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यहाँ H(d)=15+3d में d का गुणांक +3 है। d के प्रत्येक एकक बढ़ने पर पौधे की ऊंचाई 3 सेमी बढ़ती है, इसलिए यह रैखिक वृद्धि है। रैखिक क्षय में d का गुणांक ऋणात्मक होता, जैसे 15-3d। परीक्षा टिप: y=a+bx में b>0 हो तो वृद्धि और b<0 हो तो क्षय होता है। / In H(d)=15+3d, the coefficient of d is +3. For every one-unit increase in d, the plant’s height increases by 3 cm, so it represents linear growth. Linear decay would have a negative coefficient of d, such as 15-3d. Exam tip: in y=a+bx, b>0 indicates growth and b<0 indicates decay.
यहाँ W(t)=90-5t में t का गुणांक -5 है। इसका अर्थ है कि समय की प्रत्येक इकाई पर पानी की मात्रा 5 लीटर कम होती है। क्योंकि कमी की दर स्थिर है, यह रेखीय क्षय है। स्थिर मात्रा में t का पद नहीं होता, जबकि घातीय क्षय में चर घात में होता है। परीक्षा टिप: y=a+bt में b<0 होने पर रेखीय क्षय होता है। / In W(t)=90-5t, the coefficient of t is -5. This means the amount of water decreases by 5 litres for every unit increase in time. Since the rate of decrease is constant, it is linear decay. A constant quantity has no t-term, while exponential decay has the variable in the exponent. Exam tip: In y=a+bt, b<0 indicates linear decay.
आरंभिक मान वह मान है जो स्वतंत्र चर के शून्य होने पर मिलता है। यहाँ \(n=0\) रखने पर \(A(0)=22+4(0)=22\) मिलता है, इसलिए सही उत्तर 22 है। 4 वृद्धि की दर (प्रति \(n\) वृद्धि) है, जबकि 26, \(n=1\) पर प्राप्त मान है। परीक्षा टिप: रेखीय नियम \(a+bn\) में आरंभिक मान स्थिर पद \(a\) होता है। / The initial value is the value when the independent variable is zero. Putting \(n=0\), we get \(A(0)=22+4(0)=22\), so 22 is correct. Here, 4 is the rate of increase per unit of \(n\), while 26 is the value at \(n=1\). Exam tip: In a linear rule \(a+bn\), the initial value is the constant term \(a\).
रेखीय नियम में t का गुणांक प्रति इकाई परिवर्तन दर बताता है। यहाँ B(t)=130-8t में t का गुणांक -8 है, इसलिए t में 1 की वृद्धि होने पर B का मान 8 घटता है। 8 केवल कमी का परिमाण है, जबकि सही दर -8 है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक a+bt में परिवर्तन दर हमेशा t का गुणांक b होती है। / In a linear rule, the coefficient of t gives the rate of change per unit. In B(t)=130-8t, the coefficient of t is -8, so B decreases by 8 whenever t increases by 1. The value 8 is only the magnitude of the decrease; the rate itself is -8. Exam tip: in a linear expression a+bt, the rate of change is always the coefficient b of t.
रैखिक बहुपद की घात 1 होती है और इसका सामान्य रूप \(ax+b\) है, जहाँ \(a\ne0\)। \(5x-3\) में x की उच्चतम घात 1 है। \(x²+2x+1\) द्विघात है, जबकि 7 अचर बहुपद है। परीक्षा टिप: उच्चतम घात देखकर बहुपद की कोटि पहचानें। / A linear polynomial has degree 1 and is of the form \(ax+b\), where \(a\ne0\). In \(5x-3\), the highest power of x is 1. \(x²+2x+1\) is quadratic, while 7 is constant. Exam tip: identify the degree by checking the highest exponent.
दिया है कि \(R(h)=84-6h\)। \(h=7\) रखने पर \(R(7)=84-6\times7=84-42=42\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 42 है। 48 तब मिलता यदि घटाने के बजाय गलत गणना की जाए। परीक्षा टिप: मान ज्ञात करते समय पहले चर के स्थान पर संख्या रखें, फिर गुणा और घटाव का क्रम सही रखें। / Given \(R(h)=84-6h\). Substituting \(h=7\), we get \(R(7)=84-6\times7=84-42=42\). Therefore, 42 is correct. The value 48 would result from an incorrect calculation instead of applying the multiplication and subtraction properly. Exam tip: substitute the given value first, then follow the order of operations.
