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\(\arctan x\) पूरे वास्तविक प्रांत पर परिभाषित है। / \(\arctan x\) is defined on the whole real domain.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ने पर \(\arctan x\) भी बढ़ता है, इसलिए कोई मान दो अलग (x) पर नहीं दोहरता। / As (x) increases, \(\arctan x\) also increases, so no value repeats at two different (x)-values.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मानक एकैकी व्यवहार को याद रखें। / Remember the standard one-one behaviour of inverse trigonometric functions.
यदि \(\theta=\sin^{-1}x\) लिया जाए तो \(\theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) और \(\sin\theta=x\). उसी मुख्य शर्त में \(\cos\theta=\sqrt{1-x^2}\) (धनात्मक शून्य के साथ) और इसलिए
\(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\).
इसलिए \(\tan^{-1}\big(\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\big)=\theta=\sin^{-1}x\) परन्तु केवल तब जब \(\sqrt{1-x^2}\neq0\) और \(\sin^{-1}x\) परिभाषित हो, अर्थात् \(-1<x<1\). यदि \(x=\pm1\) तो हरास्पद भाग में हर (denominator) शून्य हो जाता है और अभिव्यक्ति अव्याख्येय है (सीमाएँ ±\(\tfrac{\pi}{2}\) देती हैं किंतु समानता वास्तविक रूप से परिभाषित नहीं)। \(|x|>1\) पर \(\sin^{-1}x\) ही परिभाषित नहीं है। परीक्षा टिप: inverse त्रिकोणमितीय पहचानें लिखते समय principal-value रेंज और sqrt के संकेत पर ध्यान दें — cos का मुख्य मान धनात्मक लिया जाता है। / Let \(\theta=\sin^{-1}x\) so that \(\theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) and \(\sin\theta=x\). In this principal range \(\cos\theta=\sqrt{1-x^2}\) (nonnegative), hence
\(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\).
Thus \(\tan^{-1}\big(\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\big)=\theta=\sin^{-1}x\) provided \(\sqrt{1-x^2}\neq0\) and \(\sin^{-1}x\) is defined — i.e. \(-1<x<1\). At \(x=\pm1\) the denominator is zero (the expression is not defined even though the limit gives ±\(\tfrac{\pi}{2}\)), and for \(|x|>1\) the left side \(\sin^{-1}x\) is not defined. Exam tip: always check domains and principal-value ranges when equating inverse trig functions; note the sign of the square root in the principal interval.
सूत्र से योग \(\tan^{-1}\left(\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{6}}\right)=\tan^{-1}1=\frac{\pi}{4}\) है। \(\tan^{-1}\) जोड़ते समय \(ab<1\) जांचें। / By the formula, the sum is \(\tan^{-1}\left(\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{6}}\right)=\tan^{-1}1=\frac{\pi}{4}\). While adding \(\tan^{-1}\) terms, check \(ab<1\).
\(\tan^{-1}x=-\frac{\pi}{6}\) से (x=\tan\left\(-\frac{\pi}{6}\right\)=-\frac{1}{\sqrt{3}})। \(\tan^{-1}\) का परिसर ऋणात्मक कोण भी लेता है। / From \(\tan^{-1}x=-\frac{\pi}{6}\), (x=\tan\left\(-\frac{\pi}{6}\right\)=-\frac{1}{\sqrt{3}}). The range of \(\tan^{-1}\) also includes negative angles.
\(\tan^{-1}0=0\) और \(\cot^{-1}0=\frac{\pi}{2}\), इसलिए योग \(\frac{\pi}{2}\) है। \(\cot^{-1}0\) को (0) न लिखें। / Here \(\tan^{-1}0=0\) and \(\cot^{-1}0=\frac{\pi}{2}\), so the sum is \(\frac{\pi}{2}\). Do not write \(\cot^{-1}0\) as (0).
