Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(125=25\times5\) और \(25\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{125}=\sqrt{25\times5}=5\sqrt{5}\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में अतिरिक्त \(5\) गुणा हो गया है, जबकि विकल्प C अभी पूरी तरह सरल नहीं है और उसका मान \(25\) होता है। परीक्षा में करणी को सरल करने के लिए सबसे बड़े पूर्ण वर्ग गुणनखंड को अलग करें। / Since \(125=25\times5\) and \(25\) is a perfect square, \(\sqrt{125}=\sqrt{25\times5}=5\sqrt{5}\). Therefore, option A is correct. Option B has an extra factor of \(5\), while option C is not the simplified form and equals \(25\). Exam tip: factor the radicand using its largest perfect-square factor before simplifying the square root.
B. क्योंकि इससे शासन जनता की इच्छा पर आधारित होता है/Because it makes rule based on people's will
Explanation
Simple Explanation
जनता द्वारा चुनाव लोकतंत्र को वैध और जवाबदेह बनाता है। परीक्षा में परिभाषा को जनता की सहमति से जोड़ें। / Election by people makes democracy legitimate and accountable. Exam tip: connect the definition with people's consent.
\(147=49\times3\) इसलिए \( \sqrt{147}=7\sqrt{3} \)। पूर्ण वर्ग को बाहर निकालना मुख्य कदम है। / Since \(147=49\times3\), \( \sqrt{147}=7\sqrt{3} \). Taking out the perfect square is the main step.
D. स्वतंत्र और निष्पक्ष चुनाव/Free and fair elections
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में चुनाव के साथ वास्तविक विकल्प और निष्पक्षता भी जरूरी है। परीक्षा में केवल चुनाव को पर्याप्त न मानें। / In democracy elections must include real choice and fairness. Exam tip: do not treat mere elections as enough.
\(192=64\times3\) इसलिए \( \sqrt{192}=8\sqrt{3} \)। करणी में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग खोजें। / Since \(192=64\times3\), \( \sqrt{192}=8\sqrt{3} \). Find the largest perfect square inside the radical.
A. क्योंकि इसमें समानता और जवाबदेही भी शामिल हैं/Because it also includes equality and accountability
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में चुनाव के साथ समान राजनीतिक अधिकार और जवाबदेही भी महत्वपूर्ण हैं। परीक्षा में व्यापक अर्थ याद रखें। / In democracy equal political rights and accountability are also important along with elections. Exam tip: remember the broader meaning.
\( \sqrt{8}=2\sqrt{2} \) और \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \) हैं। इसलिए योग \(6\sqrt{2}+6\sqrt{2}=12\sqrt{2}\) है। / \( \sqrt{8}=2\sqrt{2} \) and \( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \). So the sum is \(6\sqrt{2}+6\sqrt{2}=12\sqrt{2}\).
C. सत्ता का स्रोत नागरिक हैं/Citizens are the source of power
Explanation
Simple Explanation
जनता लोकतंत्र में सत्ता का मूल स्रोत होती है। परीक्षा में जनता को परिभाषा का केंद्र मानें। / People are the original source of power in democracy. Exam tip: treat people as the centre of the definition.
वर्ग का क्षेत्रफल \(=\) भुजा² होता है, इसलिए भुजा \(=\sqrt{2}\) मीटर होगी। 2 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{2}\) को दो पूर्णांकों के अनुपात में नहीं लिखा जा सकता और यह अपरिमेय संख्या है। विकल्प A गलत है, क्योंकि 2 मीटर भुजा होने पर क्षेत्रफल 4 वर्ग मीटर होता। परीक्षा-युक्ति: किसी वर्ग की भुजा ज्ञात करने के लिए क्षेत्रफल का वर्गमूल लें और देखें कि क्षेत्रफल पूर्ण वर्ग है या नहीं। / The area of a square equals side², so its side is \(\sqrt{2}\) metres. Since 2 is not a perfect square, \(\sqrt{2}\) cannot be expressed as a ratio of two integers and is therefore irrational. Option A is incorrect because a side of 2 metres would give an area of 4 square metres. Exam tip: To find the side of a square, take the square root of its area and check whether the area is a perfect square.
