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conditions for solvability MCQ Questions for Class 10
conditions for solvability se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
दोनों समीकरणों के लिए \(a_1/a_2=12/2=6\) और \(b_1/b_2=18/3=6\), लेकिन \(c_1/c_2=42/8=21/4\) है। इसलिए \(a_1/a_2=b_1/b_2\neq c_1/c_2\), जिससे दोनों रेखाएँ समांतर और अलग-अलग होती हैं। अतः युग्म का कोई हल नहीं है और यह असंगत है। संपाती या आश्रित युग्म के लिए तीनों अनुपात बराबर होने चाहिए। परीक्षा-युक्ति: पहले \(a_1/a_2\), \(b_1/b_2\) और \(c_1/c_2\) की तुलना करें। / For the two equations, \(a_1/a_2=12/2=6\) and \(b_1/b_2=18/3=6\), but \(c_1/c_2=42/8=21/4\). Thus, \(a_1/a_2=b_1/b_2\neq c_1/c_2\), so the two lines are distinct and parallel. Hence, the pair has no solution and is inconsistent. A coincident or dependent pair requires all three ratios to be equal. Exam tip: compare \(a_1/a_2\), \(b_1/b_2\), and \(c_1/c_2\) systematically.
C. अनंत हल हैं/There are infinitely many solutions
Explanation
Simple Explanation
दूसरे समीकरण के सभी पद पहले समीकरण के 3 गुना हैं: 15x+9y=3(5x+3y) और 51=3×17। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं, अर्थात वे आश्रित संगत समीकरण हैं और इनके अनंत हल हैं। विकल्प B या अलग समानांतर रेखाओं का निष्कर्ष तब होता जब बाएँ पक्ष के अनुपात समान, लेकिन दाएँ पक्ष का अनुपात अलग होता। परीक्षा-युक्ति: यदि \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\), तो अनंत हल होते हैं। / Every term in the second equation is three times the corresponding term in the first: 15x+9y=3(5x+3y) and 51=3×17. Thus, both equations represent the same line; they are dependent and consistent, so they have infinitely many solutions. No solution or distinct parallel lines would result if the coefficients had the same ratio but the constant terms had a different ratio. Exam tip: if \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\), the pair has infinitely many solutions.
पहले समीकरण के बाएँ पक्ष को 2 से गुणा करने पर \(12x-10y\) मिलता है, लेकिन दाएँ पक्ष का मान \(2\times14=28\) होगा, 31 नहीं। अतः दोनों समीकरणों के गुणांक समान अनुपात में हैं: \(\frac{6}{12}=\frac{-5}{-10}=\frac{1}{2}\), जबकि स्थिर पदों का अनुपात \(\frac{14}{31}\) है, जो अलग है। इसलिए दोनों रेखाएँ समानांतर और अलग-अलग हैं तथा कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: यदि \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), तो युग्म का कोई हल नहीं होता। / Multiplying the left-hand side of the first equation by 2 gives \(12x-10y\), but the right-hand side would be \(2\times14=28\), not 31. Thus, the coefficient ratios are equal: \(\frac{6}{12}=\frac{-5}{-10}=\frac{1}{2}\), whereas the ratio of the constants is \(\frac{14}{31}\), which is different. Therefore, the two lines are distinct and parallel, so the pair has no solution. Exam tip: If \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), the pair of linear equations has no solution.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होता है जब \(a_1/a_2=b_1/b_2\), लेकिन \(c_1/c_2\) इसके बराबर नहीं होता। यहाँ \(7/14=1/2\) और \(28/60=7/15\), जो अलग हैं। इसलिए \(k/8=1/2\), जिससे \(k=4\) प्राप्त होता है। परीक्षा-टिप: पहले गुणांकों के अनुपात की तुलना करें और सुनिश्चित करें कि नियतांकों का अनुपात समान न हो। / A pair of linear equations has no solution when \(a_1/a_2=b_1/b_2\), but this common ratio is not equal to \(c_1/c_2\). Here, \(7/14=1/2\), whereas \(28/60=7/15\), so the constant ratio is different. Thus, \(k/8=1/2\), giving \(k=4\). Exam tip: For inconsistent equations, the coefficient ratios must be equal while the constant ratio must be different.