A. (\mathbb{R},\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\))
Explanation
Simple Explanation
\(\tan^{-1}x\) का प्रांत \(\mathbb{R}\) और परिसर (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) है। खुले अंतराल के अंत बिंदु शामिल नहीं हैं। / The domain of \(\tan^{-1}x\) is \(\mathbb{R}\) and its range is (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)). The endpoints of the open interval are not included.
यदि \(\theta=\tan^{-1}\frac{12}{5}\), तो \(\tan\theta=\frac{12}{5}\) और कर्ण (13) है। इसलिए \(\sin\theta=\frac{12}{13}\)। / If \(\theta=\tan^{-1}\frac{12}{5}\), then \(\tan\theta=\frac{12}{5}\) and the hypotenuse is (13). Hence \(\sin\theta=\frac{12}{13}\).
\(\tan\theta=\frac{7}{24}\) से कर्ण \(\sqrt{7^2+24^2}=25\), इसलिए \(\sin\theta=\frac{7}{25}\)। अनुपात से त्रिभुज बनाएं। / From \(\tan\theta=\frac{7}{24}\), the hypotenuse is \(\sqrt{7^2+24^2}=25\), so \(\sin\theta=\frac{7}{25}\). Build a triangle from the ratio.
\(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\) और \(\frac{\pi}{3}\) मुख्य परिसर में है। विशेष कोण याद रखना जरूरी है। / Since \(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\) and \(\frac{\pi}{3}\) lies in the principal range. Remember special angles well.
धनात्मक (x) के लिए \(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) होता है। चिह्न बदलने पर सावधानी रखें। / For positive (x), \(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\). Be careful when the sign changes.
\(\tan\frac{3\pi}{4}=-1\) और \(\tan^{-1}(-1)=-\frac{\pi}{4}\)। उत्तर \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) में होना चाहिए। / Since \(\tan\frac{3\pi}{4}=-1), (\tan^{-1}(-1)=-\frac{\pi}{4}\). The answer must lie in \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\).
\(\tan^{-1}x\) सभी वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है लेकिन इसका परिसर खुला अंतराल (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) है। अंत बिंदु शामिल नहीं होते। / The function \(\tan^{-1}x\) is defined for all real (x) but its range is the open interval (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)). The end points are not included.
\(\tan^{-1}x\) का परिसर (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) है और (\tan\left\(-\frac{\pi}{4}\right\)=-1)। चतुर्थांश का ध्यान रखें। / The range of \(\tan^{-1}x\) is (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) and (\tan\left\(-\frac{\pi}{4}\right\)=-1). Keep the quadrant in mind.
जब (x>0) हो तो \(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) होता है। \(\cot^{-1}x\) की प्रधान सीमा का ध्यान रखें। / When (x>0), \(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\). Keep the principal range of \(\cot^{-1}x\) in mind.
\(\tan^{-1}x\) की सीमा (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) है जिसमें \(\frac{\pi}{2}\) शामिल नहीं है। खुले अंतराल पर ध्यान दें। / The range of \(\tan^{-1}x\) is (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)), which does not include \(\frac{\pi}{2}\). Pay attention to open intervals.
\(\frac{\pi}{3}\) प्रधान सीमा (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) में आता है। इसलिए व्यंजक का मान \(\frac{\pi}{3}\) है। / The angle \(\frac{\pi}{3}\) lies in the principal range (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)). Therefore the value of the expression is \(\frac{\pi}{3}\).
क्योंकि \(\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) है। मूल त्रिकोणमितीय मानों से उल्टे मान जल्दी मिलते हैं। / Because \(\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\). Inverse values are found quickly from basic trigonometric values.
क्योंकि \(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\) है और \(\frac{\pi}{3}\) प्रधान सीमा में है। \(\tan^{-1}\) में कोण (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) में लें। / Because \(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\) and \(\frac{\pi}{3}\) lies in the principal range. For \(\tan^{-1}\), take the angle in (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)).