B. शासक स्वतंत्र चुनाव में जनता द्वारा चुना जाए/Ruler is chosen by people in free elections
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में शासक जनता द्वारा स्वतंत्र चुनाव से चुने जाते हैं। परीक्षा में चुनाव और जनता दोनों पहचानें। / In democracy rulers are chosen by people through free elections. Exam tip: identify both elections and people.
लोकतंत्र में चुना हुआ शासक भी कानून के अधीन होता है। परीक्षा में चुनाव के साथ कानून का शासन जोड़ें। / In democracy even an elected ruler is under the law. Exam tip: connect elections with rule of law.
पहचान \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) का उपयोग करें। यहाँ \(a=2\) और \(b=\sqrt{7}\) हैं, इसलिए \((2+\sqrt{7})^2=2^2+2(2)(\sqrt{7})+(\sqrt{7})^2=4+4\sqrt{7}+7=11+4\sqrt{7}\)। अतः सही उत्तर A है। ध्यान रखें कि \((\sqrt{7})^2=7\), न कि \(\sqrt{2}\)। / Use the identity \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Here, \(a=2\) and \(b=\sqrt{7}\), so \((2+\sqrt{7})^2=2^2+2(2)(\sqrt{7})+(\sqrt{7})^2=4+4\sqrt{7}+7=11+4\sqrt{7}\). Therefore, option A is correct. Remember that \((\sqrt{7})^2=7\), not \(\sqrt{2}\).
D. नागरिक मतदान से प्रतिनिधि चुनते हैं/Citizens choose representatives by voting
Explanation
Simple Explanation
चुने जाने का अर्थ है कि नागरिक मतदान से प्रतिनिधि तय करते हैं। परीक्षा में चुने हुए शब्द को मतदान से जोड़ें। / Being elected means citizens decide representatives through voting. Exam tip: link elected with voting.
( (a-b)2=a-2-2ab+b-2 ) से \(25-10\sqrt{6}+6=31-10\sqrt{6}\) मिलता है। संकेतों पर विशेष ध्यान दें। / Using ( (a-b)2=a-2-2ab+b-2 ), we get \(25-10\sqrt{6}+6=31-10\sqrt{6}\). Pay special attention to signs.
C. यह जनता की समान भागीदारी सुनिश्चित करता है/It ensures equal participation of people
Explanation
Simple Explanation
समान वोट मूल्य लोकतंत्र में सभी नागरिकों की समान राजनीतिक भूमिका दिखाता है। परीक्षा में इसे समानता से जोड़ें। / Equal vote value shows equal political role of all citizens in democracy. Exam tip: connect it with equality.
एक विद्यार्थी कहता है कि \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{10}\), क्योंकि वर्गमूलों को जोड़ते समय उनके अंदर की संख्याएँ जोड़ी जा सकती हैं। इस कथन का सही मूल्यांकन क्या है?
B. कथन गलत है, क्योंकि \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\), जो \(\sqrt{10}\) के बराबर नहीं है।/The claim is incorrect because \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}\), which is not equal to \(\sqrt{10}\).
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\), इसलिए \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)। यह \(\sqrt{10}\) के बराबर नहीं है। वर्गमूलों को जोड़ने का सामान्य नियम \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}\) नहीं होता; इसलिए विकल्प D गलत है। परीक्षा-युक्ति: समान मूल वाले पदों को समान बीजीय पदों की तरह जोड़ें, मूलांकों को सीधे न जोड़ें। / Since \(\sqrt{8}=\sqrt{4\times2}=2\sqrt{2}\), we get \(\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\). This is not equal to \(\sqrt{10}\). The rule \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}\) is not generally valid, so option D is incorrect. Exam tip: simplify square roots first and combine only like radical terms; do not add radicands directly.
A. विपक्ष को चुनाव लड़ने से रोका जाए/Opposition is stopped from contesting elections
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में सभी प्रमुख विकल्पों को चुनाव में भाग लेने की स्वतंत्रता चाहिए। परीक्षा में निष्पक्ष प्रतियोगिता याद रखें। / In democracy major alternatives need freedom to contest elections. Exam tip: remember fair competition.
