Level 48 • 50/50 questions • 45 seconds per question.
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What is the general term of the sequence \(6,10,14,18,\ldots\)?
C. \(a_n=4n+2\)
पहला पद (6) और अंतर (4) है इसलिए \(a_n=4n+2\) है। परीक्षा में (n=1) रखकर पहला पद जाँचें। / The first term is (6) and the difference is (4) so \(a_n=4n+2\). In exams check the first term by putting (n=1).
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Which of the following general terms generates an arithmetic progression?
A. \(a_n=5n-2\)
\(a_n=5n-2\) के लिए \(a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-2]-(5n-2)=5\) नियत है, इसलिए यह समान्तर श्रेणी है। \(n^2+1\) में अंतर बदलता है। परीक्षा में लगातार पदों का अंतर जाँचें। / For \(a_n=5n-2\), \(a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-2]-(5n-2)=5\), which is constant, so it is an arithmetic progression. For \(n^2+1\), the differences change. Exam tip: check consecutive-term differences.
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Which explicit rule is correct for the sequence \(9,16,23,30,\ldots\)?
D. \(a_n=7n+2\)
अंतर (7) है और पहला पद (9) है इसलिए \(a_n=7n+2\) है। परीक्षा में अंतर को (n) का गुणांक मानें। / The difference is (7) and the first term is (9) so \(a_n=7n+2\). In exams take the difference as the coefficient of (n).
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If \(a_n=60-5n\) then what is the value of \(a_9\)?
B. 15
दिया है कि \(a_n=60-5n\)। नौवाँ पद ज्ञात करने के लिए \(n=9\) रखें: \(a_9=60-5(9)=60-45=15\)। अतः सही उत्तर 15 है। 20 तब मिलता यदि \(5\times 9\) को गलत तरीके से 40 मान लिया जाए। परीक्षा टिप: किसी भी सामान्य पद के सूत्र में पद संख्या के स्थान पर \(n\) का मान सावधानी से रखें। / Given \(a_n=60-5n\), substitute \(n=9\) to find the ninth term: \(a_9=60-5(9)=60-45=15\). Therefore, 15 is correct. The value 20 could result from incorrectly calculating \(5\times9\) as 40. Exam tip: substitute the term number for \(n\) carefully in a general-term formula.
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What is the general term of the sequence \(47,43,39,35,\ldots\)?
C. \(a_n=51-4n\)
(n=1) पर (47) और (n=2) पर (43) मिलता है इसलिए \(a_n=51-4n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम में पहला पद मिलाएँ। / At (n=1) it gives (47) and at (n=2) it gives (43) so \(a_n=51-4n\). In exams match the first term in a decreasing sequence.
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If \(a_n=5n+4\) then which term is equal to (64)?
A. (n=12)
(5n+4=64) से (n=12) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या के लिए सूत्र को दिए मान के बराबर रखें। / From (5n+4=64) we get (n=12). In exams equate the formula to the given value to find the term number.
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In the sequence \(2,5,8,11,\ldots\) which term is (38)?
D. तेरहवाँ पद(13)th term
इसका नियम \(a_n=3n-1\) है और (3n-1=38) से (n=13) है। परीक्षा में पहले सामान्य पद बनाकर पद संख्या निकालें। / Its rule is \(a_n=3n-1\) and (3n-1=38) gives (n=13). In exams form the general term first to find the term number.
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What is the general term of the sequence \(9,16,25,36,\ldots\)?
B. (a_n=(n+2)2)
ये पद \(3^2,4^2,5^2,6^2\) हैं इसलिए (a_n=(n+2)2) है। परीक्षा में स्थानांतरित वर्ग संख्याएँ पहचानें। / These terms are \(3^2,4^2,5^2,6^2\) so (a_n=(n+2)2). In exams recognize shifted square numbers.
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If (a_n=(n+2)2) then what is the value of \(a_5\)?
