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यह एक समान्तर श्रेणी है, क्योंकि प्रत्येक क्रमागत पद में 5 जोड़ा गया है। यहाँ पहला पद \(a=7\), समान अंतर \(d=5\) और \(n=15\) है। अतः \(a_n=a+(n-1)d\) से \(a_{15}=7+(15-1)\times5=7+70=77\)। इसलिए सही उत्तर 77 है। 75 तब मिलता यदि पदों की संख्या के बजाय 14 के स्थान पर गलती से अलग गणना की जाए। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के सूत्र में हमेशा \((n-1)\) का प्रयोग करें। / This is an arithmetic sequence because 5 is added to each successive term. Here, the first term is \(a=7\), the common difference is \(d=5\), and \(n=15\). Using \(a_n=a+(n-1)d\), \(a_{15}=7+(15-1)\times5=7+70=77\). Hence, 77 is correct. A common error is to use an incorrect count of gaps between the first and fifteenth terms. Exam tip: in the nth-term formula, use \((n-1)\), not \(n\).
यह एक समांतर क्रम है, क्योंकि प्रत्येक अगले पद में 9 की कमी हो रही है। यहाँ प्रथम पद \(a=120\) और सार्वांतर \(d=-9\) है। इसलिए \(a_{10}=a+(10-1)d=120+9(-9)=39\)। विकल्प 30 लेने पर पदों की संख्या या घटाव की संख्या गलत गिनी गई होगी। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद ज्ञात करते समय हमेशा \(n-1\) अंतरालों का उपयोग करें। / This is an arithmetic sequence because each successive term decreases by 9. Here, the first term is \(a=120\) and the common difference is \(d=-9\). Thus, \(a_{10}=a+(10-1)d=120+9(-9)=39\). Choosing 30 would result from counting the number of differences incorrectly. Exam tip: for the \(n\)th term, use \(n-1\) common differences.
क्रमागत पदों का अंतर देखें: \(11-4=7\) और \(18-11=7\)। अतः यह समानांतर श्रेणी है, जिसमें प्रत्येक पद में 7 जोड़ा जाता है। इसलिए \(18+7=25\), और जाँच के लिए \(25+7=32\)। अतः सही उत्तर 25 है। 24 लेने पर अगला अंतर 8 हो जाएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: लुप्त पद वाले प्रश्न में पहले लगातार पदों के अंतर जाँचें। / Check the differences between consecutive terms: \(11-4=7\) and \(18-11=7\). Thus, this is an arithmetic sequence in which 7 is added each time. Therefore, \(18+7=25\), and the check is \(25+7=32\). Hence, the missing term is 25. If 24 were chosen, the next difference would become 8, so it would not fit the pattern. Exam tip: For missing-term questions, first check the differences between consecutive terms.
यह एक घटता हुआ क्रम है, जिसमें प्रत्येक अगला पद पिछले पद से 12 कम है: \(150-12=138\), \(138-12=126\)। इसलिए रिक्त स्थान में 138 आएगा। 136 लेने पर 150 से अंतर 14 हो जाएगा, इसलिए वह समान अंतर वाले क्रम के अनुकूल नहीं है। परीक्षा टिप: रिक्त पद वाले क्रम में लगातार ज्ञात पदों का अंतर जाँचकर नियम पहचानें। / This is a decreasing sequence in which each term is 12 less than the previous term: \(150-12=138\) and \(138-12=126\). Therefore, the missing value is 138. Choosing 136 would make the difference from 150 equal to 14, so it would not fit the common-difference pattern. Exam tip: In a missing-term sequence, compare consecutive known terms to identify the rule.
हर पद पिछले पद का (3) गुना है। (4,12,36,108,324,972,2916) में (7)वाँ पद (2916) है। / Each term is (3) times the previous term. In (4,12,36,108,324,972,2916), the (7)th term is (2916).
