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यह एक समांतर श्रेणी है, क्योंकि प्रत्येक अगले पद में 6 जोड़ा जा रहा है। यहाँ पहला पद \(a=8\), समान अंतर \(d=6\) और \(n=16\) है। इसलिए \(a_n=a+(n-1)d=8+(16-1)\times6=8+90=98\)। अतः सही उत्तर 98 है। 96 लेने पर \(n-1\) के स्थान पर 14 का प्रयोग हो जाता है, जो 16वाँ पद नहीं देता। परीक्षा टिप: समांतर श्रेणी के \(n\)वें पद के लिए हमेशा \(a+(n-1)d\) लिखें। / This is an arithmetic sequence because 6 is added to each term. Here, the first term is \(a=8\), the common difference is \(d=6\), and \(n=16\). Thus, \(a_n=a+(n-1)d=8+(16-1)\times6=8+90=98\). Therefore, 98 is correct. Choosing 96 results from using 14 steps instead of the required 15 steps from the first term to the 16th term. Exam tip: for the \(n\)th term of an arithmetic sequence, use \(a+(n-1)d\).
यह एक समांतर क्रम है, क्योंकि प्रत्येक अगला पद पिछले पद से 12 कम है। अतः पहला पद \(a=160\), सार्वांतर \(d=-12\) और \(n=11\) है। \(a_{11}=a+(11-1)d=160+10(-12)=40\)। विकल्प 48 लेने पर केवल 9 बार 12 घटेगा, इसलिए वह 10वाँ पद है। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद निकालते समय \(n-1\) अंतरालों का उपयोग करें। / This is an arithmetic sequence because each successive term is 12 less than the previous one. Here, \(a=160\), \(d=-12\), and \(n=11\). Thus, \(a_{11}=a+(11-1)d=160+10(-12)=40\). The value 48 is the 10th term, since it is obtained after subtracting 12 only 9 times. Exam tip: use \(n-1\) common differences to find the \(n\)th term.
इस क्रम में प्रत्येक पद पिछले पद से 9 अधिक है: 9, 18, 27, 36, 45। अतः 27 के बाद का पद \(27+9=36\) होगा। 34 या 38 लेने पर क्रम में 9 का समान अंतर नहीं रहेगा। परीक्षा टिप: क्रम के लगातार पदों का अंतर निकालकर पैटर्न जाँचें। / Each term in the sequence is 9 greater than the previous term: 9, 18, 27, 36, 45. Therefore, the term after 27 is \(27+9=36\). Choosing 34 or 38 would not maintain the common difference of 9. Exam tip: Find the difference between consecutive terms to identify the pattern.
क्रम के ज्ञात पदों में अंतर देखें: \(152-138=14\) और \(138-124=14\), अर्थात प्रत्येक अगला पद 14 कम है। इसलिए \(180-14=166\), अतः खाली स्थान में 166 आएगा। 164 लेने पर अगला अंतर 12 हो जाएगा, इसलिए वह समान क्रम नहीं बनाता। परीक्षा टिप: रिक्त पद वाले क्रम में पहले लगातार दिए गए पदों का अंतर जाँचें। / Check the differences between the given terms: \(152-138=14\) and \(138-124=14\). Thus, each successive term is 14 less than the previous term. Therefore, \(180-14=166\), so the blank is 166. If 164 were chosen, the next difference would be 12, so it would not maintain the pattern. Exam tip: In a missing-term sequence, first check the differences between consecutive given terms.
यह एक गुणोत्तर क्रम है, जिसमें प्रत्येक पद पिछले पद का 4 गुना है। दिए गए पदों के बाद 5वाँ पद 384 × 4 = 1536 होगा और 6वाँ पद 1536 × 4 = 6144 होगा। इसलिए सही उत्तर 6144 है। 1536 निकटतम भ्रामक विकल्प है, पर वह 5वाँ पद है। परीक्षा टिप: क्रम में समान गुणन गुणक पहचानकर अगले पद जल्दी ज्ञात किए जा सकते हैं। / This is a geometric sequence in which each term is 4 times the preceding term. After the given terms, the 5th term is 384 × 4 = 1536, and the 6th term is 1536 × 4 = 6144. Therefore, 6144 is correct. The closest distractor, 1536, is the 5th term, not the 6th. Exam tip: identify the common multiplier to find subsequent terms quickly.