नियम \(y=18+6x\) में \(x\) का गुणांक \(+6\) है। इसलिए \(x\) के प्रत्येक 1 बढ़ने पर \(y\) 6 बढ़ता है; अतः समान वृद्धि 6 प्रति चरण है। \(y=18-6x\) में 6 प्रति चरण की कमी होती है, जबकि \(y=x^2+6\) में वृद्धि समान नहीं रहती। परीक्षा टिप: रैखिक नियम \(y=a+bx\) में \(b\) प्रति चरण परिवर्तन बताता है। / In \(y=18+6x\), the coefficient of \(x\) is \(+6\). Therefore, whenever \(x\) increases by 1, \(y\) increases by 6, giving equal growth of 6 per step. In \(y=18-6x\), there is a decrease of 6 per step, while \(y=x^2+6\) does not have a constant rate of growth. Exam tip: In a linear rule \(y=a+bx\), \(b\) gives the change per step.
नियम \(y=60-4x\) में \(x\) का गुणांक \(-4\) है। इसलिए \(x\) में 1 की वृद्धि होने पर \(y\) का मान हर चरण में 4 कम होता है। \(y=60+4x\) में 4 की वृद्धि होती है, जबकि \(y=60\) में कोई परिवर्तन नहीं होता। परीक्षा टिप: रैखिक नियम \(y=a+bx\) में \(x\) का गुणांक \(b\) प्रति चरण परिवर्तन बताता है। / In \(y=60-4x\), the coefficient of \(x\) is \(-4\). Therefore, when \(x\) increases by 1, \(y\) decreases by 4 at each step. In \(y=60+4x\), the value increases by 4, while \(y=60\) has no change. Exam tip: In a linear rule \(y=a+bx\), the coefficient \(b\) gives the change per step.
दिया गया व्यंजक \(C(d)=17+2d\) है। इसमें \(d\) का गुणांक \(2\) है, इसलिए \(d\) में \(1\) की वृद्धि करने पर \(C(d)\) में \(2\times1=2\) की वृद्धि होगी। \(17\) स्थिर पद है; यह वृद्धि की दर को प्रभावित नहीं करता। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक \(a+bd\) में प्रति इकाई परिवर्तन \(d\) के गुणांक \(b\) के बराबर होता है। / The expression is \(C(d)=17+2d\). The coefficient of \(d\) is \(2\), so when \(d\) increases by \(1\), \(C(d)\) increases by \(2\times1=2\). The constant term \(17\) does not affect the rate of increase. Exam tip: in a linear expression \(a+bd\), the change per unit increase in \(d\) is the coefficient \(b\).
गुणांक (-9) है इसलिए मान हर चरण में (9) घटता है। घटने की मात्रा धनात्मक रूप में (9) है। / The coefficient is (-9), so the value decreases by (9) each step. The amount of decrease is (9) in positive form.
दिया है, \(Q(w)=30+8w\)। \(w=5\) रखने पर \(Q(5)=30+8\times5=30+40=70\)। अतः विद्यार्थी ने 70 प्रश्न हल किए होंगे। विकल्प 40 केवल \(8\times5\) है; इसमें प्रारम्भिक 30 प्रश्न शामिल नहीं हैं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में चर का मान रखने के बाद गुणा पहले करें, फिर जोड़ या घटाव करें। / Given \(Q(w)=30+8w\). Substituting \(w=5\), \(Q(5)=30+8\times5=30+40=70\). Therefore, the student will have solved 70 questions. Option 40 represents only \(8\times5\) and misses the initial 30 questions. Exam tip: after substituting a value in a linear expression, multiply first and then add or subtract.
