Level 54 • 48/50 questions • 45 seconds per question.
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What is the common ratio in the sequence \(5,15,45,135,\ldots\)?
C. (3)
सार्व अनुपात \(\frac{15}{5}=3\) है। गुणोत्तर श्रेढ़ी में अगला पद पिछले पद से भाग दें। / The common ratio is \(\frac{15}{5}=3\). In a geometric progression divide the next term by the previous term.
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If a geometric progression has first term (4) and common ratio (5), what is the third term?
A. 100
गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक अगला पद पिछले पद को सार्व अनुपात से गुणा करके प्राप्त होता है। अतः दूसरा पद \(4\times5=20\) और तीसरा पद \(20\times5=100\) होगा। इसलिए सही उत्तर 100 है। 40 केवल \(4\times5\times2\) जैसा गलत गुणन है, जबकि तीसरे पद के लिए अनुपात का दो बार प्रयोग होता है। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद \(a_n=a r^{n-1}\) होता है। / In a geometric progression, each term is obtained by multiplying the previous term by the common ratio. Thus, the second term is \(4\times5=20\), and the third term is \(20\times5=100\). Therefore, the correct answer is 100. The ratio must be applied twice to reach the third term. Exam tip: use \(a_n=a r^{n-1}\) for the \(n\)th term.
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What is the common ratio of the sequence \(96,48,24,12,\ldots\)?
D. \(\frac{1}{2}\)
सार्व अनुपात \(\frac{48}{96}=\frac{1}{2}\) है। घटती गुणोत्तर श्रेढ़ी में अनुपात (1) से छोटा हो सकता है। / The common ratio is \(\frac{48}{96}=\frac{1}{2}\). In a decreasing geometric progression the ratio can be less than (1).
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If \(a_n=3\cdot2^{n-1}\), what is the value of \(a_6\)?
C. 96
दिया है \(a_n=3\cdot2^{n-1}\)। \(n=6\) रखने पर \(a_6=3\cdot2^{6-1}=3\cdot2^5=3\cdot32=96\)। इसलिए सही उत्तर 96 है। 64 केवल \(2^6\) है, इसमें प्रारम्भिक गुणक 3 शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान सूत्र में रखकर घात \(n-1\) को सावधानी से सरल करें। / Given \(a_n=3\cdot2^{n-1}\), substitute \(n=6\): \(a_6=3\cdot2^{6-1}=3\cdot2^5=3\cdot32=96\). Hence, 96 is correct. The value 64 is only \(2^6\); it ignores the initial factor 3. Exam tip: Substitute the term number first, then simplify the exponent \(n-1\) carefully.
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In the geometric progression \(9,27,81,243,\ldots\), which term is (729)?
B. (5)वाँ(5)th
पद (9,27,81,243,729) हैं, इसलिए (729) पाँचवाँ पद है। पद-संख्या के लिए पदों को क्रम से बनाएं। / The terms are (9,27,81,243,729), so (729) is the fifth term. Form the terms in order to find the position.
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If a geometric progression has (a=8) and (r=3), what are the first four terms?
D. (8,24,72,216)
पहला पद (8) है और हर बार (3) से गुणा करने पर (8,24,72,216) मिलते हैं। गुणोत्तर श्रेढ़ी में अगला पद गुणा करके बनता है। / The first term is (8), and multiplying by (3) each time gives (8,24,72,216). In a geometric progression each next term is formed by multiplication.
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What is the common ratio of the sequence \(4,-12,36,-108,\ldots\)?
A. \(-3\)
गुणोत्तर अनुक्रम में सार्व अनुपात क्रमागत पदों का भागफल होता है। यहाँ \(r=\frac{-12}{4}=-3\) है। जाँच करें: \(\frac{36}{-12}=-3\) और \(\frac{-108}{36}=-3\)। इसलिए सही उत्तर \(-3\) है। \(3\) निकटतम भ्रमक है, लेकिन उससे पदों के चिह्न बारी-बारी से नहीं बदलेंगे। परीक्षा टिप: किसी भी दो क्रमागत पदों का भाग देकर अनुपात जाँचें। / In a geometric progression, the common ratio is the quotient of consecutive terms. Here, \(r=\frac{-12}{4}=-3\). Checking further, \(\frac{36}{-12}=-3\) and \(\frac{-108}{36}=-3\). Hence, the correct answer is \(-3\). The closest distractor is \(3\), but a positive ratio would not make the signs alternate. Exam tip: divide any term by its preceding term to verify the common ratio.
