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For onto, every \(y\in\mathbb{R}\) must have some preimage \(x\in\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
From \(y=x^3-1\), we get \(x=\sqrt[3]{y+1}\), which is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
In exams, cubic functions often cover all real values. चरण 1: आच्छादक होने के लिए हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए कोई \(x\in\mathbb{R}\) मिलना चाहिए। चरण 2: \(y=x^3-1\) से \(x=\sqrt[3]{y+1}\) मिलता है जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। चरण 3: परीक्षा में घन फलनों का परास ध्यान से देखें क्योंकि वे अक्सर पूरे \(\mathbb{R}\) को ढकते हैं।
B. नहीं क्योंकि (4) से छोटी संख्याएँ नहीं मिलतीं/No because numbers less than (4) are not obtained
Step 1
Concept
Since \(x^2\ge 0\), we have \(x^2+4\ge 4\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is \(\mathbb{R}\), but the range is only \([4,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
Always compare the range with the codomain for onto questions. चरण 1: \(x^2\ge 0\) होता है इसलिए \(x^2+4\ge 4\)। चरण 2: सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) है पर परास केवल \([4,\infty\)) है। चरण 3: आच्छादक जाँचते समय सहक्षेत्र और परास की बराबरी अवश्य देखें।
For every \(y\ge 2\), we can take \(x=\sqrt{y-2}\).
Step 3
Exam Tip
A quadratic function can become onto when the codomain matches its actual range. चरण 1: \(x^2\ge 0\) से (f(x)=x-2+2\ge 2)। चरण 2: (2) से बड़ी या बराबर हर संख्या (y) के लिए \(x=\sqrt{y-2}\) लिया जा सकता है। चरण 3: सही सहक्षेत्र चुनने पर वही द्विघात फलन आच्छादक बन सकता है।
The codomain \(\mathbb{N}\) contains (1), but (1) has no preimage.
Step 3
Exam Tip
In natural-number questions, checking the first few codomain values is very helpful. चरण 1: (f(n)=n+1) से मान \(2,3,4,\ldots\) मिलते हैं। चरण 2: सहक्षेत्र \(\mathbb{N}\) में (1) है पर (1) किसी (n) से प्राप्त नहीं होता। चरण 3: प्राकृतिक संख्याओं वाले प्रश्नों में पहला मान अलग से जाँचना उपयोगी होता है।
A. क्योंकि हर \(y\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=y+5) पूर्णांक है/Because for every \(y\in\mathbb{Z}\), (x=y+5) is an integer
Step 1
Concept
Take any target value \(y\in\mathbb{Z}\).
Step 2
Why this answer is correct
From (y=x-5), we get (x=y+5), which is an integer.
Step 3
Exam Tip
For linear functions, solving for (x) is a quick way to test onto. चरण 1: किसी भी \(y\in\mathbb{Z}\) को लक्ष्य मान मानिए। चरण 2: (y=x-5) से (x=y+5) मिलता है और यह पूर्णांक है। चरण 3: रैखिक फलन में उलटा मान निकालकर आच्छादकता जल्दी जाँची जा सकती है।
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Not onto because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\(e^x\) is always greater than (0).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative numbers and (0), which are not in the range.
Step 3
Exam Tip
Remembering the range of exponential functions helps in onto questions. चरण 1: \(e^x\) हमेशा (0) से बड़ा होता है। चरण 2: सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ और (0) हैं जो परास में नहीं आतीं। चरण 3: घातीय फलन में परास को याद रखना आच्छादकता के लिए बहुत जरूरी है।
The codomain is also (\(0,\infty\)), so for every (y>0), \(x=\ln y\) exists.
