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समान्तर श्रेणी का सार्व अंतर प्रत्येक क्रमागत पदों का अंतर होता है। यहाँ \(9-4=5\) तथा \(14-9=5\) है, इसलिए सार्व अंतर 5 है। 4 कोई पद नहीं घटाया जाता; वह पहला पद है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: सार्व अंतर ज्ञात करने के लिए दूसरे पद में से पहला पद घटाएँ। / The common difference of an arithmetic progression is the difference between consecutive terms. Here, \(9-4=5\) and \(14-9=5\), so the common difference is 5. The number 4 is the first term, not the difference. Exam tip: subtract the first term from the second term to find the common difference.
हर बार (7) जोड़ा जा रहा है, इसलिए अगला पद (32+7=39) है। परीक्षा में पहले सार्व अंतर पहचानें। / (7) is added each time, so the next term is (32+7=39). In exams, identify the common difference first.
समांतर श्रेणी में दूसरा पद पहले पद में सार्व अंतर जोड़कर मिलता है। अतः दूसरा पद = 9 + 4 = 13। 12 प्राप्त करने के लिए गलत अंतर जोड़ना पड़ेगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: AP में अगला पद ज्ञात करने के लिए पिछले पद में सार्व अंतर जोड़ें। / In an arithmetic progression, the second term is found by adding the common difference to the first term. Thus, second term = 9 + 4 = 13. Option 12 would require adding an incorrect difference, so it is not correct. Exam tip: To find the next term of an AP, add the common difference to the preceding term.
हर पद में (5) घट रहा है, इसलिए सार्व अंतर (-5) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में अंतर ऋणात्मक लिखें। / Each term decreases by (5), so the common difference is (-5). In exams, write the difference as negative for a decreasing progression.
A. हाँ, सार्व अंतर (5) है/Yes, common difference is (5)
Explanation
Simple Explanation
सभी लगातार पदों का अंतर (5) है। परीक्षा में समांतर श्रेणी के लिए समान अंतर जाँचें। / All consecutive terms have difference (5). In exams, check equal differences for an arithmetic progression.
C. क्रमागत पदों के अंतर समान नहीं हैं/The differences between consecutive terms are not equal
Explanation
Simple Explanation
समांतर श्रेणी में प्रत्येक क्रमागत पदों का अंतर समान होना चाहिए। यहाँ अंतर हैं: \(4-2=2\), \(7-4=3\) और \(11-7=4\)। ये अंतर समान नहीं हैं, इसलिए यह समांतर श्रेणी नहीं है। पदों का बढ़ना या धनात्मक होना समांतर श्रेणी होने की शर्त नहीं है। परीक्षा टिप: किसी अनुक्रम को समांतर श्रेणी जाँचने के लिए पहले दो या तीन क्रमागत अंतर निकालें। / In an arithmetic progression, the difference between every pair of consecutive terms must be the same. Here, the differences are \(4-2=2\), \(7-4=3\), and \(11-7=4\). Since these differences are unequal, the sequence is not an arithmetic progression. Increasing or positive terms alone do not make a sequence an AP. Exam tip: Find two or three consecutive differences to check whether a sequence is an AP.
अनुक्रम का पहला लिखा हुआ पद (16) है। परीक्षा में पहला पद (a) सीधे पहले पद से लें। / The first written term of the sequence is (16). In exams, take the first term (a) directly from the sequence.
समांतर श्रेणी का सामान्य पद
a_n=a+(n-1)d
a
होता है। तीसरे पद के लिए
a_3=7+(3-1) imes5=7+10=17
a
। इसलिए सही उत्तर 17 है। 15 केवल दूसरा पद है, क्योंकि उसमें अंतर 5 केवल एक बार जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: तीसरे पद के लिए प्रथम पद में अंतर को दो बार जोड़ें। / The general term of an arithmetic progression is
a_n=a+(n-1)d
a
. For the third term,
a_3=7+(3-1) imes5=7+10=17
a
. Therefore, 17 is correct. The value 15 is only the second term because the common difference 5 is added once. Exam tip: for the third term, add the common difference twice to the first term.
