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B. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) is present but ((2,1)) is not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
Every needed forward-chain result such as ((1,3),(2,4),(1,4)) is present, so transitivity holds. चरण 1: सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। चरण 2: ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। चरण 3: आगे बढ़ने वाली हर जरूरी शृंखला का परिणाम जैसे ((1,3),(2,4),(1,4)) मौजूद है, इसलिए संक्रामकता पूरी है।
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
The greatest common divisor of each element with itself is the element, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
The greatest common divisor does not change when order is reversed, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
(2R6) and (6R3) hold, but (2R3) does not, so transitivity fails. चरण 1: हर तत्व का अपने साथ सबसे बड़ा समापवर्तक वही तत्व है, इसलिए परावर्तन है। चरण 2: सबसे बड़ा समापवर्तक क्रम बदलने से नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। चरण 3: (2R6) और (6R3) सही हैं, पर (2R3) सही नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल है।
B. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
\(\frac{a}{a}=1\) is rational, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
If \(\frac{a}{b}\) is rational, then \(\frac{b}{a}\) is rational, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
If \(\frac{a}{b}\) and \(\frac{b}{c}\) are rational, then \(\frac{a}{c}\) is rational, so transitivity holds. चरण 1: \(\frac{a}{a}=1\) परिमेय है, इसलिए परावर्तन है। चरण 2: यदि \(\frac{a}{b}\) परिमेय है, तो \(\frac{b}{a}\) भी परिमेय है, इसलिए सममितता है। चरण 3: \(\frac{a}{b}\) और \(\frac{b}{c}\) परिमेय हों तो \(\frac{a}{c}\) भी परिमेय होगा, इसलिए संक्रामकता है।
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
For ((1,1)), the sum (2) is prime, but for ((2,2)), the sum (4) is not, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) is unchanged by reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((2,3)) and ((3,4)) hold, but ((2,4)) does not, so transitivity fails. चरण 1: ((1,1)) में योग (2) अभाज्य है, पर ((2,2)) में योग (4) अभाज्य नहीं है, इसलिए परावर्तन नहीं है। चरण 2: (a+b) क्रम बदलने पर नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,1)) हैं पर ((1,1)) भी है; संक्रामकता की टूटन के लिए ((2,3)) और ((3,4)) हैं पर ((2,4)) नहीं है।
Divisibility of (a-b) by (4) means the same remainder modulo (4).
Step 2
Why this answer is correct
The remainder of (3) is (3), so its class contains all integers of the form (4k+3).
Step 3
Exam Tip
Include only elements with the same remainder in the class. चरण 1: (a-b) का (4) से विभाज्य होना समान शेषफल दिखाता है। चरण 2: (3) का शेषफल (3) है, इसलिए उसके वर्ग में (4k+3) रूप वाले सभी पूर्णांक होंगे। चरण 3: वर्ग लिखते समय केवल समान शेषफल वाले तत्व ही शामिल करें।
B. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(1) is divisible by neither (2) nor (3), so ((1,1)) is not in the relation and reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
Both conditions are unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
(2R6) and (6R3) hold, but (2R3) does not, so transitivity fails. चरण 1: (1) न (2) से और न (3) से विभाज्य है, इसलिए ((1,1)) संबंध में नहीं होगा और परावर्तन नहीं है। चरण 2: दोनों शर्तें क्रम बदलने पर भी वैसी ही रहती हैं, इसलिए सममितता है। चरण 3: (2R6) और (6R3) सही हैं, पर (2R3) सही नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है।
B. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
No self-pair has been removed, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
The two removed pairs are reverses of each other, so symmetry remains.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) and ((2,4)) are present, but ((1,4)) is missing, so transitivity fails. चरण 1: कोई स्वयुग्म नहीं हटाया गया, इसलिए परावर्तन है। चरण 2: हटाए गए दोनों युग्म एक-दूसरे के उल्टे हैं, इसलिए सममितता बनी रहती है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,4)) मौजूद हैं, पर ((1,4)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है।
The number of symmetric relations on (4) elements is \(2^{10}\).
Step 2
Why this answer is correct
The number of reflexive and symmetric relations is \(2^6\).