B. भुजा/side: \(3\sqrt{2}\) cm; परिमाप / perimeter: \(12\sqrt{2}\) cm
Explanation
Simple Explanation
वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)² होता है। इसलिए भुजा = \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\) cm। परिमाप = 4 × भुजा = \(4\times3\sqrt{2}=12\sqrt{2}\) cm। अतः विकल्प B सही है। विकल्प D में भुजा तो \(\sqrt{18}\) cm, अर्थात् \(3\sqrt{2}\) cm, सही दी गई है, लेकिन उसका परिमाप गलत है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग के प्रश्नों में पहले क्षेत्रफल से भुजा निकालें, फिर परिमाप के लिए उसे 4 से गुणा करें। / The area of a square is (side)². Hence, side = \(\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}\) cm. Its perimeter is 4 × side = \(4\times3\sqrt{2}=12\sqrt{2}\) cm, so option B is correct. In option D, \(\sqrt{18}\) cm is a correct form of the side, but the stated perimeter is incorrect. Exam tip: For a square, first find the side from the area and then multiply the side by 4 to obtain the perimeter.
A. क्योंकि जनता ने उन्हें सत्ता दी है/Because people have given them power
Explanation
Simple Explanation
जनता शासक चुनती है इसलिए शासक जनता को जवाबदेह रहते हैं। परीक्षा में चुनाव और जवाबदेही साथ लिखें। / People elect rulers so rulers remain accountable to people. Exam tip: write elections and accountability together.
हर में \(\sqrt{5}\) को हटाने के लिए अंश और हर दोनों को \(\sqrt{5}\) से गुणा करें: \(\frac{4}{\sqrt{5}}\times\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}\), क्योंकि \(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\)। इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प B मूल भिन्न का व्युत्क्रम है, जबकि C और D मूल संख्या के समतुल्य नहीं हैं। परीक्षा टिप: हर में एक अकेला वर्गमूल हो, तो अंश और हर को उसी वर्गमूल से गुणा करें। / To remove the square root from the denominator, multiply both numerator and denominator by \(\sqrt{5}\): \(\frac{4}{\sqrt{5}}\times\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}\), since \(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\). Therefore, option A is correct. Option B is the reciprocal of the original fraction, while C and D are not equivalent to it. Exam tip: when a denominator contains a single square root, multiply the numerator and denominator by that same square root.
B. शासक जनता द्वारा चुने जाते हैं या नहीं/Whether rulers are elected by people
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र की मूल पहचान जनता द्वारा चुने गए शासक हैं। परीक्षा में अनावश्यक जानकारी से भ्रमित न हों। / The basic identity of democracy is rulers elected by people. Exam tip: do not be confused by irrelevant information.
अंश और हर को \( \sqrt{3} \) से गुणा करने पर \( \frac{7\sqrt{3}}{6} \) मिलता है। हर में करणी हटनी चाहिए। / Multiplying numerator and denominator by \( \sqrt{3} \) gives \( \frac{7\sqrt{3}}{6} \). The radical should be removed from the denominator.
A. नागरिकों का वास्तविक विकल्प/Real choice of citizens
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में नागरिकों के सामने वास्तविक विकल्प होने चाहिए। परीक्षा में चुनावी विकल्प को मुख्य शर्त समझें। / In democracy citizens must have real choices. Exam tip: understand electoral choice as a main condition.
संयुग्मी \( \sqrt{6}-\sqrt{5} \) से गुणा करें और हर (6-5=1) बनेगा। इसलिए उत्तर \( \sqrt{6}-\sqrt{5} \) है। / Multiply by the conjugate \( \sqrt{6}-\sqrt{5} \) and the denominator becomes (6-5=1). So the answer is \( \sqrt{6}-\sqrt{5} \).
B. चुने हुए प्रतिनिधियों के/Elected representatives
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में प्रमुख निर्णय जनता द्वारा चुने गए प्रतिनिधि लेते हैं। परीक्षा में निर्णय शक्ति को चुनाव से जोड़ें। / In democracy major decisions are taken by representatives elected by people. Exam tip: connect decision power with elections.
\(\sqrt{2}\) एक अपरिमेय संख्या है, इसलिए इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती होता है। इसके विपरीत, \(0.125\) सांत दशमलव है, \(0.\overline{27}\) आवर्ती दशमलव है और \(\sqrt{81}=9\) एक परिमेय संख्या है। परीक्षा-युक्ति: परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार या तो सांत होता है या आवर्ती, जबकि अपरिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती होता है। / \(\sqrt{2}\) is an irrational number, so its decimal expansion is non-terminating and non-recurring. In contrast, \(0.125\) is terminating, \(0.\overline{27}\) is recurring, and \(\sqrt{81}=9\) is rational. Exam tip: the decimal expansion of every rational number is either terminating or recurring, whereas an irrational number has a non-terminating, non-recurring decimal expansion.
