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\(625\times16=10000\), इसलिए \( \frac{43}{625}=\frac{688}{10000}=0.0688 \) है। हर को (10) की घात बनाना सबसे सुरक्षित तरीका है। / \(625\times16=10000\), so \( \frac{43}{625}=\frac{688}{10000}=0.0688 \). Making the denominator a power of (10) is the safest method.
\(0.003125=\frac{3125}{1000000}=\frac{1}{320}\) है। दशमलव स्थान गिनकर हर लिखें और फिर सरल करें। / \(0.003125=\frac{3125}{1000000}=\frac{1}{320}\). Count decimal places to write the denominator and then simplify.
हर में (7) है, जो (2) और (5) के अलावा गुणनखंड है। इसलिए परिमेय संख्या का दशमलव असांत आवर्ती होगा। / The denominator has (7), a factor other than (2) and (5). So the rational number will have a non-terminating recurring decimal.
\( \frac{91}{140}=\frac{13}{20} \) और \(20=2^2\times5\) है। इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा। / \( \frac{91}{140}=\frac{13}{20} \) and \(20=2^2\times5\). Therefore, the decimal expansion will be terminating.
दशमलव विस्तार में 12 के बाद 03, 03, 03, … दोहराया जा रहा है। इसलिए 12 अनावर्ती भाग है और केवल 03 पर बार लगाया जाता है: \(0.12\overline{03}\)। विकल्प A में 1203 को दोहराया गया माना गया है, जबकि दिए गए दशमलव में ऐसा नहीं है। परीक्षा टिप: बार लगाने से पहले अंकों को क्रम में लिखकर सबसे छोटा बार-बार आने वाला समूह पहचानें। / In the decimal expansion, after 12 the block 03 repeats as 03, 03, 03, … . Thus, 12 is the non-repeating part and the bar must be placed only over 03: \(0.12\overline{03}\). Option A incorrectly treats 1203 as the repeating block. Exam tip: Write the digits in order first, then identify the smallest block that repeats continuously.
बार केवल (18) पर है, इसलिए (3) के बाद (18) बार-बार आएगा। बार संकेतन में बार वाले भाग को लगातार दोहराते हैं। / The bar is only over (18), so after (3), (18) repeats. In bar notation, the barred part repeats continuously.
\(17\div22=0.772727\ldots\) है और (27) दोहरता है। लंबी भाग विधि में दोहराने वाले शेष को देखें। / \(17\div22=0.772727\ldots\) and (27) repeats. In long division, watch the repeating remainder.
\( \frac{5}{12}=0.41666\ldots \), जो (0.417) से छोटा है। तुलना के लिए सभी को दशमलव रूप में सोचें। / \( \frac{5}{12}=0.41666\ldots \), which is less than (0.417). Think of all numbers in decimal form for comparison.
दसवें और सौवें स्थान समान हैं, इसलिए हजारवें स्थान पर (a>6) होना चाहिए। अतः सबसे छोटा मान (7) है। / The tenths and hundredths digits are equal, so the thousandths digit must satisfy (a>6). Hence the smallest value is (7).
इसमें शून्यों की संख्या बदलती रहती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती भाग नहीं है। ऐसा दशमलव असांत अनावर्ती होता है। / The number of zeros keeps changing, so there is no fixed recurring part. Such a decimal is non-terminating non-recurring.
\(0.00096=\frac{96}{100000}=\frac{3}{3125}\) है। पांच दशमलव स्थान होने पर हर (100000) लें। / \(0.00096=\frac{96}{100000}=\frac{3}{3125}\). For five decimal places, take denominator (100000).
\(64\times15625=1000000\), इसलिए \( \frac{7}{64}=0.109375 \) है। (2) की घात वाले हर को (10) की घात में बदला जा सकता है। / \(64\times15625=1000000\), so \( \frac{7}{64}=0.109375 \). A denominator that is a power of (2) can be converted to a power of (10).
C. सांत क्योंकि सरल रूप \( \frac{2}{5} \) है/Terminating because the simplest form is \( \frac{2}{5} \)
Explanation
Simple Explanation
\( \frac{18}{45}=\frac{2}{5} \) और (5) केवल (5) का गुणनखंड है। पहले भिन्न को सरल रूप में बदलना जरूरी है। / \( \frac{18}{45}=\frac{2}{5} \), and (5) has only factor (5). It is necessary to simplify the fraction first.