Step 3
Exam Tip
The ratio is \(2^{10}:2^6=2^4:1\). चरण 1: (4) तत्वों पर सममित संबंधों की संख्या \(2^{10}\) है। चरण 2: परावर्ती और सममित संबंधों की संख्या \(2^6\) है। चरण 3: अनुपात \(2^{10}:2^6=2^4:1\) होगा।
The condition (a+b=6) adds ((1,5),(5,1),(2,4),(4,2)); ((3,3)) is already counted.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (5+4=9). चरण 1: स्वयुग्मों से (5) युग्म मिलते हैं। चरण 2: (a+b=6) से ((1,5),(5,1),(2,4),(4,2)) अतिरिक्त युग्म मिलते हैं; ((3,3)) पहले से गिना जा चुका है। चरण 3: कुल (5+4=9) युग्म होंगे।
A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
\(a^2-a^2=0\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^2-1^2\ge0\) is true, but \(1^2-2^2\ge0\) is not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
\(a^2\ge b^2\) and \(b^2\ge c^2\) imply \(a^2\ge c^2\), so it is transitive. चरण 1: \(a^2-a^2=0\), इसलिए परावर्तन है। चरण 2: \(2^2-1^2\ge0\) सही है, पर \(1^2-2^2\ge0\) सही नहीं, इसलिए सममितता नहीं है। चरण 3: \(a^2\ge b^2\) और \(b^2\ge c^2\) से \(a^2\ge c^2\), इसलिए संक्रामकता है।
A. यह तुल्यता संबंध है और वर्ग अकेले-अकेले हैं/It is an equivalence relation with singleton classes
Step 1
Concept
Both same-remainder conditions are reflexive, symmetric and transitive.
Step 2
Why this answer is correct
Having the same remainders modulo (2) and modulo (3) means being the same number in this set.
Step 3
Exam Tip
Hence every element forms a singleton class and the relation is an equivalence relation. चरण 1: दोनों समान शेषफल वाली शर्तें परावर्ती, सममित और संक्रामक होती हैं। चरण 2: (2) और (3) दोनों के लिए समान शेषफल होने का अर्थ इस छोटे समुच्चय में समान संख्या होना है। चरण 3: इसलिए हर तत्व अपना अलग वर्ग बनाता है और संबंध तुल्यता है।
(1,2,3) are related to each other in all directions, so they form one class.
Step 2
Why this answer is correct
(4) is related only to itself, so it forms another class.
Step 3
Exam Tip
The classes are ({1,2,3}) and ({4}), so there are (2) classes. चरण 1: (1,2,3) आपस में सभी दिशाओं में जुड़े हैं, इसलिए वे एक वर्ग बनाते हैं। चरण 2: (4) केवल अपने आप से जुड़ा है, इसलिए वह अलग वर्ग है। चरण 3: कुल वर्ग ({1,2,3}) और ({4}) हैं, यानी (2) वर्ग।
If ((a,b)) is in \(R\cap S\), it is in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
Since both are symmetric, ((b,a)) is in both.
Step 3
Exam Tip
Hence ((b,a)) is in \(R\cap S\), so the intersection is symmetric. चरण 1: यदि ((a,b)) \(R\cap S\) में है, तो वह (R) और (S) दोनों में है। चरण 2: दोनों सममित हैं, इसलिए ((b,a)) दोनों में होगा। चरण 3: इसलिए ((b,a)) \(R\cap S\) में भी होगा और प्रतिच्छेद सममित रहेगा।
Since (R) is reflexive, it contains every self-pair.
Step 2
Why this answer is correct
(S) also contains every self-pair.
Step 3
Exam Tip
The union contains all pairs from both relations, so all self-pairs remain and the union is reflexive. चरण 1: परावर्ती होने से (R) में हर स्वयुग्म है। चरण 2: (S) में भी हर स्वयुग्म है। चरण 3: संघ में दोनों संबंधों के सभी युग्म आते हैं, इसलिए सभी स्वयुग्म भी रहेंगे और संघ परावर्ती होगा।
If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R\cap S\), both pairs are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity of (R) puts ((a,c)) in (R), and transitivity of (S) puts it in (S).
Step 3
Exam Tip
Hence ((a,c)) is in the intersection. चरण 1: यदि ((a,b)) और ((b,c)) \(R\cap S\) में हैं, तो दोनों युग्म (R) और (S) दोनों में हैं। चरण 2: (R) की संक्रामकता से ((a,c)) (R) में और (S) की संक्रामकता से (S) में होगा। चरण 3: इसलिए ((a,c)) प्रतिच्छेद में होगा।
C. यह हमेशा संक्रामक नहीं होता/It is not always transitive
Step 1
Concept
Transitivity requires a third pair from two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
In a union, one pair may come from (R) and another from (S).
Step 3
Exam Tip
Then the required third pair may be absent, so the union is not always transitive. चरण 1: संक्रामकता के लिए दो जुड़े युग्मों से तीसरा युग्म चाहिए। चरण 2: संघ में पहला युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है। चरण 3: ऐसा होने पर जरूरी तीसरा युग्म संघ में न हो, इसलिए संघ हमेशा संक्रामक नहीं होता।
Further, ((1,4)) is required from ((1,3)) and ((3,4)). चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। चरण 2: ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) चाहिए। चरण 3: आगे ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी जरूरी है।
((1,2)) and ((2,1)) are already present in both directions.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of ((2,3)), namely ((3,2)), is missing.