C. 49
दिया है कि \(a_n=(n+2)^2\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=(5+2)^2=7^2=49\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 49 है। 36 तब मिलता यदि वर्ग करने से पहले 6 लिया जाता, जो यहाँ सही प्रतिस्थापन नहीं है। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर कोष्ठक हल करके वर्ग करें। / Given \(a_n=(n+2)^2\). Substituting \(n=5\), we get \(a_5=(5+2)^2=7^2=49\). Therefore, 49 is correct. The value 36 would result from using 6 before squaring, which is not the correct substitution here. Exam tip: substitute the value of \(n\) first, simplify the bracket, and then square it.
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If \(a_n=n^2+2n\) then what is the value of \(a_6\)?
C. \(48\)
दिया है \(a_n=n^2+2n\)। \(n=6\) रखने पर \(a_6=6^2+2(6)=36+12=48\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर \(48\) है। \(46\) जैसा विकल्प वर्ग तथा \(2n\) वाले पद को सही ढंग से न जोड़ने पर आ सकता है। परीक्षा-युक्ति: पद का मान निकालते समय \(n\) को व्यंजक के प्रत्येक स्थान पर रखें। / Given \(a_n=n^2+2n\), substitute \(n=6\): \(a_6=6^2+2(6)=36+12=48\). Therefore, the correct answer is \(48\). A value such as \(46\) may result from not evaluating or adding the squared term and the \(2n\) term correctly. Exam tip: substitute the term number for every occurrence of \(n\) in the expression.
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In the sequence \(1,4,9,16,\ldots\) which term is (81)?
C. नौवाँ पद(9)th term
इसका नियम \(a_n=n^2\) है और \(n^2=81\) से (n=9) है। परीक्षा में वर्ग संख्याओं की पद संख्या पहचानें। / Its rule is \(a_n=n^2\) and \(n^2=81\) gives (n=9). In exams identify the term number of square numbers.
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If \(a_n=\frac{n(n+1)}{2}+2\) then what is the value of \(a_6\)?
B. 23
दिया है \(a_n=\frac{n(n+1)}{2}+2\)। \(n=6\) रखने पर \(a_6=\frac{6(6+1)}{2}+2=\frac{42}{2}+2=21+2=23\)। इसलिए सही उत्तर 23 है। 21 केवल \(\frac{6\times7}{2}\) का मान है; इसमें दिया गया \(+2\) जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: किसी सामान्य पद में मान ज्ञात करने के लिए पहले \(n\) का सही मान रखकर सभी संक्रियाएँ क्रम से करें। / Given \(a_n=\frac{n(n+1)}{2}+2\), substitute \(n=6\): \(a_6=\frac{6(6+1)}{2}+2=\frac{42}{2}+2=21+2=23\). Hence, the correct answer is 23. The value 21 is only \(\frac{6\times7}{2}\); the given \(+2\) must still be added. Exam tip: when evaluating a general term, substitute the value of \(n\) carefully and perform the operations in order.
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What is the general term of the sequence \(3,5,8,12,\ldots\)?
B. (a_n=\frac{n(n+1)}{2}+2)
(\frac{n(n+1)}{2}+2) से (3,5,8,12) मिलते हैं। परीक्षा में बढ़ते अंतर (2,3,4) देखकर त्रिभुज संख्या सोचें। / (\frac{n(n+1)}{2}+2) gives (3,5,8,12). In exams think of triangular numbers when differences are (2,3,4).
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What is the general term of the sequence \(0,5,12,21,\ldots\)?
B. \(a_n=n^2+n-2\)
दिए गए पदों के प्रथम अंतर \(5,7,9\) हैं, जो प्रत्येक बार 2 से बढ़ते हैं; इसलिए सामान्य पद द्विघात रूप का होगा। \(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=n^2+n-2\) से क्रमशः \(0,5,12,21\) प्राप्त होते हैं। विकल्प A से दूसरा पद \(3\) मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में कम-से-कम पहले चार मान रखकर अनुक्रम से मिलान करें। / The first differences are \(5,7,9\), increasing by 2 each time, so the general term should be quadratic. Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=n^2+n-2\) gives \(0,5,12,21\), respectively. Option A gives \(3\) as the second term, so it does not fit. Exam tip: verify a proposed general term by checking at least the first four values of \(n\).
