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यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें पहला पद \(a=6\) और सार्वांतर \(d=5\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_{12}=6+(12-1)\times5=6+55=61\)। इसलिए सही उत्तर 61 है। 56 लेने पर \(n-1\) के स्थान पर 10 अंतर गिने जाते हैं, जबकि पहले से 12वें पद तक 11 अंतर होते हैं। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद निकालते समय सूत्र में हमेशा \((n-1)\) लिखें। / This is an arithmetic sequence with first term \(a=6\) and common difference \(d=5\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). Therefore, \(a_{12}=6+(12-1)\times5=6+55=61\). Hence, 61 is correct. Choosing 56 would count only 10 differences, whereas there are 11 differences from the first term to the 12th term. Exam tip: always use \((n-1)\), not \(n\), in the nth-term formula.
यह एक समानांतर श्रेणी है, क्योंकि प्रत्येक अगला पद 7 कम हो रहा है। अतः प्रथम पद \(a=90\), सार्वांतर \(d=-7\) और \(n=9\) है। \(a_9=a+(9-1)d=90+8(-7)=34\)। इसलिए सही उत्तर 34 है। 36 तब मिलता यदि घटाव केवल 7 बार किया जाता, पर 9वें पद तक प्रथम पद के बाद 8 अंतराल होते हैं। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के लिए हमेशा \(n-1\) अंतराल गिनें। / This is an arithmetic progression because each successive term decreases by 7. Here, \(a=90\), \(d=-7\), and \(n=9\). Thus, \(a_9=a+(9-1)d=90+8(-7)=34\). Therefore, 34 is correct. The value 36 would result from subtracting 7 only seven times, but there are eight gaps from the first term to the ninth term. Exam tip: for the \(n\)th term, always use \(n-1\) common differences.
क्रमागत पदों का अंतर देखें: 15 − 7 = 8 और 23 − 15 = 8। अतः यह एक समानांतर क्रम है जिसमें प्रत्येक पद में 8 जोड़ा जाता है। इसलिए 23 के बाद का पद 23 + 8 = 31 होगा, और 31 + 8 = 39 भी मिलता है। 29 लेने पर समान अंतर नहीं बनेगा। परीक्षा टिप: रिक्त पद वाले क्रम में पहले लगातार पदों के बीच का अंतर जाँचें। / Check the differences between consecutive terms: 15 − 7 = 8 and 23 − 15 = 8. Thus, this is an arithmetic sequence in which 8 is added each time. Therefore, the term after 23 is 23 + 8 = 31, and 31 + 8 = 39 confirms the pattern. Choosing 29 would not maintain the common difference. Exam tip: For a missing term in a sequence, first check the differences between consecutive terms.
यह एक घटता हुआ क्रम है, जिसमें प्रत्येक अगला पद पिछले पद से 8 कम है: \(110-8=102\), \(102-8=94\)। इसलिए खाली स्थान में 102 आएगा। 101 लेने पर 110 से कमी 9 होगी, इसलिए क्रम का समान अंतर नहीं बनेगा। परीक्षा टिप: रिक्त पद वाले क्रम में दोनों ओर के पदों के बीच अंतर जाँचें। / This is a decreasing sequence in which each term is 8 less than the previous term: \(110-8=102\) and \(102-8=94\). Therefore, the blank is 102. If 101 were used, the decrease from 110 would be 9, so the common difference would not remain the same. Exam tip: In a missing-term sequence, check the differences using terms on both sides of the blank.
क्रमागत पदों के बीच घटाव क्रमशः 4, 8, 12 और 16 है। ये घटाव हर बार 4 से बढ़ रहे हैं, इसलिए अगला घटाव 20 होगा। अतः अगला पद \(110-20=90\) है। 88 चुनना गलत होगा, क्योंकि उसके लिए 22 घटाना पड़ेगा। परीक्षा टिप: ऐसे क्रमों में लगातार पदों का अंतर लिखकर उसका पैटर्न जाँचें। / The successive subtractions are 4, 8, 12, and 16. Since each subtraction increases by 4, the next subtraction is 20. Therefore, the next term is \(110-20=90\). Choosing 88 would require subtracting 22, which does not follow the pattern. Exam tip: write the differences between consecutive terms to identify the pattern quickly.
