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वास्तविक शून्यक केवल (x)-अक्ष कटान से गिने जाते हैं। टिप: (y)-अक्ष कटान को शून्यक में न जोड़ें। / Real zeroes are counted only from (x)-axis intersections. Tip: do not add the (y)-axis intercept to zeroes.
दोनों अक्ष ( (0,0) ) पर मिलते हैं। ग्राफ पढ़ते समय मूलबिंदु से निर्देशांक गिनना आसान होता है। / Both axes meet at ( (0,0) ). While reading a graph, it is easy to count coordinates from the origin.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत \(x=\frac{1+7}{2}=4\) से गुजरता है। टिप: परवलय में दो शून्यकों का मध्य उपयोगी है। / The axis of symmetry passes through the average \(x=\frac{1+7}{2}=4\). Tip: the middle of two zeroes is useful in a parabola.
सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है, \(\frac{-2+6}{2}=2\)। टिप: परवलय में दो शून्यकों का औसत उपयोगी होता है। / The axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes, \(\frac{-2+6}{2}=2\). Tip: the average of two zeroes is useful for a parabola.
A. (x)-अक्ष पर (p(x)=0) होता है/On the (x)-axis (p(x)=0)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक तभी मिलता है जब आलेख (x)-अक्ष पर हो। टिप: (y=0) को हमेशा पहचानें। / A zero is obtained only when the graph lies on the (x)-axis. Tip: always identify (y=0).
A. उसका कोई वास्तविक शून्यक नहीं है/It has no real zero
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष पर ही दिखता है। टिप: (x)-अक्ष से दूरी नहीं बल्कि मिलना देखें। / A real zero appears only on the (x)-axis. Tip: check meeting the (x)-axis not distance from it.
(p(-10)=0) का अर्थ है (x=-10) पर (y=0)। इसलिए (x)-अक्ष पर बिंदु ((-10,0)) होगा। / (p(-10)=0) means (y=0) at (x=-10). Therefore the point on the (x)-axis is ((-10,0)).
बिंदु ( (14,0) ) में (y=0), इसलिए यह (x)-अक्ष पर है। अवरोधों के प्रश्नों में यह बात उपयोगी है। / In the point ( (14,0) ), (y=0), so it lies on the (x)-axis. This is useful in intercept questions.
बिंदु ( (9,0) ) में (y=0), इसलिए यह (x)-अक्ष पर स्थित है। अवरोधों में यह पहचान बहुत उपयोगी होती है। / In the point ( (9,0) ), (y=0), so it lies on the (x)-axis. This identification is very useful for intercepts.
छूने पर भी बिंदु (x)-अक्ष पर होता है और (y=0) होता है। इसलिए वह बिंदु शून्यक देता है। / Even when the graph touches, the point lies on the (x)-axis and (y=0). Therefore that point gives a zero.
एक साझा बिंदु ((6,0)) का (x)-निर्देशांक (6) है। इसलिए अलग वास्तविक शून्यक (6) होगा। / The common point ((6,0)) has (x)-coordinate (6). So the distinct real zero is (6).
रोम बर्लिन धुरी ने द्वितीय विश्व युद्ध से पहले आक्रामक शक्तियों के गठबंधन को मजबूत किया। परीक्षा में इसे धुरी शक्तियों से जोड़ें। / The Rome Berlin Axis strengthened the alliance of aggressive powers before World War II. For exams connect it with the Axis powers.
A. इटली और जर्मनी के बीच बढ़ता राजनीतिक सहयोग/Growing political cooperation between Italy and Germany
Explanation
Simple Explanation
रोम बर्लिन धुरी ने फासीवादी शक्तियों की नजदीकी दिखाई। परीक्षा में धुरी शक्तियों के बनने की प्रक्रिया याद रखें। / The Rome-Berlin Axis showed closeness between fascist powers. For exams remember the process of Axis formation.