A. \(\tan y=x\) और (y\in\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\))/\(\tan y=x\) and (y\in\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\))
Explanation
Simple Explanation
\(y=\tan^{-1}x\) का मतलब \(\tan y=x\) होता है। यहां (y) प्रधान सीमा (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) में रहता है। / The expression \(y=\tan^{-1}x\) means \(\tan y=x\). Here (y) stays in the principal range (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)).
\(\tan^{-1}x\) विषम फलन है इसलिए (\tan^{-1}(-x)=-\tan^{-1}x)। उत्तर हमेशा प्रधान सीमा में रखें। / The function \(\tan^{-1}x\) is odd, so (\tan^{-1}(-x)=-\tan^{-1}x). Keep the answer in the principal range.
दोनों तरफ \(\tan\) लेने पर \(x=\tan0=0\) है। (x) और कोण को अलग-अलग पहचानें। / Taking \(\tan\) on both sides gives \(x=\tan0=0\). Identify the variable (x) and the angle separately.
दोनों तरफ \(\tan\) लेने पर \(x=\tan\frac{\pi}{4}=1\) है। \(\tan^{-1}\) वाले प्रश्न में मान सीधे टैन से मिलता है। / Taking \(\tan\) on both sides gives \(x=\tan\frac{\pi}{4}=1\). In \(\tan^{-1}\) questions the value comes directly from tangent.
क्योंकि \(\tan \frac{\pi}{4}=1\) और \(\frac{\pi}{4}\) प्रधान सीमा में है। मान याद रखने से मूल प्रश्न जल्दी हल होता है। / Because \(\tan \frac{\pi}{4}=1\) and \(\frac{\pi}{4}\) lies in the principal range. Remembering basic values helps solve quickly.
A. अंतराल (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\))/Interval (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\))
Explanation
Simple Explanation
\(\tan^{-1}x\) का प्रधान मान (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) में होता है। सिरों \(\pm\frac{\pi}{2}\) को शामिल नहीं किया जाता। / The principal value of \(\tan^{-1}x\) lies in (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)). The endpoints \(\pm\frac{\pi}{2}\) are not included.
\(\cot\frac{\pi}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) और \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}\)। ऐसे प्रश्न में त्रिकोणमितीय मान पहले निकालें। / Since \(\cot\frac{\pi}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) and \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}\). In such questions, find the trigonometric value first.
A. यह \(\mathbb{R}\) पर बढ़ता है/It is increasing on \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\tan^{-1}x\) सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित और बढ़ता हुआ है। इसका परिसर (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) है। / The function \(\tan^{-1}x\) is defined and increasing for all real numbers. Its range is (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)).
\(\tan\theta=\dfrac{\text{विपरीत}}{\text{आड़ी}}=\dfrac{8}{15}\) है, अतः विपरीत भुजा 8 और आड़ी भुजा 15 मानकर समकोण त्रिभुज में कर्ण होगा \(\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17\)। इसलिए \(\cos\theta=\dfrac{\text{आड़ी}}{\text{कर्ण}}=\dfrac{15}{17}\)। निकटवर्ती ग़लत विकल्प: \(\dfrac{8}{17}\) दरअसल \(\sin\theta\) होगा; \(\dfrac{17}{15}\) और \(\dfrac{17}{8}\) 1 से बड़े हैं और किसी कोण के कोसाइन के रूप में संभव नहीं जब कोण तृतीय में न हो। परीक्षा सुझाव: 8–15–17 पायथागोरियन ट्रिपल को याद रखें — यह इन प्रकार के प्रश्न तेज़ी से हल करने में मदद करेगा। / Given \(\tan\theta=\dfrac{8}{15}\), take opposite = 8 and adjacent = 15 in a right triangle. The hypotenuse is \(\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17\). Thus \(\cos\theta=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}=\dfrac{15}{17}\). Closest distractor \(\dfrac{8}{17}\) is actually \(\sin\theta\); the options \(\dfrac{17}{15}\) and \(\dfrac{17}{8}\) are reciprocals greater than 1 and cannot be cosine values for a real acute angle. Exam tip: Recognize the 8–15–17 Pythagorean triple to compute hypotenuse quickly and avoid arithmetic errors.