Step 3
Exam Tip
Never ignore the given codomain in onto problems. चरण 1: \(e^x\) का परास (\(0,\infty\)) है। चरण 2: सहक्षेत्र भी (\(0,\infty\)) दिया है इसलिए हर लक्ष्य मान (y>0) के लिए \(x=\ln y\) मिल जाता है। चरण 3: आच्छादकता में दिए गए सहक्षेत्र को अनदेखा न करें।
B. यह आच्छादक नहीं है क्योंकि परास ([-1,1]) है/It is not onto because range is ([-1,1])
Step 1
Concept
\(\sin x\) always lies between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) has values like (2), which are never obtained.
Step 3
Exam Tip
First identify the bounded range of trigonometric functions. चरण 1: \(\sin x\) का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। चरण 2: सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में (2) जैसे मान हैं जो कभी नहीं मिलते। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलनों के सीमित परास को पहले पहचानें।
The codomain is also ([-1,1]), so every codomain value is attained.
Step 3
Exam Tip
A function is onto when its codomain equals its actual range. चरण 1: \(\cos x\) का परास ([-1,1]) होता है। चरण 2: सहक्षेत्र भी ([-1,1]) है इसलिए हर मान मिल सकता है। चरण 3: जब सहक्षेत्र वास्तविक परास के बराबर हो तो फलन आच्छादक होता है।
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Not onto because negative values are not obtained
Step 1
Concept
(|x|) is always (0) or positive.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains values like (-3), which cannot be obtained from (|x|).
Step 3
Exam Tip
Negative target values quickly show that the modulus function is not onto over \(\mathbb{R}\). चरण 1: (|x|) का मान हमेशा (0) या धनात्मक होता है। चरण 2: सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में (-3) जैसे मान हैं जो (|x|) से नहीं मिलते। चरण 3: मापांक फलन में ऋणात्मक लक्ष्य मान तुरंत आच्छादकता तोड़ देते हैं।
To make the modulus function onto, choose codomain \([0,\infty\)). चरण 1: (|x|) का परास \([0,\infty\)) है। चरण 2: हर \(y\ge 0\) के लिए (x=y) लेने पर (|x|=y) मिल जाता है। चरण 3: मापांक फलन को आच्छादक बनाने के लिए सहक्षेत्र को \([0,\infty\)) रखना चाहिए।
A non-zero-slope linear function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is onto. चरण 1: किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए समीकरण (y=2x+7) हल करें। चरण 2: \(x=\frac{y-7}{2}\) हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। चरण 3: शून्येतर ढाल वाला रैखिक फलन \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक होता है।
The constant function (f(x)=5) always gives only (5).
Step 2
Why this answer is correct
Other codomain values such as (4) and (6) are not obtained.
Step 3
Exam Tip
If the range has only one value and the codomain is larger, the function is not onto. चरण 1: स्थिर फलन (f(x)=5) हमेशा केवल (5) देता है। चरण 2: सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) के बाकी मान जैसे (4) और (6) नहीं मिलते। चरण 3: यदि परास में केवल एक मान हो और सहक्षेत्र बड़ा हो तो फलन आच्छादक नहीं होगा।
The codomain also contains only (5), so every codomain value is attained.
Step 3
Exam Tip
A constant function can be onto if the codomain has exactly that one value. चरण 1: फलन का मान हर (x) पर (5) है। चरण 2: सहक्षेत्र में भी केवल (5) है इसलिए सहक्षेत्र का हर मान मिल गया। चरण 3: स्थिर फलन छोटे एक-सदस्य सहक्षेत्र पर आच्छादक हो सकता है।
B. नहीं क्योंकि (c) का पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/No because (c) has no preimage
Step 1
Concept
For onto, every element of (B) must be obtained at least once.
Step 2
Why this answer is correct
Here (a) and (b) are obtained, but (c) is not.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, mark each codomain element and check whether all are hit. चरण 1: आच्छादकता में (B) के हर सदस्य को कम से कम एक बार मिलना चाहिए। चरण 2: यहाँ (a) और (b) मिलते हैं पर (c) नहीं मिलता। चरण 3: सीमित समुच्चयों में सहक्षेत्र के प्रत्येक सदस्य पर निशान लगाकर जाँच करें।
Both (p) and (q) are obtained, so no codomain element is missed.