ऐसी रेखा कभी (x)-अक्ष से नहीं मिलती इसलिए कोई शून्यक नहीं होता। ग्राफ से पहले प्रतिच्छेद देखें। / Such a line never meets the (x)-axis so it has no zero. First check the intercept from the graph.
A. (22) को (10) करना होगा/(22) must be changed to (10)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-10) के साथ (10) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (10) is needed with (-10). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,25)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,25)) does not show a zero.
मूल बिंदु (x)-अक्ष पर भी है और (x=-9) भी (x)-अक्ष कटान है। टिप: ((0,0)) को शून्यक (0) के रूप में गिनें। / The origin is also on the (x)-axis, and (x=-9) is another (x)-axis intersection. Tip: count ((0,0)) as zero (0).
A. (18) को (8) करना होगा/(18) must be changed to (8)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-8) के साथ (8) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (8) is needed with (-8). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,-20)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-20)) does not show a zero.
मूल बिंदु (x)-अक्ष पर भी है और (x=6) भी (x)-अक्ष कटान है। टिप: ((0,0)) को शून्यक (0) के रूप में गिनें। / The origin is also on the (x)-axis, and (x=6) is another (x)-axis intersection. Tip: count ((0,0)) as zero (0).
A. (14) को (6) करना होगा/(14) must be changed to (6)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-6) के साथ (6) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (6) is needed with (-6). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,18)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,18)) does not show a zero.
A. (10) को (4) करना होगा/(10) must be changed to (4)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-4) के साथ (4) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (4) is needed with (-4). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,-15)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-15)) does not show a zero.
A. (9) को (3) करना होगा/(9) must be changed to (3)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-3) के साथ (3) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (3) is needed with (-3). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,12)) शून्यक नहीं है। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,12)) is not a zero.
B. शून्यक (y)-अक्ष से समान दूरी पर हैं/The zeroes are equally distant from the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
(-5) और (5) (y)-अक्ष से बराबर दूरी पर हैं। टिप: विपरीत शून्यक सममित स्थिति दिखाते हैं। / (-5) and (5) are equally distant from the (y)-axis. Tip: opposite zeroes show symmetric positions.
आलेख (x)-अक्ष से नहीं मिलता इसलिए कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। टिप: शीर्ष की स्थिति से भी कटान का अंदाजा लग सकता है। / The graph does not meet the (x)-axis, so there is no real zero. Tip: the vertex position can help judge intersections.
(y)-अक्ष कटान शून्यक नहीं देता, क्योंकि (p(x)=0) नहीं है। टिप: शून्यक के लिए (x)-अक्ष से मिलना जरूरी है। / A (y)-axis intercept does not give a zero because (p(x)\neq0). Tip: meeting the (x)-axis is necessary for a zero.
शून्यक (x)-अक्ष से मिलने पर मिलते हैं, (y)-अक्ष से नहीं। इसलिए (x)-अक्ष से कटाव न होने पर वास्तविक शून्यक (0) होंगे। / Zeroes are found from intersections with the (x)-axis, not the (y)-axis. So if there is no (x)-axis intersection, there are (0) real zeroes.
बिंदु ( (0,12) ) में (x=0), इसलिए यह (y)-अक्ष पर है। अक्ष पहचानना ग्राफ पढ़ने में मदद करता है। / In the point ( (0,12) ), (x=0), so it lies on the (y)-axis. Identifying axes helps in reading graphs.
बिंदु ( (0,8) ) में (x=0), इसलिए यह (y)-अक्ष पर स्थित है। अक्षों पर बिंदु पहचानना ग्राफ पढ़ने में मदद करता है। / In the point ( (0,8) ), (x=0), so it lies on the (y)-axis. Identifying points on axes helps in graph reading.
