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समांतर श्रेणी में \(a_{14}-a_6=(14-6)d\) होता है। अतः \(61-21=8d\), यानी \(40=8d\), इसलिए \(d=5\)। विकल्प \(4\) लेने पर 8 पदों का अंतर \(32\) होता, जबकि यहाँ पदों का अंतर \(40\) है। परीक्षा टिप: दो पदों को घटाते समय उनके सूचकांकों का अंतर भी अवश्य लें। / For an arithmetic progression, \(a_{14}-a_6=(14-6)d\). Thus, \(61-21=8d\), so \(40=8d\) and hence \(d=5\). If \(d=4\), the difference across 8 term positions would be \(32\), not \(40\). Exam tip: When subtracting two AP terms, also subtract their term numbers.
\(a_4=a_1+3d\), इसलिए \(17=a_1+12\) और \(a_1=5\)। दिए पद से पीछे जाते समय समान अंतर घटाएं। / \(a_4=a_1+3d\), so \(17=a_1+12\) and \(a_1=5\). When moving backward from a given term, subtract the common difference.
दिया है कि श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=8n-5\) है। 83 की स्थिति ज्ञात करने के लिए \(8n-5=83\) रखें। अतः \(8n=88\), इसलिए \(n=11\)। इसलिए 83, 11वाँ पद है। 10वें पद का मान \(75\) होगा, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए पद की स्थिति के लिए \(a_n\) को उस पद के मान के बराबर रखकर \(n\) हल करें। / The nth term is \(a_n=8n-5\). To find the position of 83, set \(8n-5=83\). This gives \(8n=88\), so \(n=11\). Hence, 83 is the 11th term. The 10th term is \(75\), so it is a close but incorrect option. Exam tip: to find the position of a given term, equate \(a_n\) to that value and solve for \(n\).
लगातार तीन पदों में (2(2x+1)=(x-3)+(4x-1)), इससे (x=6) मिलता है। बीच वाला पद दोनों ओर के पदों का औसत होता है। / For three consecutive terms, (2(2x+1)=(x-3)+(4x-1)), giving (x=6). The middle term is the average of the two surrounding terms.
A. किसी भी दो क्रमागत पदों का अंतर समान होता है/The difference between any two consecutive terms is the same
Explanation
Simple Explanation
समांतर श्रेणी में प्रत्येक क्रमागत पद पिछले पद में एक नियत अंतर d जोड़ने पर मिलता है; अर्थात aₙ₊₁−aₙ=d। स्थिर अनुपात गुणोत्तर श्रेणी की विशेषता है, समांतर श्रेणी की नहीं। परीक्षा टिप: अंतर बराबर हों तो AP पहचानें। / In an AP, a fixed common difference d is added to each term, so aₙ₊₁−aₙ=d. A constant ratio identifies a geometric progression, not necessarily an AP. Exam tip: compare consecutive differences to identify an AP.
\(5,11,17,23,29,\ldots\) में पाँचवाँ पद (29) और समान अंतर (6) है। विकल्पों को पद-संख्या तक जांचें। / In \(5,11,17,23,29,\ldots\), the fifth term is (29) and the common difference is (6). Check each option up to the required term.
समांतर श्रेणी में \(a_n=a_1+(n-1)d\) होता है। अतः \(73=7+(12-1)d=7+11d\)। इसलिए \(11d=66\) और \(d=6\)। यहाँ 1वें से 12वें पद के बीच 11 अंतर होते हैं, 12 नहीं। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के सूत्र में हमेशा \(n-1\) का प्रयोग करें। / For an arithmetic progression, \(a_n=a_1+(n-1)d\). Thus, \(73=7+(12-1)d=7+11d\). Hence \(11d=66\), so \(d=6\). There are 11 gaps from the 1st term to the 12th term, not 12. Exam tip: always use \(n-1\) in the formula for the \(n\)th term.
पद \(25,19,13,7,1,-5,\ldots\) हैं, इसलिए पहला ऋणात्मक पद (6)वाँ है। शून्य के आसपास पदों को क्रम से जांचें। / The terms are \(25,19,13,7,1,-5,\ldots\), so the first negative term is the (6)th. Check terms around zero in order.
