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\(2n^2+n\) से (3,10,21,36) मिलते हैं। परीक्षा में पहले चार पदों पर नियम जाँचें। / \(2n^2+n\) gives (3,10,21,36). In exams, test the rule on the first four terms.
\(a_6=3\times36-12+5=101\) है। परीक्षा में वर्ग वाला भाग और रैखिक भाग अलग-अलग निकालें। / \(a_6=3\times36-12+5=101\). In exams, calculate the square part and linear part separately.
\(3n^2+2n\) रखने पर दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में (n=1,2,3) रखकर विकल्प मिलाएँ। / Using \(3n^2+2n\) gives the given terms. In exams, substitute (n=1,2,3) to match options.
\(a_5=98\) और \(a_2=11\), इसलिए अंतर (87) है। परीक्षा में अंतर निकालने से पहले दोनों पद सही निकालें। / \(a_5=98\) and \(a_2=11\), so the difference is (87). In exams, find both terms correctly before subtracting.
\(3n^2-2n+1\) से (2,9,22,41) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर से वर्गीय नियम पहचानें। / \(3n^2-2n+1\) gives (2,9,22,41). In exams, use second differences to identify a quadratic rule.
\(a_7=\frac{7\times10}{2}+2=37\) है। परीक्षा में पहले भिन्न भाग सरल करें और फिर स्थिर संख्या जोड़ें। / \(a_7=\frac{7\times10}{2}+2=37\). In exams, simplify the fraction first and then add the constant.
ये \(2^2,3^2,4^2,5^2\) हैं, इसलिए (a_n=(n+1)2) है। परीक्षा में स्थानांतरित वर्ग पहचानें। / These are \(2^2,3^2,4^2,5^2\), so (a_n=(n+1)2). In exams, recognize shifted squares.
\(a_4=49\) और \(a_2=5\), इसलिए योग (54) है। परीक्षा में योग से पहले दोनों पद अलग निकालें। / \(a_4=49\) and \(a_2=5\), so the sum is (54). In exams, calculate both terms separately before adding.
\(4n^2-n+1\) से (4,15,34,61) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान हों तो वर्गीय नियम जाँचें। / \(4n^2-n+1\) gives (4,15,34,61). In exams, check a quadratic rule when second differences are constant.
\(a_{15}=7\times15-4=101\) है। परीक्षा में बड़े (n) के लिए भी सीधे प्रतिस्थापन करें। / \(a_{15}=7\times15-4=101\). In exams, use direct substitution even for larger (n).
(n=1) पर (120) और (n=2) पर (112) मिलता है, इसलिए \(a_n=128-8n\) है। परीक्षा में घटते अंतर को ऋणात्मक रखें। / At (n=1) it gives (120), and at (n=2) it gives (112), so \(a_n=128-8n\). In exams, keep the decreasing difference negative.
(9n+2=146) से (n=16) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या के लिए सूत्र को दिए मान के बराबर रखें। / From (9n+2=146), we get (n=16). In exams, equate the formula to the given value to find the term number.
इसका नियम \(a_n=9n-3\) है और (9n-3=150) से (n=17) नहीं, (n=17) मिलता है; इसलिए सही पद सत्रहवाँ है। / Its rule is \(a_n=9n-3\), and (9n-3=150) gives (n=17), so the correct term is the (17)th term.
\(n^2+1\) से (2,5,10,17) मिलते हैं। परीक्षा में वर्ग में स्थिर जोड़ भी जाँचें। / \(n^2+1\) gives (2,5,10,17). In exams, also check constant addition to squares.
\(n^2+1=101\) से \(n^2=100\) और (n=10) है। परीक्षा में पूर्ण वर्ग पहचानें। / From \(n^2+1=101\), we get \(n^2=100\) and (n=10). In exams, identify perfect squares.
\(2^n+3n\) से (5,10,17,28) मिलते हैं। परीक्षा में घात वाले नियम में अतिरिक्त (n)-वाला भाग भी देखें। / \(2^n+3n\) gives (5,10,17,28). In exams, also check the extra (n)-part in a power rule.
\(3^n-2n+1\) से (2,6,22,74) मिलते हैं। परीक्षा में घात और रैखिक घटाव दोनों जाँचें। / \(3^n-2n+1\) gives (2,6,22,74). In exams, check both the power and linear subtraction.