पहला (5) दसवें और अंतिम (5) दस हजारवें स्थान पर है। शून्य वाले स्थानों का मान अलग से लिखना आवश्यक नहीं होता। / The first (5) is in tenths and the last (5) is in ten-thousandths. Zero-value places need not be written separately.
दोनों को (10000) से गुणा करने पर \(1250\div5=250\) मिलता है। दशमलव भाग में समान गुणा करने से भागफल नहीं बदलता। / Multiplying both by (10000) gives \(1250\div5=250\). Multiplying both parts of a division by the same number does not change the quotient.
घटाने के लिए 3.075 को 3.0750 लिखते हैं, ताकि दोनों संख्याओं में दशमलव के बाद चार स्थान हों। अब
\(3.0750-0.6085=2.4665\)। इसलिए सही उत्तर 2.4665 है। 2.4765 जैसा विकल्प अंकों के स्थान-मूल्य को गलत मिलाने से आ सकता है। परीक्षा टिप: दशमलव संख्याओं को घटाने से पहले दशमलव बिंदुओं को एक सीध में लिखें। / Write 3.075 as 3.0750 so that both numbers have four decimal places. Then
\(3.0750-0.6085=2.4665\). Therefore, 2.4665 is correct. A value such as 2.4765 can result from misaligning place values. Exam tip: always align decimal points before subtracting decimals.
समान दशमलव स्थान लिखने पर (0.037500+0.006250+0.000875=0.044625) मिलता है। जोड़ते समय दशमलव बिंदु सीध में रखें। / Writing equal decimal places gives (0.037500+0.006250+0.000875=0.044625). Align decimal points while adding.
\(0.999\ldots=1\) एक मानक आवर्ती दशमलव परिणाम है। परीक्षा में \(0.\overline{9}\) को (1) के बराबर मानें। / \(0.999\ldots=1\) is a standard recurring decimal result. In exams, treat \(0.\overline{9}\) as equal to (1).
\( \frac{11}{20}=0.55 \) और \( \frac{5}{9}=0.555\ldots \), इसलिए (0.554) इनके बीच है। सीमाओं को दशमलव में बदलें। / \( \frac{11}{20}=0.55 \) and \( \frac{5}{9}=0.555\ldots \), so (0.554) lies between them. Convert the boundaries into decimals.
दशमलव के दहाई और सैकड़ा स्थानों तक दोनों संख्याएँ समान हैं: 0.68। इसलिए तुलना हजारवें स्थान के अंकों से होगी। 0.68b को 0.684 से छोटा होने के लिए b < 4 होना चाहिए। अतः b के मान 0, 1, 2 और 3 हैं, यानी कुल 4 मान। 3 केवल गैर-शून्य मानों की संख्या है; 0 भी एक अंक है। परीक्षा टिप: समान दशमलव अंकों के बाद बाएँ से दाएँ पहले भिन्न अंक की तुलना करें। / Both decimals are the same up to the hundredths place: 0.68. Therefore, compare the digits in the thousandths place. For 0.68b to be less than 0.684, b must be less than 4. Thus, b can be 0, 1, 2, or 3, giving 4 possible values. Option 3 would incorrectly exclude 0, which is also a digit. Exam tip: compare decimals from left to right until the first unequal digit appears.
\(48=2^4\times3\) में (3) है और भिन्न सरल रूप में है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / \(48=2^4\times3\) has (3), and the fraction is in simplest form. Therefore, the decimal will be non-terminating recurring.
\(0.\overline{27}\) असांत आवर्ती है, इसलिए परिमेय है लेकिन सांत नहीं है। आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होते हैं। / \(0.\overline{27}\) is non-terminating recurring, so it is rational but not terminating. Recurring decimals are always rational.
यह असांत है और इसमें निश्चित दोहराव नहीं है। ऐसा दशमलव अपरिमेय संख्या का रूप हो सकता है। / It is non-terminating and has no fixed repetition. Such a decimal can be the form of an irrational number.
\(x=0.875\div1000=0.000875\) है। (1000) से भाग देने पर दशमलव बिंदु तीन स्थान बाईं ओर जाता है। / \(x=0.875\div1000=0.000875\). On dividing by (1000), the decimal point moves three places to the left.
