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conditions for solvability MCQ Questions for Class 10
conditions for solvability se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
संगत और आश्रित रैखिक समीकरणों के लिए संगत गुणांकों तथा अचर पदों का अनुपात समान होना चाहिए। यहाँ \(18/6=33/11=3\), इसलिए \(s/53=3\), जिससे \(s=159\) प्राप्त होता है। 158 या 160 लेने पर दोनों समीकरणों के गुणांक तो समान अनुपात में रहेंगे, लेकिन अचर पदों का अनुपात 3 नहीं होगा; तब वे असंगत होंगे, आश्रित नहीं। परीक्षा-युक्ति: आश्रित समीकरणों में एक समीकरण दूसरे का पूर्ण गुणज होता है। / For a pair of consistent and dependent linear equations, the ratios of the corresponding coefficients and constant terms must be equal. Here, \(18/6=33/11=3\), so \(s/53=3\), giving \(s=159\). If \(s\) were 158 or 160, the coefficients would still be in the ratio 3, but the constant terms would not be; the equations would then be inconsistent rather than dependent. Exam tip: In a dependent pair, one equation is an exact multiple of the other.
B. \(\frac{8}{16}\ne\frac{9}{17}\), इसलिए एक अद्वितीय हल/\(\frac{8}{16}\ne\frac{9}{17}\), so there is one unique solution
Explanation
Simple Explanation
यहां \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}\), जबकि \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{9}{17}\) है। दोनों अनुपात बराबर नहीं हैं, इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और समीकरणों का एक अद्वितीय हल होता है। विकल्प A में समान ढाल वाली अलग-अलग रेखाओं की स्थिति दी गई है, जो यहां लागू नहीं होती। परीक्षा युक्ति: पहले \(\frac{a_1}{a_2}\) और \(\frac{b_1}{b_2}\) की तुलना करें; इनके असमान होने पर सीधे अद्वितीय हल चुनें। / Here, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}\), whereas \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{9}{17}\). Since these two ratios are unequal, the two lines intersect at exactly one point, so the pair has a unique solution. Option A describes the case of parallel distinct lines, which does not apply here. Exam tip: first compare \(\frac{a_1}{a_2}\) and \(\frac{b_1}{b_2}\); if they are unequal, the pair has a unique solution.
यहाँ
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}\) और \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\), लेकिन \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{260}{535}=\frac{52}{107}\) है। इसलिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), जो असंगत प्रणाली की शर्त है। दोनों रेखाएँ समान ढाल वाली लेकिन अलग अंतःखंड वाली हैं, इसलिए कोई हल नहीं है। ध्यान रखें: तीनों अनुपात बराबर होने पर प्रणाली आश्रित होती है, जबकि यहाँ स्थिरांकों का अनुपात अलग है। / Here, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}\) and \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\), but \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{260}{535}=\frac{52}{107}\). Thus, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), which is the condition for an inconsistent system. The two lines have the same slope but different intercepts, so they have no common solution. Exam tip: if all three ratios are equal, the system is dependent; here, the constant-term ratio is different.
दो रैखिक समीकरणों का अद्वितीय हल होने के लिए गुणांकों का निर्धारक शून्य नहीं होना चाहिए: 13 × 3 − 6p ≠ 0। इससे 39 − 6p ≠ 0, अर्थात् p ≠ 13/2 प्राप्त होता है। यदि p = 13/2 हो, तो दोनों रेखाओं के x और y के गुणांकों का अनुपात समान हो जाता है, जबकि अचर पदों का अनुपात अलग रहता है; इसलिए रेखाएँ समानांतर होंगी और कोई हल नहीं होगा। परीक्षा-युक्ति: अद्वितीय हल के लिए a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ जाँचें। / For two linear equations to have a unique solution, the determinant of the coefficients must be non-zero: 13 × 3 − 6p ≠ 0. Thus, 39 − 6p ≠ 0, which gives p ≠ 13/2. When p = 13/2, the ratios of the x- and y-coefficients are equal, but the ratio of the constant terms is different, so the lines are parallel and have no solution. Exam tip: For a unique solution, check that a₁/a₂ ≠ b₁/b₂.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने की शर्त है: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{b}{10}=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}\), इसलिए \(b=4\)। साथ ही, \(\frac{48}{101}\neq\frac{2}{5}\), अतः दोनों रेखाएँ समांतर और असंगत हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले x और y के गुणांकों का अनुपात बराबर करें, फिर अचर पदों का अनुपात अलग होना जाँचें। / For two linear equations to have no solution, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{b}{10}=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}\), so \(b=4\). Also, \(\frac{48}{101}\neq\frac{2}{5}\), so the two lines are parallel and inconsistent. Exam tip: first equate the ratios of the coefficients of x and y, then verify that the ratio of the constant terms is different.