क्रम में प्रत्येक पद पिछले पद को 5 से भाग देने पर प्राप्त हो रहा है: \(625\div5=125\), \(125\div5=25\) और \(25\div5=5\)। इसलिए अगला पद \(5\div5=1\) होगा। 0 तब मिलता जब 5 में से 5 घटाया जाता, पर यहाँ नियम भाग का है। परीक्षा टिप: क्रम में लगातार दो पदों का भाग लेकर गुणन या भाग का नियम पहचानें। / Each term is obtained by dividing the preceding term by 5: \(625\div5=125\), \(125\div5=25\), and \(25\div5=5\). Therefore, the next term is \(5\div5=1\). Zero would result from subtracting 5 from 5, but the pattern here is division. Exam tip: Compare consecutive terms using division to identify a multiplication or division pattern.
क्रम में क्रमागत अंतर 3, 4, 5, 6, ... हैं। अतः 21 के बाद 7 जोड़ने पर छठा पद 28, फिर 8 जोड़ने पर सातवाँ पद 36 और 9 जोड़ने पर आठवाँ पद 45 मिलता है। इसलिए सही उत्तर 45 है। 36 सातवाँ पद है, आठवाँ नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे क्रमों में पहले क्रमागत अंतरों का पैटर्न पहचानें। / The successive differences are 3, 4, 5, 6, and so on. Therefore, adding 7 to 21 gives the sixth term 28; adding 8 gives the seventh term 36; and adding 9 gives the eighth term 45. Hence, 45 is correct. Note that 36 is the seventh term, not the eighth. Exam tip: For such sequences, first identify the pattern in the consecutive differences.
क्रम में प्रत्येक पद पिछले पद का 3 गुना है: 7, 21, 63, 189, 567। अतः 567 पाँचवाँ पद है। 189 चौथा पद है, इसलिए चौथा पद वाला विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: पदों को क्रम से लिखकर उनकी स्थिति गिनें। / Each term in the sequence is 3 times the preceding term: 7, 21, 63, 189, 567. Therefore, 567 is the 5th term. Since 189 is the 4th term, the 4th-term option is incorrect. Exam tip: List the terms in order and count their positions carefully.
यह एक समांतर क्रम है, जिसमें पहला पद 12 और सार्वांतर 7 है। अतः इसका nवाँ पद
\(a_n=12+(n-1)\times7\) होगा। \(12+(n-1)\times7=75\) रखने पर \(n-1=9\), इसलिए \(n=10\)। अतः 75, 10वाँ पद है। 9वाँ पद \(68\) होता है, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद का स्थान ज्ञात करने के लिए पहले पद और सार्वांतर को पहचानकर \(a_n=a+(n-1)d\) का प्रयोग करें। / This is an arithmetic sequence with first term 12 and common difference 7. Its nth term is \(a_n=12+(n-1)\times7\). Putting \(a_n=75\), we get \(12+(n-1)\times7=75\), so \(n-1=9\) and \(n=10\). Therefore, 75 is the 10th term. The 9th term is \(68\), so option B is not correct. Exam tip: To find a term's position, identify the first term and common difference, then use \(a_n=a+(n-1)d\).
रीना कहती है कि क्रम \(2, 5, 8, 11, \ldots\) में 20 के बाद आने वाला पद 23 होगा, क्योंकि प्रत्येक पद में 3 जोड़ा जाता है। रीना के कथन का सही मूल्यांकन क्या है?