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If \(a_n=n^2+n-2\) then which term is equal to (70)?
B. \(n=8\)
70 के लिए \(n^2+n-2=70\) रखें। इससे \(n^2+n-72=0\), अर्थात \((n+9)(n-8)=0\) मिलता है। \(n=8\) या \(n=-9\) में से पद संख्या धनात्मक होती है, इसलिए \(n=8\) सही है। \(n=7\) रखने पर मान \(54\) आता है, 70 नहीं। परीक्षा टिप: पद संख्या ज्ञात करते समय ऋणात्मक मूल को अस्वीकार करना न भूलें। / Set \(n^2+n-2=70\). This gives \(n^2+n-72=0\), or \((n+9)(n-8)=0\). The roots are \(n=8\) and \(n=-9\), but a term number must be positive, so \(n=8\) is correct. For example, \(n=7\) gives 54, not 70. Exam tip: reject a negative root when it cannot represent a term number.
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Which explicit rule is correct for the sequence \(4,6,10,18,\ldots\)?
B. \(a_n=2^n+2\)
सही नियम \(a_n=2^n+2\) है, जहाँ \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(4,6,10,18\) प्राप्त होते हैं। विकल्प \(a_n=2n+2\) के पहले दो पद 4 और 6 देता है, लेकिन तीसरा पद 8 होगा, 10 नहीं। परीक्षा में नियम को कम-से-कम पहले तीन पदों पर जाँचें। / The correct rule is \(a_n=2^n+2\). Substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(4,6,10,18\), respectively. Although \(a_n=2n+2\) gives the first two terms as 4 and 6, its third term is 8, not 10. Exam tip: verify an explicit rule using at least the first three terms.
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If \(a_n=2^n+2\) then what is the value of \(a_6\)?
B. 66
दिया है कि प्रत्येक पद के लिए \(a_n=2^n+2\)। अतः \(n=6\) रखने पर \(a_6=2^6+2=64+2=66\) मिलता है। 64 निकटतम विकल्प है, पर वह केवल \(2^6\) का मान है; उसमें दिया गया \(+2\) जोड़ना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में \(n\) के स्थान पर पद संख्या रखकर पहले घात का मान निकालें, फिर शेष संक्रियाएँ करें। / The general term is \(a_n=2^n+2\). Substituting \(n=6\), we get \(a_6=2^6+2=64+2=66\). Although 64 is a close distractor, it is only the value of \(2^6\); the given \(+2\) must also be added. Exam tip: substitute the term number for \(n\), evaluate the power first, and then perform the remaining operations.
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What is the general term of the sequence \(4,10,28,82,\ldots\)?
A. \(a_n=3^n+1\)
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=3^n+1\) से क्रमशः \(4,10,28,82\) प्राप्त होते हैं। इसलिए सही सामान्य पद \(a_n=3^n+1\) है। विकल्प \(a_n=n^3+3\) से पहला पद 4 मिलता है, लेकिन दूसरा पद 11 आता है, 10 नहीं। परीक्षा में सामान्य पद को कम-से-कम पहले दो या तीन पदों के लिए जाँचें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=3^n+1\) gives \(4,10,28,82\), respectively. Hence, the correct general term is \(a_n=3^n+1\). Although \(a_n=n^3+3\) gives the first term as 4, its second term is 11, not 10. Exam tip: verify a proposed general term using at least the first two or three terms.
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If \(a_n=3^n+1\) then what is the value of \(a_4\)?
C. 82
दिया है कि \(a_n=3^n+1\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=3^4+1=81+1=82\) प्राप्त होता है। 81 विकल्प केवल \(3^4\) का मान है; उसमें दिया गया \(+1\) अभी जोड़ा नहीं गया है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में सूचकांक रखने के बाद घात और स्थिर पद, दोनों को ध्यान से शामिल करें। / Given \(a_n=3^n+1\), substitute \(n=4\): \(a_4=3^4+1=81+1=82\). Option 81 is only the value of \(3^4\); it misses the added 1 in the rule. Exam tip: after substituting the index in a general term, include both the power and the constant term.