यह एक गुणोत्तर क्रम है, जिसमें प्रत्येक पद पिछले पद का \(\frac{1}{3}\) है: \(729\div3=243\), \(243\div3=81\), और \(81\div3=27\)। इसलिए अगला पद \(27\div3=9\) होगा। 6 या 12 प्राप्त करने के लिए यह समान भाग का नियम लागू नहीं होता। परीक्षा टिप: क्रम में लगातार पदों का अनुपात जाँचकर नियम पहचानें। / This is a geometric sequence in which each term is one-third of the preceding term: \(729\div3=243\), \(243\div3=81\), and \(81\div3=27\). Therefore, the next term is \(27\div3=9\). Neither 6 nor 12 follows the same division rule. Exam tip: Compare consecutive terms to identify the pattern or common ratio.
विकल्प A में क्रमागत पदों का अंतर \(7-3=11-7=15-11=4\) है, इसलिए यह AP है। अनुपात समान नहीं है, अतः GP नहीं। परीक्षा में पहले अंतर जाँचें, फिर अनुपात। / In option A, consecutive differences are \(7-3=11-7=15-11=4\), so it is an AP. Its ratios are not constant, hence it is not a GP. Exam tip: check differences before ratios.
यह एक गुणोत्तर क्रम है, जिसमें प्रत्येक पद को 3 से गुणा करने पर अगला पद मिलता है: 9, 27, 81, 243, 729। अतः 729 पाँचवाँ पद है। चौथा पद 243 है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पदों को क्रम से लिखकर गिनें या जाँचें कि हर बार समान गुणक लग रहा है। / This is a geometric sequence in which each term is obtained by multiplying the previous term by 3: 9, 27, 81, 243, 729. Therefore, 729 is the 5th term. The 4th term is 243, so it is not correct. Exam tip: List the terms in order and check for a common multiplier.
यह एक समांतर क्रम है, जिसमें पहला पद 15 और सार्वांतर 9 है। अतः nवाँ पद \(a_n=15+(n-1)\times 9\) होगा। \(15+(n-1)\times9=105\) रखने पर \(n-1=10\), इसलिए \(n=11\)। अतः 105, 11वाँ पद है। 10वाँ पद 96 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए \(a_n=a+(n-1)d\) का प्रयोग करें। / This is an arithmetic sequence with first term 15 and common difference 9. Therefore, the nth term is \(a_n=15+(n-1)\times 9\). Putting \(a_n=105\), \(15+(n-1)\times9=105\), so \(n-1=10\) and \(n=11\). Hence, 105 is the 11th term. The 10th term is 96, so it is not correct. Exam tip: use \(a_n=a+(n-1)d\) to find the position of a term in an arithmetic sequence.
यह एक समानांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद 170 और सार्वांतर \,\(-12\) है। अतः \(a_n=170+(n-1)(-12)\)। \(a_n=74\) रखने पर \(170-12(n-1)=74\), इसलिए \(n-1=8\) और \(n=9\)। अतः 74, 9वाँ पद है। 8वाँ पद 86 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए \(a_n=a+(n-1)d\) में दिए गए पद का मान रखें। / This is an arithmetic progression with first term 170 and common difference \(-12\). Therefore, \(a_n=170+(n-1)(-12)\). Setting \(a_n=74\) gives \(170-12(n-1)=74\), so \(n-1=8\) and \(n=9\). Hence, 74 is the 9th term. The 8th term is 86, so it is not correct. Exam tip: To find the position of a term, substitute its value in \(a_n=a+(n-1)d\).