दोनों समीकरणों के गुणांकों के अनुपात की जाँच करें: \(8/16=3/6=1/2\), लेकिन अचर पदों का अनुपात \(19/45\), \(1/2\) के बराबर नहीं है। इसलिए दोनों रेखाएँ समानांतर और अलग-अलग हैं, अतः उनका कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है और इस युग्म का कोई हल नहीं है। अनंत हल तभी होते जब तीनों अनुपात समान होते। परीक्षा-युक्ति: यदि \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), तो युग्म का कोई हल नहीं होता। / Compare the ratios of the corresponding coefficients: \(8/16=3/6=1/2\), whereas the ratio of the constant terms is \(19/45\), which is not \(1/2\). Thus, the two lines are parallel and distinct, so they have no common point and the pair has no solution. Infinitely many solutions would require all three ratios to be equal. Exam tip: if \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), the pair has no solution.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने की शर्त है: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂। यहाँ c/9 = 10/15 होना चाहिए, इसलिए c/9 = 2/3 और c = 6। साथ ही 50/80 = 5/8 है, जो 2/3 के बराबर नहीं है; अतः दोनों रेखाएँ समांतर और भिन्न हैं। इसलिए सही विकल्प (6) है। परीक्षा-टिप: पहले x और y के गुणांकों का अनुपात बराबर करें, फिर नियतांकों का अनुपात अलग होने की जाँच करें। / For two linear equations to have no solution, the ratios of the coefficients of x and y must be equal, but this common ratio must differ from the ratio of the constants: c/9 = 10/15 ≠ 50/80. Since 10/15 = 2/3, c/9 = 2/3 gives c = 6. Also, 50/80 = 5/8, which is different from 2/3, so the lines are parallel and distinct. Hence, the correct answer is (6). Exam tip: First equate the ratios of the x- and y-coefficients, then verify that the constants have a different ratio.
पहले समीकरण को 4 से भाग देने पर मिलता है: \(4x-3y=11\), जबकि दूसरा समीकरण \(4x-3y=12\) है। दोनों रेखाओं के \(x\) और \(y\) के गुणांकों का अनुपात समान है, लेकिन अचर पदों का अनुपात अलग है: \(16/4=(-12)/(-3)=4\), जबकि \(44/12=11/3\)। इसलिए दोनों रेखाएं समानांतर और अलग-अलग हैं, अतः उनका कोई साझा हल नहीं है। विकल्प C तब सही होता जब तीनों अनुपात समान होते। परीक्षा-युक्ति: यदि \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), तो रैखिक समीकरणों का युग्म असंगत होता है और उसका कोई हल नहीं होता। / Dividing the first equation by 4 gives \(4x-3y=11\), whereas the second equation is \(4x-3y=12\). The ratios of the coefficients of \(x\) and \(y\) are equal, but the ratio of the constant terms is different: \(16/4=(-12)/(-3)=4\), while \(44/12=11/3\). Hence, the two lines are parallel and distinct, so they have no common solution. Option C would be correct only if all three ratios were equal. Exam tip: if \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), the pair of linear equations is inconsistent and has no solution.