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Which general term is correct for the sequence \(12,24,48,96,\ldots\)?
B. \(a_n=6\cdot2^n\)
\(6\cdot2^n\) से (12,24,48,96) मिलते हैं। परीक्षा में गुणोत्तर वृद्धि में आधार और गुणक दोनों जाँचें। / \(6\cdot2^n\) gives (12,24,48,96). In exams check both the base and multiplier in geometric growth.
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If \(a_n=3\cdot2^{n-1}\) then what is the value of \(a_7\)?
C. 192
दिया है \(a_n=3\cdot2^{n-1}\)। \(n=7\) रखने पर \(a_7=3\cdot2^{7-1}=3\cdot2^6=3\cdot64=192\) मिलता है। विकल्प 96 में \(2^5\) लेने जैसी त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान घातांक \(n-1\) में रखें, फिर गणना करें। / Given \(a_n=3\cdot2^{n-1}\). Substituting \(n=7\), \(a_7=3\cdot2^{7-1}=3\cdot2^6=3\cdot64=192\). The value 96 can result from incorrectly using \(2^5\). Exam tip: substitute the term number into the exponent \(n-1\) before calculating.
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What is the general term of the sequence \(3,6,12,24,\ldots\)?
D. \(a_n=3\cdot2^{n-1}\)
पहला पद (3) है और हर बार (2) से गुणा हो रहा है इसलिए \(a_n=3\cdot2^{n-1}\) है। परीक्षा में पहले पद और अनुपात दोनों देखें। / The first term is (3) and each term is multiplied by (2) so \(a_n=3\cdot2^{n-1}\). In exams check both the first term and ratio.
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Which of the following general rules represents the nth term of the sequence 4, 7, 10, 13, ...?
A. \(3n+1\)
यह एक समांतर श्रेणी है, क्योंकि प्रत्येक पद में 3 जोड़ा जा रहा है। जाँच के लिए \(n=1\) रखने पर \(3(1)+1=4\) मिलता है और अंतर 3 बना रहता है। \(3n+4\) का पहला पद 7 होगा। परीक्षा टिप: पहले पद और सार्वांतर दोनों की जाँच करें। / This is an arithmetic sequence because each term increases by 3. Checking \(n=1\), \(3(1)+1=4\), and the common difference remains 3. In contrast, \(3n+4\) gives 7 as its first term. Exam tip: verify both the first term and common difference.
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Which explicit rule is correct for the sequence \(7,13,23,37,\ldots\)?
A. \(a_n=2n^2+5\)
\(2n^2+5\) से (7,13,23,37) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान हों तो वर्गीय नियम जाँचें। / \(2n^2+5\) gives (7,13,23,37). In exams check a quadratic rule when second differences are constant.
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If \(a_n=4n^2-n\) then what is \(a_4:a_2\)?
B. 30:7
दिया है, a_n=4n²−n। अतः a_4=4(4²)−4=64−4=60 और a_2=4(2²)−2=16−2=14। इसलिए a_4:a_2=60:14=30:7। विकल्प A में अनुपात सही मानों से बना है, लेकिन उसे सरल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: अनुपात निकालने के बाद दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक से भाग देकर सरल रूप अवश्य लिखें। / Given a_n=4n²−n, a_4=4(4²)−4=64−4=60 and a_2=4(2²)−2=16−2=14. Hence, a_4:a_2=60:14=30:7. Option A uses the correct terms but does not simplify the ratio. Exam tip: after finding a ratio, divide both terms by their greatest common factor to write it in simplest form.
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If \(a_n=3n^2+2n-1\) then which statement is correct?
