (3) से भाग देने पर शेषफल (1) देता है, इसलिए (1) का वर्ग ({1,4}) है। / In the given set, (4) also leaves remainder (1), so the class of (1) is ({1,4}).
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता वर्ग निकालते समय केवल दिए गए समुच्चय के तत्व ही लें। / While finding an equivalence class, use only the elements of the given set.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों (2) से भाग देने पर समान शेषफल देते हैं। (4) का समतुल्यता वर्ग क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) when (a) and (b) give the same remainder on division by (2). What is the equivalence class of (4)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#modulo 2
A ({2,4})
B ({1,3,5})
C ({4,5})
D ({1,4})
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Correct Answer
A. ({2,4})
Step 1
Concept
(4) सम संख्या है, इसलिए इसका शेषफल (0) है। / (4) is even, so its remainder is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में समान शेषफल (0) देने वाली संख्याएं (2) और (4) हैं। / In (A), the numbers with the same remainder (0) are (2) and (4).
Step 3
Exam Tip
वर्ग निकालते समय दिए गए समुच्चय के बाहर की संख्या न जोड़ें। / While finding a class, do not include elements outside the given set.
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यदि संबंध (R) समतुल्यता संबंध है, तो ([a]) का अर्थ सामान्यतः क्या होता है?
If (R) is an equivalence relation, what does ([a]) usually mean?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#notation
A (a) का समतुल्यता वर्ग / Equivalence class of (a)
B (a) का वर्गफल / Square of (a)
C (a) का व्युत्क्रम / Reciprocal of (a)
D (a) का केवल क्रमांक / Only serial number of (a)
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Correct Answer
A. (a) का समतुल्यता वर्ग / Equivalence class of (a)
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध में ([a]) चिन्ह (a) के वर्ग को दिखाता है। / In equivalence relations, ([a]) denotes the class of (a).
Step 2
Why this answer is correct
इसमें वे सभी तत्व होते हैं जो (a) से संबंधित हैं। / It contains all elements related to (a).
Step 3
Exam Tip
([a]) को वर्गफल समझने की गलती न करें। / Do not confuse ([a]) with the square of (a).
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यदि (R) समतुल्यता संबंध है और (aRb), तो (a) और (b) के समतुल्यता वर्गों के बारे में क्या सही है?
If (R) is an equivalence relation and (aRb), what is correct about the equivalence classes of (a) and (b)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#same class
A दोनों वर्ग समान होंगे / Both classes will be the same
B दोनों वर्ग हमेशा असंयुक्त होंगे / Both classes will always be disjoint
C दोनों वर्ग खाली होंगे / Both classes will be empty
D (a) का वर्ग छोटा होगा / The class of (a) will be smaller
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Correct Answer
A. दोनों वर्ग समान होंगे / Both classes will be the same
Step 1
Concept
(aRb) का अर्थ है कि (a) और (b) एक ही समूह में हैं। / (aRb) means (a) and (b) are in the same group.
Step 2
Why this answer is correct
समतुल्यता संबंध में एक ही समूह के तत्वों के वर्ग समान होते हैं। / In an equivalence relation, elements in the same group have identical classes.
Step 3
Exam Tip
यदि दो वर्गों में साझा तत्व मिल जाए, तो वे समान होते हैं। / If two equivalence classes share an element, they are the same.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब है जब \(a \equiv b \pmod{3}\)। (2) का समतुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On \(A=\{0,1,2,3,4,5\}\), (aRb) when \(a \equiv b \pmod{3}\). Which is the equivalence class of (2)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#modulo 3
A ({2,5})
B ({0,3})
C ({1,4})
D ({2,3})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({2,5})
Step 1
Concept
(3) से भाग देने पर (2) का शेषफल (2) है। / On division by (3), (2) leaves remainder (2).
Step 2
Why this answer is correct
(5) का भी शेषफल (2) है, इसलिए (2) का वर्ग ({2,5}) है। / (5) also leaves remainder (2), so the class of (2) is ({2,5}).