दिया है, \(S(d)=64-3d\)। \(d=8\) रखने पर \(S(8)=64-3\times8=64-24=40\) kg मिलता है। इसलिए सही उत्तर 40 kg है। 56 kg तब मिलता यदि 3 को 8 से घटाया जाता, जो दिए गए व्यंजक के अनुसार गलत है। परीक्षा टिप: मान रखने से पहले कोष्ठक और गुणा को ध्यान से लिखें। / Given \(S(d)=64-3d\). Substituting \(d=8\), \(S(8)=64-3\times8=64-24=40\) kg. Therefore, 40 kg is correct. The value 56 kg would result from subtracting 8 from 64, which does not follow the given expression. Exam tip: Write the substitution with brackets and perform multiplication before subtraction.
x के स्थान पर 6 रखने पर M(6)=25+5(6)=25+30=55 प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 55 है। 30 केवल 5×6 का मान है; इसमें स्थिर पद 25 जोड़ना भी आवश्यक है। परीक्षा में मान ज्ञात करते समय चर के स्थान पर संख्या रखकर गुणा पहले करें, फिर जोड़ें। / Substitute 6 for x: M(6)=25+5(6)=25+30=55. Therefore, 55 is the correct option. The value 30 is only 5×6; the constant term 25 must also be added. In exams, substitute the given value first, then multiply before adding.
दिया है \(N(x)=58-2x\)। \(x=9\) रखने पर \(N(9)=58-2(9)=58-18=40\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर \(40\) है। \(42\) निकट का भ्रामक विकल्प हो सकता है, लेकिन वह \(58-16\) करने पर मिलता है, जबकि \(2\times 9=18\) होता है। परीक्षा टिप: फलन का मान ज्ञात करते समय पहले चर के स्थान पर दी गई संख्या रखें, फिर गुणा करें। / Given \(N(x)=58-2x\). Substituting \(x=9\), we get \(N(9)=58-2(9)=58-18=40\). Hence, the correct answer is \(40\). The close distractor \(42\) would result from subtracting 16, but \(2\times9=18\). Exam tip: while evaluating a function, substitute the given value first and complete multiplication before subtraction.
रैखिक नियम का सामान्य रूप \(y=a+bx\) होता है, जहाँ \(a\) आरंभिक मान और \(b\) वृद्धि दर है। \(y=33+4x\) में नियत पद \(33\) है और \(x\) का गुणांक \(+4\) है, इसलिए यह सही नियम है। \(y=33-4x\) में आरंभिक मान 33 तो है, लेकिन \(-4\) कमी दर दर्शाता है, वृद्धि दर नहीं। परीक्षा टिप: आरंभिक मान के लिए \(x=0\) रखें और वृद्धि/कमी दर के लिए \(x\) का गुणांक देखें। / A linear rule has the form \(y=a+bx\), where \(a\) is the initial value and \(b\) is the growth rate. In \(y=33+4x\), the constant term is \(33\) and the coefficient of \(x\) is \(+4\), so it is the correct rule. Although \(y=33-4x\) starts at 33, its rate is \(-4\), which represents decay rather than growth. Exam tip: put \(x=0\) to identify the initial value, and check the coefficient of \(x\) for the growth or decay rate.
रैखिक नियम का रूप \(y=a+bx\) होता है, जहाँ \(a\) आरंभिक मान है। क्षय दर 12 होने पर प्रत्येक \(x\) इकाई बढ़ने पर मान 12 घटता है, इसलिए \(x\) का गुणांक \(-12\) होगा। अतः नियम \(y=96-12x\) है। \(y=96+12x\) में 12 की वृद्धि दर है, क्षय नहीं। परीक्षा टिप: आरंभिक मान पाने के लिए \(x=0\) रखें और क्षय के लिए ढाल ऋणात्मक देखें। / A linear rule has the form \(y=a+bx\), where \(a\) is the initial value. A decay rate of 12 means that the value decreases by 12 for every increase of 1 in \(x\), so the coefficient of \(x\) must be \(-12\). Therefore, the rule is \(y=96-12x\). The rule \(y=96+12x\) represents growth at a rate of 12, not decay. Exam tip: put \(x=0\) to check the initial value, and look for a negative slope for decay.
t के स्थान पर 0 रखने पर F(0)=41+6(0)=41 प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 41 है। 6, t का गुणांक है, जो वृद्धि की दर बताता है; यह आरंभिक मान नहीं है। परीक्षा टिप: किसी रैखिक व्यंजक a+bt में t=0 पर मान हमेशा a होता है। / Substitute t=0: F(0)=41+6(0)=41. Therefore, the correct answer is 41. The number 6 is the coefficient of t and represents the rate of increase, not the initial value. Exam tip: for a linear expression a+bt, its value at t=0 is always a.