दशमलव के बाद अंकों का क्रम दसवाँ, सौवाँ, हजारवाँ आदि होता है। संख्या 12.03004 में 3 दशमलव के बाद दूसरे स्थान पर है, इसलिए उसका स्थानीय मान \(\frac{3}{100}\) है। विकल्प A में 3 को दसवें स्थान पर माना गया है, जो गलत है। परीक्षा-युक्ति: दशमलव के बाद स्थान पहचानने के लिए दाईं ओर से 10, 100, 1000 के हर लिखें। / The places after the decimal point are tenths, hundredths, thousandths, and so on. In 12.03004, 3 is the second digit after the decimal point, so its place value is \(\frac{3}{100}\). Option A treats 3 as being in the tenths place, which is incorrect. Exam tip: label the decimal places from left to right as 10, 100, 1000, and so on.
दशमलव स्थान समान हैं, इसलिए बाएं से दाएं तुलना करें। सबसे छोटा (4.006) और सबसे बड़ा (4.600) है। / The decimal places are equal, so compare from left to right. The smallest is (4.006) and the greatest is (4.600).
C. \(0.20200200020000\ldots\) बिना निश्चित दोहराव/\(0.20200200020000\ldots\) without fixed repetition
Explanation
Simple Explanation
बिना निश्चित दोहराव वाला असांत दशमलव अपरिमेय होता है। सांत और आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / A non-terminating decimal without fixed repetition is irrational. Terminating and recurring decimals are rational.
\(1600\times625=1000000\), इसलिए \( \frac{29}{1600}=0.018125 \) है। बड़े हर को भी (10) की घात में बदला जा सकता है। / \(1600\times625=1000000\), so \( \frac{29}{1600}=0.018125 \). Even a large denominator can be converted into a power of (10).
यह ज्ञात करने के लिए बड़े दशमलव को छोटे दशमलव से भाग देते हैं: \(0.0125 \div 0.000125 = 100\)। अतः \(0.0125\), \(0.000125\) का 100 गुना है। 10 गुना करने पर केवल \(0.00125\) मिलेगा, जबकि 1000 गुना करने पर \(0.125\) मिलेगा। परीक्षा-युक्ति: दशमलव संख्याओं की तुलना में अनुपात निकालने के लिए बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित करें। / To find the multiplicative comparison, divide the larger decimal by the smaller one: \(0.0125 \div 0.000125 = 100\). Therefore, \(0.0125\) is 100 times \(0.000125\). Multiplying by 10 gives only \(0.00125\), whereas multiplying by 1000 gives \(0.125\). Exam tip: To compare two positive decimals multiplicatively, divide the larger number by the smaller number.
यहाँ बार केवल 27 पर है, इसलिए दशमलव बिंदु के बाद पहले 0 आता है और फिर 27 बार-बार दोहरता है: \(0.0272727\ldots\)। विकल्प C में 0 और 27 दोनों को आवर्ती माना गया है, जो दिए गए संकेत के अनुसार गलत है। परीक्षा टिप: बार के नीचे आने वाले अंकों को ही आवर्ती लिखें। / The bar is over 27 only. Therefore, the first digit after the decimal point is 0, followed by the repeating block 27: \(0.0272727\ldots\). In option C, both 0 and 27 are treated as repeating, which does not match the notation. Exam tip: Repeat only the digits covered by the bar.
\(\frac{21}{84}=\frac14\) है और सरल रूप में हर \(4=2^2\) है, इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा। \(\frac{17}{60}\) के हर में 3 भी है। परीक्षा-युक्ति: पहले भिन्न को सरल करें। / \(\frac{21}{84}=\frac14\), and its reduced denominator is \(4=2^2\); therefore, its decimal expansion terminates. In \(\frac{17}{60}\), factor 3 remains in the denominator. Exam tip: always reduce first.
\( \frac{56}{154}=\frac{4}{11} \) है और हर में (11) है। इसलिए दशमलव असांत आवर्ती होगा। / \( \frac{56}{154}=\frac{4}{11} \), and the denominator has (11). So the decimal will be non-terminating recurring.
किसी स्थान के बाद (9) लगातार आने पर अगला सांत मान मिल सकता है। इसलिए \(0.124999\ldots=0.125\) है। / When (9) repeats after a place, it can equal the next terminating value. So \(0.124999\ldots=0.125\).