दोनों समीकरणों के गुणांकों के अनुपात समान हैं: 9/3 = (-6)/(-2) = 3, लेकिन अचर पदों का अनुपात 12/7 है, जो 3 के बराबर नहीं है। इसलिए दोनों रेखाएं समानांतर और अलग-अलग हैं, अतः इस युग्म का कोई हल नहीं है। यदि तीनों अनुपात समान होते, तो रेखाएं संपाती होकर अनंत हल देतीं। परीक्षा-युक्ति: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ होने पर युग्म का कोई हल नहीं होता। / The ratios of the coefficients are equal: 9/3 = (-6)/(-2) = 3, but the ratio of the constant terms is 12/7, which is not 3. Hence, the two lines are parallel and distinct, so the pair has no solution. If all three ratios were equal, the lines would be coincident and would have infinitely many solutions. Exam tip: when a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, the pair has no solution.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने के लिए गुणांकों का अनुपात समान, लेकिन अचर पदों का अनुपात अलग होना चाहिए। यहाँ l/6 = 7/14 = 1/2, इसलिए l = 3। साथ ही 21/40, 1/2 के बराबर नहीं है, इसलिए दोनों रेखाएँ समानांतर और असंपाती हैं। परीक्षा में याद रखें: कोई हल नहीं के लिए a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ होता है। / For a pair of linear equations to have no solution, the ratios of the coefficients of x and y must be equal, while the ratio of the constant terms must be different. Here, l/6 = 7/14 = 1/2, so l = 3. Also, 21/40 is not equal to 1/2, so the two lines are parallel and distinct. Exam tip: no solution occurs when a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने के लिए
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) होना चाहिए। यहाँ \(\frac{5}{1}=\frac{25}{5}=5\) है। इसलिए \(\frac{k}{3}=5\), जिससे \(k=15\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प B है। परीक्षा-टिप: अनंत हल की स्थिति में दोनों समीकरण एक-दूसरे के समानुपाती होते हैं। / For two linear equations to have infinitely many solutions, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) must hold. Here, \(\frac{5}{1}=\frac{25}{5}=5\). Therefore, \(\frac{k}{3}=5\), giving \(k=15\). Hence, option B is correct. Exam tip: In the infinitely many solutions case, the corresponding coefficients and constants are proportional.
संगत और आश्रित रैखिक समीकरणों के लिए दोनों समीकरण एक-दूसरे के गुणज होने चाहिए। यहाँ दूसरा समीकरण पहले समीकरण का 2 गुना है: \(2(x+4y=9)\), इसलिए उसका दायाँ पक्ष भी \(2\times9=18\) होगा और \(s=18\)। 17 या 19 लेने पर दोनों समीकरण समान रेखा को प्रदर्शित नहीं करेंगे। परीक्षा-युक्ति: आश्रित समीकरणों में \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\) जाँचें। / For a pair of consistent and dependent linear equations, one equation must be an exact multiple of the other. Here, the second equation is twice the first: \(2(x+4y=9)\), so its right-hand side must be \(2\times9=18\). Therefore, \(s=18\). Values such as 17 or 19 would not produce the same equation or the same line. Exam tip: For dependent equations, check whether \(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\).
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने के लिए x और y के गुणांकों का अनुपात समान, लेकिन अचर पदों का अनुपात अलग होना चाहिए। इसलिए \(\frac{a}{6}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\), जिससे \(a=3\) प्राप्त होता है। साथ ही \(\frac{10}{25}=\frac{2}{5}\), जो \(\frac{1}{2}\) के बराबर नहीं है; अतः दोनों रेखाएँ समानांतर और असंगत हैं। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई हल नहीं’ के लिए पहले दोनों चर के गुणांकों के अनुपात की समानता जाँचें, फिर अचर पदों का अनुपात अलग होना सुनिश्चित करें। / For two linear equations to have no solution, the ratios of the coefficients of both variables must be equal, while the ratio of the constant terms must be different. Thus, \(\frac{a}{6}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\), which gives \(a=3\). Also, \(\frac{10}{25}=\frac{2}{5}\), which is not equal to \(\frac{1}{2}\); therefore, the two lines are parallel and inconsistent. Exam tip: For ‘no solution,’ first check that the variable-coefficient ratios are equal and then verify that the constant-term ratio is different.