सार्व अंतर (-4) है, इसलिए अगला पद (30-4=26) है। परीक्षा में घटते पदों में ऋणात्मक अंतर लगाएँ। / The common difference is (-4), so the next term is (30-4=26). In exams, apply the negative difference in decreasing terms.
सार्व अंतर (6) है, इसलिए पाँचवाँ पद (31+6=37) है। परीक्षा में पदों को क्रम से आगे बढ़ाएँ। / The common difference is (6), so the fifth term is (31+6=37). In exams, extend the terms in order.
(21) और (28) का अंतर (7) है, इसलिए रिक्त पद (21-7=14) है। परीक्षा में पीछे की ओर भी अंतर लगाएँ। / The difference between (21) and (28) is (7), so the missing term is (21-7=14). In exams, apply the difference backward too.
यह (8) के गुणजों की श्रेणी है, इसलिए \(a_n=8n\) है। परीक्षा में गुणजों वाली श्रेणी को (kn) से पहचानें। / This is a sequence of multiples of (8), so \(a_n=8n\). In exams, identify multiple-based progressions as (kn).
दिया है कि \(a_n=5n+1\)। छठे पद के लिए \(n=6\) रखने पर \(a_6=5\times 6+1=30+1=31\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 31 है। 29, 1 जोड़ने के स्थान पर 1 घटाने से मिल सकता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी \(a_n\) में पहले \(n\) का मान रखें, फिर गुणा और जोड़ की गणना क्रम से करें। / Given \(a_n=5n+1\), substitute \(n=6\) for the sixth term: \(a_6=5\times 6+1=30+1=31\). Therefore, 31 is correct. The value 29 could result from subtracting 1 instead of adding it, so it is not correct. Exam tip: For a term \(a_n\), first substitute the value of \(n\), then perform multiplication and addition in order.
इस श्रेणी में पहला पद \(a=9\) और सार्वांतर \(d=13-9=4\) है। अतः \(a_n=a+(n-1)d=9+4(n-1)=4n+5\)। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प C में \(n=1\) रखने पर पहला पद \(-1\) मिलता है, 9 नहीं। परीक्षा टिप: पहले पद और सार्वांतर को पहचानकर सीधे \(a_n=a+(n-1)d\) सूत्र लगाएँ। / Here, the first term is \(a=9\) and the common difference is \(d=13-9=4\). Thus, \(a_n=a+(n-1)d=9+4(n-1)=4n+5\). Therefore, option B is correct. In option C, putting \(n=1\) gives the first term as \(-1\), not 9. Exam tip: identify the first term and common difference, then apply \(a_n=a+(n-1)d\) directly.
समांतर श्रेणी में दूसरा पद = पहला पद + सार्व अंतर। अतः दूसरा पद = 22 + (-6) = 16। 18 प्राप्त करना 22 में से 4 घटाने के कारण गलत है; यहाँ दिया गया अंतर 6 है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक सार्व अंतर होने पर पदों का मान घटता है। / In an arithmetic progression, the second term equals the first term plus the common difference. Thus, the second term is 22 + (-6) = 16. Getting 18 would mean subtracting 4 from 22, but the given difference is 6. Exam tip: a negative common difference means that successive terms decrease.
C. क्योंकि क्रमागत पदों के अंतर समान नहीं हैं/Because the differences between consecutive terms are not equal
Explanation
Simple Explanation
समांतर श्रेणी में प्रत्येक क्रमागत पदों का अंतर समान होना चाहिए। यहाँ अंतर हैं: 10−5=5, 20−10=10 और 40−20=20। ये अंतर समान नहीं हैं, इसलिए यह समांतर श्रेणी नहीं है। केवल पदों का बढ़ना समांतर श्रेणी होने के लिए पर्याप्त नहीं है। परीक्षा टिप: पहले दो या तीन क्रमागत अंतरों की जाँच करें। / In an arithmetic progression, the difference between every pair of consecutive terms must be the same. Here, the differences are 10−5=5, 20−10=10, and 40−20=20. Since these differences are unequal, this is not an arithmetic progression. Merely increasing terms do not make a sequence an AP. Exam tip: check the first two or three consecutive differences.
