Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि \(a\neq 1\) और \(b\neq 1\), तो ((1-a)(1-b)\neq 0), इसलिए \(a*b\neq 1\)। / If \(a\neq 1\) and \(b\neq 1\), then ((1-a)(1-b)\neq 0), so \(a*b\neq 1\).
Step 3
Exam Tip
समुच्चय से हटाए गए मान को परिणाम में आने से रोकना आंतरिकता जाँचने का अच्छा तरीका है। / To check closure on an excluded-value set, show that the excluded value cannot appear as an output.
इस क्रिया का तत्समक (0) है। / The identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(2*(-1)=0) होना चाहिए। इसलिए (2-1+m(2)(-1)=0\Rightarrow 1-2m=0\Rightarrow m=\frac{1}{2})। / We need (2*(-1)=0). Thus (2-1+m(2)(-1)=0\Rightarrow 1-2m=0\Rightarrow m=\frac{1}{2}).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम से जुड़े प्रश्न में दोनों अवयवों की क्रिया तत्समक के बराबर रखें। / In inverse-related parameter problems, set the operation equal to the identity.
दाएँ तत्समक के लिए \(a*e=a\Rightarrow 2a+3e=a\), जिससे (3e=-a), जो (a) पर निर्भर है। / For a right identity, \(a*e=a\Rightarrow 2a+3e=a\), giving (3e=-a), which depends on (a).
Step 2
Why this answer is correct
एक स्थिर (e) सभी (a) के लिए नहीं मिल सकता। / No fixed (e) works for all (a).
Step 3
Exam Tip
तत्समक अवयव को स्थिर होना चाहिए, बदलते (a) के साथ बदलना नहीं चाहिए। / An identity must be a fixed element, not a value depending on (a).
समीकरण वाले प्रश्नों में क्रिया को पहले सामान्य बीजगणितीय रूप में लिखें। / In equation-based problems, first convert the operation into an algebraic equation.
इस क्रिया का तत्समक (0) है क्योंकि (a*0=a)। / The identity is (0) because (a*0=a).
Step 2
Why this answer is correct
(a*x=0\Rightarrow a+x-4ax=0\Rightarrow x(1-4a)=-a)। \(a=\frac{1}{4}\) पर (1-4a=0), इसलिए समाधान नहीं है। / (a*x=0\Rightarrow a+x-4ax=0\Rightarrow x(1-4a)=-a). At \(a=\frac{1}{4}\), (1-4a=0), so no solution exists.
Step 3
Exam Tip
विशेष मान को सामान्य सूत्र में रखने से पहले हर की जाँच करें। / Check the denominator before substituting special values.
(a*0=a), इसलिए तत्समक (0) है। / Since (a*0=a), the identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(a*x=0\Rightarrow a+x-ax=0\Rightarrow x(1-a)=-a)। यदि (a=1), तो (x) का मान नहीं मिल सकता। / (a*x=0\Rightarrow a+x-ax=0\Rightarrow x(1-a)=-a). If (a=1), no value of (x) can satisfy it.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम निकालते समय (1-a) जैसे गुणक को शून्य होने से रोकना जरूरी है। / While finding inverse, check where factors like (1-a) become zero.
इस क्रिया का तत्समक (0) है। / The identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(a*x=0\Rightarrow a+x+\lambda ax=0\Rightarrow x\(1+\lambda a\)=-a)। यदि \(1+\lambda a=0\), तो प्रतिलोम नहीं मिलेगा। / (a*x=0\Rightarrow a+x+\lambda ax=0\Rightarrow x\(1+\lambda a\)=-a). If \(1+\lambda a=0\), no inverse is obtained.
Step 3
Exam Tip
हर वाले पद को शून्य बनाने वाले मान को अलग पहचानें। / Identify the value that makes the denominator zero.
प्रतिलोम (x) के लिए (\gcd(4,x)=6) चाहिए। / For inverse (x), we need (\gcd(4,x)=6).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(x\in A\) के लिए (\gcd(4,x)) अधिकतम (4) हो सकता है, इसलिए (6) नहीं मिलेगा। / For any \(x\in A\), (\gcd(4,x)) can be at most (4), so it cannot be (6).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम तभी होगा जब क्रिया का परिणाम तत्समक तक पहुँच सके। / An inverse exists only if the operation can reach the identity element.