दो रैखिक समीकरणों की कोई हल न होने की शर्त है कि \(a_1/a_2=b_1/b_2\), लेकिन \(c_1/c_2\) इसके बराबर न हो। यहाँ \(k/6=5/10=1/2\) होना चाहिए, इसलिए \(k=3\)। साथ ही \(20/45=4/9\), जो \(1/2\) के बराबर नहीं है; अतः रेखाएँ समानांतर और असंगत हैं। इसलिए सही विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई हल नहीं’ के लिए पहले दोनों चर के गुणांकों का अनुपात बराबर करें और स्थिरांकों का अनुपात अलग जाँचें। / For two linear equations to have no solution, the ratios of the coefficients of the variables must be equal, but this common ratio must differ from the ratio of the constants. Here, \(k/6=5/10=1/2\), which gives \(k=3\). Also, \(20/45=4/9\), not \(1/2\), so the two lines are distinct and parallel. Therefore, option B is correct. Exam tip: For ‘no solution,’ check \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\).
C. अनंत हल हैं/There are infinitely many solutions
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण के सभी पद दूसरे समीकरण के 5 गुना हैं:
\(15=5\times3\), \(10=5\times2\) और \(5=5\times1\)। अतः दोनों समीकरण वास्तव में एक ही रेखा को दर्शाते हैं और उनके अनंत समान हल हैं। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प A तब सही होता जब रेखाएँ अलग-अलग समानांतर होतीं। परीक्षा-टिप: यदि \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\), तो रैखिक समीकरणों के युग्म के अनंत हल होते हैं। / Every term of the first equation is 5 times the corresponding term of the second: \(15=5\times3\), \(10=5\times2\), and \(5=5\times1\). Thus, both equations represent the same line and have infinitely many common solutions. Therefore, option C is correct. Option A would be correct only if the two lines were distinct and parallel. Exam tip: If \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\), a pair of linear equations has infinitely many solutions.
A. पहले दो अनुपात बराबर हैं लेकिन स्थिर अनुपात अलग है/First two ratios are equal but the constant ratio is different
Explanation
Simple Explanation
मानक रूप में दोनों समीकरणों के गुणांक हैं: \(a_1=3,b_1=6,c_1=12\) और \(a_2=1,b_2=2,c_2=5\)। अतः \(\frac{a_1}{a_2}=3\) तथा \(\frac{b_1}{b_2}=3\), लेकिन \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{12}{5}\) है। इसलिए पहले दो अनुपात बराबर और तीसरा अलग है; रेखाएं समांतर एवं अलग-अलग हैं, अतः युग्म का कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\) होने पर युग्म असंगत होता है। / In standard form, the coefficients are \(a_1=3,b_1=6,c_1=12\) and \(a_2=1,b_2=2,c_2=5\). Thus, \(\frac{a_1}{a_2}=3\) and \(\frac{b_1}{b_2}=3\), but \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{12}{5}\). Therefore, the first two ratios are equal while the third is different. The lines are distinct and parallel, so the pair has no solution. Exam tip: If \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), the pair is inconsistent.
A. x + 4y = 6 और 2x + 8y = 13/x + 4y = 6 and 2x + 8y = 13
Explanation
Simple Explanation
विकल्प A में \(a_1/a_2=1/2\) और \(b_1/b_2=4/8=1/2\), लेकिन \(c_1/c_2=6/13\) है। अतः \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), इसलिए दोनों रेखाएँ अलग-अलग समानांतर हैं और युग्म का कोई हल नहीं है; यह असंगत युग्म है। विकल्प C में तीनों अनुपात समान हैं, इसलिए वह आश्रित और संगत है। परीक्षा-युक्ति: असंगत युग्म पहचानने के लिए \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\) जाँचें। / In option A, \(a_1/a_2=1/2\) and \(b_1/b_2=4/8=1/2\), but \(c_1/c_2=6/13\). Thus, \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), so the two lines are distinct and parallel and the pair has no solution. Hence, it is inconsistent. In option C, all three ratios are equal, so the pair is dependent and consistent. Exam tip: For an inconsistent pair, check whether \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\).