आरंभिक मान ज्ञात करने के लिए फलन में \(t=0\) रखें: \(G(0)=115-5(0)=115\)। अतः सही उत्तर 115 है। 110 तब मिलता है जब \(t=1\) रखा जाए, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: \(G(0)\) पूछे जाने पर स्थिर पद ही आरंभिक मान होता है। / To find the initial value, substitute \(t=0\): \(G(0)=115-5(0)=115\). Therefore, the correct answer is 115. The value 110 is obtained when \(t=1\), so it is a close but incorrect option. Exam tip: for \(G(0)\), the constant term gives the initial value.
दिया है कि L(t)=13+4t। अतः L(7)=13+4(7)=41 और L(3)=13+4(3)=25। इसलिए L(7)-L(3)=41-25=16। विकल्प 28 केवल L(7) के 4t वाले भाग से भ्रम होने पर आ सकता है, लेकिन प्रश्न दोनों फलनों का अंतर पूछता है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक a+bt में L(x)-L(y)=b(x-y) होता है। / Given L(t)=13+4t, L(7)=13+4(7)=41 and L(3)=13+4(3)=25. Therefore, L(7)-L(3)=41-25=16. Option 28 may result from confusing the value at 7 with the required difference, but the question asks for the difference of two function values. Exam tip: For a linear expression a+bt, L(x)-L(y)=b(x-y).
दिया है T(t)=140-10t। अतः T(2)=140-10(2)=120 और T(6)=140-10(6)=80। इसलिए T(2)-T(6)=120-80=40। विकल्प 60 तब मिलता यदि घटाव या 10t वाले पद की गणना गलत की जाए। परीक्षा टिप: पहले दोनों t-मानों को फलन में अलग-अलग रखकर फिर उनके मानों का अंतर निकालें। / Given T(t)=140-10t, we get T(2)=140-10(2)=120 and T(6)=140-10(6)=80. Therefore, T(2)-T(6)=120-80=40. The value 60 can result from an incorrect subtraction or an error while evaluating the 10t term. Exam tip: Substitute each value of t separately first, then subtract the two function values.
यहाँ x का गुणांक 0 है, इसलिए x का मान बदलने पर भी y=27 ही रहता है। अतः यह स्थिर मान दर्शाता है। रेखीय वृद्धि या क्षय के लिए x का गुणांक क्रमशः धनात्मक या ऋणात्मक होना चाहिए, शून्य नहीं। परीक्षा टिप: y=a+bx में b=0 होने पर मान स्थिर होता है। / Here, the coefficient of x is 0, so y remains 27 even when x changes. Therefore, it represents a constant value. For linear growth or decay, the coefficient of x must be positive or negative respectively, not zero. Exam tip: In y=a+bx, the value is constant when b=0.
रेखीय व्यंजक के रूप में \(Z(t)=a+bt\) में \(t\) का गुणांक \(b\) वृद्धि दर दर्शाता है। यहाँ \(t\) का गुणांक \(9\) है, इसलिए वृद्धि दर 9 है। \(16\) प्रारम्भिक मान है, वृद्धि दर नहीं। परीक्षा टिप: रेखीय फलन में चर के साथ गुणा हो रही संख्या को पहचानें। / In a linear expression \(Z(t)=a+bt\), the coefficient \(b\) of \(t\) represents the growth rate. Here, the coefficient of \(t\) is \(9\), so the growth rate is 9. The number \(16\) is the initial value, not the growth rate. Exam tip: In a linear function, identify the number multiplying the variable.
यहाँ t का गुणांक -18 है, इसलिए V(t) प्रत्येक इकाई समय में 18 से घटता है। क्षय दर का परिमाण ऋण चिह्न को हटाकर लिया जाता है, अतः वह 18 है। विकल्प -18 परिवर्तन की signed rate है, पर उसका परिमाण नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक a+bt में दर b होती है और उसका परिमाण |b| होता है। / The coefficient of t is -18, so V(t) decreases by 18 units for every unit increase in time. The magnitude of the decay rate ignores the negative sign, so it is 18. Option -18 is the signed rate of change, not its magnitude. Exam tip: In a linear expression a+bt, the rate is b and its magnitude is |b|.