\(a_{15}\) और \(a_6\) के बीच (9) अंतर हैं और (d=7), इसलिए अंतर (63) है। पदों का अंतर पद-संख्या के अंतर पर निर्भर करता है। / There are (9) gaps between \(a_{15}\) and \(a_6\), and (d=7), so the difference is (63). Term difference depends on position difference.
पहले (5) पद (11,15,19,23,27) हैं और योग (95) है। नियम से पद बनाकर जोड़ना सुरक्षित तरीका है। / The first (5) terms are (11,15,19,23,27), and their sum is (95). Forming terms from the rule and adding is a safe method.
समांतर श्रेणी में \(a_n=a_1+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_4=a_1+3d=22\) और \(a_9=a_1+8d=52\)। दोनों समीकरणों को घटाने पर \(5d=30\), इसलिए \(d=6\)। अब \(a_1=22-3\times6=4\)। इसलिए सही उत्तर 4 है। विकल्प 6 सार्वांतर \(d\) है, पहला पद नहीं। परीक्षा टिप: दो दिए गए पदों को घटाकर पहले \(d\) ज्ञात करें। / For an arithmetic progression, \(a_n=a_1+(n-1)d\). Thus, \(a_4=a_1+3d=22\) and \(a_9=a_1+8d=52\). Subtracting the equations gives \(5d=30\), so \(d=6\). Now, \(a_1=22-3\times6=4\). Therefore, the correct answer is 4. Option 6 is the common difference \(d\), not the first term. Exam tip: When two terms are given, subtract their equations first to find \(d\).
\(a_5\) और \(a_{13}\) से \(a_9\) समान दूरी पर है, इसलिए \(a_9=\frac{86}{2}=43\)। सममित पदों का औसत मध्य पद होता है। / \(a_9\) is equidistant from \(a_5\) and \(a_{13}\), so \(a_9=\frac{86}{2}=43\). The average of symmetric terms is the middle term.
(64+(n-1)(-7)=8) से (7(n-1)=56) और (n=9)। घटती श्रेणी में भी वही \(a_n\) सूत्र लगता है। / From (64+(n-1)(-7)=8), (7(n-1)=56) and (n=9). The same \(a_n\) formula works in a decreasing progression.
(2(3x+2)=(2x-1)+(5x+1)) से (x=4), इसलिए समान अंतर (14-7=7) नहीं बल्कि (14-7=7) है। सही गणना में (d=7) आता है। / From (2(3x+2)=(2x-1)+(5x+1)), (x=4), so the common difference is (14-7=7). Calculate (x) first and then the difference.
पद \(18,14,10,6,2,-2,\ldots\) हैं, इसलिए धनात्मक पद (5) हैं। शून्य और ऋणात्मक पदों को धनात्मक न मानें। / The terms are \(18,14,10,6,2,-2,\ldots\), so there are (5) positive terms. Do not count zero or negative terms as positive.
पहला पद (8) और (d=9) है, इसलिए (a_n=8+(n-1)9=9n-1)। विकल्प को (n=1) रखकर जांच सकते हैं। / The first term is (8) and (d=9), so (a_n=8+(n-1)9=9n-1). You can check an option by putting (n=1).
\(a_9\), \(a_3\) और \(a_{15}\) से समान दूरी पर है, इसलिए \(a_9=\frac{108}{2}=54\)। सममित पदों का औसत बीच का पद होता है। / \(a_9\) is equidistant from \(a_3\) and \(a_{15}\), so \(a_9=\frac{108}{2}=54\). The average of symmetric terms is the middle term.
\(2,9,16,23,\ldots\) में \(a_4=23\) नहीं आता; सही श्रेणी \( -2,5,12,19,\ldots\) होगी। दिए विकल्पों में कोई सही नहीं है। / In \(2,9,16,23,\ldots\), \(a_4\) is not (19); the correct sequence would be \(-2,5,12,19,\ldots\). None of the given options is correct.