Step 3
Exam Tip
Onto does not require distinct preimages, only that every codomain element is hit. चरण 1: सहक्षेत्र (B) के सदस्य (p) और (q) हैं। चरण 2: (p) भी मिलता है और (q) भी मिलता है इसलिए कोई सदस्य छूटा नहीं। चरण 3: आच्छादकता के लिए अलग-अलग पूर्वप्रतिबिंब जरूरी नहीं बस हर सहक्षेत्र सदस्य मिलना चाहिए।
A. हर \(b\in B\) के लिए कोई \(a\in A\) हो जिससे (f(a)=b)/For every \(b\in B\), there exists \(a\in A\) such that (f(a)=b)
Step 1
Concept
Onto is a condition about every element of the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
If every \(b\in B\) is the image of some \(a\in A\), then range equals (B).
Step 3
Exam Tip
In definition questions, identify the statement that starts from the codomain. चरण 1: आच्छादकता सहक्षेत्र के हर सदस्य से जुड़ी शर्त है। चरण 2: यदि हर \(b\in B\) किसी \(a\in A\) का प्रतिबिंब है तो परास (B) के बराबर है। चरण 3: परिभाषा वाले प्रश्नों में (B) से शुरू होने वाली शर्त पहचानें।
In an onto function, no codomain element is left out.
Step 2
Why this answer is correct
Hence the range of the function equals the whole codomain.
Step 3
Exam Tip
The shortest test for onto is to compare range and codomain. चरण 1: आच्छादक फलन में सहक्षेत्र का कोई भी सदस्य छूटता नहीं। चरण 2: इसलिए फलन का परास पूरे सहक्षेत्र के बराबर होता है। चरण 3: आच्छादकता की सबसे छोटी परीक्षा यही है कि परास और सहक्षेत्र बराबर हैं या नहीं।
Therefore the minimum value is (1), and the range is \([1,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
Completing the square quickly reveals whether a quadratic is onto. चरण 1: (x-2-6x+10=(x-3)2+1)। चरण 2: इसलिए सबसे छोटा मान (1) है और परास \([1,\infty\)) है। चरण 3: वर्ग पूर्ण करने से द्विघात फलन की आच्छादकता जल्दी समझ आती है।
Its range is \([1,\infty\)), which equals the given codomain.
Step 3
Exam Tip
The same formula can give a different answer when the codomain changes. चरण 1: (f(x)=(x-3)2+1) है। चरण 2: इसका परास \([1,\infty\)) है जो दिए गए सहक्षेत्र के बराबर है। चरण 3: समान सूत्र अलग सहक्षेत्र के कारण अलग उत्तर दे सकता है।
\(x^3+x\) is a continuous increasing function because \(3x^2+1>0\).
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to \infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to -\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
Such cubic functions cover all real values. चरण 1: \(x^3+x\) एक सतत बढ़ता हुआ फलन है क्योंकि \(3x^2+1>0\)। चरण 2: \(x\to \infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to -\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है। चरण 3: ऐसे घन फलन पूरे \(\mathbb{R}\) को ढकते हैं।
Therefore \(x^4+1\ge 1\), so values less than (1) are not obtained.
Step 3
Exam Tip
For even-power functions, check the minimum value to test onto. चरण 1: \(x^4\ge 0\) होता है। चरण 2: इसलिए \(x^4+1\ge 1\) और (1) से छोटी संख्याएँ नहीं मिलतीं। चरण 3: सम घात वाले फलनों में न्यूनतम मान देखकर आच्छादकता जाँचें।
Choosing \(x=\sqrt{y}\) gives \(x\in[0,\infty\)) and \(x^2=y\).