आरंभिक राशि 12 है, इसलिए नियम का स्थिर पद 12 होगा। हर चरण में 5 की वृद्धि होने पर x का गुणांक +5 होगा। अतः नियम \(y=12+5x\) है। \(y=12-5x\) में राशि घटती है, इसलिए वह वृद्धि को नहीं दर्शाता। परीक्षा टिप: रैखिक नियम में आरंभिक मान स्थिर पद और प्रति चरण परिवर्तन x का गुणांक होता है। / The starting quantity is 12, so the constant term must be 12. Since the quantity increases by 5 at each step, the coefficient of x is +5. Therefore, the rule is \(y=12+5x\). In \(y=12-5x\), the quantity decreases, so it does not represent growth. Exam tip: In a linear rule, the starting value is the constant term and the change per step is the coefficient of x.
रेखीय नियम का रूप \(y=a+mx\) होता है, जहाँ \(a\) प्रारंभिक मान और \(m\) प्रत्येक चरण का परिवर्तन है। यहाँ प्रारंभिक मान 66 है तथा राशि हर चरण 3 घटती है, इसलिए \(m=-3\) होगा। अतः नियम \(y=66-3x\) है। \(y=66+3x\) में राशि 3 प्रति चरण बढ़ती है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ‘घटती है’ को ढाल के ऋणात्मक होने से जोड़ें। / A linear rule has the form \(y=a+mx\), where \(a\) is the initial value and \(m\) is the change per step. Here, the initial value is 66 and the quantity decreases by 3 each step, so \(m=-3\). Therefore, the rule is \(y=66-3x\). The rule \(y=66+3x\) represents an increase of 3 per step, so it is not correct. Exam tip: the phrase “decreases by” indicates a negative slope.
दिया है E(t)=21+11t। अतः E(4)=21+11×4=65 और E(5)=21+11×5=76। इसलिए अंतर 76−65=11 है। 21 स्थिर पद है, जबकि लगातार t-मानों के बीच परिवर्तन 11 के गुणांक से निर्धारित होता है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक a+bt में लगातार दो मानों का अंतर हमेशा b होता है। / Given E(t)=21+11t, E(4)=21+11×4=65 and E(5)=21+11×5=76. Therefore, the difference is 76−65=11. The constant term 21 does not affect the change between consecutive values; it is determined by the coefficient 11. Exam tip: in a linear expression a+bt, the difference between consecutive values is always b.
Y(3)=96-12(3)=60 और Y(4)=96-12(4)=48। अतः 60 से 48 तक की कमी 60-48=12 है। यहाँ -12t का अर्थ है कि t में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर Y का मान 12 घटता है; 24 दो चरणों की कमी होती। परीक्षा टिप: लगातार मानों के बीच कमी ज्ञात करने के लिए गुणांक का परिमाण देखें। / Y(3)=96-12(3)=60 and Y(4)=96-12(4)=48. Therefore, the decrease from 60 to 48 is 60-48=12. The term -12t means that Y decreases by 12 whenever t increases by 1; 24 would be the decrease over two steps. Exam tip: for consecutive values in a linear expression, use the magnitude of the coefficient of t.
\(12-3t\) में \(t\) का गुणांक \(-3\) है, इसलिए समय बढ़ने पर मान हर इकाई समय में 3 घटता है। \(3t+12\) वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय के लिए \(t\) का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In \(12-3t\), the coefficient of \(t\) is \(-3\), so the value falls by 3 for each unit increase in time. \(3t+12\) represents growth. Exam tip: for linear decay, check for a negative coefficient of \(t\).
\(P(t)=15-6t\) में \(t\) का गुणांक \(-6\) है, इसलिए हर 1 समय-इकाई पर राशि 6 घटती है। विकल्प A रैखिक वृद्धि है; परीक्षा में ऋणात्मक ढाल को कमी पहचानें। / In \(P(t)=15-6t\), the coefficient of \(t\) is \(-6\), so the quantity falls by 6 per time unit. Option A shows growth; in exams, a negative slope indicates linear decay.
समीकरण y=19+7x रेखीय रूप में है और x का गुणांक 7 धनात्मक है। अतः x के प्रत्येक 1 इकाई बढ़ने पर y, 7 इकाई बढ़ता है; इसलिए यह रेखीय वृद्धि है। रेखीय क्षय में x का गुणांक ऋणात्मक होता है। परीक्षा टिप: y=a+bx में b का चिह्न वृद्धि या क्षय बताता है। / The equation y=19+7x is linear, and the coefficient of x is +7. Thus, when x increases by 1 unit, y increases by 7 units, so it represents linear growth. In linear decay, the coefficient of x would be negative. Exam tip: In y=a+bx, the sign of b indicates growth or decay.