\(5\cdot2^{n-1}-3\) से (2,7,17,37) मिलते हैं। परीक्षा में गुणोत्तर रूप में स्थिर घटाव भी जाँचें। / \(5\cdot2^{n-1}-3\) gives (2,7,17,37). In exams, also check constant subtraction in geometric forms.
पहले तीन पद (2,12,26) हैं और योग (40) है। परीक्षा में योग से पहले सभी पद लिखें। / The first three terms are (2,12,26), and the sum is (40). In exams, write all terms before adding.
\(3n^2+n-2\) से (2,12,26,44) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर देखकर वर्गीय नियम चुनें। / \(3n^2+n-2\) gives (2,12,26,44). In exams, choose a quadratic rule by checking second differences.
\(a_4=2\times64-4=124\) है। परीक्षा में घन और रैखिक घटाव अलग-अलग करें। / \(a_4=2\times64-4=124\). In exams, handle the cube and linear subtraction separately.
\(2n^3-n\) से (1,14,51,124) मिलते हैं। परीक्षा में घन आधारित नियमों को छोटे (n) से जाँचें। / \(2n^3-n\) gives (1,14,51,124). In exams, test cube-based rules with small (n).
\(a_5=150\) और \(a_3=36\), इसलिए सरल अनुपात (25:6) है। परीक्षा में अनुपात को सरल जरूर करें। / \(a_5=150\) and \(a_3=36\), so the simplified ratio is (25:6). In exams, always simplify the ratio.
\(n^3+n^2\) से (2,12,36,80) मिलते हैं। परीक्षा में घन और वर्ग वाले संयुक्त नियम जाँचें। / \(n^3+n^2\) gives (2,12,36,80). In exams, check combined cube-and-square rules.
\(a_3=72\) और \(a_{10}=30\), इसलिए योग (102) है। परीक्षा में घटते सूत्र में दोनों पद सावधानी से निकालें। / \(a_3=72\) and \(a_{10}=30\), so the sum is (102). In exams, find both terms carefully in a decreasing formula.
(n=1) पर (84) और (n=2) पर (78) मिलता है, इसलिए \(a_n=90-6n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम के पहले दो पद जाँचें। / At (n=1) it gives (84), and at (n=2) it gives (78), so \(a_n=90-6n\). In exams, check the first two terms of a decreasing sequence.
\(a_6=\frac{6\times15}{2}=45\) है। परीक्षा में पहले कोष्ठक का मान निकालें और फिर भाग दें। / \(a_6=\frac{6\times15}{2}=45\). In exams, find the bracket value first and then divide.
(\frac{n(2n+3)}{2}) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को भी छोटे (n) से जाँचें। / (\frac{n(2n+3)}{2}) gives the given terms. In exams, test fractional terms using small (n).
\(4^n-n^2\) से (3,12,55,240) मिलते हैं। परीक्षा में घात में से वर्ग घटाने वाले नियम भी जाँचें। / \(4^n-n^2\) gives (3,12,55,240). In exams, also check rules where a square is subtracted from a power.
पहले पाँच पद (5,17,29,41,53) हैं और औसत (29) है। परीक्षा में औसत के लिए योग को पदों की संख्या से भाग दें। / The first five terms are (5,17,29,41,53), and the average is (29). In exams, divide the sum by the number of terms.
इसका नियम \(a_n=12n-7\) है और (12n-7=149) से (n=13) है। परीक्षा में दिए पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / Its rule is \(a_n=12n-7\), and (12n-7=149) gives (n=13). In exams, equate the given term to the general term.
A. \(a_2=19\) और \(a_3=45\)/\(a_2=19\) and \(a_3=45\)
Explanation
Simple Explanation
\(a_2=24-8+3=19\) और \(a_3=54-12+3=45\) है। परीक्षा में हर पद के लिए (n) का नया मान रखें। / \(a_2=24-8+3=19\) and \(a_3=54-12+3=45\). In exams, use a new value of (n) for each term.
\(6n^2-4n+3\) से (5,19,45,83) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान देखकर वर्गीय नियम चुनें। / \(6n^2-4n+3\) gives (5,19,45,83). In exams, choose a quadratic rule when second differences are constant.