Step 3
Exam Tip
Restricting the domain can make the square function onto for a suitable codomain. चरण 1: सहक्षेत्र का कोई भी मान \(y\ge 0\) लें। चरण 2: \(x=\sqrt{y}\) लेने पर \(x\in[0,\infty\)) और \(x^2=y\) मिल जाता है। चरण 3: प्रांत को सीमित करने से \(x^2\) वाला फलन आच्छादक बन सकता है।
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Not onto because negative values are not obtained
Step 1
Concept
Even when \(x\ge 0\), \(x^2\ge 0\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values that are not obtained.
Step 3
Exam Tip
Getting some values is not enough; the whole codomain must be covered. चरण 1: \(x\ge 0\) होने पर भी \(x^2\ge 0\) ही रहता है। चरण 2: सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक मान हैं जो नहीं मिलते। चरण 3: केवल कुछ मान मिलना काफी नहीं पूरे सहक्षेत्र का मिलना जरूरी है।
A. यह पूरे \(\mathbb{R}\) पर परिभाषित नहीं है/It is not defined on all of \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
\(\tan x\) is not defined at \(x=\frac{\pi}{2}+n\pi\).
Step 2
Why this answer is correct
So it cannot directly be treated as a function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
Before testing onto, check whether the rule is defined on the entire domain. चरण 1: \(\tan x\) \(x=\frac{\pi}{2}+n\pi\) पर परिभाषित नहीं होता। चरण 2: इसलिए इसे \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) तक फलन की तरह सीधे नहीं माना जा सकता। चरण 3: आच्छादकता से पहले यह जाँचें कि दिया गया नियम पूरे प्रांत पर परिभाषित है या नहीं।
As (x) approaches the ends, the values cover all real numbers from \(-\infty\) to \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
The chosen interval is very important for trigonometric functions. चरण 1: \(\tan x\) इस खुले अंतराल पर परिभाषित है। चरण 2: (x) जैसे-जैसे सिरों के पास जाता है मान \(-\infty\) से \(\infty\) तक सभी वास्तविक मान लेता है। चरण 3: त्रिकोणमितीय फलन में चुना गया अंतराल बहुत महत्वपूर्ण होता है।
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि परास ((-1,1)) है/Not onto because range is ((-1,1))
Step 1
Concept
\(\frac{x}{1+|x|}\) never reaches (1) or (-1).
Step 2
Why this answer is correct
Its range is ((-1,1)), while the codomain is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
For rational-type expressions, estimate bounds and possible values. चरण 1: \(\frac{x}{1+|x|}\) का मान कभी (1) या (-1) तक नहीं पहुँचता। चरण 2: इसका परास ((-1,1)) है जबकि सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) है। चरण 3: भिन्न वाले फलनों में सीमा और संभावित मानों का अनुमान लगाएँ।
The codomain is also ((-1,1)), so no target value is left out.
Step 3
Exam Tip
A bounded-range function can be onto if the codomain is chosen correctly. चरण 1: इस फलन का वास्तविक परास ((-1,1)) है। चरण 2: सहक्षेत्र भी ((-1,1)) दिया गया है इसलिए कोई लक्ष्य मान बाहर नहीं बचता। चरण 3: सीमाबद्ध परास वाले फलन को सही सहक्षेत्र देकर आच्छादक बनाया जा सकता है।
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि (1) नहीं मिलता/Not onto because (1) is not obtained
Step 1
Concept
\(\frac{x^2}{1+x^2}\ge 0\) and it remains less than (1).
Step 2
Why this answer is correct
At (x=0), (0) is obtained, but (1) is never obtained for any real (x).
Step 3
Exam Tip
In closed codomains, always check whether endpoints are actually attained. चरण 1: \(\frac{x^2}{1+x^2}\ge 0\) और यह (1) से छोटा रहता है। चरण 2: (x=0) पर (0) मिलता है पर (1) किसी वास्तविक (x) से नहीं मिलता। चरण 3: बंद सहक्षेत्र में अंतिम बिंदु मिलते हैं या नहीं यह जरूर जाँचें।
The function starts at (0) and approaches (1), but never becomes (1).