यहाँ y = 52 - 4x में x का गुणांक -4 है। x के मान में 1 की वृद्धि होने पर y का मान 4 घटता है, इसलिए यह रेखीय क्षय दर्शाता है। यह स्थिर फलन नहीं है, क्योंकि x बदलने पर y भी बदलता है। परीक्षा टिप: y = a + bx में b धनात्मक हो तो रेखीय वृद्धि और b ऋणात्मक हो तो रेखीय क्षय होता है। / In y = 52 - 4x, the coefficient of x is -4. When x increases by 1, y decreases by 4, so the relation represents linear decay. It is not a constant function because y changes when x changes. Exam tip: In y = a + bx, a positive b indicates linear growth and a negative b indicates linear decay.
दिया है कि U(t)=9t+14। t=7 रखने पर U(7)=9×7+14=63+14=77 मिलता है। इसलिए सही विकल्प 77 है। 63 केवल 9×7 का मान है; इसमें स्थिर पद 14 अभी जोड़ा नहीं गया है। परीक्षा टिप: किसी फलन का मान निकालते समय पहले चर के स्थान पर दिया गया मान रखें, फिर गणना के क्रम का पालन करें। / Given U(t)=9t+14, substitute t=7: U(7)=9×7+14=63+14=77. Hence, 77 is the correct option. The value 63 is only 9×7 and does not include the constant term 14. Exam tip: To evaluate a function, substitute the given input first and then follow the order of operations.
दिया है, \(J(t)=100-6t\)। \(t=11\) रखने पर \(J(11)=100-6(11)=100-66=34\)। अतः सही उत्तर 34 है। 44 प्राप्त करने के लिए घटाव या गुणा में गलती होगी। परीक्षा टिप: मान ज्ञात करते समय पहले चर के स्थान पर दिया गया मान रखकर गुणा करें, फिर जोड़ या घटाव करें। / Given \(J(t)=100-6t\). Substituting \(t=11\), \(J(11)=100-6(11)=100-66=34\). Therefore, the correct answer is 34. Getting 44 would result from an error in multiplication or subtraction. Exam tip: substitute the given value first, multiply, and then perform addition or subtraction.
यहाँ \(X(6)=18+8\times6=66\) और \(X(0)=18\) है। अतः अंतर \(66-18=48\) होगा। विकल्प 66, \(X(6)\) का मान है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक \(a+bt\) में \(t\) के दो मानों के बीच अंतर निकालते समय स्थिर पद \(a\) कट जाता है। / Here, \(X(6)=18+8\times6=66\) and \(X(0)=18\). Therefore, the difference is \(66-18=48\). Option 66 is the value of \(X(6)\), not the difference. Exam tip: when finding the difference between two values of a linear expression \(a+bt\), the constant term \(a\) cancels out.
यहाँ K(0)=160-8(0)=160 और K(12)=160-8(12)=64 है। अतः K(0)-K(12)=160-64=96। विकल्प 64, K(12) का मान है, अंतर का नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक ह्रास में 8×12=96 सीधे कुल कमी देता है। / Here, K(0)=160-8(0)=160 and K(12)=160-8(12)=64. Therefore, K(0)-K(12)=160-64=96. Option 64 is the value of K(12), not the difference. Exam tip: in linear decay, 8×12=96 directly gives the total decrease.
\(y=20-2x\) में x का गुणांक \(-2\) है, इसलिए x के प्रत्येक 1 बढ़ने पर y 2 घटता है। यह स्थिर दर वाला रैखिक ह्रास है। परीक्षा टिप: रैखिक नियम में x की घात 1 होती है। / In \(y=20-2x\), the coefficient of x is \(-2\), so y falls by 2 for every increase of 1 in x. This is linear decay at a constant rate. Exam tip: a linear rule has x to the power 1.