B. ताकि नागरिक सरकार बदल सकें या फिर से चुन सकें/So that citizens can change or re-elect government
Explanation
Simple Explanation
नियमित चुनाव जनता को सरकार पर नियंत्रण देते हैं। परीक्षा में समय समय पर चुनाव को जवाबदेही से जोड़ें। / Regular elections give people control over government. Exam tip: connect periodic elections with accountability.
\( \sqrt{45}=3\sqrt{5} \), \( \sqrt{80}=4\sqrt{5} \), और \( \sqrt{20}=2\sqrt{5} \)। इसलिए \(3\sqrt{5}+4\sqrt{5}-2\sqrt{5}=5\sqrt{5}\) नहीं बल्कि \(5\sqrt{5}\) होगा। / \( \sqrt{45}=3\sqrt{5} \), \( \sqrt{80}=4\sqrt{5} \), and \( \sqrt{20}=2\sqrt{5} \). So the value is \(3\sqrt{5}+4\sqrt{5}-2\sqrt{5}=5\sqrt{5}\).
B. लोकतंत्र में जनता शासकों को चुनती और बदल सकती है/In democracy people can choose and change rulers
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में जनता चुनाव से शासक चुनती और बदलती है। परीक्षा में चुनाव को जन नियंत्रण का साधन मानें। / In democracy people choose and change rulers through elections. Exam tip: treat elections as a tool of public control.
तीनों करणी को \( \sqrt{5} \) के पदों में बदलें। \(3\sqrt{5}+4\sqrt{5}-2\sqrt{5}=5\sqrt{5}\) सही है। / Convert all surds into terms of \( \sqrt{5} \). \(3\sqrt{5}+4\sqrt{5}-2\sqrt{5}=5\sqrt{5}\) is correct.
लोकतंत्र में प्रत्येक वोट का मूल्य बराबर होना चाहिए। परीक्षा में मतदान अधिकार के साथ समान मूल्य भी याद रखें। / In democracy every vote should have equal value. Exam tip: remember equal value along with voting right.
B. कथन गलत है; यह अपरिमेय संख्या है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।/The statement is incorrect; it is an irrational number because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार या तो सांत होता है या अनंत आवर्ती। दी गई संख्या में 1 के बीच शून्यों की संख्या लगातार बढ़ रही है, इसलिए कोई निश्चित अंक-समूह बार-बार नहीं दोहरता और प्रसार अनंत तथा अनावर्ती है। अतः यह अपरिमेय संख्या है। केवल प्रयुक्त अंकों की संख्या देखकर किसी संख्या को परिमेय नहीं कहा जा सकता। परीक्षा-युक्ति: दशमलव प्रसार का सांत या आवर्ती होना जाँचें, केवल अंकों के प्रकार नहीं। / A rational number has a terminating or an eventually repeating decimal expansion. In the given number, the number of zeros between successive 1s keeps increasing, so no fixed block of digits repeats. Hence its decimal expansion is non-terminating and non-repeating, making the number irrational. The fact that only two digits are used does not determine rationality. Exam tip: Check whether the decimal terminates or repeats, not merely which digits appear.
A. क्योंकि नागरिक जनमत और आलोचना से भी शासन को प्रभावित करते हैं/Because citizens also influence government through public opinion and criticism
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में नागरिक मतदान के साथ विचार और आलोचना से भी भूमिका निभाते हैं। परीक्षा में नागरिक भागीदारी का व्यापक अर्थ समझें। / In democracy citizens play a role through voting as well as views and criticism. Exam tip: understand the broader meaning of participation.
B. हर अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती होता है।/Every irrational number has a non-terminating and non-recurring decimal expansion.