\(\tan\theta=\frac{3}{4}\) से लंब (3) और आधार (4) लें। कर्ण (5) होगा, इसलिए \(\sin\theta=\frac{3}{5}\)। / From \(\tan\theta=\frac{3}{4}\), take opposite side (3) and adjacent side (4). The hypotenuse is (5), so \(\sin\theta=\frac{3}{5}\).
\(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)\) का अर्थ \(\tan\theta=\frac{5}{12}\) है। व्युत्क्रम फलन की परिभाषा याद रखें। / The statement \(\theta=\tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)\) means \(\tan\theta=\frac{5}{12}\). Remember the definition of inverse function.
\(\tan^{-1}x\) का प्रमुख मान क्षेत्र \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) होता है। \(-\tfrac{\pi}{3}\) इस अंतराल में आता है, और \(\tan(-\tfrac{\pi}{3})=-\sqrt{3}\)। अतः \(\tan^{-1}(\tan(-\tfrac{\pi}{3}))=\tan^{-1}(-\sqrt{3})=-\tfrac{\pi}{3}\)। विकल्प (B) का चिन्ह विपरीत है; (C) और (D) प्रमुख क्षेत्र के बाहर के कोण हैं। परीक्षा सुझाव: पहले यह जाँचे कि दिया गया कोण प्रमुख मान क्षेत्र में है या नहीं — अगर हाँ, तो परिणाम वही कोण होगा। / The principal value of \(\tan^{-1}x\) lies in \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\). The angle \(-\tfrac{\pi}{3}\) is inside this interval and \(\tan(-\tfrac{\pi}{3})=-\sqrt{3}\). Therefore \(\tan^{-1}(\tan(-\tfrac{\pi}{3}))=\tan^{-1}(-\sqrt{3})=-\tfrac{\pi}{3}\). Option B has the wrong sign; options C and D correspond to angles outside the principal range. Exam tip: always check whether the original angle lies in the principal branch of the inverse trig function before simplifying.
\(\tan^{-1}x\) एक विषम फलन है और इसका प्रमुख मान क्षेत्र \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) है। इसलिए किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \(\tan^{-1}(-x)= -\tan^{-1}x\)। विकल्प B गलत है क्योंकि वह चिह्न बदलने की बात नहीं करता; विकल्प C और D सामान्य रूप से समान नहीं होते क्योंकि वे प्रमुख मान के बाहर के रूप हैं। परीक्षा-टिप: किसी भी inverse-trig के लिए पहले उसकी parity (odd/even) और प्रमुख मान सीमा याद रखें। / The arctan function is odd and has principal value range \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\). Hence for any real \(x\), \(\tan^{-1}(-x)= -\tan^{-1}x\). Option B is incorrect because it does not change the sign; options C and D do not generally equal \(\tan^{-1}(-x)\) within the principal range. Exam tip: check whether the inverse trig function is odd or even and remember its principal value interval.
\(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) सभी वास्तविक (x) के लिए लिया जाता है। यह बहुत उपयोगी प्रारंभिक पहचान है। / The identity \(\tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\frac{\pi}{2}\) is used for all real (x). This is a very useful introductory identity.
जब (x>0), तब \(tan^{-1}x+\tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}\)। चिन्ह की शर्त हमेशा देखें। / When (x>0), \(tan^{-1}x+\tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}\). Always check the sign condition.
\(\tan^{-1}x\) सभी वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है। इसलिए \(\tan^{-1}5\) परिभाषित है। / The function \(\tan^{-1}x\) is defined for every real (x). Hence \(\tan^{-1}5\) is defined.