क्रम के क्रमागत पदों का अंतर \(20-9=31-20=42-31=11\) है, इसलिए यह एक समानांतर श्रेणी है। इसका \(n\)वाँ पद \(a_n=a_1+(n-1)d=9+(n-1)\times11=11n-2\) होगा। विकल्प B में \(n=1\) रखने पर पहला पद 20 मिलता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: किसी रैखिक नियम को जाँचने के लिए पहले \(n=1\) और फिर \(n=2\) रखें। / The differences between consecutive terms are \(20-9=31-20=42-31=11\), so this is an arithmetic progression. Its nth term is \(a_n=a_1+(n-1)d=9+(n-1)\times11=11n-2\). In option B, putting \(n=1\) gives 20 as the first term, so it is incorrect. Exam tip: To check a linear rule quickly, substitute \(n=1\) and then \(n=2\).
यह एक समांतर क्रम है, क्योंकि प्रत्येक अगला पद 9 बढ़ रहा है। यहाँ पहला पद \(a_1=16\) और सार्वांतर \(d=9\) है। अतः \(a_n=a_1+(n-1)d=16+9(n-1)=9n+7\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(n=1\) रखने पर पहला पद 25 मिलता है, 16 नहीं। परीक्षा टिप: किसी भी \(a_n\) नियम में पहले \(n=1\) रखकर पहले पद की जाँच करें। / This is an arithmetic sequence because each successive term increases by 9. Here, \(a_1=16\) and \(d=9\). Therefore, \(a_n=a_1+(n-1)d=16+9(n-1)=9n+7\), so option A is correct. In option B, substituting \(n=1\) gives 25 as the first term, not 16. Exam tip: Check a proposed \(a_n\) rule by putting \(n=1\) to verify the first term.
यह एक समान्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=8\), सार्वांतर \(d=8\) तथा पदों की संख्या \(n=9\) है। अतः \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) से \(S_9=\frac{9}{2}[16+8\times8]=\frac{9}{2}\times80=360\)। इसलिए सही उत्तर 360 है। 384 प्राप्त हो सकता है यदि पदों की संख्या या अंतिम पद गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: योग निकालने से पहले \(a\), \(d\) और \(n\) स्पष्ट रूप से लिखें। / This is an arithmetic progression with first term \(a=8\), common difference \(d=8\), and \(n=9\) terms. Using \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\), we get \(S_9=\frac{9}{2}[16+8\times8]=\frac{9}{2}\times80=360\). Hence, 360 is correct. The value 384 may result from using an incorrect number of terms or last term. Exam tip: identify \(a\), \(d\), and \(n\) before applying the sum formula.
क्रम के प्रत्येक अगले पद में 11 की कमी हो रही है। अतः पहले 6 पद हैं: 132, 121, 110, 99, 88 और 77। इनका योग 132 + 121 + 110 + 99 + 88 + 77 = 627 है। इसलिए सही विकल्प 627 है। 626 एक कम होने के कारण सही नहीं है। परीक्षा टिप: घटते क्रम में पहले सामान्य अंतर पहचानकर सभी आवश्यक पद लिखें, फिर योग करें। / Each successive term decreases by 11. Therefore, the first 6 terms are 132, 121, 110, 99, 88, and 77. Their sum is 132 + 121 + 110 + 99 + 88 + 77 = 627. Hence, 627 is the correct option. The value 626 is one less than the required sum. Exam tip: In a decreasing sequence, first identify the common difference, list the required terms, and then add them.
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें पहला पद 10 तथा सार्वांतर 8 है। अतः \(a_n=10+(n-1)\times8\)। \(a_n=90\) रखने पर \(10+8(n-1)=90\), इसलिए \(n-1=10\) और \(n=11\) मिलता है। इसलिए 90, 11वाँ पद है। 10वाँ पद \(82\) होता है, इसलिए वह निकट विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए \(a_n=a+(n-1)d\) में दिया गया पद रखें। / This is an arithmetic progression with first term 10 and common difference 8. Hence, \(a_n=10+(n-1)\times8\). Putting \(a_n=90\), we get \(10+8(n-1)=90\), so \(n-1=10\) and \(n=11\). Therefore, 90 is the 11th term. The 10th term is \(82\), so the closest distractor is not correct. Exam tip: To find the position of a given term, substitute it in \(a_n=a+(n-1)d\).