समांतर श्रेणी में सार्व अंतर d प्रत्येक क्रमागत पदों का अंतर होता है। यहाँ d = 15 - 6 = 9 है। जाँच के लिए 24 - 15 = 9 भी मिलता है, इसलिए सही उत्तर 9 है। 15 प्रथम पद नहीं, बल्कि दूसरा पद है। परीक्षा टिप: d ज्ञात करने के लिए हमेशा अगला पद − पिछला पद करें। / In an arithmetic progression, the common difference d is the difference between consecutive terms. Here, d = 15 - 6 = 9. Checking further, 24 - 15 = 9 as well, so the correct answer is 9. The number 15 is the second term, not the common difference. Exam tip: find d by subtracting the previous term from the next term.
एक सभागार की क्रमिक पंक्तियों में कुर्सियों की संख्या 18, 21, 24, 27, ... है। एक विद्यार्थी कहता है कि यह समांतर श्रेणी है, क्योंकि प्रत्येक क्रमागत पदों का अंतर समान है। विद्यार्थी के कथन का सही मूल्यांकन कौन-सा है?
A. कथन सही है; सार्वांतर 3 है।/The statement is correct; the common difference is 3.
Explanation
Simple Explanation
21−18=3, 24−21=3 और 27−24=3 है। सभी क्रमागत पदों का अंतर समान होने से यह समांतर श्रेणी है और सार्वांतर 3 है। परीक्षा में कम-से-कम दो अंतर जाँचें। / Here, 21−18=3, 24−21=3, and 27−24=3. Equal differences between consecutive terms confirm an AP, so its common difference is 3. Exam tip: check at least two differences.
अंतर (-5) है, इसलिए पद (65,60,55,50,45,40) हैं। परीक्षा में पहला पद भी गिनें। / The difference is (-5), so the terms are (65,60,55,50,45,40). In exams, include the first term while counting.
पद (3,10,17,24,31,38) हैं, इसलिए (38) छठा पद है। परीक्षा में क्रम से पद लिखकर जाँचें। / The terms are (3,10,17,24,31,38), so (38) is the sixth term. In exams, list terms in order to check.
(n=1,2,3) रखने पर (10,14,18) मिलते हैं। परीक्षा में पहले तीन पदों के लिए छोटे (n) मान रखें। / Putting (n=1,2,3) gives (10,14,18). In exams, use small (n) values for the first three terms.
पहला पद (15) और अंतर (5) है, इसलिए \(a_n=5n+10\) है। परीक्षा में पहले पद से स्थिर भाग निकालें। / The first term is (15) and the difference is (5), so \(a_n=5n+10\). In exams, find the constant part from the first term.
सार्व अंतर (9) है, इसलिए अगला पद (26+9=35) है। परीक्षा में रिक्त पद के लिए समान अंतर जारी रखें। / The common difference is (9), so the next term is (26+9=35). In exams, continue the same difference for the blank term.
लगातार पदों का अंतर (21-27=-6) है। परीक्षा में घटती श्रेणी का अंतर ऋणात्मक लिखें। / The difference of consecutive terms is (21-27=-6). In exams, write the difference as negative for a decreasing progression.
(a=18) और (d=7), इसलिए \(a_8=18+7\times7=67\) है। परीक्षा में (n)वें पद के लिए (a+(n-1)d) लगाएँ। / (a=18) and (d=7), so \(a_8=18+7\times7=67\). In exams, use (a+(n-1)d) for the (n)th term.