A. \(a_2=15,\ a_3=32\)
दिया है \(a_n=3n^2+2n-1\)। \(n=2\) रखने पर \(a_2=3(2)^2+2(2)-1=12+4-1=15\) मिलता है। इसी प्रकार, \(n=3\) रखने पर \(a_3=3(3)^2+2(3)-1=27+6-1=32\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(a_2\) और विकल्प C में \(a_3\) का मान गलत है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद के लिए \(n\) का मान अलग-अलग रखकर वर्ग की गणना सावधानी से करें। / Given \(a_n=3n^2+2n-1\). Substituting \(n=2\), \(a_2=3(2)^2+2(2)-1=12+4-1=15\). Similarly, for \(n=3\), \(a_3=3(3)^2+2(3)-1=27+6-1=32\). Hence, option A is correct. Option B has an incorrect value of \(a_2\), while option C has an incorrect value of \(a_3\). Exam tip: substitute the value of \(n\) separately for each term and calculate the square carefully.
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What is the general term of the sequence \(4,15,32,55,\ldots\)?
A. \(a_n=3n^2+2n-1\)
क्रमागत पदों के अंतर \(11,17,23\) हैं और इनके द्वितीय अंतर \(6\) हैं। इसलिए अनुक्रम का सामान्य पद द्विघात रूप का होगा। \(a_n=3n^2+2n-1\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(4,15,32,55\) प्राप्त होते हैं। विकल्प \(a_n=11n-7\) केवल पहला और दूसरा पद दे सकता है, पर आगे के पदों से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: सामान्य पद जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पद रखकर सत्यापन करें। / The consecutive differences are \(11,17,23\), and their second differences are constant at \(6\). Hence, the sequence has a quadratic general term. Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=3n^2+2n-1\) gives \(4,15,32,55\), respectively. The option \(a_n=11n-7\) matches only the first two terms, not the later terms. Exam tip: verify a proposed general term using at least the first three terms.
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If \(a_n=2n^2+3n\) then what is the sum of the first three terms?
A. (42)
पहले तीन पद (5,14,27) हैं और योग (46) नहीं बल्कि (46) है। परीक्षा में योग से पहले सभी पद लिखें। / The first three terms are (5,14,27) and the sum is (46). In exams write all terms before adding.
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If \(a_n=6n-4\) then what is the value of \(a_{12}-a_5\)?
D. 42
दिया है कि \(a_n=6n-4\)। अतः \(a_{12}=6(12)-4=68\) और \(a_5=6(5)-4=26\)। इसलिए \(a_{12}-a_5=68-26=42\)। विकल्प 40 तब मिल सकता है जब पदों का अंतर या गणना गलत की जाए। परीक्षा टिप: सामान्य पद में पहले \(n\) का मान रखकर दोनों पद अलग-अलग ज्ञात करें, फिर उनका अंतर लें। / Given \(a_n=6n-4\), \(a_{12}=6(12)-4=68\) and \(a_5=6(5)-4=26\). Therefore, \(a_{12}-a_5=68-26=42\). Option 40 may result from an error in finding a term or subtracting the values. Exam tip: substitute the value of \(n\) to find each term separately, then subtract.
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In the sequence \(2,8,14,20,\ldots\) which term is (68)?
C. बारहवाँ पद(12)th term
इसका नियम \(a_n=6n-4\) है और (6n-4=68) से (n=12) है। परीक्षा में दिए पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / Its rule is \(a_n=6n-4\) and (6n-4=68) gives (n=12). In exams equate the given term to the general term.
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If \(a_n=\frac{2n+3}{5}\) then what is the value of \(a_6\)?
B. 3
दिया है \(a_n=\frac{2n+3}{5}\)। \(n=6\) रखने पर \(a_6=\frac{2(6)+3}{5}=\frac{12+3}{5}=\frac{15}{5}=3\)। इसलिए सही उत्तर 3 है। \(\frac{13}{5}\) प्राप्त करना \(2\times6\) में गलती करने से हो सकता है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करने के लिए पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर क्रम से गणना करें। / Given \(a_n=\frac{2n+3}{5}\). Substituting \(n=6\), \(a_6=\frac{2(6)+3}{5}=\frac{12+3}{5}=\frac{15}{5}=3\). Hence, 3 is the correct answer. \(\frac{13}{5}\) may result from an error in calculating \(2\times6\). Exam tip: substitute the value of \(n\) first, then simplify step by step.
