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वास्तविक शून्यक केवल (x)-अक्ष कटान से गिने जाते हैं। टिप: (y)-अक्ष कटान को शून्यक में न जोड़ें। / Real zeroes are counted only from (x)-axis intersections. Tip: do not add the (y)-axis intercept to zeroes.
A. दो बिंदु, (x=-5) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=-5)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-5) और (14) हैं तथा ((x+5)2) के कारण (-5) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (11) शून्यक नहीं बदलता। / The zeroes are (-5) and (14), and ((x+5)2) causes touching at (-5). Tip: the outside (11) does not change the zeroes.
A. दो बिंदु, (x=-4) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=-4)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-4) और (12) हैं तथा ((x+4)2) के कारण (-4) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (9) शून्यक नहीं बदलता। / The zeroes are (-4) and (12), and ((x+4)2) causes touching at (-4). Tip: the outside (9) does not change the zeroes.
A. दो बिंदु, (x=-3) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=-3)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-3) और (10) हैं तथा ((x+3)2) के कारण (-3) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (7) शून्यक नहीं बदलता। / The zeroes are (-3) and (10), and ((x+3)2) causes touching at (-3). Tip: the outside (7) does not change the zeroes.
A. दो बिंदु, (x=-2) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=-2)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-2) और (7) हैं, तथा ((x+2)2) के कारण (-2) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (5) शून्यक नहीं बदलता। / The zeroes are (-2) and (7), and ((x+2)2) causes touching at (-2). Tip: the outside (5) does not change the zeroes.
A. दो बिंदु, (x=2) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=2)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (2) और (-1) हैं, तथा ((x-2)2) के कारण (x=2) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (3) शून्यक नहीं बदलता। / The zeroes are (2) and (-1), and ((x-2)2) causes touching at (x=2). Tip: the outside (3) does not change the zeroes.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत \(x=\frac{1+7}{2}=4\) से गुजरता है। टिप: परवलय में दो शून्यकों का मध्य उपयोगी है। / The axis of symmetry passes through the average \(x=\frac{1+7}{2}=4\). Tip: the middle of two zeroes is useful in a parabola.
सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है, \(\frac{-2+6}{2}=2\)। टिप: परवलय में दो शून्यकों का औसत उपयोगी होता है। / The axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes, \(\frac{-2+6}{2}=2\). Tip: the average of two zeroes is useful for a parabola.
किसी बहुपद के आलेख में किस तरह से किसी बिंदु का अनुसंधान यह बताता है कि वह बिंदु शून्य (zero) है या नहीं? विशेष रूप से, (x)-अक्ष पर मिलना और (y)-अक्ष पर मिलना यह भिन्न क्यों होता है?
A. "(x)-अक्ष पर graph का y = 0 होता है इसलिए वहाँ \(p(x)=0\) मिलता है/On the (x)-axis y = 0 so there \(p(x)=0\) (zeros occur)"
Explanation
Simple Explanation
किसी बहुपद के शून्यक (zeros) वे x-मूल्य हैं जिन पर बहुपद की मान y = 0 होती है। इसलिए जब आलेख \(x\)-अक्ष को काटता है, उस बिंदु पर \(y=0\) और इसलिए \(p(x)=0\) होता है — यही शून्यक मिलना है। दूसरी ओर \(y\)-अक्ष पर मिलने का अर्थ है कि \(x=0\) और उस बिंदु की ऊर्ध्वाधर मान \(y=p(0)\) होती है, जो ज़रूरी नहीं कि शून्य हो। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(y\)-अक्ष पर हमेशा \(p(x)=0\) नहीं होता; केवल तब होगा जब \(p(0)=0\)। विकल्प C और D दोनों सामान्यीकृत गलत दावे हैं। परीक्षा टिप: शून्य ढूँढने के लिए \(y=0\) रखकर समीकरण हल करें; y-इंटरसेप्ट जानने के लिए \(x=0\) पर \(p(0)\) मूल्य निकालें। / Zeros of a polynomial are x-values where the polynomial's value is y = 0. Thus an intersection with the (x)-axis means y = 0 at that x, so \(p(x)=0\) — that is a root. An intersection with the (y)-axis means x = 0 and the point is \(y=p(0)\), which need not be zero. Hence A is correct. Option B is the common mistake: the y-axis intersection is not automatically a root unless \(p(0)=0\). Options C and D are overgeneralizations and false. Exam tip: set \(y=0\) to find zeros (solve \(p(x)=0\)); set \(x=0\) to find the y-intercept (compute \(p(0)\)).