दशमलव के बाद अंक क्रमशः दसवाँ, सौवाँ, हजारवाँ और दस-हजारवाँ स्थान दर्शाते हैं। संख्या 7.005400 में 4 दशमलव के बाद चौथे स्थान पर है, इसलिए उसका स्थानीय मान \(\frac{4}{10000}\) है। विकल्प A गलत है क्योंकि \(\frac{4}{1000}\) तीसरे स्थान के अंक का मान होगा। परीक्षा में दशमलव के बाद अंकों की स्थिति बाएँ से गिनने की याद रखें। / After the decimal point, the positions are tenths, hundredths, thousandths, and ten-thousandths. In 7.005400, 4 is the fourth digit after the decimal point, so its place value is \(\frac{4}{10000}\). Option A is incorrect because \(\frac{4}{1000}\) represents the place value of the third decimal digit. In an exam, count the decimal places from left to right, including zeros.
\( \frac{1}{15}=0.0666\ldots=0.06\overline{6} \), जो (0.0625) से बड़ा है। तुलना के लिए भिन्न को दशमलव में बदलें। / \( \frac{1}{15}=0.0666\ldots=0.06\overline{6} \), which is greater than (0.0625). Convert the fraction into decimal for comparison.
तुलना के लिए सभी संख्याओं को चार दशमलव स्थानों तक लिखें: \(a=0.2040\), \(b=0.2400\) और \(c=0.2004\)। दशांश स्थान पर \(b\) में 4 है, जबकि \(a\) और \(c\) में 2 है; इसलिए \(b\) सबसे बड़ा है। \(a\) और \(c\) में शतांश समान है, पर हजारवें स्थान पर \(a\) में 4 और \(c\) में 0 है, अतः \(a>c\)। इसलिए सही क्रम \(b>a>c\) है। परीक्षा टिप: दशमलवों की तुलना करते समय आवश्यक हो तो अंत में शून्य लगाकर स्थानों की संख्या समान कर लें। / Write the decimals to four decimal places: \(a=0.2040\), \(b=0.2400\), and \(c=0.2004\). At the tenths place, \(b\) has 4 whereas \(a\) and \(c\) have 2, so \(b\) is greatest. For \(a\) and \(c\), the hundredths digits are equal, but at the thousandths place \(a\) has 4 and \(c\) has 0; hence \(a>c\). Therefore, the descending order is \(b>a>c\). Exam tip: Add trailing zeros when needed to compare the same number of decimal places.
\( \frac{13}{125}=0.104 \) और \( \frac{7}{40}=0.175 \), इसलिए योग (0.279) है। पहले भिन्नों को दशमलव में बदलें। / \( \frac{13}{125}=0.104 \) and \( \frac{7}{40}=0.175 \), so the sum is (0.279). First convert the fractions into decimals.
\( \frac{9}{16}=0.5625 \), इसलिए (0.5625-0.3125=0.25) है। भिन्न को दशमलव में बदलकर घटाएं। / \( \frac{9}{16}=0.5625 \), so (0.5625-0.3125=0.25). Convert the fraction into decimal and subtract.
दोनों को (1000) से गुणा करने पर \(625\div25=25\) मिलता है। दशमलव हटाकर भाग देना आसान हो जाता है। / Multiplying both by (1000) gives \(625\div25=25\). Removing decimals makes division easier.
दशमलव में दशमलव बिंदु के बाद पहला अंक 0 केवल एक बार आता है। इसके बाद 45, 45, 45 लगातार दोहरता है। इसलिए बार केवल 45 पर लगेगा: \(0.0\overline{45}\)। विकल्प \(0.\overline{45}\) गलत है, क्योंकि उसमें दशमलव के तुरंत बाद 45 दोहरना शुरू हो जाता है। परीक्षा टिप: बार लगाने से पहले उन अंकों को अलग पहचानें जो दोहराव शुरू होने से पहले आते हैं। / After the decimal point, the first digit 0 occurs only once. Then 45 repeats as 45, 45, 45. Therefore, the bar is placed only over 45: \(0.0\overline{45}\). Option \(0.\overline{45}\) is incorrect because it starts repeating 45 immediately after the decimal point. Exam tip: identify the non-repeating digits before marking the repeating block with a bar.
