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conditions for solvability MCQ Questions for Class 10
conditions for solvability se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
C. समांतर रेखाएँ, जिनका कोई हल नहीं है/Parallel lines with no solution
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a_1/a_2=10/20=1/2\) और \(b_1/b_2=3/6=1/2\), लेकिन \(c_1/c_2=470/955\neq1/2\)। अतः रेखाओं की ढाल समान और अंतःखंड अलग हैं, इसलिए वे समांतर हैं और कोई प्रतिच्छेद-बिंदु नहीं है। इसीलिए प्रणाली असंगत है। निकटतम भ्रम यह हो सकता है कि पहले दो अनुपात समान होने से अनंत हल होंगे, परंतु अनंत हल के लिए तीसरा अनुपात भी समान होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: \(a_1/a_2=b_1/b_2\neq c_1/c_2\) होने पर प्रणाली असंगत होती है। / Here, \(a_1/a_2=10/20=1/2\) and \(b_1/b_2=3/6=1/2\), but \(c_1/c_2=470/955\neq1/2\). Thus, the two lines have the same slope but different intercepts, so they are parallel and have no point of intersection. Therefore, the system is inconsistent. A common mistake is to conclude that equal first two ratios imply infinitely many solutions; the third ratio must also be equal for coincident lines. Exam tip: if \(a_1/a_2=b_1/b_2\neq c_1/c_2\), the system is inconsistent.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने की शर्त है: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\) होना चाहिए, इसलिए \(\frac{9}{a}=\frac{1}{2}\), जिससे \(a=18\) प्राप्त होता है। साथ ही, \(\frac{38}{91}\ne\frac{1}{2}\), इसलिए रेखाएँ समानांतर और असंगत होंगी। अतः सही विकल्प 18 है। परीक्षा टिप: ‘कोई हल नहीं’ के लिए पहले दोनों चर के गुणांकों का अनुपात समान और अचर पदों का अनुपात अलग जाँचें। / For two linear equations to have no solution, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\), so \(\frac{9}{a}=\frac{1}{2}\), which gives \(a=18\). Also, \(\frac{38}{91}\ne\frac{1}{2}\), so the two lines are parallel and inconsistent. Therefore, the correct answer is 18. Exam tip: For ‘no solution,’ first check that the ratios of the coefficients of both variables are equal but the ratio of the constant terms is different.
संगत और आश्रित रैखिक समीकरणों के लिए दोनों समीकरणों के संगत गुणांकों और अचर पदों का अनुपात समान होना चाहिए। यहाँ 27=3×9 और 48=3×16 हैं, इसलिए दूसरा समीकरण पहले का 3 गुना होना चाहिए। अतः s=3×77=231। इसलिए सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: आश्रित समीकरणों में दोनों समीकरणों के सभी संगत पद समान गुणक से गुणित होते हैं। / For a pair of consistent and dependent linear equations, the corresponding coefficients and constant terms must have the same ratio. Here, 27=3×9 and 48=3×16, so the second equation must be three times the first. Therefore, s=3×77=231, making option C correct. Exam tip: In dependent equations, every corresponding term of one equation is obtained by multiplying the other equation by the same non-zero constant.
A. तीनों अनुपात बराबर हैं/All three ratios are equal
Explanation
Simple Explanation
यहाँ तीन अनुपात हैं: \(11/33\), \(18/54\) और \(86/258\)। प्रत्येक का मान \(1/3\) है, इसलिए \(11/33=18/54=86/258\)। अतः तीनों अनुपात बराबर हैं और दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं, इसलिए वे संपाती समीकरण हैं। परीक्षा-टिप: यदि \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\), तो दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होते हैं। / The three ratios are \(11/33\), \(18/54\), and \(86/258\). Each ratio equals \(1/3\), so \(11/33=18/54=86/258\). Hence, all three ratios are equal, and the two equations represent the same line; therefore, they are coincident equations. Exam tip: If \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\), the pair of linear equations has infinitely many solutions.