C. (a) एक वास्तविक शून्यक है और इसकी बहुलकता सम (even) है/(a) is a real zero with even multiplicity
Explanation
Simple Explanation
जब ग्राफ \\(x\\)-अक्ष पर बिंदु \\((a,0)\\) पर छूता है तो बहुपद का मान वहाँ शून्य होता है, अर्थात् \\({p(a)=0}\\)। इसके अतिरिक्त, छूने का अर्थ है कि ग्राफ-अक्ष के दूसरी तरफ नहीं जाता — इसका मतलब उस शून्य की बहुलकता सम (even) होती है। इसलिए (a) वास्तविक शून्यक है और उसकी बहुलकता सम है। विकल्प B गलत है क्योंकि विषम (odd) बहुलकता पर ग्राफ़ अक्ष को काटता (cross) है, न कि केवल छूता। विकल्प A और D स्पष्ट रूप से गलत हैं क्योंकि छूने पर मान शून्य होता है और यह y-अक्ष से ही कटने का विवरण नहीं है। परीक्षाई टिप: किसी बिंदु पर "छूना" सूचित करता है कि शून्यक की बहुलकता सम है; "काटना" सूचित करता है कि बहुलकता विषम है। / If the graph of a polynomial touches the x-axis at \\((a,0)\\), then the polynomial has value zero there, i.e. \\({p(a)=0}\\). Touching (without crossing) indicates the root at a has even multiplicity, so (a) is a real zero with even multiplicity. Option B is incorrect because an odd multiplicity root causes the graph to cross the x-axis, not merely touch it. Options A and D are incorrect since touching implies a zero on the x-axis, not a non-zero or only a y-intercept. Exam tip: "touching" ⇨ even multiplicity; "crossing" ⇨ odd multiplicity — use this to decide root behaviour quickly.
कटना और छूना दोनों (x)-अक्ष से मिलना है। दो अलग बिंदु हैं, इसलिए दो अलग वास्तविक शून्यक हैं। / Both cutting and touching mean meeting the (x)-axis. There are two distinct points, so there are two distinct real zeroes.
छूने पर भी बिंदु (x)-अक्ष पर होता है और (y=0) होता है। इसलिए वह बिंदु शून्यक देता है। / Even when the graph touches, the point lies on the (x)-axis and (y=0). Therefore that point gives a zero.
छूना भी (x)-अक्ष से मिलना है, लेकिन बिंदु केवल एक है। इसलिए एक वास्तविक शून्यक होगा। / Touching also means meeting the (x)-axis, but there is only one point. Hence there is one real zero.
कटना और छूना दोनों (x)-अक्ष से मिलना है। यदि दोनों बिंदु अलग हैं, तो दो अलग वास्तविक शून्यक होंगे। / Both cutting and touching count as meeting the (x)-axis. If the two points are distinct, there are two distinct real zeroes.
जब परवलय (x)-अक्ष को शीर्ष पर छूता है, तो एक ही वास्तविक शून्यक होता है। उसका (x)-निर्देशांक (4) है। / When a parabola touches the (x)-axis at its vertex, it has one real zero. Its (x)-coordinate is (4).
जब परवलय (x)-अक्ष को केवल एक बिंदु पर छूता है, तो एक वास्तविक शून्यक होता है। परीक्षा में छूना भी (x)-अक्ष से मिलना माना जाता है। / When a parabola touches the (x)-axis at one point, it has one real zero. In exams, touching the (x)-axis also counts as meeting it.
रोम बर्लिन धुरी ने द्वितीय विश्व युद्ध से पहले आक्रामक शक्तियों के गठबंधन को मजबूत किया। परीक्षा में इसे धुरी शक्तियों से जोड़ें। / The Rome Berlin Axis strengthened the alliance of aggressive powers before World War II. For exams connect it with the Axis powers.