\(5^n-2n\) से (3,21,119,617) मिलते हैं। परीक्षा में घात में से रैखिक पद घटाकर भी जाँचें। / \(5^n-2n\) gives (3,21,119,617). In exams, also check subtraction of a linear term from a power.
\(2n^2+7n-4\) से (5,18,35,56) मिलते हैं। परीक्षा में वर्गीय नियम को छोटे (n) से जाँचें। / \(2n^2+7n-4\) gives (5,18,35,56). In exams, test the quadratic rule with small (n).
\(a_6=\frac{72+30}{3}=34\) है। परीक्षा में अंश पूरा सरल करके हर से भाग दें। / \(a_6=\frac{72+30}{3}=34\). In exams, simplify the whole numerator and then divide by the denominator.
\(\frac{2n^2+5n}{3}\) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को भी विकल्पों से मिलाएँ। / \(\frac{2n^2+5n}{3}\) gives the given terms. In exams, match fractional terms with options too.
\(a_4=78\) और \(a_1=9\), इसलिए अंतर (69) है। परीक्षा में अंतिम घटाव से पहले दोनों मान जाँचें। / \(a_4=78\) and \(a_1=9\), so the difference is (69). In exams, check both values before the final subtraction.
\(4n^2+3n+2\) से (9,24,47,78) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान हों तो वर्गीय नियम जाँचें। / \(4n^2+3n+2\) gives (9,24,47,78). In exams, check a quadratic rule when second differences are constant.
\(a_5=3\cdot32-5=91\) है। परीक्षा में घात के बाद वर्तमान (n) घटाएँ। / \(a_5=3\cdot32-5=91\). In exams, subtract the current (n) after finding the power.
\(3\cdot2^n-n\) से (5,10,21,44) मिलते हैं। परीक्षा में घात और घटते (n) दोनों देखें। / \(3\cdot2^n-n\) gives (5,10,21,44). In exams, check both the power and the subtracted (n).
\(a_5=99\) और \(a_2=8\), इसलिए योग (107) है। परीक्षा में वर्गीय सूत्र में चिह्न सावधानी से रखें। / \(a_5=99\) and \(a_2=8\), so the sum is (107). In exams, handle signs carefully in a quadratic formula.
\(4n^2+2n\) से (6,20,42,72) मिलते हैं। परीक्षा में पहले चार पदों पर नियम जाँचें। / \(4n^2+2n\) gives (6,20,42,72). In exams, test the rule on the first four terms.
पहला पद (5) और समान अंतर (7) है इसलिए (a_n=5+(n-1)7=7n-2)। समानांतर अनुक्रम में गुणांक समान अंतर होता है। / The first term is (5) and the common difference is (7), so (a_n=5+(n-1)7=7n-2). In an arithmetic sequence the coefficient is the common difference.
दिए पदों से (p+q=5) और (2p+q=7), इसलिए (p=2), (q=3) और \(a_4=45\)। अज्ञात गुणांक हों तो पहले छोटे पदों से समीकरण बनाएं। / From the given terms, (p+q=5) and (2p+q=7), so (p=2), (q=3), and \(a_4=45\). When coefficients are unknown, first form equations using small terms.
पहला पद (42) और अंतर (-6) है इसलिए (a_n=42+(n-1)(-6)=48-6n)। घटते अनुक्रम में अंतर ऋणात्मक रखें। / The first term is (42) and the difference is (-6), so (a_n=42+(n-1)(-6)=48-6n). Keep the difference negative for a decreasing sequence.
(9n+4=112) से (9n=108) और (n=12)। पद-संख्या के लिए नियम को दिए पद के बराबर रखें। / From (9n+4=112), (9n=108) and (n=12). To find the position set the rule equal to the given term.
(n=1,2,3,4) रखने पर (12,21,32,45) मिलते हैं। नियम से पद बनाते समय (n) को (1) से शुरू करें। / Putting (n=1,2,3,4) gives (12,21,32,45). Start (n) from (1) when forming terms from a rule.
अंश (2n+1) और हर (3n+2) है इसलिए \(a_n=\frac{2n+1}{3n+2}\)। भिन्नों में अंश और हर का पैटर्न अलग देखें। / The numerator is (2n+1) and the denominator is (3n+2), so \(a_n=\frac{2n+1}{3n+2}\). In fractions observe numerator and denominator patterns separately.