Step 3
Exam Tip
मापांक वाले प्रश्नों में शेषफल तालिका बनाना आसान तरीका है। / In modulo questions, making a remainder table is an easy method.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) में वही युग्म हैं जिनमें दोनों संख्याओं का शेषफल (2) से भाग देने पर समान है। (1) का समतुल्यता वर्ग क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) contains pairs whose two numbers have the same remainder on division by (2). What is the equivalence class of (1)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#modulo 2
A ({1,3})
B ({2,4})
C ({1,2})
D ({3,4})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({1,3})
Step 1
Concept
(2) से भाग देने पर (1) और (3) का शेषफल समान होता है। / On division by (2), (1) and (3) have the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (1) अपने वर्ग में (1) और (3) को साथ रखता है। / So the class of (1) contains (1) and (3).
Step 3
Exam Tip
समतुल्यता वर्ग निकालते समय दिए गए तत्व जैसा शेषफल खोजें। / To find an equivalence class, look for elements with the same remainder as the given element.
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यदि (R) समतुल्यता संबंध है, तो (a) का समतुल्यता वर्ग सामान्यतः किससे बनता है?
If (R) is an equivalence relation, what generally forms the equivalence class of (a)?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#basic concept
A उन तत्वों से जो (a) से संबंधित हैं / Elements related to (a)
B केवल (a) से छोटे तत्वों से / Elements smaller than (a) only
C केवल सबसे बड़े तत्व से / Only the largest element
D उन तत्वों से जो किसी से संबंधित नहीं हैं / Elements related to none
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Correct Answer
A. उन तत्वों से जो (a) से संबंधित हैं / Elements related to (a)
Step 1
Concept
(a) का समतुल्यता वर्ग उन सभी तत्वों का समूह है जो (a) से संबंधित हैं। / The equivalence class of (a) is the set of all elements related to (a).
Step 2
Why this answer is correct
समतुल्यता संबंध में यह वर्ग साफ और अलग भाग बनाता है। / In an equivalence relation, this class forms a clear separate block.
Step 3
Exam Tip
वर्ग पूछे जाने पर पहले संबंध की शर्त समझें। / When asked for a class, first understand the condition of the relation.
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समतुल्यता संबंध किसी समुच्चय को किस प्रकार व्यवस्थित करता है?
How does an equivalence relation organize a set?
#relations
#functions
#equivalence relation
#equivalence class
#partition
A अलग-अलग समतुल्यता वर्गों में / Into distinct equivalence classes
B केवल एक क्रम में / Only into one order
C सदैव खाली समुच्चय में / Always into an empty set
D केवल अवरोही क्रम में / Only in descending order
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. अलग-अलग समतुल्यता वर्गों में / Into distinct equivalence classes
Step 1
Concept
समतुल्यता संबंध समान गुण वाले तत्वों को एक साथ रखता है। / An equivalence relation groups elements with the same property.
Step 2
Why this answer is correct
इस प्रकार समुच्चय अलग-अलग समतुल्यता वर्गों में बंट जाता है। / Thus, the set is divided into distinct equivalence classes.
Step 3
Exam Tip
वर्गों की सोच से ऐसे प्रश्न जल्दी हल होते हैं। / Thinking in terms of classes helps solve these questions faster.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) में (aRb) तब हो जब \(a\equiv b \pmod{4}\)। (4) का तुल्यता वर्ग क्या है?
In \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) if \(a\equiv b \pmod{4}\). What is the equivalence class of (4)?
#modulo 4
#equivalence class
#remainder
A ({4,8})
B ({1,5})
C ({2,6})
D ({3,7})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({4,8})
Step 1
Concept
(4) को (4) से भाग देने पर शेषफल (0) आता है। / (4) leaves remainder (0) when divided by (4).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में (8) का भी शेषफल (0) है, इसलिए (4) और (8) एक ही वर्ग में हैं। / In the given set, (8) also leaves remainder (0), so (4) and (8) are in the same class.
Step 3
Exam Tip
शेषफल वाले प्रश्न में केवल दिए गए समुच्चय के तत्व ही लें। / In remainder-class questions, use only elements from the given set.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) को वर्गों ({1,4},{2},{3,5}) में बाँटा गया है। समान वर्ग में होने वाला संबंध (R) है। कौन-सा युग्म अवश्य (R) में होगा?
The set \(A=\{1,2,3,4,5\}\) is divided into classes ({1,4},{2},{3,5}). Relation (R) means belonging to the same class. Which pair must be in (R)?
#partition
#equivalence class
#ordered pair
A ((1,5))
B ((2,4))
C ((3,5))
D ((4,5))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. ((3,5))
Step 1
Concept
संबंध उसी समय बनेगा जब दोनों तत्व एक ही वर्ग में हों। / The relation holds only when both elements are in the same class.