A. इटली और जर्मनी के बीच बढ़ता राजनीतिक सहयोग/Growing political cooperation between Italy and Germany
Explanation
Simple Explanation
रोम बर्लिन धुरी ने फासीवादी शक्तियों की नजदीकी दिखाई। परीक्षा में धुरी शक्तियों के बनने की प्रक्रिया याद रखें। / The Rome-Berlin Axis showed closeness between fascist powers. For exams remember the process of Axis formation.
दोनों अक्ष ( (0,0) ) पर मिलते हैं। ग्राफ पढ़ते समय मूलबिंदु से निर्देशांक गिनना आसान होता है। / Both axes meet at ( (0,0) ). While reading a graph, it is easy to count coordinates from the origin.
ऐसी रेखा कभी (x)-अक्ष से नहीं मिलती इसलिए कोई शून्यक नहीं होता। ग्राफ से पहले प्रतिच्छेद देखें। / Such a line never meets the (x)-axis so it has no zero. First check the intercept from the graph.
A. (22) को (10) करना होगा/(22) must be changed to (10)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-10) के साथ (10) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (10) is needed with (-10). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,25)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,25)) does not show a zero.
मूल बिंदु (x)-अक्ष पर भी है और (x=-9) भी (x)-अक्ष कटान है। टिप: ((0,0)) को शून्यक (0) के रूप में गिनें। / The origin is also on the (x)-axis, and (x=-9) is another (x)-axis intersection. Tip: count ((0,0)) as zero (0).
A. (18) को (8) करना होगा/(18) must be changed to (8)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-8) के साथ (8) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (8) is needed with (-8). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,-20)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-20)) does not show a zero.
मूल बिंदु (x)-अक्ष पर भी है और (x=6) भी (x)-अक्ष कटान है। टिप: ((0,0)) को शून्यक (0) के रूप में गिनें। / The origin is also on the (x)-axis, and (x=6) is another (x)-axis intersection. Tip: count ((0,0)) as zero (0).
A. (14) को (6) करना होगा/(14) must be changed to (6)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-6) के साथ (6) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (6) is needed with (-6). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,18)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,18)) does not show a zero.
A. (10) को (4) करना होगा/(10) must be changed to (4)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-4) के साथ (4) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (4) is needed with (-4). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,-15)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-15)) does not show a zero.
A. (9) को (3) करना होगा/(9) must be changed to (3)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-3) के साथ (3) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (3) is needed with (-3). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,12)) शून्यक नहीं है। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,12)) is not a zero.
B. कथन गलत है क्योंकि (0,0) दोनों अक्षों पर आता है — इसलिए यदि ग्राफ (0,0) पर है तो \(p(0)=0\) और 0 शून्यक है/The statement is wrong because (0,0) lies on both axes — if the graph passes through (0,0) then \(p(0)=0\) and 0 is a zero
Explanation
Simple Explanation
क्षेत्रफल या बहुपद के शून्यक (zeros) वह x–मान होते हैं जिनके लिए y = 0 होता है; अर्थात् शून्यक x = a होने पर ग्राफ़ पर बिंदु (a,0) होता है। मूल बिंदु (0,0) दोनों अक्षों पर स्थित है, अतः यदि ग्राफ (0,0) पर जाता है तो \(p(0)=0\) और 0 एक शून्यक है। विकल्प C गलत है क्योंकि उससे ऐसा संकेत मिलता है कि y-अक्ष पर कोई शून्यक कभी नहीं हो सकता — पर ऐसा केवल तब गलत होगा जब बिंदु y-अक्ष के अन्य स्थानों पर हो; मूल बिंदु विशेष है। परीक्षा टिप: किसी भी बहुपद का शून्यक खोजने के लिए देखें कि क्या ग्राफ x-अक्ष को काटता है (y=0)। / A zero of a polynomial corresponds to an x-value where y = 0, i.e. an x-intercept (a,0). The origin (0,0) lies on both axes, so if the graph passes through (0,0) then \(p(0)=0\) and x=0 is a root. Option C is incorrect because it wrongly asserts that no zero can lie on the y-axis — the origin is a special case where a point lies on both axes. Exam tip: to identify roots from a graph, check x-intercepts (points with y=0).