(x-2+20x+100=(x+10)2) है, इसलिए स्पर्श बिंदु ((-10,0)) है। टिप: पूर्ण वर्ग में चिह्न बदलकर शून्यक मिलता है। / (x-2+20x+100=(x+10)2), so the touching point is ((-10,0)). Tip: change the sign in a perfect square to get the zero.
(x-2-18x+81=(x-9)2) है, इसलिए स्पर्श बिंदु ((9,0)) है। टिप: पूर्ण वर्ग में चिह्न बदलकर शून्यक मिलता है। / (x-2-18x+81=(x-9)2), so the touching point is ((9,0)). Tip: change the sign in a perfect square to get the zero.
(x-2+14x+49=(x+7)2) है इसलिए स्पर्श बिंदु ((-7,0)) है। टिप: पूर्ण वर्ग में चिह्न बदलकर शून्यक मिलता है। / (x-2+14x+49=(x+7)2), so the touching point is ((-7,0)). Tip: in a perfect square, change the sign to get the zero.
(x-2-12x+36=(x-6)2) है, इसलिए स्पर्श बिंदु ((6,0)) है। टिप: पूर्ण वर्ग में चिह्न बदलकर शून्यक मिलता है। / (x-2-12x+36=(x-6)2), so the touching point is ((6,0)). Tip: in a perfect square, change the sign to get the zero.
(x-2+8x+16=(x+4)2), इसलिए स्पर्श बिंदु ((-4,0)) है। टिप: पूर्ण वर्ग में चिह्न बदलकर शून्यक मिलता है। / (x-2+8x+16=(x+4)2), so the touching point is ((-4,0)). Tip: in a perfect square the sign changes to get the zero.
(x-2-6x+9=(x-3)2) इसलिए स्पर्श बिंदु ((3,0)) है। टिप: पूर्ण वर्ग का शून्यक तुरंत पहचानें। / (x-2-6x+9=(x-3)2), so the touching point is ((3,0)). Tip: identify the zero of a perfect square quickly.
वास्तविक शून्यक ग्राफ और (x)-अक्ष के साझा बिंदुओं से मिलते हैं। साझा बिंदु न हो तो वास्तविक शून्यक नहीं होगा। / Real zeroes are obtained from common points of the graph and the (x)-axis. If there is no common point, there is no real zero.
(x)-अक्ष पर हर बिंदु का (y)-निर्देशांक (0) होता है। इसलिए प्रतिच्छेद का रूप ((a,0)) होगा। / Every point on the (x)-axis has (y)-coordinate (0). So the intersection has the form ((a,0)).
छूने पर भी (y=0) होता है। इसलिए ((r,0)) का (x)-निर्देशांक (r) शून्यक है। / Even when the graph touches, (y=0). Therefore the (x)-coordinate (r) of ((r,0)) is a zero.
परिप्रेक्ष्य रेखाएं लुप्त बिंदु से जुड़कर गहराई को तार्किक बनाती हैं। परीक्षा में vanishing point की दिशा जांचें। / Perspective lines make depth logical by relating to vanishing point. Exam tip: check vanishing point direction.
A. बराबर शून्यक (4) और (4)/Equal zeroes (4) and (4)
Explanation
Simple Explanation
द्विघात ग्राफ एक बिंदु पर छूता है तो दोनों शून्यक समान होते हैं। परीक्षा में इसे दोहराया शून्यक मानें। / When a quadratic graph touches at one point its two zeroes are equal. Treat it as a repeated zero in exams.
A. दो बिंदु, (x=-5) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=-5)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-5) और (14) हैं तथा ((x+5)2) के कारण (-5) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (11) शून्यक नहीं बदलता। / The zeroes are (-5) and (14), and ((x+5)2) causes touching at (-5). Tip: the outside (11) does not change the zeroes.
A. दो बिंदु, (x=-4) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=-4)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-4) और (12) हैं तथा ((x+4)2) के कारण (-4) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (9) शून्यक नहीं बदलता। / The zeroes are (-4) and (12), and ((x+4)2) causes touching at (-4). Tip: the outside (9) does not change the zeroes.