(n=1,2,3,4) रखने पर (4,10,18,28) मिलते हैं। गुणन रूप वाले नियम में सीधे मान रखना आसान है। / Putting (n=1,2,3,4) gives (4,10,18,28). Direct substitution is easy in a product-form rule.
यह \(5^2,6^2,7^2,8^2,\ldots\) है इसलिए (a_n=(n+4)2)। वर्ग अनुक्रम में आधार संख्या और (n) का संबंध देखें। / This is \(5^2,6^2,7^2,8^2,\ldots\), so (a_n=(n+4)2). In square sequences relate the base number to (n).
यह \(4^3,5^3,6^3,7^3,\ldots\) है इसलिए (a_n=(n+3)3)। घन अनुक्रम में आधार संख्या पहचानें। / This is \(4^3,5^3,6^3,7^3,\ldots\), so (a_n=(n+3)3). In cube sequences identify the base number.
\(a_6=23\) और \(b_4=24\), इसलिए योग (47) है। दो नियमों में पद-संख्या अलग हो सकती है इसलिए ध्यान रखें। / \(a_6=23\) and \(b_4=24\), so the sum is (47). With two rules the term numbers may differ, so use them carefully.
इसका नियम \(a_n=3n^2+4n+4\) है इसलिए \(a_{10}=300+40+4=344\) नहीं बल्कि विकल्पों से मिलान गलत है; सही (10)वाँ पद (344) है। विकल्पों की संगति भी परीक्षा में जांचें। / Its rule is \(a_n=3n^2+4n+4\), so the (10)th term is (344), not any listed option. In exams also check the consistency of options.
\(n^2+6n+1\) से (8,17,28,41) मिलते हैं। बढ़ते अंतर दिखें तो द्विघात नियम की जांच करें। / \(n^2+6n+1\) gives (8,17,28,41). When differences increase, check a quadratic rule.
सामान्य पद \(a_n=8n+5\) है और (8n+5=93) से (n=11)। यदि (n) प्राकृतिक संख्या हो तो दिया पद अनुक्रम में आता है। / The general term is \(a_n=8n+5\), and (8n+5=93) gives (n=11). If (n) is a natural number, the given term belongs to the sequence.
यह \(3^2,7^2,11^2,15^2,\ldots\) है इसलिए (a_n=(4n-1)2)। वर्गों में आधारों का अंतर देखें। / This is \(3^2,7^2,11^2,15^2,\ldots\), so (a_n=(4n-1)2). In square sequences observe the difference between bases.
अंश (3n+2) और हर (4n+2) है इसलिए \(a_n=\frac{3n+2}{4n+2}\)। भिन्न अनुक्रम में दोनों भागों का अलग नियम बनाएं। / The numerator is (3n+2) and the denominator is (4n+2), so \(a_n=\frac{3n+2}{4n+2}\). In a fractional sequence form separate rules for both parts.
पाँच अंतरों में वृद्धि (35) है इसलिए (d=7), फिर \(a_n=7n-5\)। दो दिए पदों से पहले समान अंतर निकालें। / The increase over five gaps is (35), so (d=7), then \(a_n=7n-5\). From two given terms first find the common difference.
(n=1,2,3) रखने पर (7,14,27) मिलते हैं। विकल्प जांचने के लिए शुरुआती पद निकालें। / Putting (n=1,2,3) gives (7,14,27). To check options, find the initial terms.
(8p+7=71) से (8p=64) और (p=8)। अज्ञात गुणांक निकालने के लिए दिया पद नियम में रखें। / From (8p+7=71), (8p=64) and (p=8). Substitute the given term in the rule to find the unknown coefficient.
पहला पद (17) और अंतर (-9) है इसलिए (a_n=17+(n-1)(-9)=26-9n)। घटने को ऋणात्मक अंतर मानें। / The first term is (17) and the difference is (-9), so (a_n=17+(n-1)(-9)=26-9n). Treat decrease as a negative difference.
यह (3) गुना त्रिभुज संख्याओं का क्रम है इसलिए (a_n=\frac{3n(n+1)}{2})। लगातार जोड़ (6,9,12) से पैटर्न पहचानें। / This is three times the triangular numbers, so (a_n=\frac{3n(n+1)}{2}). Recognize the pattern from additions (6,9,12).