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What is the general term of the sequence \(1,\frac{7}{5},\frac{9}{5},\frac{11}{5},\ldots\)?
B. \(a_n=\frac{2n+3}{5}\)
\(\frac{2n+3}{5}\) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को छोटे (n) मानों से मिलाएँ। / \(\frac{2n+3}{5}\) gives the given terms. In exams match fractional terms using small values of (n).
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If \(a_n=10n+1\) then what is the value of \(a_2+a_6\)?
B. 82
दिया है कि \(a_n=10n+1\)। अतः \(a_2=10\times2+1=21\) और \(a_6=10\times6+1=61\)। इसलिए \(a_2+a_6=21+61=82\)। विकल्प 84 तब मिलता यदि किसी पद का मान गलत निकाला जाए। परीक्षा टिप: सामान्य पद में पहले \(n\) का मान रखकर प्रत्येक पद अलग-अलग निकालें। / Given \(a_n=10n+1\), \(a_2=10\times2+1=21\) and \(a_6=10\times6+1=61\). Therefore, \(a_2+a_6=21+61=82\). Option 84 would result from calculating one of the terms incorrectly. Exam tip: substitute the value of \(n\) in the general term and find each required term separately.
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What is the general term of the sequence \(11,21,31,41,\ldots\)?
B. \(a_n=10n+1\)
पहला पद (11) और अंतर (10) है इसलिए \(a_n=10n+1\) है। परीक्षा में पहले पद से स्थिर भाग निकालें। / The first term is (11) and the difference is (10) so \(a_n=10n+1\). In exams find the constant part from the first term.
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If \(a_n=4n^2+1\) then what is the value of \(a_3+a_4\)?
C. 102
दिया है \(a_n=4n^2+1\)। अतः \(a_3=4(3)^2+1=37\) और \(a_4=4(4)^2+1=65\)। इसलिए \(a_3+a_4=37+65=102\)। विकल्प 100 तब मिल सकता है जब वर्ग या जोड़ में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: सामान्य पद में हर पद के लिए \(n\) का मान अलग-अलग रखकर गणना करें। / Given \(a_n=4n^2+1\), \(a_3=4(3)^2+1=37\) and \(a_4=4(4)^2+1=65\). Therefore, \(a_3+a_4=37+65=102\). An answer such as 100 can result from an error in squaring or addition. Exam tip: Substitute each value of \(n\) separately in the general term before adding.
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Which general term is correct for the sequence \(5,17,37,65,\ldots\)?
B. \(a_n=4n^2+1\)
\(4n^2+1\) से (5,17,37,65) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान देखकर वर्गीय नियम जाँचें। / \(4n^2+1\) gives (5,17,37,65). In exams check a quadratic rule when second differences are constant.
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A. \(a_n=4n-1\)
स्पष्ट नियम में किसी भी पद को उसकी स्थिति \(n\) से सीधे ज्ञात किया जाता है। \(a_n=4n-1\) में केवल \(n\) है। दूसरे नियम में पिछला पद चाहिए, इसलिए वह पुनरावर्ती है। परीक्षा टिप: \(a_{n-1}\) दिखे तो नियम पुनरावर्ती होता है। / An explicit rule gives any term directly from its position \(n\). \(a_n=4n-1\) contains only \(n\), whereas the second rule needs the previous term. Exam tip: the presence of \(a_{n-1}\) usually indicates a recursive rule.
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What is the general term of the sequence \(1,2,5,12,\ldots\)?
A. \(a_n=2^n-n\)
\(2^n-n\) से (1,2,5,12) मिलते हैं। परीक्षा में घात वाले नियम में पद संख्या घटाना भी जाँचें। / \(2^n-n\) gives (1,2,5,12). In exams also check subtraction of the term number in power-based rules.
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If \(a_n=3^n-2n\) then what is the value of \(a_3\)?