\(a_4=6+3d\) और \(a_8=6+7d\), इसलिए (12+10d=84) और (d=7.2) नहीं विकल्प में है। प्रश्न में विकल्पों की जांच जरूरी है। / \(a_4=6+3d\) and \(a_8=6+7d\), so (12+10d=84), giving (d=7.2), which is not in the options. Option consistency must be checked.
सामान्य पद \(a_n=5n+6\) है और (90) से छोटा सबसे बड़ा पद (86) है। सीमा वाले प्रश्न में नजदीकी पद जांचें। / The general term is \(a_n=5n+6\), and the greatest term below (90) is (86). In boundary questions, check nearby terms.
दिया है कि \(a_n=52-4n\)। अतः \(a_4=52-4(4)=36\) तथा \(a_9=52-4(9)=16\)। इसलिए \(a_4+a_9=36+16=52\)। 48 का विकल्प तब मिल सकता है जब किसी पद में \(n\) का मान गलत रखा जाए। परीक्षा टिप: किसी भी पद \(a_n\) के लिए पहले \(n\) का मान सूत्र में सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / Given \(a_n=52-4n\), \(a_4=52-4(4)=36\) and \(a_9=52-4(9)=16\). Therefore, \(a_4+a_9=36+16=52\). The option 48 may result from substituting an incorrect value of \(n\) in a term. Exam tip: substitute the term number carefully into the formula before simplifying.
समांतर श्रेणी में \(a_n=a_1+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_{12}-a_7=5d=69-34=35\), इसलिए \(d=7\)। अब \(a_7=a_1+6d\) से \(34=a_1+42\), अतः \(a_1=-8\)। \(-6\) लेने पर सातवाँ पद \(36\) आएगा, जो दिए गए \(34\) से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: दो पद दिए हों तो पहले उनके पदक्रमों का अंतर लेकर \(d\) ज्ञात करें। / For an arithmetic progression, \(a_n=a_1+(n-1)d\). Thus, \(a_{12}-a_7=5d=69-34=35\), so \(d=7\). Now, using \(a_7=a_1+6d\), we get \(34=a_1+42\), hence \(a_1=-8\). If \(-6\) were chosen, the seventh term would be \(36\), not the given \(34\). Exam tip: When two terms are given, first use the difference in their term numbers to find \(d\).
(2(p+10)=p+(3p-2)) से (2p+20=4p-2) और (p=11) मिलता है। बीच का पद दोनों ओर के पदों का औसत होता है। / From (2(p+10)=p+(3p-2)), (2p+20=4p-2), so (p=11). The middle term is the average of the two surrounding terms.
पहले (8) पद (4) से (60) तक हैं, इसलिए योग (\frac{8(4+60)}{2}=256)। सममित जोड़ से गणना तेज होती है। / The first (8) terms go from (4) to (60), so the sum is (\frac{8(4+60)}{2}=256). Pairing symmetric terms makes calculation quick.
शून्य पद ज्ञात करने के लिए दिए गए पद को 0 के बराबर रखते हैं: \(18-3n=0\)। अतः \(3n=18\), इसलिए \(n=6\)। इसलिए श्रेणी का छठा पद शून्य है। पाँचवें पद के लिए \(a_5=18-15=3\), इसलिए वह शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: किसी विशेष मान वाला पद पूछे जाने पर \(a_n\) को उसी मान के बराबर रखकर \(n\) हल करें। / To find the zero term, set the given term equal to 0: \(18-3n=0\). Thus, \(3n=18\), so \(n=6\). Therefore, the sixth term is zero. For example, the fifth term is \(a_5=18-15=3\), so it is not zero. Exam tip: when a term with a specified value is asked, equate \(a_n\) to that value and solve for \(n\).
छह अंतरों में वृद्धि (36) है, इसलिए (d=6) और (a_8=14+3(6)=32)। \(a_8\) दोनों दिए पदों के बीच आता है। / The increase over six gaps is (36), so (d=6) and (a_8=14+3(6)=32). \(a_8\) lies between the two given terms.