Step 2
Why this answer is correct
(3) और (5) दोनों ({3,5}) में हैं, इसलिए ((3,5)) संबंध में होगा। / (3) and (5) both lie in ({3,5}), so \((3,5)\in R\).
Step 3
Exam Tip
वर्गों से बने प्रश्न में पहले दिए गए समूहों को ध्यान से पढ़ें। / In class-based questions, first locate the two elements in the given groups.
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किसी समुच्चय पर सर्वसम संबंध के तुल्यता वर्ग कैसे होते हैं?
What are the equivalence classes of the universal relation on a set?
#universal relation
#equivalence class
#whole set
A हर तत्व का वर्ग पूरा समुच्चय होता है / The class of every element is the whole set
B हर वर्ग खाली होता है / Every class is empty
C हर वर्ग में एक ही तत्व होता है / Every class has one element
D कोई वर्ग नहीं बनता / No class is formed
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हर तत्व का वर्ग पूरा समुच्चय होता है / The class of every element is the whole set
Step 1
Concept
सर्वसम संबंध में हर तत्व हर तत्व से संबंधित होता है। / In the universal relation, every element is related to every element.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए किसी भी (a) से पूरा समुच्चय संबंधित है। / So the class of any (a) is the whole set.
Step 3
Exam Tip
सर्वसम संबंध में सभी तत्वों का तुल्यता वर्ग समान होता है। / Universal relation gives one large equivalence class.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) में शेषफल (3) के आधार पर (3) का तुल्यता वर्ग क्या है?
In \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), under the same remainder modulo (3) relation, what is the equivalence class of (3)?
#modulo 3
#equivalence class
#remainder zero
A {(3,6)}
B {(1,4)}
C {(2,5)}
D {(1,3,5)}
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Correct Answer
A. {(3,6)}
Step 1
Concept
(3) को (3) से भाग देने पर शेषफल (0) है। / (3) leaves remainder (0) when divided by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(6) का भी शेषफल (0) है। / (6) also leaves remainder (0).
Step 3
Exam Tip
शेषफल (0) वाले तत्वों को अलग वर्ग में रखें। / Put all elements with remainder (0) in one class.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) में शेषफल (3) के आधार पर (2) का तुल्यता वर्ग क्या है?
In \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), under the same remainder modulo (3) relation, what is the equivalence class of (2)?
#equivalence class
#modulo 3
#remainder
A {(2,5)}
B {(1,4)}
C {(3,6)}
D {(2,3)}
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Correct Answer
A. {(2,5)}
Step 1
Concept
(2) का (3) से भाग देने पर शेषफल (2) है। / (2) leaves remainder (2) when divided by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(5) का भी शेषफल (2) है। / (5) also leaves remainder (2).
Step 3
Exam Tip
वर्ग बनाते समय केवल दिए हुए समुच्चय के तत्वों को ही लें। / While forming the class, use only elements from the given set.
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पूर्णांकों पर (aRb) तब हो जब \(a\equiv b \pmod{2}\)। (1) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On integers, (aRb) if \(a\equiv b \pmod{2}\). What is the equivalence class of (1)?
#modulo 2
#odd integers
#equivalence class
A सभी विषम पूर्णांक / All odd integers
B सभी सम पूर्णांक / All even integers
C केवल (1) / Only (1)
D सभी धन पूर्णांक / All positive integers
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Correct Answer
A. सभी विषम पूर्णांक / All odd integers
Step 1
Concept
(1) को (2) से भाग देने पर शेषफल (1) है। / (1) has remainder (1) when divided by (2).
Step 2
Why this answer is correct
यही शेषफल रखने वाले पूर्णांक विषम होते हैं। / Integers with this remainder are odd.
Step 3
Exam Tip
\( \pmod{2}\) में दो वर्ग बनते हैं: सम और विषम। / Modulo (2) gives two classes: even and odd.
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पूर्णांकों पर (aRb) तब हो जब \(a\equiv b \pmod{2}\)। (0) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On integers, (aRb) if \(a\equiv b \pmod{2}\). What is the equivalence class of (0)?