B. शून्यक (y)-अक्ष से समान दूरी पर हैं/The zeroes are equally distant from the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
(-5) और (5) (y)-अक्ष से बराबर दूरी पर हैं। टिप: विपरीत शून्यक सममित स्थिति दिखाते हैं। / (-5) and (5) are equally distant from the (y)-axis. Tip: opposite zeroes show symmetric positions.
आलेख (x)-अक्ष से नहीं मिलता इसलिए कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। टिप: शीर्ष की स्थिति से भी कटान का अंदाजा लग सकता है। / The graph does not meet the (x)-axis, so there is no real zero. Tip: the vertex position can help judge intersections.
(y)-अक्ष कटान शून्यक नहीं देता, क्योंकि (p(x)=0) नहीं है। टिप: शून्यक के लिए (x)-अक्ष से मिलना जरूरी है। / A (y)-axis intercept does not give a zero because (p(x)\neq0). Tip: meeting the (x)-axis is necessary for a zero.
शून्यक (x)-अक्ष से मिलने पर मिलते हैं, (y)-अक्ष से नहीं। इसलिए (x)-अक्ष से कटाव न होने पर वास्तविक शून्यक (0) होंगे। / Zeroes are found from intersections with the (x)-axis, not the (y)-axis. So if there is no (x)-axis intersection, there are (0) real zeroes.
A. \(\frac{1}{2}\) शून्यक है/\(\frac{1}{2}\) is a zero
Explanation
Simple Explanation
शून्यक भिन्न भी हो सकता है और छूना पर्याप्त है। जरूरी बात (p\left\(\frac{1}{2}\right\)=0) है। / A zero can be a fraction and touching is enough. The key point is (p\left\(\frac{1}{2}\right\)=0).
(x-2-6x+9=(x-3)2) है इसलिए शून्यक (3) दोहराया है। दोहराया शून्यक ग्राफ में छूने जैसा दिखता है। / (x-2-6x+9=(x-3)2), so (3) is a repeated zero. A repeated zero appears as touching on the graph.
दोहराए गुणनखंड से समान शून्यक (-2) मिलता है। द्विघात परवलय ऐसे बिंदु पर सामान्यतः (x)-अक्ष को छूता है। / The repeated factor gives equal zero (-2). A quadratic parabola generally touches the (x)-axis at such a point.
शून्यक (11) और (-6) हैं, इसलिए गुणनफल (-66) है। टिप: स्पर्श बिंदु भी शून्यक होता है। / The zeroes are (11) and (-6), so the product is (-66). Tip: a touching point is also a zero.
(x-2+20x+100=(x+10)2) है, इसलिए स्पर्श बिंदु ((-10,0)) है। टिप: पूर्ण वर्ग में चिह्न बदलकर शून्यक मिलता है। / (x-2+20x+100=(x+10)2), so the touching point is ((-10,0)). Tip: change the sign in a perfect square to get the zero.
शून्यक (9) और (-5) हैं, इसलिए गुणनफल (-45) है। टिप: स्पर्श बिंदु भी शून्यक होता है। / The zeroes are (9) and (-5), so the product is (-45). Tip: a touching point is also a zero.
(x-2-18x+81=(x-9)2) है, इसलिए स्पर्श बिंदु ((9,0)) है। टिप: पूर्ण वर्ग में चिह्न बदलकर शून्यक मिलता है। / (x-2-18x+81=(x-9)2), so the touching point is ((9,0)). Tip: change the sign in a perfect square to get the zero.
शून्यक (7) और (-4) हैं इसलिए योग (3) है। टिप: स्पर्श बिंदु को भी शून्यक मानें। / The zeroes are (7) and (-4), so the sum is (3). Tip: count a touching point as a zero too.