A. कथन सही है; 20 के बाद 3 जोड़ने पर 23 प्राप्त होता है।/The statement is correct; adding 3 after 20 gives 23.
Explanation
Simple Explanation
कथन सही है, क्योंकि क्रमागत पदों का अंतर \(5-2=3\), \(8-5=3\) और \(11-8=3\) है। इसलिए 20 के बाद \(20+3=23\) आएगा। परीक्षा में पहले समान अंतर जाँचें। / The statement is correct because consecutive differences are \(5-2=3\), \(8-5=3\), and \(11-8=3\). Hence, the term after 20 is \(20+3=23\). Exam tip: check the common difference first.
क्रम के प्रत्येक लगातार पद में अंतर 7 है, इसलिए यह समानांतर श्रेणी है। इसका nवाँ पद \(a_n=a_1+(n-1)d=5+(n-1)\times7=7n-2\) होगा। विकल्प \(a_n=7n+5\) में \(n=1\) रखने पर पहला पद 12 मिलता है, 5 नहीं। परीक्षा टिप: किसी नियम को जाँचने के लिए उसमें पहले पद के लिए \(n=1\) रखें। / The difference between consecutive terms is 7, so this is an arithmetic sequence. Its nth term is \(a_n=a_1+(n-1)d=5+(n-1)\times7=7n-2\). For \(a_n=7n+5\), substituting \(n=1\) gives 12, not the first term 5. Exam tip: check a proposed rule by substituting \(n=1\) for the first term.
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a_1=8\) और सार्वांतर \(d=18-8=10\) है। इसलिए \(a_n=a_1+(n-1)d=8+(n-1)10=10n-2\)। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में \(n=1\) रखने पर पहला पद \(18\) मिलता है, \(8\) नहीं। परीक्षा टिप: नियम जाँचने के लिए उसमें \(n=1\) और \(n=2\) रखकर पहले दो पद मिलाइए। / This is an arithmetic sequence with first term \(a_1=8\) and common difference \(d=18-8=10\). Hence, \(a_n=a_1+(n-1)d=8+(n-1)10=10n-2\). Therefore, option A is correct. In option B, substituting \(n=1\) gives the first term as \(18\), not \(8\). Exam tip: Test a proposed nth-term rule by substituting \(n=1\) and \(n=2\) to check the first two terms.
पाँचवाँ पद पाने के लिए नियम में \(n=5\) रखें: \(a_5=90-7(5)=90-35=55\)। इसलिए सही उत्तर 55 है। 52 लेने पर घटाव या गुणा की गणना गलत हो जाती है। परीक्षा टिप: किसी भी \(n\)वें पद के नियम में पहले \(n\) का मान कोष्ठक सहित रखें, फिर गुणा करें। / To find the fifth term, substitute \(n=5\) in the rule: \(a_5=90-7(5)=90-35=55\). Therefore, 55 is correct. Choosing 52 results from an error in multiplication or subtraction. Exam tip: In an \(n\)th-term rule, substitute the value of \(n\) first, using brackets, and then simplify.
दोनों क्रमों का समान अंतर (5) है, इसलिए पदों का अंतर हमेशा (7) रहेगा। (8)वें पदों में भी यही अंतर है। / Both sequences have common difference (5), so the term difference always remains (7). The (8)th terms also differ by (7).
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद 5 और सार्वांतर 7 है। पहले 6 पद 5, 12, 19, 26, 33 और 40 हैं। इनका योग 135 है। 138 तब प्राप्त हो सकता है जब पदों को जोड़ने में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: समांतर श्रेणी के लिए सीधे सूत्र \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) का भी उपयोग कर सकते हैं। / This is an arithmetic progression with first term 5 and common difference 7. Its first 6 terms are 5, 12, 19, 26, 33, and 40, whose sum is 135. A result such as 138 can arise from an error while adding the terms. Exam tip: You can also use \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) directly for an arithmetic progression.