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What is the next term in the geometric progression \(2,10,50,\ldots\)?
B. (250)
सार्व अनुपात (5) है, इसलिए अगला पद \(50\cdot5=250\) होगा। अगले पद के लिए पिछले पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (5), so the next term is \(50\cdot5=250\). Multiply the previous term by the ratio to get the next term.
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If (4,x,64) are consecutive positive terms of a geometric progression, what is (x)?
A. 16
गुणोत्तर श्रेणी के लगातार तीन पदों में मध्य पद का वर्ग पहले और तीसरे पद के गुणनफल के बराबर होता है। अतः \(x^2=4\times64=256\)। इसलिए \(x=\pm16\), लेकिन प्रश्न में पद धनात्मक बताया गया है, इसलिए \(x=16\)। \(8\) निकट का भ्रमक विकल्प हो सकता है, पर \(4,8,64\) में दोनों क्रमागत अनुपात समान नहीं हैं। परीक्षा टिप: तीन लगातार GP पदों के लिए हमेशा \(b^2=ac\) का प्रयोग करें। / For three consecutive terms of a geometric progression, the square of the middle term equals the product of the first and third terms. Thus, \(x^2=4\times64=256\). Hence \(x=\pm16\), but the terms are stated to be positive, so \(x=16\). The nearby distractor \(8\) is incorrect because \(4,8,64\) does not have equal consecutive ratios. Exam tip: for three consecutive GP terms, use \(b^2=ac\).
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What is the sum of the first (4) terms of the geometric progression \(6,18,54,162,\ldots\)?
C. 240
पहले 4 पद 6, 18, 54 और 162 हैं। अतः उनका योग \(6+18+54+162=240\) होगा। इसलिए सही उत्तर 240 है। 230 प्राप्त करने पर किसी पद को गलत जोड़ने या छोड़ने की संभावना है। परीक्षा टिप: कम पदों वाली गुणोत्तर श्रेढ़ी में सीधे पदों को जोड़कर योग शीघ्र जाँचा जा सकता है। / The first four terms are 6, 18, 54, and 162. Their sum is \(6+18+54+162=240\). Hence, 240 is correct. A value such as 230 would result from an addition error or from omitting part of a term. Exam tip: for a GP with only a few terms, direct addition is often the quickest way to verify the sum.
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If a geometric progression has \(a_2=21\) and (r=3), what is \(a_1\)?
D. 7
गुणोत्तर श्रेणी में दूसरा पद \(a_2=a_1r\) होता है। अतः \(21=a_1\times 3\), इसलिए \(a_1=21\div 3=7\)। विकल्प 9 लेने पर दूसरा पद \(9\times 3=27\) आता है, जो दिया गया नहीं है। परीक्षा टिप: पहले पद पर जाने के लिए दिए गए पद को सामान्य अनुपात से भाग दें। / In a geometric progression, the second term is \(a_2=a_1r\). Thus, \(21=a_1\times 3\), so \(a_1=21\div 3=7\). If 9 were the first term, the second term would be \(9\times 3=27\), not 21. Exam tip: To move back one term in a GP, divide by the common ratio.
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If a geometric progression has \(a_1=2\) and \(a_5=162\), and the ratio is positive, what is (r)?
B. (3)
\(a_5=a_1r^4\), इसलिए \(162=2r^4\) और \(r^4=81\), अतः (r=3)। पद-संख्या का अंतर घात तय करता है। / \(a_5=a_1r^4\), so \(162=2r^4\) and \(r^4=81\), hence (r=3). The position gap decides the exponent.
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What is the (6)th term of the sequence \(\frac{3}{4},\frac{3}{2},3,6,\ldots\)?