\(2n^2+7n+3\) से (12,25,42,63) मिलते हैं। दूसरे अंतर स्थिर हों तो द्विघात नियम बनता है। / \(2n^2+7n+3\) gives (12,25,42,63). If second differences are constant, a quadratic rule fits.
\(\frac{3n}{n+4}=\frac{9}{7}\) से (21n=9n+36) और (n=3) नहीं बल्कि (n=3) मिलता है। दिए विकल्पों में कोई सही नहीं है। / From \(\frac{3n}{n+4}=\frac{9}{7}\), (21n=9n+36), so (n=3). None of the given options is correct.
\(a_3=39\) और \(a_5=103\), इसलिए योग (142) है। जोड़ने से पहले दोनों पद अलग-अलग निकालें। / \(a_3=39\) and \(a_5=103\), so the sum is (142). Find both terms separately before adding.
यह \(4^2,8^2,12^2,16^2,\ldots\) है इसलिए (a_n=(4n)2=16n-2)। सम अंतर वाले वर्गों में आधार का नियम देखें। / This is \(4^2,8^2,12^2,16^2,\ldots\), so (a_n=(4n)2=16n-2). In square sequences with equal base gaps, find the base rule.
\(2n^2+n+2\) से (5,12,23,38) मिलते हैं। बढ़ते अंतर (7,11,15) द्विघात नियम का संकेत देते हैं। / \(2n^2+n+2\) gives (5,12,23,38). Increasing differences (7,11,15) indicate a quadratic rule.
(n=1,2,3,4) रखने पर (5,10,17,28) मिलते हैं। घात और रैखिक भाग दोनों जोड़ना न भूलें। / Putting (n=1,2,3,4) gives (5,10,17,28). Do not forget to add both the power part and the linear part.
परिमाण \(6,11,16,21,\ldots\) है और चिह्न धन से शुरू होकर बदलता है इसलिए (a_n=(-1)^{n+1}(5n+1))। पहले पद का चिह्न शक्ति तय करता है। / The magnitude is \(6,11,16,21,\ldots\) and signs start positive and alternate, so (a_n=(-1)^{n+1}(5n+1)). The sign of the first term decides the power.
सामान्य पद \(a_n=9n+6\) है इसलिए \(a_{40}=366\)। बड़े पद के लिए भी वही सामान्य नियम लगाएं। / The general term is \(a_n=9n+6\), so \(a_{40}=366\). Use the same general rule even for a large term.
छह अंतरों में परिवर्तन (-36) है इसलिए (d=-6), अतः \(a_n=31-6n\)। दो दिए पदों से पहले समान अंतर निकालें। / The change over six gaps is (-36), so (d=-6), hence \(a_n=31-6n\). From two given terms first find the common difference.
(n=9) रखने पर (81+45=126) मिलता है। विकल्पों को सीधे जांचना तेज तरीका है। / Putting (n=9) gives (81+45=126). Directly checking options is a quick method.
\(n^2+n+2\) से (4,8,14,22) मिलते हैं। दूसरे अंतर समान हों तो द्विघात नियम देखें। / \(n^2+n+2\) gives (4,8,14,22). If second differences are equal, check a quadratic rule.
(a_4=\frac{4(4)+1}{3(4)-1}=\frac{17}{11})। भिन्न वाले नियम में अंश और हर दोनों में (n) रखें। / (a_4=\frac{4(4)+1}{3(4)-1}=\frac{17}{11}). In a fractional rule substitute (n) in both numerator and denominator.
यह \(6^3,7^3,8^3,9^3,\ldots\) है इसलिए (a_n=(n+5)3)। घन अनुक्रम में आधार संख्या का क्रम देखें। / This is \(6^3,7^3,8^3,9^3,\ldots\), so (a_n=(n+5)3). In cube sequences observe the order of base numbers.
\(3n^2+8n+3\) से (14,31,54,83) मिलते हैं। विकल्पों को शुरुआती पदों से मिलाएं। / \(3n^2+8n+3\) gives (14,31,54,83). Match options with the initial terms.
रैखिक नियम में (n) का गुणांक (-5) है इसलिए समान अंतर (-5) है। गुणांक पढ़ते समय चिह्न न छोड़ें। / In a linear rule the coefficient of (n) is (-5), so the common difference is (-5). Do not miss the sign while reading the coefficient.