C. एक बिंदु पर कटती रेखाएं/Lines intersecting at one point
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरणों में x और y के गुणांकों का अनुपात समान नहीं है: 5/3 ≠ 8/4। इसलिए रेखाएं न तो संपाती होंगी और न ही समानांतर; वे एक अद्वितीय बिंदु पर प्रतिच्छेद करेंगी। वास्तव में, समीकरणों को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु (3, 0) मिलता है। परीक्षा-युक्ति: यदि a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ हो, तो रैखिक समीकरणों का एक अद्वितीय हल होता है और रेखाएं एक बिंदु पर कटती हैं। / The ratios of the coefficients of x and y are not equal: 5/3 ≠ 8/4. Therefore, the lines are neither coincident nor parallel; they intersect at one unique point. Solving the equations gives the intersection point (3, 0). Exam tip: If a₁/a₂ ≠ b₁/b₂, the pair of linear equations has a unique solution, so the lines intersect at one point.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने के लिए शर्त है: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{p}{4}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\) होना चाहिए, इसलिए \(p=2\)। साथ ही \(\frac{10}{23}\ne\frac{1}{2}\), अतः दोनों रेखाएँ समांतर और असंगत हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले x और y के गुणांकों का अनुपात बराबर करें, फिर अचर पदों का अनुपात अलग होना जाँचें। / For two linear equations to have no solution, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{p}{4}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\), which gives \(p=2\). Also, \(\frac{10}{23}\ne\frac{1}{2}\), so the two lines are parallel and distinct. Exam tip: first equate the ratios of the coefficients of x and y, then verify that the ratio of the constant terms is different.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने के लिए
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) होना चाहिए। यहाँ \(\frac{5}{10}=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}\), इसलिए \(\frac{b}{6}=\frac{1}{2}\), जिससे \(b=3\) प्राप्त होता है। \(b=4\) लेने पर \(\frac{b}{6}\neq\frac{1}{2}\), इसलिए अनंत हल नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के लिए तीनों अनुपात समान जाँचें। / For two linear equations to have infinitely many solutions, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) must hold. Here, \(\frac{5}{10}=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}\), so \(\frac{b}{6}=\frac{1}{2}\), giving \(b=3\). If \(b=4\), then \(\frac{b}{6}\neq\frac{1}{2}\), so the equations would not have infinitely many solutions. Exam tip: For infinitely many solutions, verify that all three corresponding ratios are equal.
अलग-अलग समानांतर रेखाएं कभी एक-दूसरे को नहीं काटतीं, इसलिए उनका कोई उभयनिष्ठ हल या सामान्य बिंदु नहीं होता। ऐसे रैखिक समीकरणों के युग्म को असंगत कहते हैं। इसके विपरीत, संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं। परीक्षा-सुझाव: प्रतिच्छेदी रेखाएं एक हल, संपाती रेखाएं अनंत हल और अलग समानांतर रेखाएं कोई हल नहीं दर्शाती हैं। / Distinct parallel lines never intersect, so they have no common point and no common solution. Therefore, the pair is called inconsistent. In contrast, coincident lines have infinitely many solutions. Exam tip: intersecting lines indicate one solution, coincident lines indicate infinitely many solutions, and distinct parallel lines indicate no solution.
दो रैखिक समीकरणों के लिए यदि \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\) हो, तो दोनों रेखाओं की ढाल समान होती है, लेकिन उनका y-अवरोध अलग होता है। इसलिए रेखाएँ अलग-अलग समानांतर होती हैं और कभी प्रतिच्छेद नहीं करतीं; अतः इस युग्म का कोई हल नहीं है। परीक्षा टिप: समानांतर और अलग रेखाओं की स्थिति में अनुपातों का पैटर्न \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\) याद रखें। / For a pair of linear equations, if \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), the two lines have the same slope but different y-intercepts. Hence, they are distinct parallel lines and never intersect, so the pair has no solution. Exam tip: remember that the pattern \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\) represents distinct parallel lines and an inconsistent pair.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होने की शर्त है \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{2}{k}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\), इसलिए \(k=4\)। साथ ही \(\frac{6}{15}=\frac{2}{5}\), जो \(\frac{1}{2}\) के बराबर नहीं है; अतः दोनों रेखाएँ समानांतर और असंगत हैं। परीक्षा में पहले गुणांकों के अनुपात को बराबर करके पैरामीटर का मान निकालें, फिर नियतांकों के अनुपात से जाँच करें। / For two linear equations to have no solution, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{2}{k}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\), which gives \(k=4\). Also, \(\frac{6}{15}=\frac{2}{5}\), which is not equal to \(\frac{1}{2}\); hence the two lines are distinct parallel lines and the system is inconsistent. In an exam, first equate the ratios of the variable coefficients, then verify the condition using the constants.