B. (24)
सार्व अनुपात (2) है और पद \(\frac{3}{4},\frac{3}{2},3,6,12,24\) हैं। क्रम से गुणा करते जाएं। / The common ratio is (2), and the terms are \(\frac{3}{4},\frac{3}{2},3,6,12,24\). Keep multiplying in order.
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What is the sixth term of the geometric progression \(128,64,32,16,\ldots\)?
A. (4)
सार्व अनुपात \(\frac{1}{2}\) है, इसलिए पद (128,64,32,16,8,4) होंगे। घटती श्रेढ़ी में बार-बार अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is \(\frac{1}{2}\), so the terms are (128,64,32,16,8,4). In a decreasing progression multiply by the ratio repeatedly.
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Which option has common ratio \(\frac{1}{5}\)?
C. \(100,20,4,\frac{4}{5},\ldots\)
\(100,20,4,\frac{4}{5},\ldots\) में \(\frac{20}{100}=\frac{1}{5}\) है। अनुपात के लिए लगातार पदों को भाग दें। / In \(100,20,4,\frac{4}{5},\ldots\), \(\frac{20}{100}=\frac{1}{5}\). Divide consecutive terms to find the ratio.
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In the geometric progression \(2,6,18,54,\ldots\), which term is (486)?
C. (6)वाँ(6)th
पद (2,6,18,54,162,486) हैं, इसलिए (486) छठा पद है। पद-संख्या के लिए क्रम से पद बनाएं। / The terms are (2,6,18,54,162,486), so (486) is the sixth term. Form terms in order to find the position.
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If \(a_n=16\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\), what is \(a_4\)?
B. \(2\)
दिया है \(a_n=16\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=16\left(\frac{1}{2}\right)^{4-1}=16\left(\frac{1}{2}\right)^3=16\times\frac{1}{8}=2\)। इसलिए सही उत्तर \(2\) है। \(4\) तब मिलता यदि घात \(2\) ली जाती, जबकि यहाँ घात \(n-1=3\) है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में सूचकांक रखने के बाद पहले \(n-1\) को अलग से जाँच लें। / Given \(a_n=16\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\). Substituting \(n=4\), \(a_4=16\left(\frac{1}{2}\right)^{4-1}=16\left(\frac{1}{2}\right)^3=16\times\frac{1}{8}=2\). Hence, the correct answer is \(2\). The value \(4\) would result from using exponent \(2\), but here \(n-1=3\). Exam tip: after substituting the term number, check the exponent \(n-1\) separately.
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If (3,12,x,192) is a geometric progression, what is (x)?
C. (48)
सार्व अनुपात \(\frac{12}{3}=4\) है, इसलिए \(x=12\cdot4=48\)। समान अनुपात को हर अगले पद पर लगाएं। / The common ratio is \(\frac{12}{3}=4\), so \(x=12\cdot4=48\). Apply the same ratio to each next term.
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What is the sum of the first (4) terms of the geometric progression \(12,24,48,96,\ldots\)?
A. 180
श्रृंखला के पहले चार पद 12, 24, 48 और 96 हैं। अतः उनका योग \(12+24+48+96=180\) है। 192 केवल पहले तीन पदों के योग में 108 जोड़ने जैसी गलत गणना से आ सकता है, जबकि चौथा पद 96 है। परीक्षा टिप: कम पद दिए हों तो उन्हें सीधे जोड़कर योग जाँचें। / The first four terms are 12, 24, 48, and 96. Therefore, their sum is \(12+24+48+96=180\). The value 192 may result from an incorrect addition, since the fourth term is 96. Exam tip: When only a few terms are given, add them directly and check the total.
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What is the (n)th term of the sequence \(10,20,40,80,\ldots\)?
A. \(a_n=10\cdot2^{n-1}\)
पहला पद (10) और अनुपात (2) है, इसलिए \(a_n=10\cdot2^{n-1}\)। सामान्य पद में पहला पद और अनुपात दोनों रखें। / The first term is (10) and the ratio is (2), so \(a_n=10\cdot2^{n-1}\). Use both first term and ratio in the general term.