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद 11 और सार्वांतर 6 है। अतः \(a_8=11+7\times6=53\) तथा \(a_9=11+8\times6=59\)। इसलिए \(a_8+a_9=53+59=112\), इसलिए विकल्प D सही है। 110 निकट का विकल्प है, पर वह सही योग नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद निकालने के लिए \(a_n=a+(n-1)d\) का प्रयोग करें। / This is an arithmetic progression with first term 11 and common difference 6. Hence, \(a_8=11+7\times6=53\) and \(a_9=11+8\times6=59\). Therefore, \(a_8+a_9=53+59=112\), so option D is correct. Although 110 is close, it is not the correct sum. Exam tip: use \(a_n=a+(n-1)d\) to find the \(n\)th term.
क्रमागत अंतरों की जाँच करें: −7−(−11)=4 और −3−(−7)=4। समान अंतर होने से यह AP है। वर्गों वाले पदों का अंतर स्थिर नहीं होता। परीक्षा में पहले दो अंतर अवश्य मिलाएँ। / Check consecutive differences: −7−(−11)=4 and −3−(−7)=4. As the difference remains constant, this is an AP. Square numbers do not have a constant difference. Exam tip: compare at least two differences.
विकल्प C में क्रमागत पदों के अंतर \(3,6,12\) हैं, जो समान नहीं हैं; इसलिए यह AP नहीं है। यह हर बार 2 से गुणा होने वाला अनुक्रम है। परीक्षा में पहले दो अंतर अवश्य जाँचें। / In option C, the consecutive differences are \(3,6,12\), which are not equal, so it is not an AP. Its terms are multiplied by 2 each time. Exam tip: compare consecutive differences first.
A में \((7+(-1))/2=3\) और अंतर \(-4\) स्थिर है, इसलिए प्रत्येक मध्य पद पड़ोसी पदों का माध्य है। B में अंतर \(4\) और \(8\) बदलते हैं। परीक्षा टिप: लगातार अंतरों की तुलना करें। / In A, \((7+(-1))/2=3\) and the common difference is \(-4\), so every middle term is the mean of its neighbours. In B, differences \(4\) and \(8\) change. Exam tip: compare successive differences.
क्रमागत पदों के अंतर क्रमशः \(8,16,24,32\) हैं। ये अंतर हर बार \(8\) से बढ़ रहे हैं, इसलिए अगला अंतर \(40\) होगा। अतः अगला पद \(90+40=130\) है। \(126\) चुनना गलत होगा, क्योंकि वह अगले अंतर को \(36\) मानने पर मिलेगा। परीक्षा टिप: ऐसे क्रमों में पहले पदों के अंतर लिखकर उनके पैटर्न की जाँच करें। / The successive differences are \(8,16,24,32\). Each difference increases by \(8\), so the next difference is \(40\). Therefore, the next term is \(90+40=130\). Choosing \(126\) would incorrectly use \(36\) as the next difference. Exam tip: for such sequences, first list consecutive differences and check their pattern.
पहले क्रम का तीसरा पद 252 और दूसरे क्रम का तीसरा पद 180 है। अतः अनुपात 252:180 होगा। दोनों पदों को 36 से भाग देने पर 252:180 = 7:5 प्राप्त होता है। 5:7 इसका उल्टा अनुपात है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: अनुपात लिखते समय प्रश्न में दिए गए क्रमों का क्रम न बदलें। / The third term of the first sequence is 252, and that of the second sequence is 180. Therefore, the required ratio is 252:180. Dividing both terms by 36 gives 252:180 = 7:5. The ratio 5:7 is the reverse order, so it is not correct. Exam tip: Keep the order of the sequences the same while writing a ratio.
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद 12 और सार्वांतर 9 है। पहले 5 पद 12, 21, 30, 39, 48 हैं और उनका योग 12+21+30+39+48=150 है। 4 पदों का योग केवल 102 होता है, इसलिए विकल्प 4 सही नहीं है। परीक्षा टिप: समांतर श्रेणी के लिए आवश्यकता होने पर सूत्र \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) का प्रयोग करें। / This is an arithmetic progression with first term 12 and common difference 9. Its first 5 terms are 12, 21, 30, 39, and 48, and their sum is 12+21+30+39+48=150. The sum of the first 4 terms is only 102, so 4 is not correct. Exam tip: when needed, use \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) for the sum of the first n terms of an AP.