(x-2+14x+49=(x+7)2) है इसलिए स्पर्श बिंदु ((-7,0)) है। टिप: पूर्ण वर्ग में चिह्न बदलकर शून्यक मिलता है। / (x-2+14x+49=(x+7)2), so the touching point is ((-7,0)). Tip: in a perfect square, change the sign to get the zero.
शून्यक (5) और (-3) हैं, इसलिए योग (2) है। टिप: स्पर्श बिंदु को भी शून्यक मानें। / The zeroes are (5) and (-3), so the sum is (2). Tip: count a touching point as a zero too.
(x-2-12x+36=(x-6)2) है, इसलिए स्पर्श बिंदु ((6,0)) है। टिप: पूर्ण वर्ग में चिह्न बदलकर शून्यक मिलता है। / (x-2-12x+36=(x-6)2), so the touching point is ((6,0)). Tip: in a perfect square, change the sign to get the zero.
(x-2+8x+16=(x+4)2), इसलिए स्पर्श बिंदु ((-4,0)) है। टिप: पूर्ण वर्ग में चिह्न बदलकर शून्यक मिलता है। / (x-2+8x+16=(x+4)2), so the touching point is ((-4,0)). Tip: in a perfect square the sign changes to get the zero.
(x-2-6x+9=(x-3)2) इसलिए स्पर्श बिंदु ((3,0)) है। टिप: पूर्ण वर्ग का शून्यक तुरंत पहचानें। / (x-2-6x+9=(x-3)2), so the touching point is ((3,0)). Tip: identify the zero of a perfect square quickly.
C. (4) और (-6) दोनों शून्यक हैं/Both (4) and (-6) are zeroes
Explanation
Simple Explanation
स्पर्श और कटान दोनों स्थितियों में ग्राफ (x)-अक्ष से मिलता है। टिप: शून्यक पहचानते समय मिलना देखें, पार करना जरूरी नहीं। / In both touching and crossing, the graph meets the (x)-axis. Tip: for a zero, meeting the axis is enough, crossing is not necessary.
स्पर्श बिंदु का (x)-निर्देशांक (2) है इसलिए शून्यक (2) है। टिप: स्पर्श बिंदु को भी गिनें। / The (x)-coordinate of the touching point is (2) so the zero is (2). Tip: count a touching point too.
जिस बनावट को छूकर महसूस करें वह वास्तविक बनावट है। परीक्षा में वास्तविक बनावट को स्पर्श से जोड़ें। / Texture felt by touch is actual texture. Exam tip: connect actual texture with touch.
एक ही (x)-मान (4) दोहराया गया है इसलिए अलग शून्यक एक है। टिप: अलग शून्यक में दोहराव न गिनें। / The same (x)-value (4) is repeated, so there is one distinct zero. Tip: do not count repetition for distinct zeroes.
A. रेगिस्तानी दूरी और भूमध्यसागरीय अवरोधों ने ईंधन और सामग्री पहुंचाना कठिन किया/Desert distance and Mediterranean disruption made fuel and material supply difficult
Explanation
Simple Explanation
उत्तर अफ्रीका में तेज युद्ध भी रसद सीमा से बंधा था। परीक्षा में रेगिस्तान को रणनीतिक बाधा मानें। / Even fast war in North Africa was limited by logistics. For exams treat the desert as a strategic obstacle.
A. साम्यवाद विरोधी भाषा ने जर्मनी जापान और बाद में इटली को रणनीतिक निकटता दी/Anti-communist language gave Germany Japan and later Italy strategic closeness
Explanation
Simple Explanation
एंटी कॉमिन्टर्न वैचारिक था लेकिन धुरी राजनीति में रणनीतिक अर्थ रखता था। परीक्षा में विचारधारा और शक्ति हित साथ देखें। / The Anti-Comintern Pact was ideological but had strategic meaning in Axis politics. For exams view ideology and power interests together.
A. जर्मनी इटली और जापान को राजनीतिक सैन्य समझ में जोड़ा/It linked Germany Italy and Japan in a political military understanding
Explanation
Simple Explanation
ट्रिपार्टाइट पैक्ट ने यूरोपीय और एशियाई आक्रामक शक्तियों को एक धुरी में जोड़ा। परीक्षा में धुरी गठन का क्रम याद रखें। / The Tripartite Pact linked aggressive European and Asian powers into an Axis. For exams remember the sequence of Axis formation.