क्रम के पदों में प्रत्येक बार 7 की कमी हो रही है। अतः पहले 5 पद 72, 65, 58, 51 और 44 हैं। इनका योग 72+65+58+51+44=290 है, इसलिए सही विकल्प C है। 285 प्राप्त होना जोड़ में त्रुटि के कारण हो सकता है। परीक्षा टिप: पदों का योग निकालने से पहले आवश्यक पदों को क्रम से लिख लें। / Each term in the sequence decreases by 7. Therefore, the first 5 terms are 72, 65, 58, 51, and 44. Their sum is 72+65+58+51+44=290, so option C is correct. A value such as 285 can result from an addition error. Exam tip: Write all the required terms in order before adding them.
यह एक समान्तर श्रेणी है, जिसमें पहला पद \(a=4\) और सार्वांतर \(d=6\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होगा। अतः \(4+(n-1)\times6=58\) से \(n-1=9\), इसलिए \(n=10\)। अतः 58, 10वाँ पद है। 9वाँ पद \(52\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए पहले \(a_n=a+(n-1)d\) में दिए गए पद का मान रखें। / This is an arithmetic progression with first term \(a=4\) and common difference \(d=6\). Its \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(4+(n-1)\times6=58\) gives \(n-1=9\), so \(n=10\). Therefore, 58 is the 10th term. The 9th term is \(52\), so it is not correct. Exam tip: To find the position of a given term in an AP, substitute that term for \(a_n\) in \(a_n=a+(n-1)d\).
यह एक समांतर क्रम है, जिसमें प्रथम पद 7 और सार्वांतर 5 है। अतः छठा पद 32 तथा सातवाँ पद 37 होगा। इसलिए \(a_6+a_7=32+37=69\)। 64 जैसे विकल्प में पदों की सही स्थिति या सार्वांतर का प्रयोग नहीं हुआ है। परीक्षा में पहले आवश्यक पद अलग-अलग लिखकर फिर उनका योग करें। / This is an arithmetic sequence with first term 7 and common difference 5. Therefore, the sixth term is 32 and the seventh term is 37. Hence, \(a_6+a_7=32+37=69\). An option such as 64 results from using an incorrect term position or common difference. In exams, write the required terms separately before adding them.
यह एक समान्तर क्रम है, जिसमें प्रत्येक पद में 7 की वृद्धि होती है। अतः \(a_4=39\) और \(a_7=18+6\times 7=60\) होगा। इसलिए \(a_7-a_4=60-39=21\)। विकल्प 18 केवल पदों के अंतर को गलत गिनने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: समान्तर क्रम में \(a_n-a_m=(n-m)d\) का उपयोग करके अंतर सीधे ज्ञात किया जा सकता है। / This is an arithmetic sequence with common difference 7. Thus, \(a_4=39\) and \(a_7=18+6\times 7=60\). Therefore, \(a_7-a_4=60-39=21\). Option 18 may result from counting the gap between the terms incorrectly. Exam tip: In an arithmetic sequence, use \(a_n-a_m=(n-m)d\) to find the difference directly.
यह एक समानांतर श्रेणी है, जिसका सार्वांतर \(5\) है। \(a_2=17\) और \(a_6=12+(6-1)\times5=37\) होगा। अतः अंतर \(a_6-a_2=37-17=20\) है। \(25\) लेने पर पदों की संख्या के बजाय अंतरालों की संख्या गलत गिनी जाती है। परीक्षा टिप: दो पदों का अंतर निकालने के लिए \(a_n-a_m=(n-m)d\) का प्रयोग करें। / This is an arithmetic progression with common difference \(5\). Here, \(a_2=17\) and \(a_6=12+(6-1)\times5=37\). Therefore, \(a_6-a_2=37-17=20\). Choosing \(25\) incorrectly counts five intervals instead of the four intervals between the 2nd and 6th terms. Exam tip: use \(a_n-a_m=(n-m)d\) to find the difference between two terms.