कारण: \(\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) और आर्कटैन (principal value) का मान क्षेत्र \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\) में लिया जाता है। इसलिए \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}\). निकटतम भ्रामक विकल्प की जाँच: \(\tan\frac{\pi}{4}=1\), इसलिए \(\frac{\pi}{4}\) गलत है; \(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\) और \(\tan\frac{\pi}{2}\) पर परिभाषित नहीं है। परीक्षात्मक सुझाव: प्रमुख कोणों के मान (\(0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}\) आदि) याद रखें और आर्कफंक्शन का principal-range ध्यान में रखें। / Reason: \(\tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\), and the principal value of arctan lies in \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\). Hence \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}\). Checking close distractors: \(\tan\frac{\pi}{4}=1\), so \(\frac{\pi}{4}\) is incorrect; \(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\) and \(\tan\frac{\pi}{2}\) is undefined. Exam tip: Memorise standard angle values and remember the principal range for inverse trig functions when answering quickly.
\(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\) होता है। इसलिए \(\tan^{-1}\left(\sqrt{3}\right)=\frac{\pi}{3}\)। / Since \(\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\), \(\tan^{-1}\left(\sqrt{3}\right)=\frac{\pi}{3}\).
\(\frac{\pi}{6}\) \(\tan^{-1}x\) के मुख्य परिसर में है। इसलिए मान \(\frac{\pi}{6}\) रहेगा। / The angle \(\frac{\pi}{6}\) lies in the principal range of \(\tan^{-1}x\). So the value remains \(\frac{\pi}{6}\).
\(\tan^{-1}x\) वह कोण है जिसका टैन्जेंट मान \(x\) है और आर्कटैन्जेंट का मान सामान्यतः प्राथमिक शाखा \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) में रहता है, जहाँ \(\tan\) एक-से-एक है। इसलिए \(\tan\big(\tan^{-1}x\big)=x\) सभी वास्तविक \(x\) के लिए सत्य है। विकल्प B केवल \(x=0\) के लिए सत्य है; C (\(1/x\)) और D (\(-x\)) कुछ विशिष्ट मूल्यों पर ही सही होंगे, पर सामान्य रूप से गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: आर्कट्रिगोनोमेट्रिक फलनों की प्राथमिक रेंज याद रखें — उसी रेंज में प्रतिलोम फलन मूल मान लौटाते हैं। / The angle \(\tan^{-1}x\) (principal value of arctan) has tangent equal to \(x\). Since arctan takes values in \((-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\) where \(\tan\) is one-to-one, the composition gives \(\tan(\tan^{-1}x)=x\) for all real \(x\). Option B (0) holds only when \(x=0\); option C (\(1/x\)) and D (\(-x\)) are true only for special values and are not generally correct. Exam tip: remember the principal range of \(\tan^{-1}x\) so you can use the identity \(f(f^{-1}(x))=x\) when \(f\) is one-to-one on that range.
\(\tan^{-1}x\) वह कोण देता है जिसका \(\tan\) मान (x) होता है। इसलिए \(\tan y=x\) है। / The expression \(\tan^{-1}x\) gives the angle whose \(\tan\) value is (x). Hence \(\tan y=x\).
(\tan\left\(-\frac{\pi}{4}\right\)=-1) और \(-\frac{\pi}{4}\) मुख्य परिसर में है। इसलिए उत्तर \(-\frac{\pi}{4}\) है। / Since (\tan\left\(-\frac{\pi}{4}\right\)=-1) and \(-\frac{\pi}{4}\) lies in the principal range, the answer is \(-\frac{\pi}{4}\).
\(\tan y\) सभी वास्तविक मान ले सकता है। इसलिए \(\tan^{-1}x\) का प्रांत \(\mathbb{R}\) है। / The function \(\tan y\) can take every real value. Hence the domain of \(\tan^{-1}x\) is \(\mathbb{R}\).
\(\tan^{-1}x\) का मुख्य मान (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) में होता है। सिरों को शामिल नहीं किया जाता। / The principal value of \(\tan^{-1}x\) lies in (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)). The endpoints are not included.