क्रम में प्रत्येक पद पिछले पद का \(\frac{1}{4}\) है, अर्थात पिछले पद को 4 से भाग दिया गया है: \(1024\div4=256\), \(256\div4=64\), और \(64\div4=16\)। इसलिए अगला पद \(16\div4=4\) होगा। 8 प्राप्त करने के लिए 16 को 2 से भाग देना पड़ेगा, जो दिए गए क्रम के नियम से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: लगातार पदों का अनुपात जाँचकर ज्यामितीय क्रम का नियम पहचानें। / Each term is one-fourth of the preceding term, so the previous term is divided by 4: \(1024\div4=256\), \(256\div4=64\), and \(64\div4=16\). Therefore, the next term is \(16\div4=4\). Getting 8 would require dividing 16 by 2, which does not follow the pattern. Exam tip: Check the ratio of consecutive terms to identify a geometric sequence rule.
क्रम 1, 4, 9, 16 के प्रथम अंतर 3, 5, 7 हैं और द्वितीय अंतर 2, 2 हैं। प्रथम अंतर स्थिर नहीं है, इसलिए यह समांतर श्रेणी नहीं; अनुपात भी स्थिर नहीं है। परीक्षा में पहले अंतर जाँचें। / For 1, 4, 9, 16, the first differences are 3, 5, 7 and the second differences are 2, 2. Since neither first differences nor ratios are constant, it is neither AP nor GP. Exam tip: check first differences first.
नियम के अनुसार प्रत्येक नया पद उससे पहले के दो पदों का योग है: 11 = 2 + 9, 20 = 9 + 11 और 31 = 11 + 20। इसलिए अगला पद 20 + 31 = 51 होगा। 52 सही नहीं है, क्योंकि वह पिछले दो पदों का योग नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे क्रम में अगला पद निकालने से पहले दिए गए पदों से नियम की जाँच अवश्य करें। / By the given rule, each new term is the sum of the two preceding terms: 11 = 2 + 9, 20 = 9 + 11, and 31 = 11 + 20. Therefore, the next term is 20 + 31 = 51. Option 52 is incorrect because it is not the sum of the previous two terms. Exam tip: In a sequence question, first verify the rule using the given terms before finding the next term.
इस क्रम में प्रत्येक पद पिछले पद का 4 गुना है: 5, 20, 80, 320, 1280। अतः 1280 पाँचवाँ पद है। 4वाँ पद 320 है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: पदों को क्रम से लिखकर उनकी स्थिति गिनें। / Each term in the sequence is 4 times the preceding term: 5, 20, 80, 320, 1280. Therefore, 1280 is the 5th term. The 4th term is 320, so it is a close but incorrect option. Exam tip: write the successive terms and count their positions carefully.
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें पहला पद 11 और सार्वांतर 8 है। अतः nवाँ पद \(a_n=11+(n-1)\times8\) होगा। \(11+(n-1)\times8=83\) रखने पर \(n-1=9\), इसलिए \(n=10\)। अतः 83, 10वाँ पद है। 9वाँ पद 75 होता है, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए पहले प्रथम पद और सार्वांतर पहचानें। / This is an arithmetic progression with first term 11 and common difference 8. Therefore, \(a_n=11+(n-1)\times8\). Putting \(a_n=83\), we get \(11+(n-1)\times8=83\), so \(n-1=9\) and \(n=10\). Hence, 83 is the 10th term. The 9th term is 75, so option B is not correct. Exam tip: To find the position of a term, first identify the first term and the common difference.
क्रम में प्रत्येक अगला पद पिछले पद से 9 कम है। इसलिए इसका nवाँ पद \(140-9(n-1)\) होगा। \(140-9(n-1)=77\) रखने पर \(9(n-1)=63\), अतः \(n=8\)। इसलिए 77 आठवाँ पद है। 9वाँ पद 68 होगा, इसलिए वह विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए पहले समान अंतर पहचानें, फिर nवें पद का सूत्र बनाइए। / Each successive term is 9 less than the previous term. Hence, the nth term is \(140-9(n-1)\). Putting \(140-9(n-1)=77\) gives \(9(n-1)=63\), so \(n=8\). Therefore, 77 is the 8th term. The 9th term would be 68, so that option is incorrect. Exam tip: first identify the common difference, then form the nth-term expression to find a position.