B. 21
दिया है \(a_n=3^n-2n\)। \(n=3\) रखने पर \(a_3=3^3-2(3)=27-6=21\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 21 है। 19 प्राप्त करने में घात या घटाव की गणना गलत होगी। परीक्षा टिप: पहले \(n\) का मान हर स्थान पर रखें, फिर घात की गणना करें। / Given \(a_n=3^n-2n\). Substituting \(n=3\), \(a_3=3^3-2(3)=27-6=21\). Therefore, 21 is correct. A result such as 19 would come from an error in evaluating the power or subtraction. Exam tip: substitute the value of \(n\) everywhere before simplifying the expression.
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Which explicit rule is correct for the sequence \(1,5,21,73,\ldots\)?
C. \(a_n=3^n-2n\)
\(3^n-2n\) से (1,5,21,73) मिलते हैं। परीक्षा में घात में से रैखिक पद घटाकर भी विकल्प जाँचें। / \(3^n-2n\) gives (1,5,21,73). In exams also test options where a linear term is subtracted from a power.
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If \(a_n=n^3-1\) then which term is equal to (124)?
B. \(a_5\)
दिया है \(a_n=n^3-1\)। \(a_n=124\) रखने पर \(n^3-1=124\), अतः \(n^3=125=5^3\)। इसलिए \(n=5\) और \(a_5=124\) होगा। \(a_4=63\) होता है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: \(n^3-1\) वाले प्रश्न में पहले 1 जोड़कर पूर्ण घन पहचानें। / Given \(a_n=n^3-1\), set \(a_n=124\). Then \(n^3-1=124\), so \(n^3=125=5^3\). Hence \(n=5\), and therefore \(a_5=124\). The close distractor \(a_4\) is incorrect because \(a_4=63\). Exam tip: for expressions of the form \(n^3-1\), add 1 first and identify the perfect cube.
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What is the general term of the sequence \(0,7,26,63,\ldots\)?
B. \(a_n=n^3-1\)
यदि \(a_n=n^3-1\) हो, तो \(a_1=1^3-1=0\), \(a_2=2^3-1=7\), \(a_3=3^3-1=26\) और \(a_4=4^3-1=63\) प्राप्त होते हैं। इसलिए सही सामान्य पद \(a_n=n^3-1\) है। विकल्प \(a_n=n^2-1\) में तीसरा पद \(8\) आता है, जो \(26\) नहीं है। परीक्षा टिप: सामान्य पद को कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए रखकर जाँचें। / For \(a_n=n^3-1\), we get \(a_1=1^3-1=0\), \(a_2=2^3-1=7\), \(a_3=3^3-1=26\), and \(a_4=4^3-1=63\). Hence, the correct general term is \(a_n=n^3-1\). The nearby distractor \(a_n=n^2-1\) gives \(8\) as its third term, not \(26\). Exam tip: substitute at least the first three values of \(n\) to verify a proposed general term.
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Which of the following general terms represents an arithmetic progression (AP)?
A. \(a_n=5n-2\)
\(a_n=5n-2\) के लिए \(a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-2]-(5n-2)=5\), जो स्थिर है; इसलिए यह AP है। \(n^2+1\) में अंतर बदलता है। परीक्षा में लगातार पदों का अंतर जाँचें। / For \(a_n=5n-2\), \(a_{n+1}-a_n=[5(n+1)-2]-(5n-2)=5\), which is constant, so it is an AP. In \(n^2+1\), the difference changes. Exam tip: check consecutive-term differences.
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Which general term is correct for the sequence \(3,18,57,132,\ldots\)?
A. \(a_n=2n^3+n\)
सही विकल्प \(a_n=2n^3+n\) है। जाँच करें: \(n=1\) पर \(a_1=2(1)^3+1=3\), \(n=2\) पर \(a_2=2(2)^3+2=18\), और \(n=3\) पर \(a_3=2(3)^3+3=57\) मिलता है। इसलिए यह नियम दिए गए पदों से मेल खाता है। विकल्प \(3n^2\) में दूसरा पद 12 आता है, 18 नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद वाले प्रश्न में कम-से-कम पहले दो या तीन मान रखकर विकल्प जाँचें। / The correct rule is \(a_n=2n^3+n\). Checking it: for \(n=1\), \(a_1=2(1)^3+1=3\); for \(n=2\), \(a_2=2(2)^3+2=18\); and for \(n=3\), \(a_3=2(3)^3+3=57\). Thus, it matches the given sequence. In contrast, \(3n^2\) gives 12 as the second term, not 18. Exam tip: substitute at least the first two or three values of \(n\) to verify a proposed general term.