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If (a=2) and (r=3), what will be the sum of the first (5) terms?
B. 242
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद 2 और सार्व अनुपात 3 है। पहले 5 पद हैं: 2, 6, 18, 54, 162। इनका योग 2+6+18+54+162=242 है। अतः सही उत्तर 242 है। विकल्प 200 सही नहीं है, क्योंकि वह इन पाँचों पदों के वास्तविक योग के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: गुणोत्तर श्रेणी के लिए \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\), जब \(r\ne1\), का प्रयोग भी किया जा सकता है। / This is a geometric progression with first term 2 and common ratio 3. Its first 5 terms are 2, 6, 18, 54, and 162. Their sum is 2+6+18+54+162=242. Therefore, 242 is the correct answer. Option 200 is incorrect because it is not the sum of these five terms. Exam tip: You may also use \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) when \(r\ne1\).
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If \(a_1=20\) and \(r=\frac{1}{2}\), what is \(a_4\)?
B. \(\frac{5}{2}\)
\(a_4=20\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{5}{2}\)। भिन्न अनुपात में हर बार आधा होता है। / \(a_4=20\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{5}{2}\). With a fractional ratio each term becomes half.
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Which value of (x) makes (6,30,x) a geometric progression?
C. (150)
सार्व अनुपात \(\frac{30}{6}=5\) है, इसलिए \(x=30\cdot5=150\)। तीसरे पद के लिए दूसरे पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is \(\frac{30}{6}=5\), so \(x=30\cdot5=150\). Multiply the second term by the ratio to get the third term.
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In the sequence \(3,15,75,375,\ldots\), which term is (1875)?
B. (5)वाँ(5)th
सार्व अनुपात (5) है और पद (3,15,75,375,1875) हैं। पद-संख्या के लिए क्रम से पद बनाएं। / The common ratio is (5), and the terms are (3,15,75,375,1875). Form terms in order to find the position.
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If a geometric progression has \(a_2=12\) and \(a_5=324\), and the ratio is positive, what is (r)?
B. (3)
\(a_5=a_2r^3\), इसलिए \(324=12r^3\) और \(r^3=27\), अतः (r=3)। पदों की दूरी घात तय करती है। / \(a_5=a_2r^3\), so \(324=12r^3\) and \(r^3=27\), hence (r=3). The gap between positions decides the exponent.
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What is the sixth term of the geometric progression \(2,-4,8,-16,\ldots\)?
C. (-64)
सार्व अनुपात (-2) है और पद (2,-4,8,-16,32,-64) हैं। ऋणात्मक अनुपात में चिह्न बदलता है। / The common ratio is (-2), and the terms are (2,-4,8,-16,32,-64). With a negative ratio signs alternate.
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Which option has the first four terms of a geometric progression with (a=12) and (r=2)?
B. (12,24,48,96)
पहला पद (12) है और हर बार (2) से गुणा करने पर (12,24,48,96) मिलते हैं। (a) और (r) दोनों को मिलाएं। / The first term is (12), and multiplying by (2) each time gives (12,24,48,96). Match both (a) and (r).
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If \(4,20,100,\ldots\) is a geometric progression, what is the product of the first three terms?
A. 8000
पहले तीन पद 4, 20 और 100 हैं। अतः उनका गुणनफल \(4\times20\times100=80\times100=8000\) है। 6000 जैसा विकल्प गलत गुणा करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: गुणनफल निकालते समय पहले दो पदों का गुणन करके फिर तीसरे पद से गुणा करें। / The first three terms are 4, 20, and 100. Their product is \(4\times20\times100=80\times100=8000\). An option such as 6000 can result from an incorrect multiplication. Exam tip: multiply the first two terms first, then multiply by the third term.
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What is the next term in the geometric progression \(72,24,8,\ldots\)?
B. \(\frac{8}{3}\)
सार्व अनुपात \(\frac{1}{3}\) है, इसलिए अगला पद \(8\cdot\frac{1}{3}=\frac{8}{3}\) होगा। अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is \(\frac{1}{3}\), so the next term is \(8\cdot\frac{1}{3}=\frac{8}{3}\). Multiply by the ratio.