C. प्रति चरण कमी की मात्रा/Amount of decrease per step
Explanation
Simple Explanation
नियम में
y=125-5x
में
-5x
का अर्थ है कि
x
के प्रत्येक 1 बढ़ने पर
y
का मान 5 घटता है। इसलिए 5 प्रति चरण कमी की मात्रा बताता है। 125 आरंभिक मान है, जबकि वृद्धि की दर धनात्मक गुणांक होने पर होती। परीक्षा टिप: रैखिक नियम
y=a+bx
में
b
की ऋणात्मकता कमी दर्शाती है और उसका परिमाण कमी की मात्रा बताता है। / In
y=125-5x
, the term
-5x
means that when
x
increases by 1, the value of
y
decreases by 5. Therefore, 5 is the amount of decrease per step. The number 125 is the initial value; a positive coefficient would indicate growth. Exam tip: In a linear rule
y=a+bx
, a negative
b
indicates decrease, and its magnitude gives the decrease per step.
t=0 रखने पर P(0)=a+7(0)=a प्राप्त होता है। दिया है कि P(0)=31, इसलिए a=31। 7 वृद्धि की दर है, प्रारम्भिक मान नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक a+bt में t=0 पर मान हमेशा a होता है। / Substitute t=0: P(0)=a+7(0)=a. Since P(0)=31, a=31. The number 7 is the rate of increase, not the initial value. Exam tip: in a linear expression a+bt, the value at t=0 is always a.
दिया है \(R(t)=b-10t\)। \(t=0\) रखने पर \(R(0)=b-10(0)=b\) मिलता है। चूँकि \(R(0)=75\) है, इसलिए \(b=75\)। विकल्प 65, \(t=1\) पर \(R(1)\) का मान हो सकता है, प्रारम्भिक मान नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में \(t=0\) रखने पर स्थिर पद प्रारम्भिक मान देता है। / Given \(R(t)=b-10t\). Substituting \(t=0\) gives \(R(0)=b-10(0)=b\). Since \(R(0)=75\), \(b=75\). Option 65 could be the value of \(R(1)\), not the initial value. Exam tip: in a linear expression, substituting \(t=0\) gives the constant term, or initial value.
समीकरण \(y=29+kt\) में \(k\), \(t\) के प्रति \(y\) के परिवर्तन की दर या ढाल है। रेखीय वृद्धि के लिए \(t\) बढ़ने पर \(y\) भी बढ़ना चाहिए, इसलिए \(k\) धनात्मक होना आवश्यक है। \(k<0\) होने पर रेखीय ह्रास होता है और \(k=0\) होने पर \(y\) स्थिर रहता है। परीक्षा टिप: रेखीय रूप \(y=a+bt\) में वृद्धि के लिए \(b>0\) याद रखें। / In \(y=29+kt\), \(k\) is the rate of change, or slope, of \(y\) with respect to \(t\). For linear growth, \(y\) must increase as \(t\) increases, so \(k\) must be positive. If \(k<0\), the relation shows linear decay, while \(k=0\) gives a constant value of \(y\). Exam tip: in \(y=a+bt\), growth requires \(b>0\).
\(P=15+4t\) में \(t\) का घात 1 है और 4 स्थिर वृद्धि-दर है; इसलिए हर एक समय-इकाई पर \(P\) 4 बढ़ता है। \(15t^2\) की वृद्धि-दर बदलती है। परीक्षा टिप: रेखीय संबंध का रूप \(a+bt\) पहचानें। / In \(P=15+4t\), the power of \(t\) is 1 and 4 is the constant growth rate, so \(P\) rises by 4 per time unit. \(15t^2\) has a changing rate. Exam tip: identify linear forms as \(a+bt\).
दिया है H(t)=36+4t। t=10 रखने पर H(10)=36+4(10)=36+40=76 प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प B सही है। 72 केवल 36 और 36 को जोड़ने से मिलेगा, जबकि 4t में t=10 रखने पर 40 आता है। परीक्षा में पहले चर के स्थान पर मान रखें और फिर गुणा करें। / Given H(t)=36+4t, substitute t=10: H(10)=36+4(10)=36+40=76. Therefore, option B is correct. The value 72 would result from incorrectly adding 36 and 36; here, 4t becomes 4×10=40. In exams, substitute the input value first and then simplify carefully.
यहाँ t के स्थान पर 8 रखिए: \(K(8)=144-12\times 8=144-96=48\)। इसलिए सही उत्तर 48 है। 96 केवल \(12\times 8\) का मान है, जबकि उसे 144 में से घटाना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: फलन का मान ज्ञात करते समय चर के स्थान पर दी गई संख्या रखकर गणना के क्रम का ध्यान रखें। / Substitute 8 for t: \(K(8)=144-12\times 8=144-96=48\). Therefore, the correct answer is 48. The value 96 is only \(12\times 8\); it must still be subtracted from 144. Exam tip: To evaluate a function, substitute the given value for the variable and follow the order of operations.