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेय संख्याओं को ऐसे दशमलव प्रसार से दर्शाया जाता है जो अनंत और अनावर्ती होता है, इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A गलत है क्योंकि सभी परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार सांत नहीं होता; जैसे का प्रसार अनंत लेकिन आवर्ती है। पूर्णांक और परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का भाग हैं, इसलिए C और D भी गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: सांत या अनंत आवर्ती दशमलव परिमेय संख्या को, जबकि अनंत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय संख्या को दर्शाता है। / An irrational number has a decimal expansion that is non-terminating and non-recurring, so option B is correct. Option A is incorrect because not every rational number has a terminating decimal expansion; for example, has a non-terminating but recurring expansion. Integers and rational numbers are parts of the real number system, so options C and D are also false. Exam tip: a terminating or non-terminating recurring decimal represents a rational number, whereas a non-terminating non-recurring decimal represents an irrational number.
A. लोकतंत्र में शासक चुने जाते हैं जबकि राजतंत्र में वंश महत्वपूर्ण होता है/In democracy rulers are elected while in monarchy heredity is important
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र चुनाव आधारित है जबकि राजतंत्र में सत्ता अक्सर वंश से मिलती है। परीक्षा में चुनाव और वंश का अंतर स्पष्ट रखें। / Democracy is election based while monarchy often gives power through heredity. Exam tip: keep election and heredity distinct.
\( \sqrt{27}\times\sqrt{12}=\sqrt{324}=18 \)। गुणा में करणी के अंदर की संख्याएँ गुणा करें। / \( \sqrt{27}\times\sqrt{12}=\sqrt{324}=18 \). In multiplication, multiply the numbers inside the radicals.
C. सरकार स्वतंत्र चुनाव में जनता द्वारा चुनी गई/Government chosen by people in free elections
Explanation
Simple Explanation
जनता द्वारा स्वतंत्र चुनाव से बनी सरकार लोकतांत्रिक परिभाषा के निकट है। परीक्षा में स्रोत और तरीका दोनों देखें। / A government formed by people's free election is close to the democratic definition. Exam tip: check both source and method.
विकल्प B में \(2-\sqrt{2}\) एक अपरिमेय संख्या है, क्योंकि परिमेय संख्या में से अपरिमेय संख्या घटाने पर परिणाम अपरिमेय होता है। फिर \(\sqrt{2}+(2-\sqrt{2})=2\), जो परिमेय है। इसलिए यह उदाहरण विद्यार्थी के दावे को गलत सिद्ध करता है। विकल्प A, C और D अपरिमेय हैं। परीक्षा-युक्ति: दो अपरिमेय संख्याओं का योग कभी परिमेय और कभी अपरिमेय हो सकता है। / In option B, \(2-\sqrt{2}\) is irrational because subtracting an irrational number from a rational number gives an irrational result. However, \(\sqrt{2}+(2-\sqrt{2})=2\), which is rational. Thus, this example disproves the student's claim. Options A, C and D are irrational. Exam tip: The sum of two irrational numbers may be either rational or irrational.
A. हर व्यक्ति को समान वोट मूल्य/Equal vote value for every person
Explanation
Simple Explanation
समान वोट मूल्य राजनीतिक समानता का संकेत है। परीक्षा में राजनीतिक समानता और आर्थिक समानता अलग समझें। / Equal vote value is a sign of political equality. Exam tip: distinguish political equality from economic equality.
\(\sqrt{5}\) और \(-\sqrt{5}\) दोनों अपरिमेय संख्याएँ हैं, लेकिन उनका योग \(\sqrt{5}+(-\sqrt{5})=0\) है, और \(0\) एक परिमेय संख्या है। इसलिए यह उदाहरण विद्यार्थी के कथन को गलत सिद्ध करता है। अन्य विकल्पों में अपरिमेय संख्याओं के योग अपरिमेय ही रहते हैं। परीक्षा-युक्ति: दो अपरिमेय संख्याओं का योग हमेशा अपरिमेय नहीं होता; विपरीत संख्याओं का योग शून्य होता है। / Both \(\sqrt{5}\) and \(-\sqrt{5}\) are irrational, but \(\sqrt{5}+(-\sqrt{5})=0\), and \(0\) is rational. Therefore, this example disproves the student's claim. In the other options, the sums remain irrational. Exam tip: The sum of two irrational numbers is not always irrational; opposite irrational numbers can add to zero.