A. दो बिंदु, (x=-3) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=-3)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-3) और (10) हैं तथा ((x+3)2) के कारण (-3) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (7) शून्यक नहीं बदलता। / The zeroes are (-3) and (10), and ((x+3)2) causes touching at (-3). Tip: the outside (7) does not change the zeroes.
A. दो बिंदु, (x=-2) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=-2)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-2) और (7) हैं, तथा ((x+2)2) के कारण (-2) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (5) शून्यक नहीं बदलता। / The zeroes are (-2) and (7), and ((x+2)2) causes touching at (-2). Tip: the outside (5) does not change the zeroes.
A. दो बिंदु, (x=2) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=2)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (2) और (-1) हैं, तथा ((x-2)2) के कारण (x=2) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (3) शून्यक नहीं बदलता। / The zeroes are (2) and (-1), and ((x-2)2) causes touching at (x=2). Tip: the outside (3) does not change the zeroes.
(3x-15=0) से (x=5) मिलता है। टिप: रैखिक बहुपद में (p(x)=0) रखकर शून्यक निकालें। / Solving (3x-15=0) gives (x=5). Tip: set (p(x)=0) to find the zero of a linear polynomial.
A. दो अलग वास्तविक शून्यक हैं/There are two distinct real zeroes
Explanation
Simple Explanation
दो अलग कटान दो अलग शून्यक देते हैं। टिप: अलग बिंदु अलग (x)-मान बताते हैं। / Two distinct crossings give two distinct zeroes. Tip: distinct points show distinct (x)-values.
केवल (p(2)=0) है इसलिए ((2,0)) (x)-अक्ष पर होगा। टिप: असमानता वाले मान शून्यक नहीं बताते। / Only (p(2)=0), so ((2,0)) lies on the (x)-axis. Tip: inequality values do not show zeroes.
केवल एक (x)-अक्ष कटान दिख रहा है इसलिए एक वास्तविक शून्यक है। टिप: संख्या बिंदुओं की गिनती से आती है। / Only one (x)-axis intersection is visible so there is one real zero. Tip: the count comes from the number of points.
(x+4=0) से (x=-4) मिलता है। टिप: (x)-अक्ष पर दूसरा निर्देशांक (0) होता है। / From (x+4=0) we get (x=-4). Tip: on the (x)-axis the second coordinate is (0).
वास्तविक शून्यक तभी मिलते हैं जब ग्राफ (x)-अक्ष से मिले। साझा बिंदु न होने पर वास्तविक शून्यक (0) होंगे। / Real zeroes are found only when the graph meets the (x)-axis. With no common point, there are (0) real zeroes.
A. रेगिस्तानी दूरी और भूमध्यसागरीय अवरोधों ने ईंधन और सामग्री पहुंचाना कठिन किया/Desert distance and Mediterranean disruption made fuel and material supply difficult
Explanation
Simple Explanation
उत्तर अफ्रीका में तेज युद्ध भी रसद सीमा से बंधा था। परीक्षा में रेगिस्तान को रणनीतिक बाधा मानें। / Even fast war in North Africa was limited by logistics. For exams treat the desert as a strategic obstacle.
A. साम्यवाद विरोधी भाषा ने जर्मनी जापान और बाद में इटली को रणनीतिक निकटता दी/Anti-communist language gave Germany Japan and later Italy strategic closeness
Explanation
Simple Explanation
एंटी कॉमिन्टर्न वैचारिक था लेकिन धुरी राजनीति में रणनीतिक अर्थ रखता था। परीक्षा में विचारधारा और शक्ति हित साथ देखें। / The Anti-Comintern Pact was ideological but had strategic meaning in Axis politics. For exams view ideology and power interests together.