क्रम के लगातार पदों का अंतर \(15-6=9\), \(24-15=9\) और \(33-24=9\) है, इसलिए यह समानांतर श्रेणी है। इसका \(n\)वाँ पद \(a_n=a_1+(n-1)d=6+(n-1)\times9=9n-3\) होगा। विकल्प B में \(n=1\) रखने पर 15 मिलता है, इसलिए वह पहले पद से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: पहले अंतर ज्ञात करें, फिर \(a_n=a_1+(n-1)d\) का प्रयोग करें। / The differences between consecutive terms are \(15-6=9\), \(24-15=9\), and \(33-24=9\), so this is an arithmetic progression. Its nth term is \(a_n=a_1+(n-1)d=6+(n-1)\times9=9n-3\). In option B, substituting \(n=1\) gives 15, so it does not match the first term. Exam tip: first find the common difference, then use \(a_n=a_1+(n-1)d\).
यह एक समांतर श्रेणी है, क्योंकि प्रत्येक क्रमागत पद का अंतर \(8\) है। यहाँ पहला पद \(a_1=13\) है, इसलिए \(a_n=a_1+(n-1)d=13+(n-1)\times 8=8n+5\)। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में \(n=1\) रखने पर पहला पद \(21\) मिलता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: नियम में पहले \(n=1\) रखकर पहला पद अवश्य जाँचें। / This is an arithmetic sequence because the difference between consecutive terms is \(8\). Here \(a_1=13\), so \(a_n=a_1+(n-1)d=13+(n-1)\times 8=8n+5\). Hence, option A is correct. In option B, putting \(n=1\) gives the first term as \(21\), so it is incorrect. Exam tip: always check a proposed nth-term rule by substituting \(n=1\).
\(a_n=5n-1\) के लिए \(a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-1]-(5n-1)=5\), जो स्थिर है। अतः यह समांतर श्रेणी है। \(n^2+1\) में अंतर बदलता है। परीक्षा में दो क्रमागत पदों का अंतर जाँचें। / For \(a_n=5n-1\), \(a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-1]-(5n-1)=5\), a constant difference; hence it is an arithmetic progression. In \(n^2+1\), the differences change. Exam tip: compare consecutive terms’ differences.
यह एक समान्तर क्रम है, जिसमें पहला पद 7 और सार्वांतर 7 है। पहले 8 पद 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49 और 56 हैं। इनका योग 252 है, इसलिए विकल्प C सही है। 246 जैसी संख्या तब मिल सकती है जब किसी पद को जोड़ने में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: समान्तर क्रम के लिए सीधे सूत्र \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) का भी प्रयोग कर सकते हैं। / This is an arithmetic sequence with first term 7 and common difference 7. Its first 8 terms are 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, and 56, whose sum is 252. Therefore, option C is correct. A value such as 246 can result from an error while adding a term. Exam tip: You can also use \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) for an arithmetic sequence.
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद 96 और सार्वांतर
-8 है। पहले 6 पद हैं: 96, 88, 80, 72, 64 और 56। अतः इनका योग 456 है। 464 जैसे विकल्प में घटते हुए प्रत्येक पद को सही प्रकार से जोड़ने में त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: समांतर श्रेणी के लिए सीधे सूत्र \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) भी प्रयोग कर सकते हैं। / This is an arithmetic progression with first term 96 and common difference \(-8\). Its first 6 terms are 96, 88, 80, 72, 64, and 56, whose sum is 456. A value such as 464 results from an error while adding the decreasing terms. Exam tip: Use \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) to find the sum of an arithmetic progression quickly.
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें पहला पद \(a=6\) तथा सार्वांतर \(d=13-6=7\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(76=6+(n-1)\times 7\) से \(70=7(n-1)\), इसलिए \(n=11\)। अतः 76, 11वाँ पद है। 10वाँ पद \(69\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए पहले \(a\) और \(d\) पहचानकर \(a_n\) का सूत्र लगाएँ। / This is an arithmetic progression with first term \(a=6\) and common difference \(d=13-6=7\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(76=6+(n-1)\times 7\), so \(70=7(n-1)\) and hence \(n=11\). Therefore, 76 is the 11th term. The 10th term is \(69\), so it is not correct. Exam tip: To find the position of a term in an AP, first identify \(a\) and \(d\), then use the \(n\)th-term formula.