\(24,20,16,12,8,4,0,\ldots\) में पहला पद (24) और सातवाँ पद (0) है। विकल्पों में सातवें पद तक जांच करें। / In \(24,20,16,12,8,4,0,\ldots\), the first term is (24) and the seventh term is (0). Check options up to the seventh term.
\(a_{14}\) और \(a_5\) के बीच (9) अंतर हैं, इसलिए अंतर \(9\times8=72\) है। पदों का अंतर सीधे (d) से निकाला जा सकता है। / There are (9) gaps between \(a_{14}\) and \(a_5\), so the difference is \(9\times8=72\). Term differences can be found directly using (d).
सामान्य पद \(a_n=7n+6\) है और \(a_{14}=104\) पहला पद है जो (100) से बड़ा है। सीमा वाले प्रश्न में पास के पद जांचें। / The general term is \(a_n=7n+6\), and \(a_{14}=104\) is the first term greater than (100). In boundary questions, check nearby terms.
\(a_8\), \(a_4\) और \(a_{12}\) से समान दूरी पर है, इसलिए \(a_8=\frac{112}{2}=56\)। सममित पदों का औसत मध्य पद होता है। / \(a_8\) is equidistant from \(a_4\) and \(a_{12}\), so \(a_8=\frac{112}{2}=56\). The average of symmetric terms is the middle term.
\(a_2=-5\) और \(a_3=1\), इसलिए पहला धनात्मक पद (3)वाँ है। धनात्मक पद के लिए \(a_n>0\) जांचें। / \(a_2=-5\) and \(a_3=1\), so the first positive term is the (3)rd. Check \(a_n>0\) for positive terms.
इस समांतर श्रेणी में प्रथम पद \(a=5\) और सार्वांतर \(d=12-5=7\) है। \(a_n=a+(n-1)d\) से \(a_5=5+4\times7=33\) तथा \(a_9=5+8\times7=61\) मिलते हैं। अतः \(a_5+a_9=33+61=94\)। निकट का विकल्प 98 तब आ सकता है जब पदों की संख्या या सार्वांतर की गणना में गलती हो। परीक्षा टिप: किसी भी समांतर श्रेणी में पहले \(a\) और \(d\) पहचानकर \(a_n\) का सूत्र लगाएँ। / The first term is \(a=5\) and the common difference is \(d=12-5=7\). Using \(a_n=a+(n-1)d\), we get \(a_5=5+4\times7=33\) and \(a_9=5+8\times7=61\). Therefore, \(a_5+a_9=33+61=94\). A nearby option such as 98 may result from using an incorrect term number or common difference. Exam tip: first identify \(a\) and \(d\), then apply the formula for \(a_n\).
समांतर श्रेणी में दो पदों का अंतर उनके क्रमांकों के अंतर और सार्वांतर के गुणनफल के बराबर होता है। अतः \(a_{15}-a_6=(15-6)d=9d\)। इसलिए \(82-28=54=9d\), जिससे \(d=6\) मिलता है। विकल्प 9 क्रमांकों का अंतर है, सार्वांतर नहीं। परीक्षा टिप: \(a_m-a_n=(m-n)d\) का प्रयोग करने पर प्रथम पद ज्ञात किए बिना भी \(d\) निकाला जा सकता है। / In an arithmetic progression, the difference between two terms equals the difference of their indices multiplied by the common difference. Thus, \(a_{15}-a_6=(15-6)d=9d\). Hence, \(82-28=54=9d\), giving \(d=6\). Option 9 is the difference between the term numbers, not the common difference. Exam tip: use \(a_m-a_n=(m-n)d\) to find \(d\) without first finding the first term.