A. जर्मनी इटली और जापान को राजनीतिक सैन्य समझ में जोड़ा/It linked Germany Italy and Japan in a political military understanding
Explanation
Simple Explanation
ट्रिपार्टाइट पैक्ट ने यूरोपीय और एशियाई आक्रामक शक्तियों को एक धुरी में जोड़ा। परीक्षा में धुरी गठन का क्रम याद रखें। / The Tripartite Pact linked aggressive European and Asian powers into an Axis. For exams remember the sequence of Axis formation.
B. वे पीछे हटने लगीं और दबाव में आ गईं/They began retreating and came under pressure
Explanation
Simple Explanation
एल अलामेन ने उत्तरी अफ्रीका में मित्र राष्ट्रों की पहल मजबूत की। परीक्षा में इसे अफ्रीकी मोर्चे का मोड़ समझें। / El Alamein strengthened Allied initiative in North Africa. For exams understand it as a turning point of the African front.
A. मित्र राष्ट्रों की अधिक संसाधन शक्ति और कई मोर्चों पर दबाव/Greater Allied resources and pressure on many fronts
Explanation
Simple Explanation
मित्र राष्ट्रों के पास उद्योग जनशक्ति और संसाधनों का बड़ा आधार था। परीक्षा में संसाधन और रणनीति दोनों को कारण मानें। / The Allies had a larger base of industry manpower and resources. For exams treat both resources and strategy as causes.
धुरी शक्तियों में जर्मनी इटली और जापान प्रमुख थे। परीक्षा में इन्हें मित्र राष्ट्रों से अलग रखें। / The main Axis Powers were Germany Italy and Japan. For exams keep them separate from the Allied Powers.
(y)-अक्ष पर (x=0) होता है। पहले युग्म में (x=0) रखने पर दोनों समीकरण (y=6) देते हैं। / On the (y)-axis, (x=0). In the first pair, putting (x=0) gives (y=6) in both equations.
(x)-अक्ष पर (y=0) होता है। पहले युग्म में (y=0) रखने पर दोनों से (x=4) मिलता है। / On the (x)-axis, (y=0). In the first pair, putting (y=0) gives (x=4) from both equations.
(y)-अक्ष पर प्रतिच्छेद के लिए (x=0) होना चाहिए। विकल्प में (x=0) रखने पर दोनों समीकरण (y=4) देते हैं। / For intersection on the (y)-axis, (x=0) is needed. In the correct option, putting (x=0) gives (y=4) in both equations.
(x)-अक्ष पर मिलने का अर्थ बहुपद का मान (0) है। इसलिए दोनों स्थानों पर (p(x)=0) होगा। / Meeting the (x)-axis means the polynomial value is (0). Hence (p(x)=0) at both places.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(q-11)+(q+7)}{2}=q-2)। टिप: प्रतीकों में भी मध्य मान लें। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(q-11)+(q+7)}{2}=q-2). Tip: take the midpoint even with symbols.
दूसरा शून्यक (8) है और औसत \(\frac{-10+8}{2}=-1\) है। टिप: सममिति अक्ष दो शून्यकों का औसत है। / The other zero is (8), and the average is \(\frac{-10+8}{2}=-1\). Tip: the axis of symmetry is the average of two zeroes.
दो शून्यकों का औसत (5) है इसलिए दूसरा शून्यक (11) होगा। टिप: सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है। / The average of the two zeroes is (5), so the other zero is (11). Tip: the axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(t-9)+(t+5)}{2}=t-2)। टिप: प्रतीकों में भी मध्य मान लें। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(t-9)+(t+5)}{2}=t-2). Tip: take the midpoint even with symbols.
दूसरा शून्यक (4) है और औसत \(\frac{-8+4}{2}=-2\) है। टिप: सममिति अक्ष दो शून्यकों का औसत है। / The other zero is (4), and the average is \(\frac{-8+4}{2}=-2\). Tip: the axis of symmetry is the average of two zeroes.