C. असंगत, अर्थात् कोई हल नहीं/Inconsistent, with no solution
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a_1/a_2=9/18=1/2\) और \(b_1/b_2=4/8=1/2\), लेकिन \(c_1/c_2=380/775\neq1/2\) है। इसलिए \(a_1/a_2=b_1/b_2\neq c_1/c_2\), जो असंगत रैखिक समीकरणों की शर्त है; इनकी संगत समानांतर रेखाएँ नहीं मिलतीं और कोई हल नहीं होता। विकल्प B के लिए तीनों अनुपात बराबर होने चाहिए। परीक्षा-युक्ति: अनुपातों की तुलना करते समय पहले दोनों चर के गुणांकों और फिर अचर पदों के अनुपात की जाँच करें। / Here, \(a_1/a_2=9/18=1/2\) and \(b_1/b_2=4/8=1/2\), but \(c_1/c_2=380/775\neq1/2\). Thus, \(a_1/a_2=b_1/b_2\neq c_1/c_2\), which is the condition for an inconsistent pair of linear equations; the corresponding distinct parallel lines do not intersect, so there is no solution. For option B, all three ratios would have to be equal. Exam tip: Compare the ratios of the coefficients of both variables first, and then compare the ratio of the constant terms.
यहाँ \\(\frac{18}{9}=2\\) है, जबकि \\(\frac{7}{4}\\) है; दोनों अनुपात बराबर नहीं हैं। इसलिए दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और युग्म का एकमात्र हल होता है। अतः यह युग्म संगत और स्वतंत्र है। संगत और आश्रित युग्म के लिए दोनों अनुपात बराबर होने चाहिए। परीक्षा-युक्ति: यदि \\(\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}\\), तो रैखिक समीकरणों के युग्म का अद्वितीय हल होता है। / Here, \\(\frac{18}{9}=2\\), whereas \\(\frac{7}{4}\\) is different. Since the ratios of the coefficients of x and y are unequal, the two lines intersect at exactly one point, giving a unique solution. Therefore, the pair is consistent and independent. A consistent dependent pair would require the corresponding coefficient ratios to be equal. Exam tip: if \\(\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}\\), a pair of linear equations has a unique solution.
C. असंगत; कोई हल नहीं/Inconsistent; having no solution
Explanation
Simple Explanation
यहाँ a₁/a₂ = 26/2 = 13 और b₁/b₂ = 39/3 = 13, लेकिन c₁/c₂ = 117/10 है, जो 13 के बराबर नहीं है। अतः a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, इसलिए दोनों रेखाएँ समानांतर और अलग-अलग हैं। इस युग्म का कोई हल नहीं है, इसलिए यह असंगत युग्म है। विकल्प B तब सही होता जब तीनों अनुपात समान होते। परीक्षा-युक्ति: पहले a₁/a₂ और b₁/b₂ की तुलना करें; यदि वे समान हों और c₁/c₂ अलग हो, तो युग्म असंगत होता है। / Here, a₁/a₂ = 26/2 = 13 and b₁/b₂ = 39/3 = 13, but c₁/c₂ = 117/10, which is not equal to 13. Thus, a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, so the two lines are distinct and parallel. The pair has no solution and is therefore inconsistent. Option B would be correct only if all three ratios were equal. Exam tip: first compare a₁/a₂ and b₁/b₂; if they are equal but c₁/c₂ is different, the pair is inconsistent.
B. पहले दो अनुपात बराबर हैं, लेकिन स्थिर पदों का अनुपात अलग है/The first two ratios are equal, but the ratio of the constant terms is different
Explanation
Simple Explanation
यहां
(24/3=8) और (32/4=8), लेकिन (96/13) 8 के बराबर नहीं है। अतः
(a_1/a_2=b_1/b_2
\ne c_1/c_2), इसलिए दोनों रेखाएं समांतर और असंपाती हैं तथा समीकरणों का कोई हल नहीं है। परीक्षा में पहले गुणांकों के अनुपात और फिर स्थिर पदों के अनुपात की तुलना करें। / Here, 24/3=8 and 32/4=8, but 96/13 is not equal to 8. Thus, a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2, so the two lines are parallel and distinct, and the pair has no solution. Exam tip: compare the ratios of the coefficients first and then compare the ratio of the constant terms.