यदि क्रिया साहचर्य सिद्ध न हो, तो दिए गए कोष्ठक के अनुसार ही गणना करें। / If associativity is not already established, evaluate according to the given brackets.
A. नहीं, धनात्मक पूर्णांकों में कोई सार्वत्रिक तत्समक नहीं है/No, there is no universal identity in positive integers
Step 1
Concept
(e) तत्समक हो तो (\gcd(a,e)=a) हर धनात्मक पूर्णांक (a) के लिए चाहिए। / If (e) is the identity, then (\gcd(a,e)=a) for every positive integer (a).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसा (e) हर (a) का गुणज होना चाहिए, पर कोई सीमित धनात्मक पूर्णांक सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणज नहीं होता। / Such an (e) would need to be a multiple of every positive integer, which no finite positive integer can be.
Step 3
Exam Tip
समुच्चय पर ध्यान दें; यदि (0) शामिल होता तो स्थिति अलग हो सकती थी। / Pay attention to the set; if (0) were included, the conclusion could change.
तत्समक (e) के लिए (\operatorname{lcm}(a,e)=a) हर धनात्मक पूर्णांक (a) के लिए चाहिए। / For identity (e), (\operatorname{lcm}(a,e)=a) for every positive integer (a).
Step 2
Why this answer is correct
(\operatorname{lcm}(a,1)=a), इसलिए (e=1)। / (\operatorname{lcm}(a,1)=a), so (e=1).
Step 3
Exam Tip
लघुत्तम समापवर्त्य में (1) अक्सर तत्समक की भूमिका निभाता है। / In the least common multiple operation, (1) acts as the identity.
A. यह क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों है/It is both commutative and associative
Step 1
Concept
शेषफल (0) या (1) ही आता है, इसलिए क्रिया आंतरिक है। / The remainder is always (0) or (1), so the operation is closed.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) का शेषफल क्रम बदलने से नहीं बदलता और योग के साहचर्य गुण से यह साहचर्य भी है। / The remainder of (a+b) does not change with order, and associativity follows from addition modulo (2).
Step 3
Exam Tip
छोटे समुच्चय में क्रिया सारणी बनाकर गुण जल्दी जाँचे जा सकते हैं। / For small sets, an operation table quickly verifies properties.
A. हाँ, क्योंकि परिणाम हमेशा पूर्णांक है/Yes, because the result is always an integer
Step 1
Concept
आंतरिक क्रिया के लिए \(a,b\in \mathbb{Z}\) होने पर \(a*b\in \mathbb{Z}\) होना चाहिए। / For closure, if \(a,b\in \mathbb{Z}\), then \(a*b\in \mathbb{Z}\).
Step 2
Why this answer is correct
(a+b+2ab) पूर्णांकों का योग और गुणनफल है, इसलिए हमेशा पूर्णांक रहेगा। / (a+b+2ab) is formed using sums and products of integers, so it is always an integer.
Step 3
Exam Tip
आंतरिकता जाँचते समय परिणाम का उसी समुच्चय में रहना जरूरी है। / To check closure, verify that the result stays in the same set.
(e) तत्समक हो तो (\min(a,e)=a) हर \(a\in A\) के लिए होना चाहिए। / If (e) is the identity, (\min(a,e)=a) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
यह तभी संभव है जब (e) सबसे बड़ा अवयव हो। (A) में सबसे बड़ा अवयव (5) है। / This is possible only when (e) is the greatest element. In (A), the greatest element is (5).
Step 3
Exam Tip
\(\min\) क्रिया में तत्समक सबसे बड़ा अवयव होता है। / For a \(\min\) operation, the identity is the greatest element.
तत्समक (e) के लिए (\max(a,e)=a) हर \(a\in A\) के लिए चाहिए। / For identity (e), (\max(a,e)=a) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
यह तभी होगा जब (e) समुच्चय का सबसे छोटा अवयव हो। यहाँ सबसे छोटा अवयव (1) है। / This happens when (e) is the least element of the set. Here the least element is (1).
Step 3
Exam Tip
\(\max\) क्रिया में तत्समक सबसे छोटा अवयव होता है। / For a \(\max\) operation, the identity is the smallest element of the set.