दो शून्यकों का औसत (-2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-9) होगा। टिप: सममिति अक्ष को शून्यकों के मध्य से जोड़ें। / The average of the two zeroes is (-2), so the other zero is (-9). Tip: connect the axis of symmetry with the midpoint of zeroes.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है (\frac{(c-7)+(c+3)}{2}=c-2)। टिप: प्रतीकों में भी औसत का नियम लागू होता है। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(c-7)+(c+3)}{2}=c-2). Tip: the average rule also works with symbols.
दो शून्यकों का औसत (3) है इसलिए दूसरा शून्यक (-5) होगा। टिप: \(\frac{a+b}{2}\) को सममिति अक्ष के बराबर रखें। / The average of the two zeroes is (3), so the other zero is (-5). Tip: set \(\frac{a+b}{2}\) equal to the axis of symmetry.
दोनों शून्यकों का औसत (4) है इसलिए दूसरा शून्यक (10) होगा। टिप: सममिति अक्ष को शून्यकों के मध्य मान से जोड़ें। / The average of the two zeroes is (4), so the other zero is (10). Tip: connect the axis of symmetry with the midpoint of zeroes.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(b-5)+(b+1)}{2}=b-2)। टिप: प्रतीकों में भी औसत का नियम लागू होता है। / The axis of symmetry is at the average of the zeroes, (\frac{(b-5)+(b+1)}{2}=b-2). Tip: the average rule also works with symbols.
दो शून्यकों का औसत (2) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-5) होगा। टिप: \( \frac{a+b}{2} \) को सममिति अक्ष के बराबर रखें। / The average of the two zeroes is (2), so the other zero is (-5). Tip: set \( \frac{a+b}{2} \) equal to the axis of symmetry.
दो शून्यकों का औसत (1) होगा इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है। / The average of the two zeroes is (1), so the other zero is (7). Tip: the axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes.
सममिति अक्ष शून्यकों के औसत पर है, (\frac{(a-2)+(a+4)}{2}=a+1)। टिप: प्रतीकात्मक शून्यकों में भी औसत लें। / The axis of symmetry is at the average of zeroes, (\frac{(a-2)+(a+4)}{2}=a+1). Tip: take the average even for symbolic zeroes.
B. कथन गलत है क्योंकि ((0,0)) (x)-अक्ष पर भी है/The statement is wrong because ((0,0)) is also on the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
मूल बिंदु दोनों अक्षों पर होता है, इसलिए (p(0)=0) है। टिप: ((0,0)) को विशेष बिंदु समझें। / The origin lies on both axes, so (p(0)=0). Tip: treat ((0,0)) as a special point.
दो शून्यकों का औसत (-1) है, इसलिए दूसरा शून्यक (-6) होगा। टिप: औसत को सममिति अक्ष के बराबर रखें। / The average of the two zeroes is (-1), so the other zero is (-6). Tip: set the average equal to the axis of symmetry.
दो शून्यकों का औसत (2) होगा, इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: परवलय में सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है। / The average of the two zeroes is (2), so the other zero is (7). Tip: in a parabola the axis of symmetry passes through the midpoint of the zeroes.
C. कोई वास्तविक शून्यक नहीं है/It has no real zero
Explanation
Simple Explanation
ग्राफ (x)-अक्ष से नहीं मिलता इसलिए (p(x)=0) नहीं होता। टिप: ऊपर या नीचे रहना दोनों स्थितियों में कोई कटान नहीं देता। / The graph does not meet the (x)-axis, so (p(x)=0) does not occur. Tip: staying above or below without meeting gives no intersection.
C. वे (y)-अक्ष के दोनों ओर समान दूरी पर हैं/They are equally distant on both sides of the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
(-2) और (2) (y)-अक्ष से समान दूरी पर हैं। टिप: विपरीत शून्यक ग्राफ में सममिति का संकेत दे सकते हैं। / (-2) and (2) are equally distant from the (y)-axis. Tip: opposite zeroes may indicate symmetry in the graph.