यह एक समान्तर श्रेणी है, जिसका सार्वांतर है। तीसरा पद 38 है और आठवाँ पद 83 है। अतः \(a_8-a_3=83-38=45\)। विकल्प 40 लेने पर पदों के बीच के पाँच अंतरालों को सही सार्वांतर 9 से गुणा नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: दो पदों का अंतर निकालने के लिए पद-संख्या का अंतर लेकर उसे सार्वांतर से गुणा करें। / This is an arithmetic progression with common difference 9. The third term is 38 and the eighth term is 83. Therefore, \(a_8-a_3=83-38=45\). Option 40 is incorrect because there are five gaps between the 3rd and 8th terms, each of size 9. Exam tip: For an AP, use \(a_m-a_n=(m-n)d\) to find the difference between two terms quickly.
समांतर श्रेणी में लगातार पदों का अंतर समान होता है। इसलिए \(b-a=c-b\), जिसे व्यवस्थित करने पर \(2b=a+c\) मिलता है। \(b^2=ac\) गुणोत्तर श्रेणी की शर्त है। परीक्षा टिप: बीच के पद का दोगुना जाँचें। / In an arithmetic progression, consecutive differences are equal. Thus, \(b-a=c-b\), which rearranges to \(2b=a+c\). The relation \(b^2=ac\) is associated with three consecutive terms of a geometric progression. Exam tip: double the middle term.
यह एक समान्तर अनुक्रम है, जिसमें प्रथम पद 14 और सार्वांतर 8 है। 11वें पद तक पहुँचने के लिए 8 को 10 बार जोड़ा जाता है: \(a_{11}=14+(11-1)\times 8=14+80=94\)। इसलिए सही उत्तर 94 है। 98 प्राप्त करने में 8 को 11 बार जोड़ दिया जाएगा, जो 11वें पद के लिए गलत है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के लिए हमेशा \(a_n=a_1+(n-1)d\) का प्रयोग करें। / This is an arithmetic sequence with first term 14 and common difference 8. To reach the 11th term, 8 is added 10 times: \(a_{11}=14+(11-1)\times 8=14+80=94\). Hence, 94 is correct. Getting 98 would mean adding 8 eleven times, which is incorrect for the 11th term. Exam tip: use \(a_n=a_1+(n-1)d\) for the nth term.
विकल्प A में क्रमागत पदों के अंतर हैं: 3-7=-4, -1-3=-4 और -5-(-1)=-4। अंतर स्थिर है, इसलिए यह समांतर श्रेणी है। ऋणात्मक पद होने से समांतर श्रेणी होना नहीं बदलता। परीक्षा में हमेशा क्रमागत अंतर जाँचें। / In option A, the successive differences are 3-7=-4, -1-3=-4 and -5-(-1)=-4. Since the difference is constant, it is an arithmetic progression. Negative terms do not prevent a sequence from being an AP. Exam tip: compare consecutive differences.
पहले क्रम का तीसरा पद \(150\) और दूसरे क्रम का तीसरा पद \(200\) है। अतः उनका अनुपात \(150:200\) है। दोनों पदों को \(50\) से भाग देने पर \(3:4\) मिलता है। \(4:3\) लेने पर अनुपात का क्रम उलट जाएगा। परीक्षा टिप: अनुपात में हमेशा प्रश्न में दिए गए क्रम के अनुसार पहला और दूसरा पद लिखें। / The third term of the first sequence is \(150\), and that of the second sequence is \(200\). Hence, their ratio is \(150:200\). Dividing both terms by \(50\) gives \(3:4\). \(4:3\) would reverse the required order of the ratio. Exam tip: write ratios in the same first-to-second order as given in the question.
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=10\) और सार्वांतर \(d=8\) है। \(n\) पदों का योग \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) होता है। अतः \(130=\frac{n}{2}[20+8(n-1)]\), जिससे \(n=5\) प्राप्त होता है। वास्तव में, पहले पाँच पदों \(10,18,26,34,42\) का योग \(130\) है। \(6\) पदों का योग \(180\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पदों की संख्या पूछे जाने पर योग के सूत्र में \(S_n\) का मान रखकर \(n\) ज्ञात करें। / This is an arithmetic progression with first term \(a=10\) and common difference \(d=8\). The sum of \(n\) terms is \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\). So, \(130=\frac{n}{2}[20+8(n-1)]\), which gives \(n=5\). Indeed, the first five terms \(10,18,26,34,42\) add up to \(130\). The sum of six terms would be \(180\), so it is not correct. Exam tip: when the number of terms is unknown, substitute the given sum in the AP sum formula and solve for \(n\).