B. वे पीछे हटने लगीं और दबाव में आ गईं/They began retreating and came under pressure
Explanation
Simple Explanation
एल अलामेन ने उत्तरी अफ्रीका में मित्र राष्ट्रों की पहल मजबूत की। परीक्षा में इसे अफ्रीकी मोर्चे का मोड़ समझें। / El Alamein strengthened Allied initiative in North Africa. For exams understand it as a turning point of the African front.
A. मित्र राष्ट्रों की अधिक संसाधन शक्ति और कई मोर्चों पर दबाव/Greater Allied resources and pressure on many fronts
Explanation
Simple Explanation
मित्र राष्ट्रों के पास उद्योग जनशक्ति और संसाधनों का बड़ा आधार था। परीक्षा में संसाधन और रणनीति दोनों को कारण मानें। / The Allies had a larger base of industry manpower and resources. For exams treat both resources and strategy as causes.
धुरी शक्तियों में जर्मनी इटली और जापान प्रमुख थे। परीक्षा में इन्हें मित्र राष्ट्रों से अलग रखें। / The main Axis Powers were Germany Italy and Japan. For exams keep them separate from the Allied Powers.
(y)-अक्ष पर (x=0) होता है। पहले युग्म में (x=0) रखने पर दोनों समीकरण (y=6) देते हैं। / On the (y)-axis, (x=0). In the first pair, putting (x=0) gives (y=6) in both equations.
(x)-अक्ष पर (y=0) होता है। पहले युग्म में (y=0) रखने पर दोनों से (x=4) मिलता है। / On the (x)-axis, (y=0). In the first pair, putting (y=0) gives (x=4) from both equations.
(x)-अक्ष पर हर बिंदु का (y)-निर्देशांक (0) होता है। इसलिए प्रतिच्छेद का रूप ((a,0)) होगा। / Every point on the (x)-axis has (y)-coordinate (0). So the intersection has the form ((a,0)).
(y)-अक्ष पर प्रतिच्छेद के लिए (x=0) होना चाहिए। विकल्प में (x=0) रखने पर दोनों समीकरण (y=4) देते हैं। / For intersection on the (y)-axis, (x=0) is needed. In the correct option, putting (x=0) gives (y=4) in both equations.
बिंदु ( (14,0) ) में (y=0), इसलिए यह (x)-अक्ष पर है। अवरोधों के प्रश्नों में यह बात उपयोगी है। / In the point ( (14,0) ), (y=0), so it lies on the (x)-axis. This is useful in intercept questions.
बिंदु ( (9,0) ) में (y=0), इसलिए यह (x)-अक्ष पर स्थित है। अवरोधों में यह पहचान बहुत उपयोगी होती है। / In the point ( (9,0) ), (y=0), so it lies on the (x)-axis. This identification is very useful for intercepts.
(x)-अक्ष पर मिलने का अर्थ बहुपद का मान (0) है। इसलिए दोनों स्थानों पर (p(x)=0) होगा। / Meeting the (x)-axis means the polynomial value is (0). Hence (p(x)=0) at both places.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(q-11)+(q+7)}{2}=q-2)। टिप: प्रतीकों में भी मध्य मान लें। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(q-11)+(q+7)}{2}=q-2). Tip: take the midpoint even with symbols.
दूसरा शून्यक (8) है और औसत \(\frac{-10+8}{2}=-1\) है। टिप: सममिति अक्ष दो शून्यकों का औसत है। / The other zero is (8), and the average is \(\frac{-10+8}{2}=-1\). Tip: the axis of symmetry is the average of two zeroes.
दो शून्यकों का औसत (5) है इसलिए दूसरा शून्यक (11) होगा। टिप: सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है। / The average of the two zeroes is (5), so the other zero is (11). Tip: the axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(t-9)+(t+5)}{2}=t-2)। टिप: प्रतीकों में भी मध्य मान लें। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(t-9)+(t+5)}{2}=t-2). Tip: take the midpoint even with symbols.