पहले समीकरण को 8 से भाग देने पर \(2x-y=8\) प्राप्त होता है। इसलिए दोनों समीकरणों का बायाँ पक्ष समान है। यदि \(t=8\), तो दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाएँगे और उनके अनंत हल होंगे। असंगत होने के लिए दाएँ पक्ष अलग होना चाहिए, अतः \(t\ne 8\)। परीक्षा-युक्ति: समान बाएँ पक्ष वाले समीकरणों में अलग दाएँ पक्ष होने पर कोई हल नहीं होता। / Dividing the first equation by 8 gives \(2x-y=8\). Thus, the left-hand sides of the two equations are identical. If \(t=8\), both equations represent the same line and have infinitely many solutions. For the equations to be inconsistent, their right-hand sides must differ; hence, \(t\ne 8\). Exam tip: identical left-hand sides with different right-hand sides imply no solution.
दो रैखिक समीकरणों का अद्वितीय हल होने की शर्त है कि \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\)। यहाँ \(\frac{17}{8}\ne\frac{p}{3}\) होना चाहिए। क्रॉस-गुणा करने पर \(51\ne8p\), अर्थात् \(p\ne\frac{51}{8}\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प B सही है। परीक्षा-युक्ति: अद्वितीय हल के लिए गुणांकों के अनुपातों को असमान रखें; विकल्प A में अनुपात बराबर हो जाते हैं और अद्वितीय हल नहीं मिलता। / Two linear equations have a unique solution when \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\). Here, \(\frac{17}{8}\ne\frac{p}{3}\) is required. Cross-multiplication gives \(51\ne8p\), or \(p\ne\frac{51}{8}\). Hence, option B is correct. Exam tip: For a unique solution, the ratios of corresponding coefficients must be unequal; in option A, the ratios become equal, so the equations do not have a unique solution.
पहले समीकरण के सभी गुणांक दूसरे समीकरण के 6 गुना हैं: 30=6×5, 18=6×3 और 126=6×21। अतः दोनों समीकरणों को 6 से भाग देने पर बिल्कुल यही समीकरण मिलता है: 5x+3y=21। इसलिए दोनों का ग्राफ एक ही रेखा होगा और युग्म के अनंत हल होंगे। परीक्षा-युक्ति: यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ हो, तो रेखाएं संपाती होती हैं और युग्म के अनंत हल होते हैं। / Every coefficient in the first equation is 6 times the corresponding coefficient in the second: 30=6×5, 18=6×3, and 126=6×21. Dividing the first equation by 6 gives exactly 5x+3y=21. Hence, both equations represent the same line, and the pair has infinitely many solutions. Exam tip: if a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂, the two lines are coincident and the pair has infinitely many solutions.
यहाँ
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}\) और \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\), लेकिन \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{41}{85}\neq\frac{1}{2}\)। इसलिए दोनों रेखाएँ समानांतर और अलग-अलग हैं, अतः इस युग्म का कोई हल नहीं है। विकल्प B गलत है क्योंकि अनंत हल के लिए तीनों अनुपात समान होने चाहिए। परीक्षा-युक्ति: यदि \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\), तो युग्म असंगत होता है और उसका कोई हल नहीं होता। / Here, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}\) and \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\), but \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{41}{85}\neq\frac{1}{2}\). Thus, the two lines are parallel and distinct, so the pair has no solution. Option B is incorrect because infinitely many solutions require all three ratios to be equal. Exam tip: when \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\), the pair is inconsistent and has no solution.