इस क्रम में प्रत्येक अगला पद पिछले पद में 9 जोड़कर बनता है: 12, 21, 30, 39, 48, 57, 66, 75। इसलिए 75 से ठीक पहले का पद 66 है। 69 सही नहीं है, क्योंकि 66 के बाद 9 जोड़ने पर 75 मिलता है, 69 के बाद नहीं। परीक्षा टिप: क्रम में अंतर पहचानकर पिछला पद पाने के लिए सामान्य अंतर घटाएँ। / Each term in this sequence is obtained by adding 9 to the previous term: 12, 21, 30, 39, 48, 57, 66, 75. Therefore, the term immediately before 75 is 66. Option 69 is not correct because adding 9 to 66 gives 75, whereas adding 9 to 69 does not. Exam tip: identify the common difference and subtract it to find the previous term.
इस क्रम में प्रत्येक अगला पद पिछले पद का आधा है: 384, 192, 96, 48, 24, 12। इसलिए 12 से ठीक पहले 24 आता है। 36 गलत है, क्योंकि 36 का आधा 18 होता है, 12 नहीं। परीक्षा टिप: क्रम में अगले या पिछले पद को जाँचने के लिए समान गुणन या भाग का नियम पहचानें। / In this sequence, each term is half of the preceding term: 384, 192, 96, 48, 24, 12. Therefore, 24 comes immediately before 12. Option 36 is incorrect because half of 36 is 18, not 12. Exam tip: identify the common multiplication or division rule to find nearby terms in a sequence.
यह एक समान्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a=17\) और सार्वांतर \(d=23-17=6\) है। अतः \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d=17+(n-1)\times6=6n+11\) होगा। विकल्प \(6n+17\) में \(n=1\) रखने पर 23 मिलता है, जबकि पहला पद 17 है। परीक्षा टिप: पहले पद और सार्वांतर से \(a_n=a+(n-1)d\) सूत्र लगाएँ। / This is an arithmetic progression with first term \(a=17\) and common difference \(d=23-17=6\). Therefore, \(a_n=a+(n-1)d=17+(n-1)\times6=6n+11\). In \(6n+17\), substituting \(n=1\) gives 23, not the first term 17. Exam tip: identify the first term and common difference before applying \(a_n=a+(n-1)d\).
यह एक समानांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a_1=108\) और सार्वांतर \(d=99-108=-9\) है। इसलिए \(a_n=a_1+(n-1)d=108+(n-1)(-9)=117-9n\)। विकल्प B में \(n=1\) रखने पर 99 मिलता है, इसलिए वह प्रथम पद से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के नियम में \(n=1\) रखकर प्रथम पद अवश्य जाँचें। / This is an arithmetic progression with first term \(a_1=108\) and common difference \(d=99-108=-9\). Thus, \(a_n=a_1+(n-1)d=108+(n-1)(-9)=117-9n\). In option B, putting \(n=1\) gives 99, so it does not match the first term. Exam tip: always test an nth-term rule by substituting \(n=1\).
इस क्रम में प्रत्येक पद पिछले पद का 4 गुना है, इसलिए यह एक गुणोत्तर क्रम है। इसका nवाँ पद \(a_n=6\times4^{n-1}\) होगा। \(6\times4^{n-1}=1536\) से \(4^{n-1}=256=4^4\), अतः \(n-1=4\) और \(n=5\)। विकल्प 4 पर पद 384 होता है, 1536 नहीं। परीक्षा टिप: गुणोत्तर क्रम में पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए \(a_n=a r^{n-1}\) का प्रयोग करें। / Each term is 4 times the preceding term, so this is a geometric sequence. Its nth term is \(a_n=6\times4^{n-1}\). From \(6\times4^{n-1}=1536\), we get \(4^{n-1}=256=4^4\). Thus, \(n-1=4\) and \(n=5\). At position 4, the term is 384, not 1536. Exam tip: use \(a_n=a r^{n-1}\) to find the position of a term in a geometric sequence.