A. हाँ, सार्व अंतर (12) है/Yes, common difference is (12)
Explanation
Simple Explanation
हर लगातार पद का अंतर (12) है। परीक्षा में समान अंतर दिखे तो समांतर श्रेणी मानें। / Each consecutive term differs by (12). In exams, if equal difference appears, treat it as an arithmetic progression.
समांतर श्रेणी में पहला पद a होता है और प्रत्येक अगला पद पाने के लिए सार्वांतर d जोड़ा जाता है। यहाँ a = 5 तथा d = 11 है: 5, 5 + 11 = 16, 16 + 11 = 27, 27 + 11 = 38। इसलिए सही क्रम 5, 16, 27, 38 है। विकल्प C में पहला पद ही 11 लिया गया है, जबकि पहला पद 5 है। परीक्षा टिप: पदों के बीच का अंतर जाँचें; प्रत्येक लगातार दो पदों का अंतर d होना चाहिए। / In an arithmetic progression, the first term is a, and the common difference d is added to obtain each next term. Here, a = 5 and d = 11: 5, 5 + 11 = 16, 16 + 11 = 27, 27 + 11 = 38. Therefore, the correct sequence is 5, 16, 27, 38. In option C, 11 is incorrectly taken as the first term, whereas the first term is 5. Exam tip: check that the difference between every pair of consecutive terms is d.
(n=1) पर (48) और (n=2) पर (40) मिलता है, इसलिए \(a_n=56-8n\) है। परीक्षा में घटते नियम को पहले पद से जाँचें। / At (n=1) it gives (48), and at (n=2) it gives (40), so \(a_n=56-8n\). In exams, check a decreasing rule with the first term.
दिया है \(a_n=56-8n\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=56-8(4)=56-32=24\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर \(24\) है। \(26\) तब मिलता यदि घटाने में \(8\times4=32\) का सही उपयोग न किया जाए। परीक्षा टिप: किसी पद का मान ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर क्रम से गुणा और घटाव करें। / Given \(a_n=56-8n\). Substituting \(n=4\), we get \(a_4=56-8(4)=56-32=24\). Hence, \(24\) is correct. \(26\) would result from an incorrect calculation instead of using \(8\times4=32\). Exam tip: Substitute the value of \(n\) first, then perform multiplication and subtraction in order.
समांतर श्रेणी में \(a\) पहला पद होता है, इसलिए \(a=6\)। सार्वांतर \(d\) लगातार दो पदों का अंतर है: \(d=17-6=11\)। जाँच के लिए \(28-17=11\) और \(39-28=11\) भी है। विकल्प D में \(17\) दूसरा पद है, पहला पद नहीं। परीक्षा टिप: \(a\) हमेशा श्रेणी का पहला पद और \(d\) दो क्रमागत पदों का अंतर होता है। / In an arithmetic progression, \(a\) is the first term, so \(a=6\). The common difference \(d\) is the difference between consecutive terms: \(d=17-6=11\). This is confirmed by \(28-17=11\) and \(39-28=11\). In option D, \(17\) is the second term, not the first term. Exam tip: identify the first term as \(a\), then subtract consecutive terms to find \(d\).
A. प्रत्येक दो क्रमागत पदों का अंतर नियत होता है/The difference between every pair of consecutive terms is constant.
Explanation
Simple Explanation
समांतर श्रेणी में हर क्रमागत पद से पिछले पद को घटाने पर समान अंतर मिलता है; यही सार्वभौमिक पहचान है। नियत अनुपात गुणोत्तर श्रेणी का गुण है। परीक्षा में लगातार अंतरों को जाँचें। / In an arithmetic progression, subtracting each term from the next gives the same common difference; this is its defining property. A constant ratio indicates a geometric progression. Exam tip: check consecutive differences first.
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें पहला पद 8 और सार्वांतर 5 है। पद क्रमशः 8, 13, 18, 23, 28, 33 हैं; अतः 33 छठा पद है। पाँचवाँ पद 28 है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा में पदों की गिनती पहले पद से 1 मानकर करें। / This is an arithmetic progression with first term 8 and common difference 5. Its terms are 8, 13, 18, 23, 28, 33; therefore, 33 is the sixth term. The fifth term is 28, so it is not correct. In exams, start counting the terms from the first term as 1.