\(a_4=95\) और \(a_2=23\), इसलिए योग (118) है। सही विकल्प (118) है और दोनों पद अलग निकालें। / \(a_4=95\) and \(a_2=23\), so the sum is (118). The correct option is (118), and both terms should be found separately.
सामान्य पद \(a_n=79-9n\) है और (79-9n=-2) से (n=9)। घटते अनुक्रम में भी पद-संख्या प्राकृतिक होती है। / The general term is \(a_n=79-9n\), and (79-9n=-2) gives (n=9). Even in decreasing sequences the position is natural.
(n=1,2,3) रखने पर (9,18,35) मिलते हैं। द्विघात नियम में हर पद की गणना सावधानी से करें। / Putting (n=1,2,3) gives (9,18,35). Calculate each term carefully in a quadratic rule.
अंश \(n^2+5\) और हर \(n^2+4\) है इसलिए \(a_n=\frac{n^2+5}{n^2+4}\)। भिन्न अनुक्रम में वर्ग पैटर्न पहचानें। / The numerator is \(n^2+5\) and the denominator is \(n^2+4\), so \(a_n=\frac{n^2+5}{n^2+4}\). Identify square patterns in fractional sequences.
अंश (3n) और हर (5n+2) है इसलिए \(a_n=\frac{3n}{5n+2}\)। हर की बढ़त को ध्यान से देखें। / The numerator is (3n) and the denominator is (5n+2), so \(a_n=\frac{3n}{5n+2}\). Observe the denominator growth carefully.
\(a_9=109\) और \(a_4=44\), इसलिए अंतर (65) है। घटाने से पहले दोनों पदों की अलग गणना करें। / \(a_9=109\) and \(a_4=44\), so the difference is (65). Calculate both terms separately before subtracting.
परिमाण (7n) है और चिह्न धन से शुरू होकर बदलता है इसलिए (a_n=(-1)^{n+1}7n)। पहले पद का चिह्न देखकर ((-1)) की शक्ति चुनें। / The magnitude is (7n) and signs start positive and alternate, so (a_n=(-1)^{n+1}7n). Choose the power of ((-1)) by checking the first term sign.
\(5n^2-2n+6\) से (9,22,45,78) मिलते हैं। दूसरे अंतर (10) स्थिर है इसलिए द्विघात नियम बनेगा। / \(5n^2-2n+6\) gives (9,22,45,78). The second difference (10) is constant, so a quadratic rule fits.
(25+5q+4=54) से (5q=25) और (q=5)। अज्ञात स्थिरांक के लिए दिया पद नियम में रखें। / From (25+5q+4=54), (5q=25) and (q=5). Substitute the given term in the rule to find the unknown constant.
\(a_5=2\) और \(a_6=-2\) है, इसलिए पहला ऋणात्मक पद (6)वाँ है। शून्य या धनात्मक पद को ऋणात्मक न मानें। / \(a_5=2\) and \(a_6=-2\), so the first negative term is the (6)th. Do not count zero or positive terms as negative.
छह अंतरों में वृद्धि (54) है इसलिए (d=9), अतः (a_{15}=83+4(9)=119)। समान अंतर को आगे बढ़ाकर पद निकालें। / The increase over six gaps is (54), so (d=9), hence (a_{15}=83+4(9)=119). Extend the terms using the common difference.
\(n^3+n-1\) से (1,9,29,67) नहीं मिलता; इस क्रम के लिए दिए विकल्पों में सही नियम नहीं है। विकल्पों को शुरुआती पदों से मिलाना जरूरी है। / \(n^3+n-1\) does not give the sequence; none of the listed options correctly fits this sequence. Matching options with initial terms is necessary.
\(a_4=5\times16-12+2=70\) है। परीक्षा में वर्ग वाला भाग और घटाव अलग-अलग करें। / \(a_4=5\times16-12+2=70\). In exams, handle the square part and subtraction separately.
\(5n^2+2n\) रखने पर दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में (n=1,2,3) रखकर विकल्प मिलाएँ। / Using \(5n^2+2n\) gives the given terms. In exams, substitute (n=1,2,3) to match options.
\(a_6=3\times36+24-5=127\) है। परीक्षा में धन और ऋण पदों को अलग लिखें। / \(a_6=3\times36+24-5=127\). In exams, write positive and negative terms separately.