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If \(a_n=80-6n\) then what is the value of \(a_4+a_7\)?
B. (94)
\(a_4=56\) और \(a_7=38\) इसलिए योग (94) है। परीक्षा में घटते सूत्र में दोनों पद सावधानी से निकालें। / \(a_4=56\) and \(a_7=38\) so the sum is (94). In exams find both terms carefully in a decreasing formula.
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What is the general term of the sequence \(74,68,62,56,\ldots\)?
B. \(a_n=80-6n\)
(n=1) पर (74) और (n=2) पर (68) मिलता है इसलिए \(a_n=80-6n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम के पहले दो पद जाँचें। / At (n=1) it gives (74) and at (n=2) it gives (68) so \(a_n=80-6n\). In exams check the first two terms of a decreasing sequence.
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If \(a_n=\frac{n(2n+1)}{3}\) then what is the value of \(a_4\)?
C. 12
\(a_4\) ज्ञात करने के लिए सामान्य पद के सूत्र में \(n=4\) रखें: \(a_4=\frac{4(2\times4+1)}{3}=\frac{4\times9}{3}=12\)। इसलिए सही उत्तर 12 है। 10 या 11 जैसे विकल्प \(2n+1\) का मान गलत लेने पर आ सकते हैं। परीक्षा टिप: किसी भी सामान्य पद में पहले दिए गए पदक्रमांक का मान सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / To find \(a_4\), substitute \(n=4\) in the general-term formula: \(a_4=\frac{4(2\times4+1)}{3}=\frac{4\times9}{3}=12\). Therefore, the correct answer is 12. Values such as 10 or 11 may result from evaluating \(2n+1\) incorrectly. Exam tip: substitute the required term number carefully before simplifying.
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Which explicit rule is correct for the sequence \(1,\frac{10}{3},7,12,\ldots\)?
A. (a_n=\frac{n(2n+1)}{3})
(\frac{n(2n+1)}{3}) से दिए पद मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को भी विकल्पों से मिलाएँ। / (\frac{n(2n+1)}{3}) gives the given terms. In exams match fractional terms with options too.
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If \(a_n=4^n-n\) then what is the value of \(a_3\)?
C. 61
दिया है कि \(a_n=4^n-n\)। अतः \(n=3\) रखने पर \(a_3=4^3-3=64-3=61\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 61 है। 60 तब मिलता यदि केवल 64 में से 4 घटाया जाता, जबकि सूत्र में \(n=3\) घटाना है। परीक्षा टिप: किसी अनुक्रम के पद का मान निकालते समय पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर घात की गणना करें। / Given \(a_n=4^n-n\). Substituting \(n=3\), we get \(a_3=4^3-3=64-3=61\). Therefore, 61 is the correct option. The value 60 would result from subtracting 4 from 64, but the formula requires subtracting \(n=3\). Exam tip: substitute the term number first, then evaluate the exponent carefully.
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What is the general term of the sequence \(5,14,27,44,\ldots\)?
D. \(a_n=2n^2+3n\)
सही नियम \(a_n=2n^2+3n\) है। जाँच करने पर \(a_1=2(1)^2+3(1)=5\), \(a_2=2(2)^2+3(2)=14\), \(a_3=27\) और \(a_4=44\) मिलते हैं। विकल्प A में पहला पद 5 आता है, लेकिन दूसरा पद \(12\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: सामान्य पद को कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए रखकर अवश्य जाँचें। / The correct rule is \(a_n=2n^2+3n\). Substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(5,14,27,44\), respectively. Option A gives the first term as 5, but its second term is \(12\), so it does not fit the sequence. Exam tip: Always test a proposed general term for at least the first three terms.
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