C. प्रत्येक पद पिछले पद में एक नियत संख्या जोड़कर प्राप्त होता है/Each term is obtained by adding a fixed number to the preceding term
Explanation
Simple Explanation
समांतर श्रेणी में प्रत्येक पद, पिछले पद में एक ही नियत संख्या (सार्वांतर) जोड़ने पर मिलता है। उदाहरण के लिए, 5, 9, 13 में प्रत्येक बार 4 जोड़ा गया है। क्रमागत पदों का स्थिर अंतर भी इसी गुण का समतुल्य कथन है, इसलिए मूल विकल्पों में A और C दोनों सही होते; एक ही सही उत्तर सुनिश्चित करने के लिए C को परिभाषात्मक रूप में रखा गया है। स्थिर अनुपात गुणोत्तर श्रेणी का गुण है। परीक्षा में लगातार दो अंतरों की तुलना करें। / In an arithmetic progression, each term is obtained by adding the same fixed number, called the common difference, to the preceding term. For example, in 5, 9, 13, 4 is added each time. A constant difference between consecutive terms is an equivalent statement, so the original options A and C would both have been correct; C is retained as the definitional form to ensure one correct answer. A constant ratio identifies a geometric progression. Exam tip: compare consecutive differences.
यह एक समान्तर श्रेणी है, जिसमें पहला पद 96 और सार्वांतर \(-9\) है। सातवें पद तक पहुँचने के लिए 6 बार 9 घटाया जाएगा: \(a_7=96-6\times9=96-54=42\)। इसलिए सही उत्तर 42 है। 48 पाने पर केवल 5 बार घटाव माना जाता है, जो छठे पद के लिए होगा। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद तक पहले पद से कुल \(n-1\) परिवर्तन होते हैं। / This is an arithmetic sequence with first term 96 and common difference \(-9\). To reach the seventh term, 9 is subtracted 6 times: \(a_7=96-6\times9=96-54=42\). Therefore, 42 is correct. The value 48 results from subtracting 9 only 5 times, which gives the sixth term. Exam tip: From the first term to the \(n\)th term, there are \(n-1\) changes.
क्रम के क्रमागत अंतरों को देखें: \(11-6=5\), \(21-11=10\), \(36-21=15\) और \(56-36=20\)। अंतर प्रत्येक बार \(5\) बढ़ रहा है, इसलिए अगला अंतर \(25\) होगा। अतः अगला पद \(56+25=81\) है। विकल्प 84 लेने पर अंतर \(28\) होगा, जो इस पैटर्न के अनुसार नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे क्रमों में पहले क्रमागत पदों के अंतर लिखकर पैटर्न जाँचें। / Look at the differences between consecutive terms: \(11-6=5\), \(21-11=10\), \(36-21=15\), and \(56-36=20\). The difference increases by \(5\) each time, so the next difference is \(25\). Hence, the next term is \(56+25=81\). Choosing 84 would give a difference of \(28\), which does not follow the pattern. Exam tip: for such sequences, first list the consecutive differences to identify the pattern.
यह एक समांतर श्रेणी है, जिसमें पहला पद 9 और सार्वांतर 6 है। पहले 5 पद 9, 15, 21, 27 और 33 हैं। इनका योग 9+15+21+27+33=105 है, इसलिए सही उत्तर 5 है। 4 पदों का योग केवल 72 होता है। परीक्षा टिप: पदों की संख्या ज्ञात करने के लिए क्रमशः पद जोड़कर योग की जाँच करें। / This is an arithmetic sequence with first term 9 and common difference 6. Its first 5 terms are 9, 15, 21, 27, and 33. Their sum is 9+15+21+27+33=105, so the correct answer is 5. The sum of the first 4 terms is only 72. Exam tip: When the number of terms is small, add consecutive terms to verify the required sum quickly.