\(3n^2-1\) से (2,11,26,47) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर देखकर वर्गीय नियम पहचानें। / \(3n^2-1\) gives (2,11,26,47). In exams, identify a quadratic rule from second differences.
\(a_5=\frac{5\times21}{2}=\frac{105}{2}\) है। परीक्षा में पहले कोष्ठक का मान निकालें। / \(a_5=\frac{5\times21}{2}=\frac{105}{2}\). In exams, find the bracket value first.
(\frac{n(4n+1)}{2}) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को भी छोटे (n) से जाँचें। / (\frac{n(4n+1)}{2}) gives the given terms. In exams, test fractional terms with small (n).
(3n-2) के वर्ग से (1,16,49,100) मिलते हैं। परीक्षा में पहले आधार बनाकर फिर वर्ग करें। / The squares of (3n-2) give (1,16,49,100). In exams, form the base first and then square it.
(n=1) पर (139) और (n=2) पर (128) मिलता है, इसलिए \(a_n=150-11n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम का पहला पद मिलाएँ। / At (n=1) it gives (139), and at (n=2) it gives (128), so \(a_n=150-11n\). In exams, match the first term of a decreasing sequence.
(8n-5=155) से (n=20) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या के लिए सूत्र को दिए मान के बराबर रखें। / From (8n-5=155), we get (n=20). In exams, equate the formula to the given value to find the term number.
इसका नियम \(a_n=11n-7\) है और (11n-7=125) से (n=12) है। परीक्षा में दिए पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / Its rule is \(a_n=11n-7\), and (11n-7=125) gives (n=12). In exams, equate the given term to the general term.
\(2^n+n^2\) से (3,8,17,32) मिलते हैं। परीक्षा में घात और वर्ग वाले संयुक्त नियम जाँचें। / \(2^n+n^2\) gives (3,8,17,32). In exams, check combined power-and-square rules.
\(a_3=27+9-1=35\) है। परीक्षा में घात, वर्ग और स्थिर घटाव तीनों देखें। / \(a_3=27+9-1=35\). In exams, check the power, square, and constant subtraction.
\(3^n+n^2-1\) से (3,12,35,96) मिलते हैं। परीक्षा में तेज वृद्धि में घात वाला नियम जाँचें। / \(3^n+n^2-1\) gives (3,12,35,96). In exams, check a power rule in rapid growth.
\(7\cdot2^{n-1}+4\) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में गुणोत्तर रूप में स्थिर जोड़ भी जाँचें। / \(7\cdot2^{n-1}+4\) gives the given terms. In exams, also check constant addition in geometric forms.
\(a_3=45\) और \(a_5=119\), इसलिए योग (164) है। परीक्षा में योग से पहले दोनों पद निकालें। / \(a_3=45\) and \(a_5=119\), so the sum is (164). In exams, find both terms before adding.
\(4n^2+5n-6\) से (3,20,45,78) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान हों तो वर्गीय नियम चुनें। / \(4n^2+5n-6\) gives (3,20,45,78). In exams, choose a quadratic rule when second differences are constant.
\(n^3+3n^2-2\) से (2,18,52,110) मिलते हैं। परीक्षा में घन आधारित विकल्पों को छोटे (n) से जाँचें। / \(n^3+3n^2-2\) gives (2,18,52,110). In exams, test cube-based options with small (n).
\(2n^3+n^2+n\) से (4,22,66,148) मिलते हैं। परीक्षा में संयुक्त घन नियम भी जाँचें। / \(2n^3+n^2+n\) gives (4,22,66,148). In exams, also check combined cubic rules.
\(a_4=\frac{48+20}{4}=17\) है। परीक्षा में अंश पूरा सरल करके हर से भाग दें। / \(a_4=\frac{48+20}{4}=17\). In exams, simplify the whole numerator and then divide by the denominator.
\(\frac{3n^2+5n}{4}\) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को भी विकल्पों से मिलाएँ। / \(\frac{3n^2+5n}{4}\) gives the given terms. In exams, match fractional terms with options too.
\(a_4=96\) और \(a_2=26\), इसलिए सरल अनुपात (48:13) है। परीक्षा में अनुपात सरल करना न भूलें। / \(a_4=96\) and \(a_2=26\), so the simplified ratio is (48:13). In exams, do not forget to simplify the ratio.