समांतर श्रेणी में लगातार तीन पदों के लिए मध्य पद का दोगुना, पहले और तीसरे पद के योग के बराबर होता है। अतः \(2(5x-2)=(3x+1)+(8x-8)\)। इससे \(10x-4=11x-7\), इसलिए \(x=3\)। जाँच करने पर पद \(10,13,16\) मिलते हैं, जिनका सार्वांतर \(3\) है। परीक्षा टिप: तीन लगातार पद दिए हों तो सीधे \(2b=a+c\) का प्रयोग करें। / For three consecutive terms of an arithmetic progression, twice the middle term equals the sum of the first and third terms. Thus, \(2(5x-2)=(3x+1)+(8x-8)\). This gives \(10x-4=11x-7\), so \(x=3\). On checking, the terms are \(10,13,16\), with common difference \(3\). Exam tip: for three consecutive AP terms, use \(2b=a+c\) directly.
(\frac{6}{2}[2(5)+5d]=120) से (30+15d=120) और (d=6)। योग वाले प्रश्न में पहले (n) और (a) रखें। / (\frac{6}{2}[2(5)+5d]=120) gives (30+15d=120) and (d=6). In sum questions, substitute (n) and (a) first.
समांतर श्रेणी में प्रत्येक पद और उसके ठीक पहले वाले पद का अंतर एक ही स्थिर संख्या होता है; इसे उभयनिष्ठ अंतर कहते हैं। प्रथम पद केवल आरंभिक पद है। परीक्षा में अंतर जाँचने के लिए लगातार पदों को घटाइए। / In an arithmetic progression, subtracting a term from the next term gives one fixed value, called the common difference. The first term is only the starting term. Exam tip: subtract consecutive terms to identify an AP.
चार अंतरों में वृद्धि (24) है, इसलिए (d=6) और (a_{11}=36+4(6)=60)। पास के पद से आगे बढ़ना आसान है। / The increase over four gaps is (24), so (d=6) and (a_{11}=36+4(6)=60). Moving forward from a nearby term is easy.
(n=1,2,3,4) रखने पर \(9,14,19,24,\ldots\) मिलता है। नियम से शुरू के पद बनाकर विकल्प मिलाएं। / Putting (n=1,2,3,4) gives \(9,14,19,24,\ldots\). Form the initial terms from the rule and match the option.
सामान्य पद \(a_n=6n+2\) है और (80) से छोटा सबसे बड़ा पद (74) है। सीमा वाले प्रश्न में नजदीकी पद जांचें। / The general term is \(a_n=6n+2\), and the greatest term below (80) is (74). In boundary questions, check nearby terms.
समांतर श्रेणी का nवाँ पद
\(a_n=a_1+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_3=30+2(-5)=20\) और \(a_7=30+6(-5)=0\)। इसलिए \(a_3+a_7=20+0=20\)। 25 चुनना एक सामान्य गलती हो सकती है, यदि पदों की संख्या के स्थान पर अंतर की गणना गलत की जाए। परीक्षा टिप: \(a_n\) निकालते समय हमेशा \((n-1)d\) का प्रयोग करें। / The nth term of an arithmetic progression is \(a_n=a_1+(n-1)d\). Thus, \(a_3=30+2(-5)=20\) and \(a_7=30+6(-5)=0\). Therefore, \(a_3+a_7=20+0=20\). Choosing 25 can result from incorrectly calculating the number of common differences. Exam tip: always use \((n-1)d\) while finding \(a_n\).
समांतर श्रेणी में \(a_n=a_1+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_{13}-a_4=9d=67-13=54\), इसलिए \(d=6\)। अब \(a_4=a_1+3d\) से \(13=a_1+18\), अतः \(a_1=-5\)। \(-4\) लेने पर चौथा पद \(14\) आएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: दो दिए गए पदों को घटाने पर समान अंतर \(d\) जल्दी ज्ञात किया जा सकता है। / For an arithmetic progression, \(a_n=a_1+(n-1)d\). Thus, \(a_{13}-a_4=9d=67-13=54\), so \(d=6\). Now, using \(a_4=a_1+3d\), we get \(13=a_1+18\), hence \(a_1=-5\). If \(-4\) were the first term, the fourth term would be \(14\), so it is not correct. Exam tip: subtracting two given terms is a quick way to find the common difference \(d\).