यहाँ
\(a_1/a_2=6/12=1/2\), जबकि \(b_1/b_2=5/10=1/2\) और \(c_1/c_2=240/490=24/49\) है। इसलिए \(a_1/a_2=b_1/b_2\neq c_1/c_2\), जिससे दोनों रेखाएँ समानांतर और भिन्न होती हैं तथा कोई हल नहीं मिलता। अतः प्रणाली असंगत है। इसे संगत और आश्रित नहीं कहेंगे, क्योंकि उस स्थिति में तीनों अनुपात बराबर होते हैं और अनंत हल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: इस प्रकार के प्रश्नों में तीनों अनुपातों की तुलना करें। / Here, \(a_1/a_2=6/12=1/2\), while \(b_1/b_2=5/10=1/2\) and \(c_1/c_2=240/490=24/49\). Thus, \(a_1/a_2=b_1/b_2\neq c_1/c_2\), so the two lines are distinct and parallel and have no common solution. Therefore, the system is inconsistent. It is not consistent and dependent, because that case requires all three ratios to be equal and gives infinitely many solutions. Exam tip: Compare all three corresponding ratios in such questions.
यहाँ
\(a_1=6, b_1=-4, c_1=11\) और
\(a_2=15, b_2=-10, c_2=28\) हैं।
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}\) तथा
\(\frac{b_1}{b_2}=\frac{-4}{-10}=\frac{2}{5}\), लेकिन
\(\frac{c_1}{c_2}=\frac{11}{28}\) है, जो
\(\frac{2}{5}\) के बराबर नहीं है। इसलिए दोनों रेखाएँ समानांतर और अलग-अलग हैं तथा उनका कोई प्रतिच्छेद-बिंदु नहीं है। अतः निकाय का कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: यदि \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), तो रेखाएँ समानांतर होती हैं और कोई हल नहीं होता। / Here, \(a_1=6, b_1=-4, c_1=11\) and \(a_2=15, b_2=-10, c_2=28\). We have \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}\) and \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{-4}{-10}=\frac{2}{5}\), but \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{11}{28}\), which is not equal to \(\frac{2}{5}\). Thus, the two lines are distinct and parallel, so they do not intersect. Therefore, the pair has no solution. Exam tip: If \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), the lines are parallel and the pair has no solution.
पहले समीकरण के गुणांकों और दूसरे समीकरण के गुणांकों का अनुपात है: \(14/7=2\) तथा \((-10)/(-5)=2\)। लेकिन अचर पदों का अनुपात \(36/19\) है, जो 2 के बराबर नहीं है। इसलिए \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), अर्थात दोनों रेखाएं समानांतर और अलग-अलग हैं। अतः इस युग्म का कोई हल नहीं है। विकल्प B तभी सही होता जब तीनों अनुपात बराबर होते, जबकि विकल्प C के लिए पहले दो अनुपात बराबर नहीं होने चाहिए। परीक्षा-युक्ति: इस प्रकार के प्रश्नों में तीनों अनुपात क्रमशः तुलना करें। / The ratios of the corresponding coefficients are \(14/7=2\) and \((-10)/(-5)=2\). However, the ratio of the constant terms is \(36/19\), which is not equal to 2. Thus, \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), so the two lines are parallel and distinct. Therefore, the pair has no solution. Option B would be correct only if all three ratios were equal, while option C requires the first two ratios to be unequal. Exam tip: For consistency questions, compare the three ratios in the order \(a_1/a_2\), \(b_1/b_2\), and \(c_1/c_2\).
संगत और आश्रित रैखिक समीकरणों के लिए संबंधित गुणांकों और अचर पदों का अनुपात समान होना चाहिए। यहाँ \(\frac{4}{8}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\), इसलिए \(\frac{29}{s}=\frac{1}{2}\)। अतः \(s=58\)। 57 निकट विकल्प है, लेकिन उससे अचर पदों का अनुपात समान नहीं रहेगा। परीक्षा-युक्ति: यदि एक समीकरण दूसरे का \(k\) गुना हो, तो उसका अचर पद भी उसी \(k\) से गुणा करें। / For a pair of consistent and dependent linear equations, the ratios of the corresponding coefficients and constant terms must be equal. Here, \(\frac{4}{8}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\), so \(\frac{29}{s}=\frac{1}{2}\). Therefore, \(s=58\). The nearby value 57 is incorrect because it does not preserve the same ratio for the constant terms. Exam tip: when one equation is multiplied by \(k\), its constant term must also be multiplied by \(k\).