\(\frac{21}{84}=\frac14\) में सरल रूप का हर \(4=2^2\) है, इसलिए दशमलव प्रसार सांत होगा। अन्य हरों में 3, 7 या 11 भी है। परीक्षा टिप: पहले भिन्न को सरल करें, फिर हर के अभाज्य गुणनखंड देखें। / \(\frac{21}{84}=\frac14\), and its reduced denominator is \(4=2^2\); hence its decimal expansion terminates. The other denominators contain 3, 7, or 11. Exam tip: reduce the fraction before checking prime factors of the denominator.
\(2^7\) को \(10^7\) बनाने के लिए \(5^7\) से गुणा करना पड़ेगा। इसलिए अधिकतम (7) दशमलव स्थान हो सकते हैं। / To make \(2^7\) into \(10^7\), we multiply by \(5^7\). So there can be at most (7) decimal places.
रीमा कहती है कि \(0.999\ldots\), 1 से छोटा है क्योंकि \(0.9, 0.99, 0.999\) आदि सभी 1 से छोटे हैं। उसके तर्क की त्रुटि को कौन-सा कथन सबसे सही ढंग से स्पष्ट करता है?
C. अनंत योग \(0.9+0.09+0.009+\ldots\) का मान 1 है, अतः \(0.999\ldots=1\)/The infinite sum \(0.9+0.09+0.009+\ldots\) equals 1, so \(0.999\ldots=1\).
Explanation
Simple Explanation
\(0.9+0.09+\cdots\) एक गुणोत्तर श्रेणी है: \(S=\frac{0.9}{1-0.1}=1\)। प्रत्येक सीमित रूप 1 से छोटा है, पर उनकी सीमा 1 है। परीक्षा में \(\ldots\) को अनंत प्रक्रिया मानें। / \(0.9+0.09+\cdots\) is a geometric series: \(S=\frac{0.9}{1-0.1}=1\). Every finite truncation is below 1, but their limit is 1. In exams, treat \(\ldots\) as an infinite process.
इसमें (2) के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती है, इसलिए निश्चित दोहराव नहीं है। ऐसा दशमलव असांत अनावर्ती होता है। / The number of zeros between (2)'s increases, so there is no fixed repetition. Such a decimal is non-terminating non-recurring.
दशमलव संख्या को प्रतिशत में बदलने के लिए 100 से गुणा किया जाता है: 0.0008 × 100 = 0.08। इसलिए सही उत्तर 0.08% है। 0.8% चुनने पर दशमलव स्थान का एक अतिरिक्त स्थानांतरण हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: प्रतिशत में बदलते समय दशमलव बिंदु को दो स्थान दाईं ओर खिसकाएँ। / To convert a decimal into a percentage, multiply it by 100: 0.0008 × 100 = 0.08. Therefore, the correct answer is 0.08%. Choosing 0.8% shifts the decimal point one place too far. Exam tip: Move the decimal point two places to the right when converting a decimal to a percentage.
(100000) से गुणा करने पर दशमलव बिंदु पांच स्थान दाईं ओर जाता है। इसलिए \(0.004096\times100000=409.6\) है। / On multiplying by (100000), the decimal point moves five places to the right. Therefore, \(0.004096\times100000=409.6\).
\(0.59\overline{9}=0.6000\ldots\) और \( \frac{3}{5}=0.6 \) है। दोहरते (9) को सही तरह पहचानें। / \(0.59\overline{9}=0.6000\ldots\) and \( \frac{3}{5}=0.6 \). Identify repeating (9)'s correctly.
\( \frac{7}{8}=0.875 \), इसलिए (0.8735), (0.873) से बड़ा और (0.875) से छोटा है। सीमा मानों को दशमलव में बदलें। / \( \frac{7}{8}=0.875 \), so (0.8735) is greater than (0.873) and less than (0.875). Convert boundary values into decimals.
दसवें स्थान समान हैं और सौवें स्थान पर (a>3) होना चाहिए। इसलिए (a=4,5,6,7,8,9) यानी (6) मान संभव हैं। / The tenths digits are equal and the hundredths digit must satisfy (a>3). So (a=4,5,6,7,8,9), giving (6) possible values.
\(128\times78125=10000000\), इसलिए \( \frac{37}{128}=0.2890625 \) है। (2) की घात वाले हर का दशमलव सांत होता है। / \(128\times78125=10000000\), so \( \frac{37}{128}=0.2890625 \). A denominator that is a power of (2) gives a terminating decimal.