Step 2
Why this answer is correct
Hence the actual range is ([0,1)).
Step 3
Exam Tip
Open or closed endpoints in the codomain can change the answer. चरण 1: फलन का मान (0) से शुरू होकर (1) के पास जाता है पर (1) नहीं बनता। चरण 2: इसलिए वास्तविक परास ([0,1)) है। चरण 3: सहक्षेत्र में खुला या बंद सिरा आच्छादकता का उत्तर बदल सकता है।
The minimum value is \(-\frac{1}{4}\), so smaller values are not obtained.
Step 3
Exam Tip
For quadratics, use the vertex form to find the range. चरण 1: (x-2-x=\left\(x-\frac{1}{2}\right\)2-\frac{1}{4})। चरण 2: न्यूनतम मान \(-\frac{1}{4}\) है इसलिए इससे छोटी संख्याएँ नहीं मिलतीं। चरण 3: द्विघात फलन में शीर्ष बिंदु से परास निकालना आसान होता है।
Its range is \(\left[-\frac{1}{4},\infty\right\)), exactly the given codomain.
Step 3
Exam Tip
Once range and codomain match, onto is proved. चरण 1: (f(x)=\left\(x-\frac{1}{2}\right\)2-\frac{1}{4}) है। चरण 2: इसका परास \(\left[-\frac{1}{4},\infty\right\)) है और यही सहक्षेत्र दिया गया है। चरण 3: परास और सहक्षेत्र बराबर मिलते ही आच्छादकता सिद्ध हो जाती है।
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि विषम पूर्णांक नहीं मिलते/Not onto because odd integers are not obtained
Step 1
Concept
(2x) is always an even integer.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{Z}\) also contains odd integers such as (1) and (3).
Step 3
Exam Tip
For integer functions, pay attention to parity. चरण 1: (2x) हमेशा सम पूर्णांक होता है। चरण 2: सहक्षेत्र \(\mathbb{Z}\) में (1) और (3) जैसे विषम पूर्णांक भी हैं। चरण 3: पूर्णांक वाले प्रश्नों में सम-विषम प्रकृति पर ध्यान दें।
Any even integer (y) can be written as (y=2k), and taking (x=k) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
With codomain restricted to even integers, this function is onto. चरण 1: \(2\mathbb{Z}\) सभी सम पूर्णांकों का समुच्चय है। चरण 2: किसी भी सम पूर्णांक (y) के लिए (y=2k) होगा और (x=k) लेने पर (f(x)=y)। चरण 3: सहक्षेत्र को सम पूर्णांकों तक रखने पर यह फलन आच्छादक हो जाता है।
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि सम प्राकृतिक संख्याएँ नहीं मिलतीं/Not onto because even natural numbers are not obtained
Step 1
Concept
(2n-1) always gives an odd natural number.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{N}\) also contains even values \(2,4,6,\ldots\), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
When a formula gives only odd or even values, check onto carefully. चरण 1: (2n-1) हमेशा विषम प्राकृतिक संख्या देता है। चरण 2: सहक्षेत्र \(\mathbb{N}\) में \(2,4,6,\ldots\) जैसे सम मान भी हैं जो नहीं मिलते। चरण 3: जब सूत्र केवल विषम या सम मान देता हो तो आच्छादकता सावधानी से जाँचें।
The codomain is also the set of odd natural numbers.
Step 3
Exam Tip
If the target set is exactly what the formula produces, the function is onto. चरण 1: (2n-1) सभी विषम प्राकृतिक संख्याएँ देता है। चरण 2: सहक्षेत्र भी विषम प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। चरण 3: यदि लक्ष्य समुच्चय वही है जो सूत्र वास्तव में देता है तो फलन आच्छादक होता है।
Since \(1+x^2\ge 1\), \(\frac{1}{1+x^2}\) is greater than (0) and at most (1).