दूसरा शून्यक (4) है और औसत \(\frac{-8+4}{2}=-2\) है। टिप: सममिति अक्ष दो शून्यकों का औसत है। / The other zero is (4), and the average is \(\frac{-8+4}{2}=-2\). Tip: the axis of symmetry is the average of two zeroes.
दो शून्यकों का औसत (-2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-9) होगा। टिप: सममिति अक्ष को शून्यकों के मध्य से जोड़ें। / The average of the two zeroes is (-2), so the other zero is (-9). Tip: connect the axis of symmetry with the midpoint of zeroes.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है (\frac{(c-7)+(c+3)}{2}=c-2)। टिप: प्रतीकों में भी औसत का नियम लागू होता है। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(c-7)+(c+3)}{2}=c-2). Tip: the average rule also works with symbols.
दो शून्यकों का औसत (3) है इसलिए दूसरा शून्यक (-5) होगा। टिप: \(\frac{a+b}{2}\) को सममिति अक्ष के बराबर रखें। / The average of the two zeroes is (3), so the other zero is (-5). Tip: set \(\frac{a+b}{2}\) equal to the axis of symmetry.
दोनों शून्यकों का औसत (4) है इसलिए दूसरा शून्यक (10) होगा। टिप: सममिति अक्ष को शून्यकों के मध्य मान से जोड़ें। / The average of the two zeroes is (4), so the other zero is (10). Tip: connect the axis of symmetry with the midpoint of zeroes.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(b-5)+(b+1)}{2}=b-2)। टिप: प्रतीकों में भी औसत का नियम लागू होता है। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(b-5)+(b+1)}{2}=b-2). Tip: the average rule also works with symbols.
दो शून्यकों का औसत (2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-5) होगा। टिप: \( \frac{a+b}{2} \) को सममिति अक्ष के बराबर रखें। / The average of the two zeroes is (2), so the other zero is (-5). Tip: set \( \frac{a+b}{2} \) equal to the axis of symmetry.
दो शून्यकों का औसत (1) होगा इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है। / The average of the two zeroes is (1), so the other zero is (7). Tip: the axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes.
किसी बहुपद का शून्यक a होने पर ग्राफ x-अक्ष को बिंदु (a,0) पर काटता है क्योंकि उस x‑मान पर y = 0 होता है। इसलिए शून्यक −2, 3, 7 के लिए कटान बिंदु क्रमशः (−2,0), (3,0), (7,0) होंगे — यह विकल्प B है। विकल्प A गलत है क्योंकि उसमें y-अक्ष के इंटरसेप्ट (0,a) दिये गये हैं, न कि x-अक्ष के। विकल्प D केवल चिन्हों में उलटफेर दिखाता है और विकल्प C बिनाहयान रूप से संख्याओं को जोड़ता है; दोनों अमान्य जोड़ हैं। परीक्षा टिप: शून्यक को पहले निर्देशांक (x‑मान) में लिखें और y को शून्य रखें — यानी हर शून्यक के लिए (a,0)। / If a polynomial has a zero a, the graph meets the x-axis at (a,0) because y = 0 at that x-value. Thus for zeros −2, 3 and 7 the intersection points are (−2,0), (3,0), (7,0), which is option B. Option A lists points on the y-axis (0,a), not x-axis points. Option D shows sign errors and option C mismatches x and y values, so both are incorrect. Exam tip: convert each root a directly to (a,0) — first coordinate equals the root, second coordinate is 0.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(a-2)+(a+4)}{2}=a+1)। टिप: प्रतीकात्मक शून्यकों में भी औसत लें। / The axis of symmetry is at the average of zeroes, (\frac{(a-2)+(a+4)}{2}=a+1). Tip: take the average even for symbolic zeroes.