दोनों समीकरणों में गुणांकों का अनुपात समान है: \(5/15=8/24=1/3\)। इसलिए युग्म या तो संपाती होगा या समांतर रेखाओं का होगा। संपाती होने के लिए स्थिर पदों का अनुपात भी \(37/m=1/3\) होना चाहिए, जिससे \(m=111\) मिलता है। अतः असंगत युग्म के लिए \(m\ne111\) आवश्यक है। परीक्षा-युक्ति: जब \(a_1/a_2=b_1/b_2\), लेकिन \(c_1/c_2\) अलग हो, तब युग्म असंगत होता है। / The ratios of the corresponding coefficients are equal: \(5/15=8/24=1/3\). Therefore, the pair can either represent coincident lines or distinct parallel lines. For coincident lines, the constant-term ratio must also be \(37/m=1/3\), which gives \(m=111\). Hence, for an inconsistent pair, \(m\ne111\). Exam tip: when \(a_1/a_2=b_1/b_2\) but \(c_1/c_2\) is different, the pair is inconsistent.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है: 4/12 = a/21 = 32/96। यहाँ 4/12 और 32/96 दोनों 1/3 हैं, इसलिए a/21 = 1/3, अर्थात a = 7। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा में ध्यान रखें कि अनंत हल के लिए तीनों अनुपात समान होने चाहिए; केवल दो अनुपातों का समान होना पर्याप्त नहीं है। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the ratios of the corresponding coefficients and constants must be equal: 4/12 = a/21 = 32/96. Since 4/12 and 32/96 are both 1/3, a/21 = 1/3, giving a = 7. Therefore, option C is correct. Exam tip: all three ratios must be equal; equality of only two ratios is not sufficient for infinitely many solutions.
दो रैखिक समीकरणों \(a_1x+b_1y+c_1=0\) और \(a_2x+b_2y+c_2=0\) का अद्वितीय हल तब होता है जब \(\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}\)। यहाँ \(\frac{13}{6} \ne \frac{p}{5}\) होना चाहिए। अतः \(65 \ne 6p\), यानी \(p \ne \frac{65}{6}\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में अनुपात बराबर हो जाते हैं, इसलिए वह अद्वितीय हल की शर्त नहीं है। परीक्षा-टिप: अद्वितीय हल के लिए दोनों गुणांकों के अनुपात की तुलना करें और उन्हें बराबर होने से बचाएँ। / Two linear equations \(a_1x+b_1y+c_1=0\) and \(a_2x+b_2y+c_2=0\) have a unique solution when \(\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}\). Here, we require \(\frac{13}{6} \ne \frac{p}{5}\). Thus, \(65 \ne 6p\), or \(p \ne \frac{65}{6}\). Therefore, option A is correct. In option B, the two ratios become equal, so it does not give a unique solution. Exam tip: For a unique solution, compare the ratios of the coefficients of the two variables and ensure they are unequal.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने की शर्त है: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{b}{16}=\frac{9}{24}=\frac{3}{8}\), इसलिए \(b=6\)। साथ ही, \(\frac{36}{97}\ne\frac{3}{8}\), अतः दोनों रेखाएँ समानांतर और भिन्न हैं। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई हल नहीं’ के लिए पहले दोनों चर के गुणांकों के अनुपात बराबर करें और नियतांकों का अनुपात अलग जाँचें। / For two linear equations to have no solution, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{b}{16}=\frac{9}{24}=\frac{3}{8}\), giving \(b=6\). Also, \(\frac{36}{97}\ne\frac{3}{8}\), so the two lines are distinct and parallel. Exam tip: For ‘no solution’, first equate the ratios of the coefficients of the variables, then verify that the constants’ ratio is different.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है: पहले समीकरण के x, y और अचर पद के गुणांकों का संबंधित अनुपात समान हो, अर्थात 5/20 = a/28 = 45/180। चूँकि 5/20 और 45/180 दोनों 1/4 के बराबर हैं, इसलिए a/28 = 1/4, जिससे a = 7 प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल की स्थिति में तीनों अनुपात समान होते हैं; केवल दो अनुपात समान होना पर्याप्त नहीं है। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the ratios of the corresponding coefficients and constants must be equal: 5/20 = a/28 = 45/180. Since 5/20 and 45/180 are both 1/4, we get a/28 = 1/4, so a = 7. Therefore, option C is correct. Exam tip: For infinitely many solutions, all three corresponding ratios must be equal; equality of only two ratios is not sufficient.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने की शर्त है \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{8}{16}=\frac{1}{2}\) है। अतः \(\frac{7}{a}=\frac{1}{2}\), जिससे \(a=14\) प्राप्त होता है। साथ ही \(\frac{34}{79}\ne\frac{1}{2}\), इसलिए दोनों समीकरण अलग-अलग समानांतर रेखाएँ हैं और उनका कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पहले गुणांकों का अनुपात समान कराएँ और फिर नियतांकों का अनुपात अलग जाँचें। / For two linear equations to have no solution, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{8}{16}=\frac{1}{2}\). Therefore, \(\frac{7}{a}=\frac{1}{2}\), which gives \(a=14\). Also, \(\frac{34}{79}\ne\frac{1}{2}\), so the two equations represent distinct parallel lines and have no solution. Exam tip: first equate the ratios of the coefficients of the variables, then verify that the constants have a different ratio.