दो रैखिक समीकरणों का अद्वितीय हल तभी होता है जब उनके गुणांकों का अनुपात समान न हो। यहाँ शर्त \(\frac{p}{5}\ne\frac{6}{3}\) है, अर्थात \(p\ne10\)। इसलिए विकल्प B सही है। परीक्षा-युक्ति: अद्वितीय हल के लिए \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\) जाँचें। / Two linear equations have a unique solution when the ratios of the corresponding coefficients are unequal. Here, \(\frac{p}{5}\ne\frac{6}{3}\), which gives \(p\ne10\). Therefore, option B is correct. Exam tip: For a unique solution, check that \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\).
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{3}{6}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}\), इसलिए \(\frac{k}{8}=\frac{1}{2}\), जिससे \(k=4\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर विकल्प B है। परीक्षा-टिप: अनंत हल के लिए तीनों अनुपात बराबर होने चाहिए; केवल दो अनुपात बराबर होना पर्याप्त नहीं है। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{3}{6}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}\), so \(\frac{k}{8}=\frac{1}{2}\), giving \(k=4\). Therefore, option B is correct. Exam tip: infinitely many solutions require all three corresponding ratios to be equal, not just two of them.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने के लिए a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ होना चाहिए। यहाँ 5/10 = 9/18 = 1/2 है, इसलिए 2/b = 1/2। अतः b = 4। इसलिए सही विकल्प C है। परीक्षा-टिप: अनंत हल के लिए तीनों अनुपात समान होने चाहिए; केवल दो अनुपातों का समान होना पर्याप्त नहीं है। / For a pair of linear equations to have infinitely many solutions, a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ must hold. Here, 5/10 = 9/18 = 1/2, so 2/b = 1/2, which gives b = 4. Therefore, option C is correct. Exam tip: For infinitely many solutions, all three corresponding ratios must be equal, not just two of them.
दो रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं होता जब x और y के गुणांकों का अनुपात समान हो, लेकिन अचर पदों का अनुपात अलग हो। इसलिए k/8 = 3/6 से k = 4 प्राप्त होता है। साथ ही 6/15, 3/6 के बराबर नहीं है, इसलिए दोनों रेखाएँ समानांतर और अलग हैं। अतः सही उत्तर 4 है। परीक्षा-युक्ति: ‘कोई हल नहीं’ के लिए a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ जाँचें। / A pair of linear equations has no solution when the ratios of the coefficients of x and y are equal, but the ratio of the constant terms is different. Thus, k/8 = 3/6 gives k = 4. Also, 6/15 is not equal to 3/6, so the two lines are distinct and parallel. Therefore, 4 is correct. Exam tip: For no solution, check a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂.
दोनों समीकरणों के लिए
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}\) और \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{2}\), जबकि \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}\)। इसलिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), जो समानांतर और अलग रेखाओं की स्थिति है। इसका अर्थ है कि इस युग्म का कोई हल नहीं है; इसलिए विकल्प D परिणाम बताता है, लेकिन रेखाओं की ज्यामितीय स्थिति नहीं। परीक्षा-युक्ति: इस स्थिति की पहचान के लिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\) याद रखें। / For the two equations, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}\) and \(\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{2}\), whereas \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}\). Thus, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\), which represents distinct parallel lines. Hence, the pair has no solution; option D states the algebraic consequence, but not the geometrical situation asked here. Exam tip: remember the condition \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\) for distinct parallel lines.
दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)। यहाँ \(\frac{5}{10}=\frac{a}{6}=\frac{15}{30}=\frac{1}{2}\)। इसलिए \(\frac{a}{6}=\frac{1}{2}\), जिससे \(a=3\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प B है। परीक्षा-युक्ति: अनंत हल के लिए तीनों संबंधित गुणांकों और अचर पदों के अनुपात समान होने चाहिए; केवल दो अनुपात समान होना पर्याप्त नहीं है। / For two linear equations to have infinitely many solutions, the condition is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\). Here, \(\frac{5}{10}=\frac{a}{6}=\frac{15}{30}=\frac{1}{2}\). Thus, \(\frac{a}{6}=\frac{1}{2}\), giving \(a=3\). Therefore, option B is correct. Exam tip: infinitely many solutions require all three corresponding ratios to be equal, not just two of them.
दूसरा समीकरण पहले समीकरण का 2 गुना है: यदि पहले समीकरण को 2 से गुणा करें, तो \\(2x+4y=6\\) प्राप्त होता है। इसलिए दोनों समीकरणों का ग्राफ एक ही रेखा होगा और उनके अनंत समान हल होंगे। परीक्षा में जाँचने के लिए \\(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\\) देखें; तीनों अनुपात समान हों तो रेखाएं संपाती या एक ही रेखा होती हैं। / The second equation is exactly twice the first: multiplying \\(x+2y=3\\) by 2 gives \\(2x+4y=6\\). Hence, both equations represent the same line and have infinitely many common solutions. Exam tip: check \\(a_1/a_2=b_1/b_2=c_1/c_2\\); when all three ratios are equal, the lines are coincident. Therefore, the parallel-lines option is not correct here because the two equations do not represent distinct lines.
दो रेखाएं यदि केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो उनका एक ही साझा हल होता है। इसलिए समीकरणों का युग्म संगत और स्वतंत्र कहलाता है। असंगत युग्म का कोई हल नहीं होता, जबकि आश्रित या संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं। परीक्षा में याद रखें: एक प्रतिच्छेदी बिंदु = एक अद्वितीय हल = संगत और स्वतंत्र युग्म। / When two lines intersect at exactly one point, they have one common solution. Therefore, the pair is called consistent and independent. An inconsistent pair has no solution, whereas dependent or coincident lines have infinitely many solutions. Exam tip: one point of intersection means one unique solution and hence a consistent independent pair.
असंगत युग्म में दोनों रैखिक समीकरणों का कोई उभयनिष्ठ हल नहीं होता। इसके ग्राफ में दोनों रेखाएँ अलग-अलग समानांतर होती हैं। एक हल होने पर रेखाएँ एक बिंदु पर काटती हैं, जबकि अनंत हल होने पर वे संपाती होती हैं। दो रैखिक समीकरणों के युग्म के ठीक दो हल नहीं हो सकते। परीक्षा-युक्ति: असंगत युग्म का अर्थ हमेशा “कोई हल नहीं” याद रखें। / An inconsistent pair has no common solution for the two linear equations. Graphically, the two lines are distinct and parallel. One solution occurs when the lines intersect at one point, while infinitely many solutions occur when the lines coincide. A pair of linear equations cannot have exactly two solutions. Exam tip: remember that inconsistent always means “no solution.”
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\(a_1/a_2=4/8=1/2\), \(b_1/b_2=1/2\), लेकिन \(c_1/c_2=(-3)/(-5)=3/5\) है। इसलिए \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), जिससे दोनों रेखाएँ समानांतर और अलग-अलग होती हैं। अतः युग्म का कोई हल नहीं है और यह असंगत युग्म है। विकल्प C गलत है, क्योंकि अनंत हल के लिए तीनों अनुपात समान होने चाहिए। परीक्षा-युक्ति: अनुपातों की तुलना में \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\) मिले तो युग्म असंगत होता है। / Here, \(a_1/a_2=4/8=1/2\), \(b_1/b_2=1/2\), but \(c_1/c_2=(-3)/(-5)=3/5\). Thus, \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), so the two lines are distinct and parallel. Therefore, the pair has no solution and is inconsistent. Option C is incorrect because infinitely many solutions require all three ratios to be equal. Exam tip: if \(a_1/a_2=b_1/b_2\ne c_1/c_2\), the pair is inconsistent.