पहला और दसवाँ पद (3) और (57) हैं, इसलिए योग (\frac{10(3+57)}{2}=300)। योग में पहला और अंतिम पद उपयोग करें। / The first and tenth terms are (3) and (57), so the sum is (\frac{10(3+57)}{2}=300). Use the first and last terms for the sum.
\(a_7=3\) और \(a_8=-1\), इसलिए पहला ऋणात्मक पद (8)वाँ है। शून्य से नीचे जाने वाला पहला पद देखें। / \(a_7=3\) and \(a_8=-1\), so the first negative term is the (8)th. Look for the first term below zero.
\(a_5\), \(a_3\) और \(a_7\) से समान दूरी पर है, इसलिए \(a_5=\frac{60}{2}=30\)। सममित पदों का औसत मध्य पद होता है। / \(a_5\) is equidistant from \(a_3\) and \(a_7\), so \(a_5=\frac{60}{2}=30\). The average of symmetric terms is the middle term.
समांतर श्रेणी में \(a_n=a_1+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_4=11+3\times5=26\) और \(a_{10}=11+9\times5=56\)। इसलिए \(a_4+a_{10}=26+56=82\), अतः विकल्प B सही है। विकल्प 84 तब मिलता यदि किसी पद की गणना में अंतर के गुणज को एक अधिक ले लिया जाए। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के लिए हमेशा \((n-1)d\) प्रयोग करें। / For an arithmetic progression, \(a_n=a_1+(n-1)d\). Thus, \(a_4=11+3\times5=26\) and \(a_{10}=11+9\times5=56\). Therefore, \(a_4+a_{10}=26+56=82\), so option B is correct. A value such as 84 can result from using one extra multiple of the common difference while finding a term. Exam tip: always use \((n-1)d\) for the \(n\)th term.
\(a_6=a_1+5d\), इसलिए \(41=a_1+40\) और \(a_1=1\)। दिए पद से पीछे जाने के लिए समान अंतर घटाएं। / \(a_6=a_1+5d\), so \(41=a_1+40\) and \(a_1=1\). To move backward from a given term, subtract common differences.
इस समांतर श्रेणी में प्रथम पद \(a=12\) और सार्वांतर \(d=19-12=7\) है। \(a_n=a+(n-1)d\) से \(a_{11}=12+10\times7=82\) तथा \(a_3=12+2\times7=26\)। अतः \(a_{11}+a_3=82+26=108\)। निकट विकल्प 112 तब मिल सकता है जब पदों की संख्या या सार्वांतर में गलती हो जाए। परीक्षा टिप: \(a_n\) में हमेशा \(n-1\) का प्रयोग करें। / For this AP, the first term is \(a=12\) and the common difference is \(d=19-12=7\). Using \(a_n=a+(n-1)d\), \(a_{11}=12+10\times7=82\) and \(a_3=12+2\times7=26\). Therefore, \(a_{11}+a_3=82+26=108\). The nearby value 112 can result from an error in the term number or common difference. Exam tip: always use \(n-1\) in the formula for \(a_n\).
पाँच अंतरों में वृद्धि (35) है, इसलिए (d=7) और (a_{13}=59+3(7)=80)। पहले (d) निकालें फिर आगे बढ़ें। / The increase over five gaps is (35), so (d=7) and (a_{13}=59+3(7)=80). First find (d), then move forward.
यहाँ (a=17) और (d=5), इसलिए (a_{25}=17+24(5)=137)। बड़े पद के लिए भी (a_n=a+(n-1)d) लगाएं। / Here (a=17) and (d=5), so (a_{25}=17+24(5)=137). Use (a_n=a+(n-1)d) even for larger terms.
\(a_2=a_1+5\) और \(a_8=a_1+35\), इसलिए \(2a_1+40=70\) और \(a_1=15\)। योग वाले प्रश्न में दोनों पदों को \(a_1\) और (d) से लिखें। / \(a_2=a_1+5\) and \(a_8=a_1+35\), so \(2a_1+40=70\) and \(a_1=15\). In sum-based questions, write both terms using \(a_1\) and (d).