समांतर श्रेणी में सार्व अंतर लगातार दो पदों का अंतर होता है। अतः \(d=a_2-a_1=23-14=9\)। इसलिए सही उत्तर 9 है। 8 लेने पर पदों के बीच का वास्तविक अंतर नहीं मिलता। परीक्षा टिप: जब पहले दो पद दिए हों, तो हमेशा दूसरा पद − पहला पद करें। / In an arithmetic progression, the common difference is the difference between consecutive terms. Thus, \(d=a_2-a_1=23-14=9\). Therefore, 9 is correct. Choosing 8 does not give the actual difference between the two terms. Exam tip: when the first two terms are given, calculate second term minus first term.
सार्व अंतर (7) है, इसलिए अगला पद (45+7=52) है। परीक्षा में अंतिम ज्ञात पद में अंतर जोड़ें। / The common difference is (7), so the next term is (45+7=52). In exams, add the difference to the last known term.
सार्व अंतर (-10) है, इसलिए पाँचवाँ पद (100) है। परीक्षा में घटते पदों में सही दिशा में गिनें। / The common difference is (-10), so the fifth term is (100). In exams, count in the correct direction for decreasing terms.
दूसरे पद और पहले पद का अंतर ((p+7)-p=7) है। परीक्षा में बीजीय पदों में भी घटाव करें। / The difference between the second and first terms is ((p+7)-p=7). In exams, subtract even with algebraic terms.
लगातार पद समान हैं, इसलिए अंतर (11-11=0) है। परीक्षा में स्थिर श्रेणी भी समांतर श्रेणी हो सकती है। / Consecutive terms are equal, so the difference is (11-11=0). In exams, a constant sequence can also be an arithmetic progression.
सार्व अंतर (0) होने पर सभी पद (15) रहेंगे। परीक्षा में (d=0) का मतलब स्थिर श्रेणी है। / When the common difference is (0), all terms remain (15). In exams, (d=0) means a constant sequence.
(18) और (25) का अंतर (7) है, इसलिए रिक्त पद (18-7=11) है। परीक्षा में पीछे की ओर भी सार्व अंतर लगाएँ। / The difference between (18) and (25) is (7), so the missing term is (18-7=11). In exams, apply the common difference backward too.
रैखिक नियम \(a_n=9n-2\) में (n) का गुणांक (9) ही अंतर है। परीक्षा में (kn+c) में (k) को (d) मानें। / In the linear rule \(a_n=9n-2\), the coefficient of (n) is the difference (9). In exams, take (k) as (d) in (kn+c).
इस समांतर श्रेणी में प्रथम पद 18 और सार्वांतर 5 है। अतः छठा पद \(a_6=a+(6-1)d=18+5\times5=43\) होगा। 40 लेने पर केवल चार बार अंतर जोड़ने की गलती होती है। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद निकालते समय हमेशा \(a_n=a+(n-1)d\) का प्रयोग करें। / The first term is 18 and the common difference is 5. Therefore, the sixth term is \(a_6=a+(6-1)d=18+5\times5=43\). Choosing 40 results from adding the common difference only four times. Exam tip: use \(a_n=a+(n-1)d\) for the nth term of an AP.
समांतर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=a_1+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_4=13+(4-1)\times 9=13+27=40\)। इसलिए सही उत्तर \(40\) है। \(43\) पाने के लिए चार अंतर जोड़ दिए जाते हैं, जबकि चौथे पद तक केवल तीन अंतर जोड़े जाते हैं। परीक्षा टिप: \(a_n\) में हमेशा \(n-1\) बार सार्वांतर लें। / The nth term of an arithmetic progression is \(a_n=a_1+(n-1)d\). Therefore, \(a_4=13+(4-1)\times 9=13+27=40\). Hence, \(40\) is correct. \(43\) would result from adding the common difference four times, but only three differences are added to reach the fourth term. Exam tip: use \(n-1\), not \(n\), when finding \(a_n\).