यहाँ x और y के गुणांकों का अनुपात समान नहीं है: 13/6 ≠ 4/2। इसलिए दोनों रेखाएँ एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और युग्म का एकमात्र हल होता है। अतः यह युग्म संगत और स्वतंत्र है। विकल्प A तथा D समानांतर रेखाओं से संबंधित हैं, जबकि विकल्प B में अनंत हल होने चाहिए। परीक्षा-टिप: यदि a₁/a₂ ≠ b₁/b₂, तो रैखिक समीकरणों का युग्म संगत और स्वतंत्र होता है। / The ratios of the coefficients of x and y are unequal: 13/6 ≠ 4/2. Therefore, the two lines intersect at exactly one point, giving a unique solution. Hence, the pair is consistent and independent. Options A and D describe parallel-line cases, while option B would require infinitely many solutions. Exam tip: If a₁/a₂ ≠ b₁/b₂, the pair of linear equations is consistent and independent.
दो रैखिक समीकरणों का अद्वितीय हल तब होता है जब उनके चरांकों का अनुपात समान न हो, अर्थात् \(\frac{11}{4}\ne\frac{p}{2}\)। क्रॉस-गुणा करने पर \(22\ne4p\), इसलिए \(p\ne\frac{11}{2}\) प्राप्त होता है। अतः विकल्प B सही है। विकल्प A वह सीमा-मान है जिस पर दोनों रेखाएँ समांतर होंगी और कोई हल नहीं होगा। परीक्षा-युक्ति: अद्वितीय हल के लिए \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\) जाँचें। / A pair of linear equations has a unique solution when the ratios of the coefficients of the variables are unequal: \(\frac{11}{4}\ne\frac{p}{2}\). Cross-multiplication gives \(22\ne4p\), so \(p\ne\frac{11}{2}\). Hence, option B is correct. Option A is the boundary value at which the lines become parallel and no solution exists. Exam tip: for a unique solution, check that \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\).
पहले समीकरण के गुणांक हैं: \(a_1=8, b_1=-3, c_1=22\), और दूसरे के गुणांक हैं: \(a_2=16, b_2=-6, c_2=47\)। अतः \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}\) तथा \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}\), लेकिन \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{22}{47}\), जो \(\frac{1}{2}\) के बराबर नहीं है। इसलिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), और रेखाएँ समांतर होने के कारण इस युग्म का कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: इस अनुपात-रूप में पहले दो अनुपात बराबर और तीसरा अलग हो, तो युग्म असंगत होता है। / For the first equation, \(a_1=8, b_1=-3, c_1=22\), and for the second equation, \(a_2=16, b_2=-6, c_2=47\). Thus, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}\) and \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}\), whereas \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{22}{47}\), which is not equal to \(\frac{1}{2}\). Therefore, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), so the lines are parallel and the pair has no solution. Exam tip: when the first two coefficient ratios are equal but the constant-term ratio is different, the pair is inconsistent.
दो रैखिक समीकरणों का अद्वितीय हल तब होता है जब \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\)। यहाँ \(a_1=6, a_2=3, b_1=k, b_2=5\), इसलिए \(\frac{6}{3}\ne\frac{k}{5}\), अर्थात् \(2\ne\frac{k}{5}\)। इससे \(k\ne10\) प्राप्त होता है। यदि \(k=10\) होता, तो दोनों समीकरणों की \(x\) और \(y\) के गुणांकों का अनुपात समान होता और अद्वितीय हल नहीं मिलता। परीक्षा-युक्ति: अद्वितीय हल के लिए गुणांकों के अनुपात में असमानता जाँचें। / Two linear equations have a unique solution when \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\). Here, \(a_1=6, a_2=3, b_1=k, b_2=5\), so \(\frac{6}{3}\ne\frac{k}{5}\), or \(2\ne\frac{k}{5}\). This gives \(k\ne10\). If \(k=10\), the ratios of the coefficients of \(x\) and \(y\) would be equal, so the equations would not have a unique solution. Exam tip: For a unique solution, check that the ratios of corresponding coefficients are unequal.