B. जनता की सहमति और चुनाव से/By people's consent and elections
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में वैधता जनता की सहमति और स्वतंत्र चुनाव से आती है। परीक्षा में वैधता को जनता से जोड़ें। / In democracy legitimacy comes from people's consent and free elections. Exam tip: connect legitimacy with people.
वर्ग के विकर्ण के लिए पाइथागोरस प्रमेय लगाने पर \(d^2=1^2+1^2=2\), इसलिए \(d=\sqrt{2}\) मीटर। \(\sqrt{2}\) को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता, इसलिए यह अपरिमेय संख्या है। विकल्प B में विकर्ण को 2 मीटर मानना गलत है; 2 वास्तव में विकर्ण के वर्ग का मान है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग की भुजा \(a\) हो तो विकर्ण \(a\sqrt{2}\) होता है। / Using the Pythagorean theorem for the square, \(d^2=1^2+1^2=2\), so \(d=\sqrt{2}\) metres. Since \(\sqrt{2}\) cannot be expressed as a ratio of two integers, it is irrational. Option B is incorrect because 2 is the value of the square of the diagonal, not the diagonal itself. Exam tip: the diagonal of a square with side \(a\) is \(a\sqrt{2}\).
आलोचना और जनमत सरकार को जवाबदेह रखते हैं। परीक्षा में चुनाव के साथ अभिव्यक्ति की जगह भी याद रखें। / Criticism and public opinion keep the government accountable. Exam tip: remember space for expression along with elections.
A. यह अपरिमेय संख्या है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।/It is an irrational number because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
विकल्प A सही है। परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार या तो समाप्त होता है या किसी निश्चित अंक-समूह की पुनरावृत्ति करता है। यहाँ 1 के बीच आने वाले शून्यों की संख्या लगातार बढ़ती है, इसलिए कोई निश्चित दोहराव नहीं बनता और प्रसार अनंत तथा अनावर्ती है। केवल 0 और 1 अंकों का प्रयोग होना संख्या को परिमेय नहीं बनाता। परीक्षा-युक्ति: किसी अनंत दशमलव को परिमेय मानने से पहले देखें कि उसमें आवर्ती पैटर्न है या नहीं। / Option A is correct. The decimal expansion of a rational number is either terminating or recurring. In this number, the number of zeros between successive 1s keeps increasing, so no fixed block repeats; hence the expansion is non-terminating and non-repeating. Using only the digits 0 and 1 does not make a number rational. Exam tip: For an infinite decimal, check whether a fixed repeating pattern exists before classifying it as rational.
चुने हुए शासक का अर्थ है शासक जन्म या वंश से नहीं तय होते। परीक्षा में परिभाषा के नकारात्मक अर्थ भी समझें। / Elected rulers means rulers are not decided by birth or heredity. Exam tip: understand the negative meaning of the definition too.
पहला पद \( \frac{3}{4} \) और दूसरा \( \frac{5}{6} \) है। योग \( \frac{9}{12}+\frac{10}{12}=\frac{19}{12} \) मिलता है। / The first term is \( \frac{3}{4} \) and the second is \( \frac{5}{6} \). The sum is \( \frac{9}{12}+\frac{10}{12}=\frac{19}{12} \).
A. ताकि निर्णय जनता की इच्छा से जुड़ें/So that decisions are linked with people's will
Explanation
Simple Explanation
चुने हुए निर्णयकर्ता जनता के प्रति जवाबदेह रहते हैं। परीक्षा में निर्णय शक्ति और जवाबदेही का संबंध लिखें। / Elected decision makers remain accountable to people. Exam tip: write the relation between decision power and accountability.
\( \sqrt{\frac{49}{100}}=\frac{7}{10} \) और \( \sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{2}{5} \) है। अंतर \( \frac{3}{10} \) है। / \( \sqrt{\frac{49}{100}}=\frac{7}{10} \) and \( \sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{2}{5} \). The difference is \( \frac{3}{10} \).
A. स्वतंत्र प्रतियोगिता और वास्तविक विकल्प/Free competition and real choice
Explanation
Simple Explanation
लोकतांत्रिक चुनाव में स्वतंत्र प्रतियोगिता और विकल्प आवश्यक हैं। परीक्षा में चुनाव की पूरी प्रक्रिया समझें। / Democratic elections need free competition and choice. Exam tip: understand the whole election process.