समांतर श्रेणी में क्रमागत पदों का अंतर, अर्थात सार्व अंतर, स्थिर होता है; जैसे 3, 8, 13 में अंतर 5 है। गुणोत्तर श्रेणी में अंतर नहीं, बल्कि अनुपात स्थिर रहता है। परीक्षा में ‘स्थिर अंतर’ दिखे तो AP पहचानें। / In an arithmetic progression, the difference between consecutive terms, called the common difference, is constant; for example, 3, 8, 13 has difference 5. A geometric progression has a constant ratio, not a constant difference. Exam tip: “constant difference” identifies an AP.
यह (11) के गुणजों की श्रेणी है, इसलिए दसवाँ पद (110) है। परीक्षा में गुणजों को जल्दी पहचानें। / This is a sequence of multiples of (11), so the tenth term is (110). In exams, identify multiples quickly.
दिया है कि \(a_n=18-4n\)। \(n=3\) रखने पर \(a_3=18-4(3)=18-12=6\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 6 है। 8 प्राप्त करना \(4\times3\) के स्थान पर गलत गणना करने से हो सकता है। परीक्षा टिप: किसी पद का मान ज्ञात करते समय \(n\) का मान पूरे व्यंजक में सावधानी से रखें। / Given \(a_n=18-4n\), substitute \(n=3\): \(a_3=18-4(3)=18-12=6\). Hence, 6 is the correct option. A value such as 8 can result from an incorrect calculation of \(4\times3\). Exam tip: while finding a term, substitute the value of \(n\) carefully into the complete expression.
(n=1) पर (14) और (n=2) पर (10) मिलता है, इसलिए \(a_n=18-4n\) है। परीक्षा में पहला पद जाँचकर नियम चुनें। / At (n=1) it gives (14), and at (n=2) it gives (10), so \(a_n=18-4n\). In exams, choose the rule after checking the first term.
बीच का पद (12) और (30) का औसत है, इसलिए \(x=\frac{12+30}{2}=21\) है। परीक्षा में तीन पदों वाली श्रेणी में मध्य पद का औसत लें। / The middle term is the average of (12) and (30), so \(x=\frac{12+30}{2}=21\). In exams, take the average for the middle term in three-term progressions.
इस समांतर श्रेणी में प्रथम पद \(a=30\) और सार्वांतर \(d=38-30=8\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_7=30+(7-1)\times 8=30+48=78\)। विकल्प 76 तब मिलता यदि अंतर को केवल पाँच बार जोड़ा जाता, जबकि सातवें पद के लिए अंतर छह बार जोड़ा जाता है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के सूत्र में \(n-1\) अवश्य लें। / Here, the first term is \(a=30\) and the common difference is \(d=38-30=8\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). Therefore, \(a_7=30+(7-1)\times 8=30+48=78\). Option 76 would result from adding the difference only five times, but the seventh term requires six additions of the common difference. Exam tip: always use \(n-1\) in the formula for the \(n\)th term.
पहला पद (12) है और हर बार (6) जुड़ रहा है। परीक्षा में पहला पद और अंतर दोनों मिलाएँ। / The first term is (12), and (6) is added each time. In exams, match both the first term and the difference.
समांतर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः छठा पद \(a_6=10+(6-1)\times7=10+35=45\) होगा। 42 प्राप्त करने में केवल 4 बार अंतर जोड़ा जाता है, इसलिए वह पाँचवाँ पद है। परीक्षा टिप: पद संख्या में से 1 घटाकर ही \(d\) से गुणा करें। / The nth term of an arithmetic progression is \(a_n=a+(n-1)d\). Therefore, \(a_6=10+(6-1)\times7=10+35=45\). The value 42 is obtained by adding the common difference only four times, so it is the fifth term. Exam tip: always subtract 1 from the term number before multiplying by \(d\).