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If \(a_n=6\cdot3^{n-1}\), which sequence does it form?
C. \(6,18,54,162,\ldots\)
(n=1,2,3,4) रखने पर (6,18,54,162) मिलते हैं। नियम से शुरू के पद बनाकर विकल्प मिलाएं। / Putting (n=1,2,3,4) gives (6,18,54,162). Form the initial terms from the rule and match the option.
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If (x,18,54) are consecutive terms of a geometric progression, what is (x)?
B. 6
गुणोत्तर श्रेणी में लगातार पदों का अनुपात समान होता है। यहाँ सामान्य अनुपात \(r=\frac{54}{18}=3\) है। अतः \(\frac{18}{x}=3\), इसलिए \(x=\frac{18}{3}=6\)। विकल्प 9 लेने पर अनुपात \(\frac{18}{9}=2\) और \(\frac{54}{18}=3\) होंगे, जो समान नहीं हैं। परीक्षा टिप: तीन लगातार GP पदों \(a,b,c\) के लिए \(b^2=ac\) भी उपयोग कर सकते हैं। / In a geometric progression, the ratio of consecutive terms is constant. Here, \(r=\frac{54}{18}=3\). Therefore, \(\frac{18}{x}=3\), giving \(x=\frac{18}{3}=6\). If 9 were used, the ratios would be \(\frac{18}{9}=2\) and \(\frac{54}{18}=3\), which are not equal. Exam tip: for three consecutive GP terms \(a,b,c\), use \(b^2=ac\).
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What is the (5)th term of the geometric progression \(5,20,80,\ldots\)?
B. 1280
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=5\) और सार्व अनुपात \(r=\frac{20}{5}=4\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है, इसलिए \(a_5=5\times4^{5-1}=5\times4^4=1280\)। 2560 प्राप्त करने में अनुपात 4 को एक बार अधिक गुणा किया जाएगा। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के लिए घात हमेशा \(n-1\) होती है। / In this geometric progression, the first term is \(a=5\) and the common ratio is \(r=\frac{20}{5}=4\). Using \(a_n=ar^{n-1}\), \(a_5=5\times4^{5-1}=5\times4^4=1280\). Getting 2560 would mean multiplying by the ratio 4 one extra time. Exam tip: in the \(n\)th-term formula, the exponent is always \(n-1\).
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Which sequence has common ratio (4)?
B. \(3,12,48,192,\ldots\)
\(3,12,48,192,\ldots\) में हर बार (4) से गुणा हो रहा है। अनुपात के लिए अगले पद को पिछले पद से भाग दें। / In \(3,12,48,192,\ldots\), each term is multiplied by (4). For the ratio divide the next term by the previous term.
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If \(a_1=\frac{5}{8}\) and \(r=2\), what is \(a_5\)?
C. 10
ज्यामितीय श्रेणी में \(n\)वाँ पद \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_5=\frac{5}{8}\times 2^{5-1}=\frac{5}{8}\times16=10\)। विकल्प 8 तब मिलता यदि घात या गुणन की गणना गलत की जाए। परीक्षा टिप: \(a_n\) में घात हमेशा \(n-1\) होती है, \(n\) नहीं। / In a geometric progression, the \(n\)th term is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Therefore, \(a_5=\frac{5}{8}\times2^{5-1}=\frac{5}{8}\times16=10\). Option 8 can result from an incorrect use of the exponent or multiplication. Exam tip: in \(a_n\), the exponent of the common ratio is always \(n-1\), not \(n\).
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What is the sum of the first (5) terms of the geometric progression \(3,6,12,24,\ldots\)?