\(6n^2-n+4\) से (9,26,55,96) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान हों तो वर्गीय नियम देखें। / \(6n^2-n+4\) gives (9,26,55,96). In exams, check a quadratic rule when second differences are constant.
\(5^n+n-4\) से (2,23,124,625) मिलते हैं। परीक्षा में घात वाले नियम में छोटा रैखिक भाग भी जाँचें। / \(5^n+n-4\) gives (2,23,124,625). In exams, also check the small linear part in a power rule.
पहले पाँच पद (3,16,29,42,55) हैं और औसत (29) है। परीक्षा में औसत के लिए योग को पदों की संख्या से भाग दें। / The first five terms are (3,16,29,42,55), and the average is (29). In exams, divide the sum by the number of terms.
इसका नियम \(a_n=13n-10\) है और (13n-10=159) से (n=13) है। परीक्षा में दिए पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / Its rule is \(a_n=13n-10\), and (13n-10=159) gives (n=13). In exams, equate the given term to the general term.
\(n^4-n^2\) से (0,12,72,240) मिलते हैं। परीक्षा में उच्च घात वाले विकल्पों को छोटे (n) से जाँचें। / \(n^4-n^2\) gives (0,12,72,240). In exams, test higher-power options with small (n).
\(4^n+n-3\) से (2,15,64,257) मिलते हैं। परीक्षा में तेज वृद्धि में घात वाला नियम जाँचें। / \(4^n+n-3\) gives (2,15,64,257). In exams, check a power rule in rapid growth.
\(2n^2+9n+1\) से (12,27,46,69) मिलते हैं। परीक्षा में वर्गीय नियम को पहले चार पदों से जाँचें। / \(2n^2+9n+1\) gives (12,27,46,69). In exams, test the quadratic rule with the first four terms.
(n=1) पर (188) और (n=2) पर (176) मिलता है, इसलिए \(a_n=200-12n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम के पहले दो पद जाँचें। / At (n=1) it gives (188), and at (n=2) it gives (176), so \(a_n=200-12n\). In exams, check the first two terms of a decreasing sequence.
\(a_6=\frac{6\times29}{2}=87\) है। परीक्षा में पहले कोष्ठक का मान निकालें और फिर भाग दें। / \(a_6=\frac{6\times29}{2}=87\). In exams, find the bracket value first and then divide.
(\frac{n(5n-1)}{2}) से (2,9,21,38) मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न रूप वाले सामान्य पद भी जाँचें। / (\frac{n(5n-1)}{2}) gives (2,9,21,38). In exams, also check fractional-form general terms.
((n+1)3-n) से (7,25,61,121) मिलते हैं। परीक्षा में स्थानांतरित घन नियमों को जाँचें। / ((n+1)3-n) gives (7,25,61,121). In exams, check shifted cube rules.
\(a_4=3\cdot16+2\times16=80\) है। परीक्षा में घात और वर्ग दोनों जोड़ें। / \(a_4=3\cdot16+2\times16=80\). In exams, add both the power and square parts.
\(3\cdot2^n+2n^2\) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में घात और वर्ग वाले संयुक्त नियम मिलाएँ। / \(3\cdot2^n+2n^2\) gives the given terms. In exams, match combined power-and-square rules.
\(a_5=175-20+1=156\) है। परीक्षा में वर्गीय भाग से रैखिक भाग घटाएँ। / \(a_5=175-20+1=156\). In exams, subtract the linear part from the quadratic part.
\(7n^2-4n+1\) से (4,21,52,97) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान देखकर वर्गीय नियम पहचानें। / \(7n^2-4n+1\) gives (4,21,52,97). In exams, identify a quadratic rule by equal second differences.
\(5n^2+4n-1\) से (8,27,56,95) मिलते हैं। परीक्षा में पहले चार पदों पर नियम जाँचें। / \(5n^2+4n-1\) gives (8,27,56,95). In exams, test the rule on the first four terms.
\(a_8=\frac{8\times29}{2}=116\) है। परीक्षा में पहले कोष्ठक का मान निकालकर सरल करें। / \(a_8=\frac{8\times29}{2}=116\). In exams, find the bracket value first and simplify.
\(2\cdot5^{n-1}+n^2\) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में तेज वृद्धि में घात और वर्ग दोनों जाँचें। / \(2\cdot5^{n-1}+n^2\) gives the given terms. In exams, check both the power and square in rapid growth.