A. ऋणात्मक ढाल वाला रैखिक ह्रास संबंध/A linear decay relation with a negative slope
Explanation
Simple Explanation
\(x\) का गुणांक \(-3\) है, इसलिए \(x\) बढ़ने पर \(y\) घटता है; अतः यह रैखिक ह्रास है। धनात्मक ढाल वृद्धि दिखाती है। परीक्षा टिप: \(x\) का गुणांक ढाल होता है। / The coefficient of \(x\) is \(-3\), so \(y\) decreases as \(x\) increases; this is linear decay. A positive slope would indicate growth. Exam tip: the coefficient of \(x\) is the slope.
\(y=50-3x\) में \(x\) का गुणांक \(-3\) है, इसलिए \(x\) की हर 1 इकाई वृद्धि पर \(y\) 3 इकाई घटता है। \(x^2\) या \(1/x\) वाले संबंध रैखिक नहीं होते। परीक्षा में ऋणात्मक स्थिर ढाल पहचानें। / In \(y=50-3x\), the coefficient of \(x\) is \(-3\), so \(y\) falls by 3 for each one-unit rise in \(x\). Relations involving \(x^2\) or \(1/x\) are not linear. Exam tip: identify decay by a constant negative slope.
आरंभिक संख्या 5 है, इसलिए यह स्थिर पद होगा। प्रत्येक चरण में 6 की वृद्धि होती है, अतः \(x\) चरणों में वृद्धि \(6x\) होगी। इसलिए नियम \(y=5+6x\) है। \(y=6+5x\) में आरंभिक मान और वृद्धि दर आपस में बदल गए हैं। परीक्षा टिप: रैखिक नियम में स्थिर पद आरंभिक मान और \(x\) का गुणांक प्रति चरण परिवर्तन दर्शाता है। / The initial number is 5, so it is the constant term. Since the number rises by 6 at each step, the total increase after \(x\) steps is \(6x\). Hence, the rule is \(y=5+6x\). In \(y=6+5x\), the initial value and the rate of increase are interchanged. Exam tip: in a linear rule, the constant term is the starting value and the coefficient of \(x\) is the change per step.
दिया है: \(y=42+3x\)। \(x=6\) रखने पर \(y=42+3(6)=42+18=60\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 60 है। 48 केवल \(42+6\) करने पर मिलेगा, जिसमें 3 से गुणा करना छूट जाता है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में मान रखने के बाद पहले गुणा करें, फिर जोड़ या घटाव करें। / Given \(y=42+3x\), substitute \(x=6\): \(y=42+3(6)=42+18=60\). Hence, 60 is correct. The value 48 results from doing \(42+6\) and incorrectly omitting multiplication by 3. Exam tip: after substitution in a linear expression, perform multiplication before addition or subtraction.
दिया है, \(y=85-5x\)। \(x=9\) रखने पर \(y=85-5(9)=85-45=40\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 40 है। 45 केवल \(5\times9\) का मान है; इसे 85 में से घटाना आवश्यक है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में मान ज्ञात करते समय पहले चर के स्थान पर दिया गया मान रखकर गुणा करें, फिर जोड़ या घटाव करें। / Given \(y=85-5x\), substitute \(x=9\): \(y=85-5(9)=85-45=40\). Therefore, the correct value is 40. The value 45 is only \(5\times9\); it must be subtracted from 85. Exam tip: When evaluating a linear expression, substitute the given value first, multiply, and then perform addition or subtraction.
\(y=12-2x\) में x का गुणांक \(-2\) है। x को 1 बढ़ाने पर y 2 घटता है, इसलिए यह ह्रास दर्शाता है। \(y=x^2+1\) रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक ढाल ह्रास बताती है। / In \(y=12-2x\), the coefficient of x is \(-2\). When x increases by 1, y decreases by 2, so it shows decay. \(y=x^2+1\) is not linear. Exam tip: a negative slope indicates decrease.
\(20-3x\) में x का गुणांक \(-3\) है, इसलिए x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर y 3 इकाई घटता है। \(7x+4\) वृद्धि दिखाता है। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय में x का गुणांक ऋणात्मक होता है। / In \(20-3x\), the coefficient of x is \(-3\), so y falls by 3 units for every increase of 1 in x. \(7x+4\) represents growth. Exam tip: linear decay has a negative coefficient of x.