A. 93
इस गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद 3 और सार्व अनुपात 2 है। पहले 5 पद 3, 6, 12, 24, 48 हैं, अतः उनका योग 93 है। सूत्र से भी, \(S_5=\frac{3(2^5-1)}{2-1}=93\)। 90 केवल पहले चार पदों का योग है। परीक्षा टिप: पहले पदों की संख्या के अनुसार अंतिम पद तक श्रेणी लिखकर जाँच करें। / The first term of this GP is 3 and its common ratio is 2. Its first five terms are 3, 6, 12, 24, and 48, whose sum is 93. Using the formula, \(S_5=\frac{3(2^5-1)}{2-1}=93\). The value 90 is the sum of only the first four terms. Exam tip: List the required number of terms before adding to avoid missing the last term.
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If \(a_1=4\) and (r=-3), what are the first four terms?
B. (4,-12,36,-108)
हर बार (-3) से गुणा करने पर (4,-12,36,-108) मिलते हैं। ऋणात्मक अनुपात से चिह्न बदलते हैं। / Multiplying by (-3) each time gives (4,-12,36,-108). A negative ratio makes the signs alternate.
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For which (x) will (9,x,49) be consecutive terms of a positive geometric progression?
B. 21
गुणोत्तर श्रेढ़ी के लगातार पदों में मध्य पद का वर्ग, उसके दोनों पड़ोसी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। अतः \(x^2=9\times49=441\)। इसलिए \(x=\pm21\), पर प्रश्न में धनात्मक गुणोत्तर श्रेढ़ी दी गई है, इसलिए \(x=21\) होगा। \(28\) लेने पर \(28^2\ne9\times49\), इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: तीन लगातार GP पदों \(a,b,c\) के लिए सीधे \(b^2=ac\) लगाएँ। / For consecutive terms of a geometric progression, the square of the middle term equals the product of its neighbouring terms. Thus, \(x^2=9\times49=441\). Hence \(x=\pm21\), but the progression is stated to be positive, so \(x=21\). For example, \(28^2\ne9\times49\), so 28 cannot be the middle term. Exam tip: for three consecutive GP terms \(a,b,c\), use \(b^2=ac\) directly.
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What is the (n)th term of the sequence \(11,33,99,297,\ldots\)?
A. \(a_n=11\cdot3^{n-1}\)
पहला पद (11) और अनुपात (3) है, इसलिए \(a_n=11\cdot3^{n-1}\)। सामान्य पद में पहला पद और अनुपात रखें। / The first term is (11) and the ratio is (3), so \(a_n=11\cdot3^{n-1}\). Use the first term and ratio in the general term.
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If \(a_2=30\) and \(a_5=810\), and the ratio is positive, what is (r)?
B. (3)
\(a_5=a_2r^3\), इसलिए \(810=30r^3\) और \(r^3=27\), अतः (r=3)। पदों की दूरी घात तय करती है। / \(a_5=a_2r^3\), so \(810=30r^3\) and \(r^3=27\), hence (r=3). The gap between positions decides the exponent.
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In the geometric progression \(4,16,64,\ldots\), what is \(a_5\)?
C. (1024)
सार्व अनुपात (4) है, इसलिए \(a_5=4\cdot4^4=1024\)। (5)वें पद के लिए (4) बार अनुपात लगता है। / The common ratio is (4), so \(a_5=4\cdot4^4=1024\). For the fifth term the ratio is used (4) times.
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If a geometric progression has \(a_1=3\) and \(a_3=75\), what is the positive (r)?
C. (5)
\(a_3=a_1r^2\), इसलिए \(75=3r^2\) और \(r^2=25\), अतः धनात्मक (r=5)। धनात्मक अनुपात मांगने पर धनात्मक मूल लें। / \(a_3=a_1r^2\), so \(75=3r^2\) and \(r^2=25\), hence positive (r=5). When positive ratio is asked take the positive root.
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Which statement is correct for \(18,6,2,\frac{2}{3},\ldots\)?
B. यह \(r=\frac{1}{3}\) वाली गुणोत्तर श्रेढ़ी हैIt is a geometric progression with \(r=\frac{1}{3}\)
हर पद पिछले पद का \(\frac{1}{3}\) है, इसलिए \(r=\frac{1}{3}\) है। अनुपात जांचने के लिए अगला पद पिछले पद से भाग दें। / Each term is \(\frac{1}{3}\) of the previous term, so \(r=\frac{1}{3}\). To check the ratio divide the next term by the previous term.