Step 2
Why this answer is correct
Its range is ((0,1]), while the codomain is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
For rational functions, the minimum denominator helps determine the range. चरण 1: \(1+x^2\ge 1\) इसलिए \(\frac{1}{1+x^2}\) (0) से बड़ा और (1) तक होता है। चरण 2: इसका परास ((0,1]) है जबकि सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) है। चरण 3: भिन्न फलन में हर का न्यूनतम मान परास समझने में मदद करता है।
As (x) grows large, the value approaches (0) but never becomes (0), so the range is ((0,1]).
Step 3
Exam Tip
Whether a boundary value is attained matters in onto questions. चरण 1: (x=0) पर मान (1) मिलता है। चरण 2: (x) बड़ा होने पर मान (0) के पास जाता है पर (0) नहीं होता इसलिए परास ((0,1]) है। चरण 3: सीमा पर मिले या न मिले यह आच्छादकता में महत्वपूर्ण है।
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि केवल पूर्णांक मान मिलते हैं/Not onto because only integer values are obtained
Step 1
Concept
\(\lfloor x\rfloor\) gives the greatest integer not greater than (x).
Step 2
Why this answer is correct
Hence its range is \(\mathbb{Z}\), not \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
For the floor function, decimal target values are never obtained. चरण 1: \(\lfloor x\rfloor\) हर (x) के लिए सबसे बड़ा पूर्णांक देता है जो (x) से बड़ा नहीं होता। चरण 2: इसलिए परास \(\mathbb{Z}\) है \(\mathbb{R}\) नहीं। चरण 3: मंजिल फलन में दशमलव लक्ष्य मान कभी नहीं मिलते।
For any integer (k), taking (x=k) gives \(\lfloor x\rfloor=k\).
Step 2
Why this answer is correct
Thus every element of \(\mathbb{Z}\) is obtained.
Step 3
Exam Tip
The floor function is onto when the codomain is \(\mathbb{Z}\). चरण 1: किसी भी पूर्णांक (k) के लिए (x=k) लेने पर \(\lfloor x\rfloor=k\) मिलता है। चरण 2: इसलिए \(\mathbb{Z}\) का हर सदस्य प्राप्त हो जाता है। चरण 3: मंजिल फलन \(\mathbb{Z}\) सहक्षेत्र पर आच्छादक है।
B. नहीं क्योंकि (B) में अधिक सदस्य हैं/No because (B) has more elements
Step 1
Concept
In an onto function, every element of (B) needs at least one preimage.
Step 2
Why this answer is correct
(A) has (3) elements while (B) has (4), so all four elements cannot be covered.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, if (|A|<|B|), an onto function cannot exist. चरण 1: आच्छादक फलन में (B) के हर सदस्य को कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: (A) में (3) सदस्य हैं पर (B) में (4) सदस्य हैं इसलिए चारों को ढकना असंभव है। चरण 3: सीमित समुच्चयों में यदि (|A|<|B|) हो तो आच्छादक फलन नहीं बन सकता।
For onto, the domain must have at least as many elements as the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(5\ge 3\), so such a function can be constructed.
Step 3
Exam Tip
Multiple domain elements may map to the same codomain element. चरण 1: आच्छादकता के लिए प्रांत में कम से कम सहक्षेत्र जितने सदस्य होने चाहिए। चरण 2: यहाँ \(5\ge 3\) है इसलिए ऐसा फलन बनाया जा सकता है। चरण 3: अधिक प्रांत सदस्य एक ही सहक्षेत्र सदस्य पर जा सकते हैं।
Non-onto functions use only one codomain element, so there are (2) such functions.