इस क्रम में प्रत्येक अगला पद पिछले पद में 8 जोड़कर बनता है: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56। इसलिए 56 से ठीक पहले आने वाला पद 48 है। 52 सही नहीं है, क्योंकि वह इस क्रम का पद नहीं है। परीक्षा टिप: किसी क्रम में पिछले पद के लिए दो क्रमागत पदों का अंतर पहचानें। / Each term in this sequence is obtained by adding 8 to the previous term: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56. Therefore, the term immediately before 56 is 48. Option 52 is not correct because it is not a term of this sequence. Exam tip: To find a previous term, first identify the common difference between consecutive terms.
यह एक समानांतर क्रम है, क्योंकि प्रत्येक पद में 5 जोड़ा जा रहा है। यहाँ प्रथम पद \(a=14\) और सार्वांतर \(d=5\) है। अतः \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d=14+(n-1)\times5=5n+9\) होगा। विकल्प \(5n+14\) में \(n=1\) रखने पर 19 मिलता है, इसलिए वह प्रथम पद के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले पद और सार्वांतर से \(a_n=a+(n-1)d\) लिखें। / This is an arithmetic sequence because 5 is added to each term. Here, the first term is \(a=14\) and the common difference is \(d=5\). Therefore, \(a_n=a+(n-1)d=14+(n-1)\times5=5n+9\). In \(5n+14\), putting \(n=1\) gives 19, so it does not produce the first term. Exam tip: identify the first term and common difference, then use \(a_n=a+(n-1)d\).
यह एक समानांतर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद \(a_1=84\) और सार्वांतर \(d=-8\) है। इसलिए \(a_n=a_1+(n-1)d=84-8(n-1)=92-8n\)। विकल्प B में \(n=1\) रखने पर 76 मिलता है, इसलिए वह प्रथम पद से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: नियम जाँचने के लिए हमेशा \(n=1\) रखकर पहला पद मिलाइए। / This is an arithmetic progression with first term \(a_1=84\) and common difference \(d=-8\). Hence, \(a_n=a_1+(n-1)d=84-8(n-1)=92-8n\). In option B, putting \(n=1\) gives 76, so it does not match the first term. Exam tip: verify an nth-term rule by substituting \(n=1\) and checking the first term.
क्रम का प्रत्येक पद पिछले पद का 4 गुना है। अतः इसका सामान्य पद \(a_n=5\times4^{n-1}\) होगा। \(5\times4^{n-1}=1280\) से \(4^{n-1}=256=4^4\), इसलिए \(n-1=4\) और \(n=5\)। \(n=4\) पर पद 320 है, 1280 नहीं। परीक्षा टिप: पदों के बीच समान गुणनफल दिखे तो उसे गुणोत्तर क्रम मानकर सामान्य पद का उपयोग करें। / Each term is 4 times the preceding term. Therefore, the general term is \(a_n=5\times4^{n-1}\). From \(5\times4^{n-1}=1280\), we get \(4^{n-1}=256=4^4\). Hence, \(n-1=4\) and \(n=5\). For \(n=4\), the term is 320, not 1280. Exam tip: when consecutive terms have a common multiplier, treat the sequence as a geometric progression and use its general term.
क्रमागत पदों के अंतर हैं: \(18-12=6\), \(27-18=9\) और \(39-27=12\)। ये अंतर हर बार 3 बढ़ रहे हैं, इसलिए अगला अंतर \(15\) होगा। अतः अगला पद \(39+15=54\) है। 51 लेने पर अंतर केवल 12 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले क्रमागत पदों का अंतर लिखकर उसका पैटर्न जाँचें। / The differences between consecutive terms are \(18-12=6\), \(27-18=9\), and \(39-27=12\). Since these differences increase by 3 each time, the next difference is \(15\). Therefore, the next term is \(39+15=54\). Choosing 51 would give a difference of only 12, so it does not continue the pattern. Exam tip: Write the consecutive differences first, then identify their pattern.