इस क्रम में प्रत्येक अगला पद पिछले पद में 11 जोड़कर बनता है: 14, 25, 36, 47, 58, 69, 80, 91। इसलिए 91 से ठीक पहले वाला पद 80 है। 82 निकट लग सकता है, लेकिन वह इस क्रम का पद नहीं है। परीक्षा टिप: पहले क्रम का सामान्य अंतर पहचानें, फिर दिए गए पद से एक अंतर घटाएँ। / Each term in this sequence is obtained by adding 11 to the previous term: 14, 25, 36, 47, 58, 69, 80, 91. Therefore, the term immediately before 91 is 80. Although 82 may seem close, it is not a term of this sequence. Exam tip: identify the common difference first, then subtract it once from the given term.
इस क्रम में प्रत्येक अगला पद पिछले पद का आधा है: \(768, 384, 192, 96, 48, 24\)। इसलिए \(24\) के ठीक पहले वाला पद \(48\) है। \(36\) या \(54\) क्रम के आधा करने के नियम का पालन नहीं करते। परीक्षा टिप: दो क्रमागत पदों का अनुपात जाँचें; यहाँ अनुपात \(\frac{1}{2}\) है। / Each term in the sequence is half of the preceding term: \(768, 384, 192, 96, 48, 24\). Therefore, the term immediately before \(24\) is \(48\). Values such as \(36\) and \(54\) do not follow the halving rule. Exam tip: check the ratio of consecutive terms; here it is \(\frac{1}{2}\).
यह एक समान्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=19\) और सार्वांतर \(d=27-19=8\) है। अतः \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d=19+(n-1)\times8=8n+11\) होगा। विकल्प B में \(n=1\) रखने पर 27 मिलता है, इसलिए वह प्रथम पद के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी श्रेणी के \(n\)वें पद के लिए पहले \(a\) और \(d\) पहचानकर \(a+(n-1)d\) का प्रयोग करें। / This is an arithmetic progression with first term \(a=19\) and common difference \(d=27-19=8\). Therefore, \(a_n=a+(n-1)d=19+(n-1)\times8=8n+11\). In option B, substituting \(n=1\) gives 27, so it does not produce the first term. Exam tip: for the \(n\)th term of an AP, first identify \(a\) and \(d\), then use \(a+(n-1)d\).
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसका प्रथम पद \(a_1=156\) और सार्वांतर \(d=144-156=-12\) है। अतः \(a_n=a_1+(n-1)d=156-12(n-1)=168-12n\)। \(a_n=156-12n\) में \(n=1\) रखने पर 144 मिलता है, इसलिए वह प्रथम पद के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी \(n\)वें पद के नियम में पहले \(n=1\) रखकर जाँच करें। / This is an arithmetic progression with first term \(a_1=156\) and common difference \(d=144-156=-12\). Therefore, \(a_n=a_1+(n-1)d=156-12(n-1)=168-12n\). In \(a_n=156-12n\), putting \(n=1\) gives 144, so it cannot represent the first term. Exam tip: Test an nth-term rule by substituting \(n=1\).
यह एक गुणोत्तर क्रम है, जिसमें प्रत्येक पद को 5 से गुणा करने पर अगला पद मिलता है। अतः इसका nवाँ पद \(a_n=8\times5^{n-1}\) होगा। \(8\times5^{n-1}=5000\) से \(5^{n-1}=625=5^4\), इसलिए \(n-1=4\) और \(n=5\)। विकल्प 4 पर पद 1000 होता है, 5000 नहीं। परीक्षा टिप: पद का स्थान ज्ञात करने के लिए पहले समान अनुपात पहचानें और फिर nवें पद का सूत्र लगाएँ। / This is a geometric sequence in which each term is obtained by multiplying the previous term by 5. Therefore, its nth term is \(a_n=8\times5^{n-1}\). From \(8\times5^{n-1}=5000\), we get \(5^{n-1}=625=5^4\). Hence, \(n-1=4\) and \(n=5\). At position 4, the term is 1000, not 5000. Exam tip: First identify the common ratio, then use the nth-term formula to find the position.