यहाँ
\(a_1/a_2=6/18=1/3\) और \(b_1/b_2=(-7)/(-21)=1/3\), जबकि \(c_1/c_2=13/40\) है। इसलिए \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), जो असंगत समीकरणों को दर्शाता है। दोनों रेखाएँ अलग-अलग समानांतर हैं, इसलिए उनका कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: इस स्थिति को पहचानने के लिए पहले \(a_1/a_2\) और \(b_1/b_2\) की तुलना \(c_1/c_2\) से करें। / Here, \(a_1/a_2=6/18=1/3\) and \(b_1/b_2=(-7)/(-21)=1/3\), whereas \(c_1/c_2=13/40\). Thus, \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), which represents an inconsistent pair of equations. The two lines are distinct and parallel, so they have no solution. Exam tip: Compare the ratios of the coefficients of \(x\), \(y\), and the constants in this order to identify the solution status quickly.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल न होने के लिए शर्त है कि \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{l}{10}=\frac{11}{22}=\frac{1}{2}\), इसलिए \(l=5\)। साथ ही, \(\frac{44}{91}\neq\frac{1}{2}\), अतः दोनों रेखाएँ समांतर और असंपाती हैं। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई हल नहीं’ के लिए पहले गुणांकों के अनुपात बराबर करें और नियतांकों का अनुपात अलग जाँचें। / For two linear equations to have no solution, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{l}{10}=\frac{11}{22}=\frac{1}{2}\), so \(l=5\). Also, \(\frac{44}{91}\neq\frac{1}{2}\), confirming that the two lines are parallel and distinct. Exam tip: For ‘no solution’, first equate the ratios of the coefficients and then check that the ratio of constants is different.
संगत और आश्रित रैखिक समीकरणों के लिए दोनों समीकरण एक-दूसरे के समानुपाती होने चाहिए। यहाँ दूसरे समीकरण के x और y के गुणांक पहले समीकरण के गुणांकों के 2 गुने हैं: \(8=2\times4\) और \(10=2\times5\)। इसलिए नियत पद भी 2 गुना होना चाहिए, अर्थात् \(s=2\times29=58\)। अतः सही विकल्प C है। 56 या 57 लेने पर दोनों समीकरण समान रेखा नहीं दर्शाएँगे। परीक्षा-युक्ति: आश्रितता जाँचने के लिए \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\) का प्रयोग करें। / For a pair of linear equations to be consistent and dependent, all corresponding coefficients and constants must be proportional. The coefficients in the second equation are twice those in the first: \(8=2\times4\) and \(10=2\times5\). Therefore, the constant must also be doubled, so \(s=2\times29=58\). Hence, option C is correct. Values such as 56 or 57 would not make the two equations represent the same line. Exam tip: for dependent equations, check whether \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\).
दो रैखिक समीकरणों के युग्म के लिए यदि \(\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}\), तो युग्म का एकमात्र हल होता है और वह संगत तथा स्वतंत्र कहलाता है। यहाँ \(\frac{13}{6} \ne \frac{4}{2}\), इसलिए दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। अतः सही विकल्प C है। विकल्प B में अनंत हल होने चाहिए, जो तभी संभव है जब \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) हो। परीक्षा-युक्ति: पहले \(a_1/a_2\) और \(b_1/b_2\) की तुलना करें। / For a pair of linear equations, if \(\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}\), the pair has a unique solution and is called consistent and independent. Here, \(\frac{13}{6} \ne \frac{4}{2}\), so the two lines intersect at exactly one point. Therefore, option C is correct. Option B would require infinitely many solutions, which occurs only when \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\). Exam tip: first compare \(a_1/a_2\) and \(b_1/b_2\).