संगत और आश्रित रैखिक समीकरणों के लिए दोनों समीकरणों के संगत गुणांकों और अचर पदों का अनुपात समान होना चाहिए। दूसरे समीकरण के बाएँ पक्ष के गुणांक पहले समीकरण के गुणांकों के 3 गुना हैं: 21=3×7 और 39=3×13। इसलिए अचर पद भी 67 का 3 गुना होगा, अर्थात् s=3×67=201। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-युक्ति: आश्रितता जाँचने के लिए पहले दोनों समीकरणों के x और y के गुणांकों का समान गुणक पहचानें, फिर उसी से अचर पद निकालें। / For a pair of linear equations to be consistent and dependent, the corresponding coefficients and constant terms must be in the same ratio. Here, the coefficients in the second equation are three times those in the first: 21=3×7 and 39=3×13. Therefore, its constant term must also be three times 67, so s=3×67=201. Hence, option C is correct. Exam tip: First identify the common multiplier between the corresponding x- and y-coefficients, then apply it to the constant term.
मानक रूप में दोनों समीकरणों के गुणांकों का अनुपात जाँचते हैं: \(\frac{22}{2}=11\) और \(\frac{33}{3}=11\), लेकिन \(\frac{99}{11}=9\)। इसलिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\), जो असंगत युग्म की शर्त है। इनसे प्राप्त रेखाएँ समानांतर और अलग-अलग होती हैं, इसलिए कोई हल नहीं मिलता। परीक्षा-युक्ति: पहले \(a_1/a_2\), \(b_1/b_2\) और \(c_1/c_2\) की तुलना करें; केवल तभी युग्म आश्रित होगा जब तीनों अनुपात बराबर हों। / Compare the corresponding coefficients: \(\frac{22}{2}=11\) and \(\frac{33}{3}=11\), but \(\frac{99}{11}=9\). Thus, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\), which is the condition for an inconsistent pair. The two lines are distinct and parallel, so the equations have no solution. Exam tip: compare \(a_1/a_2\), \(b_1/b_2\), and \(c_1/c_2\); the pair is dependent only when all three ratios are equal.
C. अनंत हल हैं/There are infinitely many solutions
Explanation
Simple Explanation
दूसरे समीकरण के सभी पद पहले समीकरण के 3 गुना हैं: 27=3×9, 42=3×14 और 213=3×71। इसलिए दोनों समीकरण वास्तव में एक ही रेखा को दर्शाते हैं और उनके सभी बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। अतः अनंत हल हैं। विकल्प B या समानांतर रेखाओं का निष्कर्ष तब होता जब चर वाले पदों के अनुपात समान होते, लेकिन नियतांकों का अनुपात अलग होता; यहाँ तीनों अनुपात समान हैं। परीक्षा-युक्ति: यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ हो, तो युग्म के अनंत हल होते हैं। / Every term in the second equation is three times the corresponding term in the first: 27=3×9, 42=3×14, and 213=3×71. Thus, both equations represent the same line, so every point on that line satisfies both equations. Therefore, the pair has infinitely many solutions. A no-solution or distinct-parallel-lines conclusion would require the coefficients of x and y to be proportional but the constants not to be proportional; here all three ratios are equal. Exam tip: If a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂, the pair has infinitely many solutions.