#modulo 2
#equivalence class
#even integers
A सभी सम पूर्णांक / All even integers
B सभी विषम पूर्णांक / All odd integers
C केवल (0) / Only (0)
D सभी पूर्णांक / All integers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. सभी सम पूर्णांक / All even integers
Step 1
Concept
\( \pmod{2}\) में (0) का शेषफल (0) है। / Modulo (2), (0) has remainder (0).
Step 2
Why this answer is correct
जिन पूर्णांकों का शेषफल (0) है, वे सम पूर्णांक हैं। / Integers with remainder (0) are even integers.
Step 3
Exam Tip
([0]) को सम पूर्णांकों का वर्ग समझें। / So ([0]) is the class of even integers.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) में समान सम-विषम संबंध के लिए (2) का तुल्यता वर्ग क्या है?
In \(A=\{1,2,3,4\}\), for the same parity relation, what is the equivalence class of (2)?
#equivalence class
#even numbers
#relations
A {(2,4)}
B {(1,3)}
C {(1,2)}
D {(3,4)}
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. {(2,4)}
Step 1
Concept
(2) सम संख्या है। / (2) is even.
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में (2) के साथ समान सम-विषम संख्या (4) है। / In the set, (4) is the other even number, so it is related to (2).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग में वही तत्व लिखें जो दिए गए तत्व से संबंधित हों। / Write only the elements related to the chosen element.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) में समान सम-विषम संबंध के लिए (1) का तुल्यता वर्ग क्या है?
In \(A=\{1,2,3,4\}\), for the same parity relation, what is the equivalence class of (1)?
#same parity
#equivalence class
#set
A {(1,3)}
B {(1,2)}
C {(2,4)}
D {(1,4)}
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Correct Answer
A. {(1,3)}
Step 1
Concept
समान सम-विषम संबंध में विषम संख्याएँ साथ आती हैं। / In the same parity relation, odd numbers form one class.
Step 2
Why this answer is correct
(1) विषम है और (3) भी विषम है। / (1) is odd and (3) is also odd.
Step 3
Exam Tip
छोटे समुच्चय में पहले सम और विषम अलग कर लें। / For small sets, separate even and odd numbers first.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है, तो किसी तत्व (a) का तुल्यता वर्ग किसे कहते हैं?
If (R) is an equivalence relation, what is the equivalence class of an element (a)?
#equivalence class
#definition
#relations
A (a) से संबंधित सभी तत्वों का समुच्चय / Set of all elements related to (a)
B केवल (a) का मान / Only the value of (a)
C केवल खाली समुच्चय / Only the empty set
D सभी गलत युग्मों का समुच्चय / Set of all wrong pairs
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Correct Answer
A. (a) से संबंधित सभी तत्वों का समुच्चय / Set of all elements related to (a)
Step 1
Concept
तुल्यता वर्ग किसी एक तत्व से जुड़े सभी तत्वों को इकट्ठा करता है। / An equivalence class collects all elements related to a chosen element.
Step 2
Why this answer is correct
यदि कोई तत्व (a) से संबंधित है, तो वह ([a]) में आता है। / If an element is related to (a), it belongs to ([a]).
Step 3
Exam Tip
वर्ग निकालते समय दिए गए तत्व से संबंधित सभी तत्व लिखें। / To find a class, list all elements related to the given element.
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पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तब हो जब \(a\equiv b \pmod{3}\)। इसके तुल्यता वर्ग कितने होंगे?
On integers, (aRb) if \(a\equiv b \pmod{3}\). How many equivalence classes are there?
#modulo 3
#equivalence class
#relations
A (3)
B (2)
C (1)
D (6)
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Step 1
Concept
\( \pmod{3}\) में शेषफल केवल (0,1,2) हो सकते हैं। / Modulo (3), possible remainders are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
समान शेषफल वाले पूर्णांक एक ही वर्ग में आते हैं। / Integers with the same remainder form one class.
Step 3
Exam Tip
\( \pmod{n}\) में सामान्यतः (n) तुल्यता वर्ग होते हैं। / Modulo (n) usually gives (n) equivalence classes.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तभी है जब (a=b) या (a+b) (5) के बराबर हो। (2) का तुल्यता वर्ग क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) if and only if (a=b) or (a+b=5). What is the equivalence class of (2)?
#equivalence-class
#sum-relation
#partition
A ({2,3})
B ({1,4})
C ({2})
D ({1,2,3,4})
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Correct Answer
A. ({2,3})
Step 1
Concept
(2+3=5), इसलिए (2) और (3) संबंधित हैं। / Since (2+3=5), (2) and (3) are related.