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने के लिए उनके संगत गुणांकों और अचर पदों का अनुपात समान होना चाहिए। यहाँ दूसरे समीकरण के x और y के गुणांक पहले समीकरण के 3 गुना हैं: 21=3×7 और 12=3×4। इसलिए अचर पद भी 3 गुना होगा, अर्थात् n=3×37=111। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा-टिप: अनंत हल के लिए दोनों समीकरण एक ही रेखा का प्रतिनिधित्व करते हैं। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the ratios of the corresponding coefficients and constant terms must be equal. Here, the coefficients of x and y in the second equation are three times those in the first: 21=3×7 and 12=3×4. Therefore, the constant term must also be three times 37, so n=3×37=111. Hence, option C is correct. Exam tip: Infinitely many solutions mean that both equations represent the same line.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने के लिए गुणांकों का अनुपात समान, लेकिन अचर पदों का अनुपात भिन्न होना चाहिए। इसलिए
\(\frac{a}{14}=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}\), जिससे \(a=6\)। साथ ही \(\frac{27}{64}\ne\frac{3}{7}\), इसलिए दोनों समीकरण असंगत हैं और उनका कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पहले गुणांकों का अनुपात समान करके पैरामीटर ज्ञात करें, फिर अचर पदों का अनुपात जाँचें। / For two linear equations to have no solution, the ratios of the corresponding coefficients must be equal, while the ratio of the constants must be different. Thus, \(\frac{a}{14}=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}\), giving \(a=6\). Also, \(\frac{27}{64}\ne\frac{3}{7}\), so the equations are inconsistent and have no solution. Exam tip: first equate the ratios of the coefficients to find the parameter, then verify that the constants are not in the same ratio.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होता है जब \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{b}{12}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}\) रखने पर \(b=4\) मिलता है। साथ ही \(\frac{32}{71}\ne\frac{1}{3}\), इसलिए दोनों रेखाएँ समानांतर हैं और कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई हल नहीं’ के लिए गुणांकों का अनुपात समान, पर नियतांकों का अनुपात अलग होना चाहिए। / Two linear equations have no solution when \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{b}{12}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}\), which gives \(b=4\). Also, \(\frac{32}{71}\ne\frac{1}{3}\), so the two lines are parallel and have no common solution. Exam tip: for no solution, the ratios of the coefficients must be equal, but the ratio of the constants must be different.
दोनों समीकरणों में
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}\) और \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{-4}{-8}=\frac{1}{2}\), लेकिन \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{17}{39}\neq\frac{1}{2}\) है। अतः \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\), इसलिए दोनों रेखाएँ समानांतर और अलग हैं तथा कोई हल नहीं है। परीक्षा में याद रखें: यही अनुपात-शर्त दो असंगत रेखाओं और शून्य हल को दर्शाती है। / For the two equations, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}\) and \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{-4}{-8}=\frac{1}{2}\), but \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{17}{39}\neq\frac{1}{2}\). Thus, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\), so the lines are parallel and distinct and the pair has no solution. Exam tip: this ratio condition identifies inconsistent equations with zero solutions.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने की शर्त है \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{a}{9}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\) रखने पर \(a=3\) मिलता है। साथ ही \(\frac{20}{61}\ne\frac{1}{3}\), इसलिए दोनों रेखाएँ समानांतर और अलग-अलग हैं; अतः कोई हल नहीं है। परीक्षा में पहले गुणांकों के अनुपात को बराबर करके अज्ञात पैरामीटर ज्ञात करें, फिर नियतांकों का अनुपात जाँचें। / For two linear equations to have no solution, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{a}{9}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\), giving \(a=3\). Also, \(\frac{20}{61}\ne\frac{1}{3}\), so the two lines are distinct and parallel and therefore have no solution. In an exam, first equate the ratios of the variable coefficients to find the parameter, then verify the ratio of the constants.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{3}{12}=\frac{24}{96}=\frac{1}{4}\) है। इसलिए \(\frac{m}{28}=\frac{1}{4}\), जिससे \(m=7\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प C है। परीक्षा टिप: अनंत हल के लिए तीनों अनुपात समान होने चाहिए, जबकि एकमात्र हल के लिए केवल गुणांकों का अनुपात अलग होना पर्याप्त नहीं है। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{3}{12}=\frac{24}{96}=\frac{1}{4}\). Therefore, \(\frac{m}{28}=\frac{1}{4}\), giving \(m=7\). Hence, option C is correct. Exam tip: For infinitely many solutions, the ratios of the coefficients of \(x\), \(y\), and the constants must all be equal.