पहले समीकरण को 7 से भाग देने पर 2x-y=8 प्राप्त होता है। अतः दोनों समीकरणों का बायाँ पक्ष समान है। यदि t=8 हो, तो दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाएँगे और उनके अनंत हल होंगे। असंगत होने के लिए दाएँ पक्ष अलग होना चाहिए, इसलिए t≠8। परीक्षा-युक्ति: समान बायाँ पक्ष होने पर अलग दाएँ पक्ष का अर्थ होता है कि कोई हल नहीं है। / Dividing the first equation by 7 gives 2x-y=8. Thus, both equations have the same left-hand side. If t=8, they represent the same line and have infinitely many solutions. For the equations to be inconsistent, their right-hand sides must differ; therefore, t≠8. Exam tip: identical left-hand sides with different right-hand sides indicate no solution.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने के लिए
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\) होना चाहिए। यहाँ \(\frac{16}{42}=\frac{8}{21}\), इसलिए \(\frac{c}{21}=\frac{8}{21}\), जिससे \(c=8\) प्राप्त होता है। साथ ही, \(\frac{64}{130}=\frac{32}{65}\), जो \(\frac{8}{21}\) के बराबर नहीं है; अतः वास्तव में कोई हल नहीं है। परीक्षा-टिप: पहले गुणांकों के अनुपात बराबर करें और फिर अचर पदों का अनुपात अलग जाँचें। / For two linear equations to have no solution, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{16}{42}=\frac{8}{21}\), so \(\frac{c}{21}=\frac{8}{21}\), giving \(c=8\). Also, \(\frac{64}{130}=\frac{32}{65}\), which is not equal to \(\frac{8}{21}\); therefore, the equations are inconsistent. The other values make the coefficients' ratios unequal and lead to a unique solution. Exam tip: equate the ratios of the variable coefficients first, then check that the constant-term ratio is different.
दोनों समीकरणों के लिए 6/12 = 11/22 = 1/2, लेकिन 29/63, 1/2 के बराबर नहीं है। इसलिए x और y के गुणांकों का अनुपात समान है, जबकि अचर पदों का अनुपात अलग है। इसका अर्थ है कि दोनों रेखाएं समानांतर और अलग-अलग हैं, इसलिए उनका कोई साझा बिंदु नहीं है और युग्म का कोई हल नहीं होगा। परीक्षा में याद रखें: यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, तो रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं होता। / For the two equations, 6/12 = 11/22 = 1/2, but 29/63 is not equal to 1/2. Thus, the ratios of the coefficients of x and y are equal, while the ratio of the constant terms is different. This represents two distinct parallel lines, so they have no common point and the pair has no solution. Exam tip: if a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, the pair of linear equations has no solution.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है: 5/15 = 2/a = 18/54। यहाँ 5/15 और 18/54 दोनों 1/3 के बराबर हैं, इसलिए 2/a = 1/3 से a = 6 प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। ध्यान रखें कि अनंत हल के लिए तीनों संगत अनुपात बराबर होने चाहिए; केवल पहले दो अनुपातों का बराबर होना पर्याप्त नहीं है। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the condition is 5/15 = 2/a = 18/54. Since 5/15 and 18/54 are both equal to 1/3, 2/a = 1/3 gives a = 6. Therefore, option C is correct. Exam tip: all three corresponding coefficient and constant ratios must be equal; checking only two ratios is not sufficient.
A. असंगत; दो भिन्न समानांतर रेखाएँ/Inconsistent; two distinct parallel lines
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरणों में \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{11}{22}=\frac{1}{2}\) और \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\), लेकिन \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{25}{53}\neq\frac{1}{2}\)। इसलिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\), जो असंगत समीकरणों और दो भिन्न समानांतर रेखाओं की स्थिति है। अतः कोई हल नहीं होगा। विकल्प C तभी सही होता जब तीनों अनुपात बराबर होते। परीक्षा-युक्ति: अनुपातों की तुलना हमेशा इसी क्रम में करें—\(a_1/a_2\), \(b_1/b_2\), फिर \(c_1/c_2\)। / For the two equations, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{11}{22}=\frac{1}{2}\) and \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\), but \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{25}{53}\neq\frac{1}{2}\). Thus, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\), which represents an inconsistent pair of equations and two distinct parallel lines. Therefore, there is no solution. Option C would be correct only if all three ratios were equal. Exam tip: compare the ratios in the order \(a_1/a_2\), \(b_1/b_2\), and then \(c_1/c_2\).