आलेख पूरा (x)-अक्ष से ऊपर रह सकता है इसलिए कोई वास्तविक शून्यक नहीं है। टिप: कटान न हो तो शून्यक न लिखें। / The graph can stay above the (x)-axis so there is no real zero. Tip: if there is no intersection do not write a zero.
A. न तो काटेगा न छुएगा/It will neither cut nor touch it
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष से मिलने पर दिखता है। कोई वास्तविक शून्यक न होने पर ग्राफ (x)-अक्ष से नहीं मिलेगा। / A real zero appears when the graph meets the (x)-axis. With no real zero, the graph will not meet the (x)-axis.
(x)-अक्ष से हर अलग मिलन एक वास्तविक शून्यक देता है। दो बार मिलने पर दो वास्तविक शून्यक होंगे। / Each distinct meeting with the (x)-axis gives one real zero. If it meets twice, it has two real zeroes.
(p(-4)=0) बताता है कि (x=-4) पर (y=0) है। इसलिए ग्राफ (x)-अक्ष से ((-4,0)) पर मिलेगा। / (p(-4)=0) means (y=0) when (x=-4). Therefore the graph meets the (x)-axis at ((-4,0)).
शून्यक (x)-अक्ष से मिलने वाले बिंदुओं से मिलते हैं। इसलिए ग्राफ पढ़ते समय (x)-अक्ष पर ध्यान दें। / Zeroes are obtained from the points where the graph meets the (x)-axis. So focus on the (x)-axis while reading the graph.
दो अलग कटाव बिंदु दो अलग वास्तविक शून्यक देते हैं। यहाँ शून्यक (m) और (n) होंगे। / Two distinct intersection points give two distinct real zeroes. Here the zeroes will be (m) and (n).
कटना और छूना दोनों (x)-अक्ष से मिलना है। दो अलग बिंदु हैं, इसलिए दो अलग वास्तविक शून्यक हैं। / Both cutting and touching mean meeting the (x)-axis. There are two distinct points, so there are two distinct real zeroes.
A. वास्तविक शून्यकों की संख्या/Number of real zeroes
Explanation
Simple Explanation
ग्राफ जितनी बार अलग-अलग (x)-अक्ष से मिलता है, उतने वास्तविक शून्यक होते हैं। यह ग्राफीय अर्थ का मुख्य नियम है। / The number of distinct points where the graph meets the (x)-axis gives the number of real zeroes. This is the main graphical rule.
वास्तविक शून्यक के लिए ग्राफ का (x)-अक्ष से मिलना जरूरी है। नीचे रहने और न छूने पर कोई वास्तविक शून्यक नहीं होगा। / For a real zero, the graph must meet the (x)-axis. If it stays below and does not touch it, there is no real zero.
परवलय (x)-अक्ष से केवल ((-2,0)) पर मिलता है। इसलिए उसका वास्तविक शून्यक (-2) है। / The parabola meets the (x)-axis only at ((-2,0)). Hence its real zero is (-2).
A. क्योंकि (y) हमेशा (-3) रहता है/Because (y) always remains (-3)
Explanation
Simple Explanation
(p(x)=-3) का (y)-मान कभी (0) नहीं होता। इसलिए ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता और कोई शून्यक नहीं है। / For (p(x)=-3), the (y)-value is never (0). So the graph does not cut the (x)-axis and has no zero.
शून्यक इन बिंदुओं के (x)-निर्देशांक हैं। इसलिए शून्यक (-7), (0), और (4) होंगे। / The zeroes are the (x)-coordinates of these points. Hence the zeroes are (-7), (0), and (4).
छूना भी (x)-अक्ष से मिलना है, लेकिन बिंदु केवल एक है। इसलिए एक वास्तविक शून्यक होगा। / Touching also means meeting the (x)-axis, but there is only one point. Hence there is one real zero.