यहां
1/
2 = 12/3 = 4 और
1/
2 = (-8)/(-2) = 4, जबकि
1/
2 = 20/6 = 10/3 है। इसलिए
1/
2 =
1/
2
1/
2 नहीं है। दोनों रेखाएं समानांतर और अलग-अलग हैं, इसलिए उनका कोई समान बिंदु या हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ हो, तो रैखिक समीकरण-युग्म का कोई हल नहीं होता। / Here, a₁/a₂ = 12/3 = 4 and b₁/b₂ = (−8)/(−2) = 4, whereas c₁/c₂ = 20/6 = 10/3. Thus, a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂. The two lines are parallel and distinct, so they have no common point or solution. Exam tip: If a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, a pair of linear equations has no solution.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने के लिए x और y के गुणांकों का अनुपात समान, लेकिन अचर पदों का अनुपात अलग होना चाहिए। अतः l/8 = 9/18, जिससे l/8 = 1/2 और l = 4 प्राप्त होता है। जाँचने पर 27/55, 1/2 के बराबर नहीं है, इसलिए रेखाएँ समानांतर और असंपाती हैं। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई हल नहीं’ के लिए a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ याद रखें। / For two linear equations to have no solution, the ratios of the coefficients of x and y must be equal, while the ratio of the constant terms must be different. Therefore, l/8 = 9/18, so l/8 = 1/2 and l = 4. Also, 27/55 is not equal to 1/2, confirming that the two lines are parallel and distinct. Exam tip: For ‘no solution’, remember a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂.
संगत और आश्रित रैखिक समीकरणों में दोनों समीकरण एक-दूसरे के समानुपाती होते हैं, इसलिए उनके अनंत हल होते हैं। यहाँ दूसरा समीकरण पहले समीकरण का 2 गुना है: \(2(2x+5y=17)\), जिससे \(4x+10y=34\) प्राप्त होता है। अतः \(s=34\) और सही विकल्प C है। 33 या 35 लेने पर दोनों समीकरण समान नहीं रहेंगे और वे आश्रित नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: आश्रित समीकरणों के लिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) जाँचें। / For a pair of consistent and dependent linear equations, the corresponding coefficients and constants must be proportional, giving infinitely many solutions. Here, multiplying the first equation by 2 gives \(2(2x+5y=17)\), or \(4x+10y=34\). Therefore, \(s=34\), so option C is correct. If \(s\) were 33 or 35, the equations would not represent the same line and would not be dependent. Exam tip: For dependent equations, check \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\).
यहाँ
\(\frac{4}{8}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\), लेकिन
\(\frac{120}{250}=\frac{12}{25}\), जो \(\frac{1}{2}\) के बराबर नहीं है। अतः \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\) है। इसलिए दोनों रेखाएँ समानांतर हैं और कोई साझा हल नहीं है; प्रणाली असंगत है। परीक्षा-युक्ति: इस स्थिति में अनुपातों की तुलना करके तुरंत ‘no solution’ पहचानें। / Here, \(\frac{4}{8}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\), but \(\frac{120}{250}=\frac{12}{25}\), which is not equal to \(\frac{1}{2}\). Thus, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\). The two lines are therefore parallel and have no common solution, so the system is inconsistent. Exam tip: Compare these three ratios to identify a ‘no solution’ case quickly.