दोनों समीकरणों में गुणांकों का अनुपात समान नहीं है: \(\frac{19}{9} \ne \frac{8}{4}\)। अधिक सीधे तौर पर, निर्धारक \(19 \times 4 - 8 \times 9 = 4 \ne 0\) है। इसलिए दोनों रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और समीकरणों का एक अद्वितीय हल होता है। विकल्प B तभी सही होता जब दोनों रेखाएं एक ही होतीं, जबकि विकल्प A समानांतर रेखाओं की स्थिति है। परीक्षा-युक्ति: यदि \(\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}\), तो दो रैखिक समीकरणों का एक अद्वितीय हल होता है। / The coefficient ratios are unequal: \(\frac{19}{9} \ne \frac{8}{4}\). Equivalently, the determinant is \(19 \times 4 - 8 \times 9 = 4 \ne 0\). Therefore, the two lines intersect at exactly one point, so the equations have one unique solution. Option B would apply if both equations represented the same line, while option A describes parallel lines. Exam tip: when \(\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}\), a pair of linear equations has a unique solution.
पहले समीकरण के गुणांकों की तुलना दूसरे समीकरण से करने पर 18/3 = 6 और (-12)/(-2) = 6 मिलता है, लेकिन 72/13, 6 के बराबर नहीं है। अतः a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, इसलिए यह समीकरण-युग्म असंगत है और इसका कोई हल नहीं है। वास्तव में, दूसरे समीकरण को 6 से गुणा करने पर 18x − 12y = 78 मिलता है, जो पहले समीकरण 18x − 12y = 72 से विरोधाभासी है। परीक्षा-युक्ति: यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ लेकिन c₁/c₂ अलग हो, तो रेखाएं समानांतर और अलग होती हैं तथा हलों की संख्या शून्य होती है। / Comparing the corresponding coefficients gives 18/3 = 6 and (-12)/(-2) = 6, but 72/13 is not equal to 6. Thus, a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, so the pair is inconsistent and has no solution. Equivalently, multiplying the second equation by 6 gives 18x − 12y = 78, which contradicts the first equation, 18x − 12y = 72. Exam tip: When a₁/a₂ = b₁/b₂ but c₁/c₂ is different, the lines are parallel and distinct, so the number of solutions is zero.
दूसरा समीकरण पहले समीकरण का ठीक 2 गुना है: 2(14x+9y=61) से 28x+18y=122 प्राप्त होता है। इसलिए दोनों समीकरण वास्तव में एक ही रेखा को प्रदर्शित करते हैं और इनके अनंत हल हैं। विकल्प A गलत है, क्योंकि समानांतर और अलग रेखाओं के लिए स्थिरांकों का अनुपात, गुणांकों के अनुपात के बराबर नहीं होना चाहिए। विकल्प C एक अद्वितीय हल को दर्शाता है, जो यहां संभव नहीं है। परीक्षा-युक्ति: यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ हो, तो रेखाएं संपाती होती हैं। / The second equation is exactly twice the first: multiplying 14x+9y=61 by 2 gives 28x+18y=122. Hence both equations represent the same line and the pair has infinitely many solutions. Option A is incorrect because distinct parallel lines require the ratio of the constants to differ from the ratios of the corresponding coefficients. Option C represents a unique solution, which is not possible here. Exam tip: if a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂, the two lines are coincident.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल न होने के लिए x और y के गुणांकों का अनुपात समान, लेकिन अचर पदों का अनुपात अलग होना चाहिए। इसलिए l/14 = 13/26 = 1/2 से l = 7 प्राप्त होता है। साथ ही 52/109, 1/2 के बराबर नहीं है, इसलिए रेखाएँ समानांतर हैं और कोई हल नहीं है। परीक्षा सुझाव: पहले गुणांकों के अनुपात की तुलना करें और फिर अचर पदों का अनुपात जाँचें। / For two linear equations to have no solution, the ratios of the coefficients of x and y must be equal, while the ratio of the constant terms must be different. Thus, l/14 = 13/26 = 1/2, giving l = 7. Also, 52/109 is not equal to 1/2, so the two lines are parallel and inconsistent. Exam tip: compare the coefficient ratios first, then verify that the constant-term ratio is different.