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If \(a_n=512\) in \(2,8,32,128,\ldots\), what is (n)?
B. 5
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद 2 और सार्व अनुपात 4 है। अतः \(a_n=2\times4^{n-1}\)। \(2\times4^{n-1}=512\) से \(4^{n-1}=256=4^4\), इसलिए \(n-1=4\) और \(n=5\)। \(n=4\) पर पद 128 होता है, 512 नहीं। परीक्षा टिप: गुणोत्तर श्रेणी में पद का स्थान ज्ञात करने के लिए \(a_n=ar^{n-1}\) का प्रयोग करें। / This is a geometric progression with first term 2 and common ratio 4. Hence, \(a_n=2\times4^{n-1}\). From \(2\times4^{n-1}=512\), we get \(4^{n-1}=256=4^4\). Therefore, \(n-1=4\), so \(n=5\). At \(n=4\), the term is 128, not 512. Exam tip: use \(a_n=ar^{n-1}\) to find the position of a term in a GP.
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In the geometric progression \(4,12,36,108,\ldots\), what is \(a_2+a_4\)?
B. 120
दी गई गुणोत्तर श्रेणी में दूसरा पद \(a_2=12\) और चौथा पद \(a_4=108\) है। अतः \(a_2+a_4=12+108=120\)। विकल्प 112, \(a_1+a_4=4+108\) लेने पर मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पदों की गिनती हमेशा पहले पद से \(a_1\) मानकर करें। / In the given GP, the second term is \(a_2=12\) and the fourth term is \(a_4=108\). Therefore, \(a_2+a_4=12+108=120\). The value 112 comes from adding \(a_1+a_4=4+108\), so it is not correct here. Exam tip: count terms by taking the first term as \(a_1\).
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D. (45)
पहले चार पद (24,12,6,3) हैं और योग (45) है। घटती गुणोत्तर श्रेढ़ी में पद क्रम से लिखें। / The first four terms are (24,12,6,3), and the sum is (45). In a decreasing geometric progression write the terms in order.
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If a geometric progression has \(a_2=18\) and (r=2), what will \(a_5\) be?
C. (144)
\(a_5=a_2r^3=18\cdot2^3=144\)। दिए हुए पद से आगे जाने के लिए अनुपात की सही घात लगाएं। / \(a_5=a_2r^3=18\cdot2^3=144\). To move forward from a given term, use the correct power of the ratio.
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For which (x) will (5,x,45) be consecutive terms of a positive geometric progression?
B. 15
गुणोत्तर श्रेणी में लगातार तीन पदों \(a,b,c\) के लिए \(b^2=ac\) होता है। अतः \(x^2=5\times45=225\), इसलिए \(x=\pm15\)। चूँकि श्रेणी धनात्मक है, इसलिए \(x=15\) होगा। \(x=25\) जैसे विकल्प में \(25/5\) और \(45/25\) बराबर नहीं हैं, इसलिए वह गुणोत्तर श्रेणी नहीं बनाता। परीक्षा टिप: तीन लगातार GP पदों में मध्य पद का वर्ग, दोनों बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / For three consecutive terms \(a,b,c\) of a geometric progression, \(b^2=ac\). Thus, \(x^2=5\times45=225\), giving \(x=\pm15\). Since the progression is positive, \(x=15\). For example, with \(x=25\), \(25/5\) and \(45/25\) are not equal, so the terms do not form a GP. Exam tip: for three consecutive GP terms, the square of the middle term equals the product of the outer terms.
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What is the average of the first (4) terms of the geometric progression \(15,30,60,120,\ldots\)?
C. (55)
पहले चार पदों का योग (15+30+60+120=225) है और औसत \(\frac{225}{4}\) है, इसलिए दिए विकल्पों में कोई सही नहीं है। औसत के प्रश्न में पहले योग निकालें। / The sum of the first four terms is (15+30+60+120=225), and the average is \(\frac{225}{4}\), so none of the given options is correct. In average questions, first find the sum.
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