Step 3
Exam Tip
Therefore onto functions are (8-2=6); complement counting is quick for small sets. चरण 1: कुल फलनों की संख्या \(2^3=8\) है। चरण 2: आच्छादक नहीं होने वाले फलन वे हैं जिनका परास केवल एक सदस्य है ऐसे (2) फलन हैं। चरण 3: अतः आच्छादक फलन (8-2=6) हैं और छोटे समुच्चयों में पूरक विधि तेज रहती है।
To be onto, both target elements must be hit, so the function is a one-to-one pairing.
Step 3
Exam Tip
The number of such pairings is (2!=2). चरण 1: दोनों समुच्चयों में समान (2) सदस्य हैं। चरण 2: आच्छादक होने के लिए दोनों लक्ष्य सदस्य मिलने चाहिए इसलिए फलन वास्तव में एक-एक मेल होगा। चरण 3: ऐसे मेलों की संख्या (2!=2) होती है।
Since (B) has (4) elements, the range must also have (4) elements.
Step 3
Exam Tip
For an onto function, the range size cannot be less than the codomain size. चरण 1: आच्छादक फलन में परास सहक्षेत्र के बराबर होता है। चरण 2: (B) में (4) सदस्य हैं इसलिए परास में भी (4) सदस्य होंगे। चरण 3: आच्छादकता में परास का आकार सहक्षेत्र के आकार से कम नहीं हो सकता।
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Not onto because negative values are not obtained
Step 1
Concept
Since \(1+x^2\ge 1\), (\ln\(1+x^2\)\ge 0).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values that are not obtained.
Step 3
Exam Tip
For logarithmic functions, check both the input expression and the minimum value. चरण 1: \(1+x^2\ge 1\) इसलिए (\ln\(1+x^2\)\ge 0)। चरण 2: सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक मान हैं जो नहीं मिलते। चरण 3: लघुगणक वाले फलन में अंदर की मात्रा और न्यूनतम मान दोनों देखें।
For any \(y\ge 0\), from \(1+x^2=e^y\), we can take \(x=\sqrt{e^y-1}\).
Step 3
Exam Tip
Solving for (x) from the target value is a strong method to prove onto. चरण 1: (f(x)\ge 0) और (x=0) पर (0) मिलता है। चरण 2: किसी भी \(y\ge 0\) के लिए \(1+x^2=e^y\) से \(x=\sqrt{e^y-1}\) मिल सकता है। चरण 3: लक्ष्य मान से (x) निकालकर आच्छादकता सिद्ध करना अच्छा तरीका है।
Rewriting into cubic form makes the range clear. चरण 1: (x-3-3x-2+3x=(x-1)3+1) है। चरण 2: घन फलन ((x-1)3+1) सभी वास्तविक मान लेता है। चरण 3: घन के रूप में बदलने से परास साफ दिखता है।
Since (g) is onto, for every target (y), there is some (u) with (g(u)=y).
Step 2
Why this answer is correct
Since (f) is onto, for that (u), there is some (x) with (f(x)=u).
Step 3
Exam Tip
Therefore (g(f(x))=y), so the composition is also onto. चरण 1: (g) आच्छादक है इसलिए हर लक्ष्य (y) के लिए कोई (u) है जिससे (g(u)=y)। चरण 2: (f) आच्छादक है इसलिए उस (u) के लिए कोई (x) है जिससे (f(x)=u)। चरण 3: इसलिए (g(f(x))=y) और संयोजन भी आच्छादक है।
When \(x\in[-2,2]\), \(x^2\) takes values from (0) to (4).
Step 2
Why this answer is correct
For any \(y\in[0,4]\), taking \(x=\sqrt{y}\) gives \(x\in[-2,2]\) and (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
In exams, decide onto only after checking both the domain and the codomain. चरण 1: \(x\in[-2,2]\) होने पर \(x^2\) का मान (0) से (4) तक होता है। चरण 2: किसी भी \(y\in[0,4]\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) लेने पर \(x\in[-2,2]\) और (f(x)=y) मिल जाता है। चरण 3: परीक्षा में प्रांत और सहक्षेत्र दोनों देखकर ही आच्छादकता तय करें।