A. दोनों वास्तविक शून्यक हैं — \(x=-3\) और \(x=2\)/Both x = -3 and x = 2 are real zeroes
Explanation
Simple Explanation
जब ग्राफ x-अक्ष को किसी बिंदु पर काटता है या केवल छूता है तब उस बिंदु पर बहुपद का मान शून्य होता है, अर्थात् \(p(x)=0\)। "काटना" सामान्यतः उस शून्य का विषम गुणांक (multiplicity odd) दर्शाता है और "छूना" सम गुणांक (multiplicity even) दर्शाता है। उदाहरण: \(p(x)=(x+3)(x-2)^2\) में \(x=-3\) पर ग्राफ काटेगा और \(x=2\) पर छुएगा; दोनों ही वास्तविक शून्यक हैं। गलत विकल्पों का कारण: B और C में केवल एक शून्यक मानें गये हैं जबकि दोनों पर \(p(x)=0\) है; D पूरी तरह गलत है। परीक्षण युक्ति: किसी बिंदु पर ग्राफ का संकेत बदलना बताता है कि वह शून्यक काट रहा है (odd multiplicity), और संकेत नहीं बदलना बताता है कि वह छू रहा है (even multiplicity). / If a polynomial's graph crosses or touches the x-axis at a point, the polynomial evaluates to zero there, i.e. \(p(x)=0\). Crossing typically corresponds to an odd multiplicity of the root, touching corresponds to an even multiplicity. For example, \(p(x)=(x+3)(x-2)^2\) crosses at \(x=-3\) and touches at \(x=2\); both are real zeroes. Why others are wrong: B and C claim only one zero exists though both satisfy \(p(x)=0\); D is false. Exam tip: check whether the graph changes sign at the root — sign change means crossing (odd multiplicity), no sign change means touching (even multiplicity).
दो शून्यकों का औसत (-1) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-6) होगा। टिप: औसत को सममिति अक्ष के बराबर रखें। / The average of the two zeroes is (-1), so the other zero is (-6). Tip: set the average equal to the axis of symmetry.
दो शून्यकों का औसत (2) होगा, इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: परवलय में सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है। / The average of the two zeroes is (2), so the other zero is (7). Tip: in a parabola the axis of symmetry passes through the midpoint of the zeroes.
x-अक्ष पर किसी बिंदु \((a,0)\) का x-निर्देशांक \(a\) उस बहुपद का शून्यक होता है। यहाँ शून्यक हैं \(-3,0,6\)। उनका योग \(-3+0+6=3\)। निकटभ्रामक विकल्प: 6 इसलिए गलत है क्योंकि वह केवल सकारात्मक दो शून्यों का जोड़ नहीं है; -3 और 0 को भी जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: x-अक्ष के परस्पर छेद के x-निर्देशांकों को ही शून्यक मानकर सीधे जोड़ें। / A point \((a,0)\) on the x-axis corresponds to a zero \(a\) of the polynomial. The zeros here are \(-3,0,6\), so their sum is \(-3+0+6=3\). Why other choices are wrong: 6 is incorrect because it ignores the contribution of \(-3\) and \(0\). Exam tip: take the x-coordinates of all x-intercepts (including the origin) and add them directly.
एक बहुपद का शून्य वही x-निर्देशांक होता है जहाँ ग्राफ x-अक्ष को काटता है। दिए गए बिंदु \((r,0)\) का प्रथम निर्देशांक \(r\) है और शर्त में \(r>0\) दिया है, अतः शून्य धनात्मक होगा। विकल्प A गलत है क्योंकि वह \(r>0\) के विपरीत कहता है; विकल्प C तब ही सही होगा जब \(r=0\) हो, जो यहाँ नहीं दिया गया; विकल्प D गलत है क्योंकि x-अक्ष पर कटान का मौजूद होना शून्य के होने की प्रत्यक्ष पहचान है। परीक्षा-टिप: किसी भी x-अक्ष के कटान पर बिंदु का पहला निर्देशांक ही शून्य (root) होता है और उसका चिह्न उसी संख्या से मिलता है। / The root (zero) of a polynomial is the x-coordinate where its graph meets the x-axis. At the point \((r,0)\) the x-coordinate is \(r\), and since \(r>0\) the root is positive. Option A is wrong because it contradicts \(r>0\); option C would be true only if \(r=0\), which is not given; option D is incorrect because an x-axis intersection means the polynomial evaluates to zero there. Exam tip: read the x-coordinate of the intercept to get the root and its sign.