Step 2
Why this answer is correct
(a=b) के कारण (2) स्वयं से भी संबंधित है। / Because of (a=b), (2) is related to itself as well.
Step 3
Exam Tip
(2) का वर्ग ({2,3}) होगा। / The class of (2) is ({2,3}).
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पूर्णांकों पर (aRb) तभी है जब (a-b) (4) से विभाज्य हो। (3) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On integers, (aRb) if and only if (a-b) is divisible by (4). What is the equivalence class of (3)?
#equivalence-class
#modulo-four
#integers
A \({4k:k\in Z}\)
B \({4k+1:k\in Z}\)
C \({4k+2:k\in Z}\)
D \({4k+3:k\in Z}\)
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Correct Answer
D. \({4k+3:k\in Z}\)
Step 1
Concept
(a-b) का (4) से विभाज्य होना समान शेषफल दिखाता है। / Divisibility of (a-b) by (4) means the same remainder modulo (4).
Step 2
Why this answer is correct
(3) का शेषफल (3) है, इसलिए उसके वर्ग में (4k+3) रूप वाले सभी पूर्णांक होंगे। / The remainder of (3) is (3), so its class contains all integers of the form (4k+3).
Step 3
Exam Tip
वर्ग लिखते समय केवल समान शेषफल वाले तत्व ही शामिल करें। / Include only elements with the same remainder in the class.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है और ([a]=[b]), तो कौन सा कथन सही है?
If (R) is an equivalence relation and ([a]=[b]), which statement is correct?
#equivalence-class
#equivalence-relation
#conceptual
A (aRb)
B (a) और (b) समान तत्व होने चाहिए / (a) and (b) must be the same element
C (a) किसी से संबंधित नहीं है / (a) is not related to anyone
D (bRa) असंभव है / (bRa) is impossible
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Step 1
Concept
समान तुल्यता वर्ग का अर्थ है कि दोनों तत्व एक ही समूह में हैं। / Equal equivalence classes mean both elements are in the same group.
Step 2
Why this answer is correct
एक ही तुल्यता वर्ग के दो तत्व आपस में संबंधित होते हैं। / Two elements in the same equivalence class are related to each other.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ([a]=[b]) होने पर (aRb) अवश्य होगा। / Therefore ([a]=[b]) implies (aRb).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) दोनों (2) से विभाज्य हों या दोनों (2) से विभाज्य न हों। (4) का तुल्यता वर्ग क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if both (a) and (b) are divisible by (2), or both are not divisible by (2). What is the equivalence class of (4)?
#equivalence-class
#parity
#divisibility
A ({1,3,5})
B ({4})
C ({2,4,6})
D ({1,2,3,4,5,6})
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Correct Answer
C. ({2,4,6})
Step 1
Concept
यह संबंध सम और विषम तत्वों को अलग-अलग वर्गों में बांटता है। / This relation divides elements into even and odd classes.
Step 2
Why this answer is correct
(4) सम है, इसलिए इसका वर्ग सभी सम तत्वों वाला होगा। / (4) is even, so its class contains all even elements.
Step 3
Exam Tip
(A) में सम तत्व (2,4,6) हैं, इसलिए वर्ग ({2,4,6}) है। / The even elements in (A) are (2,4,6), so the class is ({2,4,6}).
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पूर्णांकों पर (aRb) तभी है जब \(a\equiv b \pmod{5}\)। (2) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On integers, (aRb) if and only if \(a\equiv b \pmod{5}\). What is the equivalence class of (2)?
#equivalence-class
#modulo-five
#integers
A \({5k:k\in Z}\)
B \({5k+1:k\in Z}\)
C \({5k+2:k\in Z}\)
D \({2k:k\in Z}\)
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Correct Answer
C. \({5k+2:k\in Z}\)
Step 1
Concept
\(a\equiv 2 \pmod{5}\) का अर्थ है कि (a) को (5) से भाग देने पर शेषफल (2) हो। / \(a\equiv 2 \pmod{5}\) means (a) leaves remainder (2) on division by (5).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसे पूर्णांक (5k+2) के रूप में लिखे जाते हैं। / Such integers are written as (5k+2).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग लिखते समय समान शेषफल वाले सभी तत्व शामिल करें। / While writing an equivalence class, include all elements with the same remainder.
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