Step 3
Exam Tip
Adding only ((3,2)) makes the relation symmetric. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) पहले से दोनों दिशाओं में हैं। चरण 2: ((2,3)) का उल्टा ((3,2)) गायब है। चरण 3: केवल ((3,2)) जोड़ने से संबंध सममित हो जाएगा।
New chains and given pairs also force ((1,4)) and, in the reverse direction, ((4,1)).
Step 3
Exam Tip
While forming transitive closure, chains created by newly added pairs must also be checked. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। चरण 2: नई शृंखलाओं और दिए युग्मों से ((1,4)) तथा उल्टी दिशा में ((4,1)) भी आएंगे। चरण 3: संक्रामक आवरण बनाते समय नए युग्मों से बनने वाली आगे की शृंखलाएं भी जांचनी होती हैं।
A. \(R^{-1}\) परावर्ती और संक्रामक होगा/\(R^{-1}\) will be reflexive and transitive
Step 1
Concept
Self-pairs remain the same after reversal, so \(R^{-1}\) is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Transitive chains in (R) reverse into transitive chains in the inverse.
Step 3
Exam Tip
Therefore reflexivity and transitivity are both preserved in the inverse. चरण 1: स्वयुग्म उलटने पर वही रहते हैं, इसलिए \(R^{-1}\) परावर्ती रहेगा। चरण 2: यदि (R) में उल्टी दिशा की शृंखला संक्रामक है, तो विलोम में भी शृंखला का परिणाम मिलेगा। चरण 3: इसलिए परावर्तन और संक्रामकता दोनों विलोम में सुरक्षित रहते हैं।
B. नहीं, जैसे \(A=\{1,2\}\) पर \(R=\{(1,1)\}\)/No, for example \(R=\{(1,1)\}\) on \(A=\{1,2\}\)
Step 1
Concept
Symmetry and transitivity do not automatically provide all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
In the given example, ((2,2)) is missing, so reflexivity fails.
Step 3
Exam Tip
For such theory questions, a small counterexample is the strongest method. चरण 1: सममित और संक्रामक होने से सभी स्वयुग्म अपने आप नहीं मिलते। चरण 2: दिए गए उदाहरण में ((2,2)) नहीं है, इसलिए परावर्तन नहीं है। चरण 3: ऐसे सिद्धांत प्रश्नों में छोटा प्रति-उदाहरण सबसे मजबूत तरीका है।
(a-a=0) is divisible by (2), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b) is divisible by (2), then (b-a) is also divisible by (2), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
The sum of divisible differences is again divisible by (2), so transitivity holds. चरण 1: (a-a=0) (2) से विभाज्य है, इसलिए परावर्तन है। चरण 2: यदि (a-b) (2) से विभाज्य है, तो (b-a) भी (2) से विभाज्य है, इसलिए सममितता है। चरण 3: विभाज्य अंतरों का योग भी (2) से विभाज्य है, इसलिए संक्रामकता है।
(1,2,3) are all less than (4), so they are mutually related.
Step 2
Why this answer is correct
(4,5,6) are related only to themselves through (a=b).
Step 3
Exam Tip
Hence the classes are ({1,2,3},{4},{5},{6}). चरण 1: (1,2,3) सभी (4) से छोटे हैं, इसलिए वे आपस में संबंधित हैं। चरण 2: (4,5,6) केवल (a=b) के कारण अपने आप से संबंधित हैं। चरण 3: इसलिए वर्ग ({1,2,3},{4},{5},{6}) बनते हैं।
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(|a-a|=0), so no self-pair occurs and reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
(|a-b|=|b-a|), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((1,3)) and ((3,1)) exist but ((1,1)) does not, so transitivity fails. चरण 1: (|a-a|=0), इसलिए कोई स्वयुग्म नहीं मिलता और परावर्तन नहीं है। चरण 2: (|a-b|=|b-a|), इसलिए सममितता है। चरण 3: ((1,3)) और ((3,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है।
A. न परावर्ती, न सममित, न संक्रामक/Neither reflexive, symmetric, nor transitive
Step 1
Concept
(a-a=0), so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a-b=2), then (b-a=-2), so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
(4R2) and (2R0) hold, but (4R0) has difference (4), so transitivity fails. चरण 1: (a-a=0), इसलिए परावर्तन नहीं है। चरण 2: (a-b=2) होने पर (b-a=-2), इसलिए सममितता नहीं है। चरण 3: (4R2) और (2R0) सही हैं, पर (4R0) के लिए अंतर (4) है, इसलिए संक्रामकता नहीं है।
A. संक्रामक है पर परावर्ती और सममित नहीं/Transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
(a-a=0), which is not at least (2), so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a) is at least (2) greater than (b), the reverse cannot hold.
Step 3
Exam Tip
From \(a-b\ge2\) and \(b-c\ge2\), we get \(a-c\ge4\), so it is transitive. चरण 1: (a-a=0), जो (2) से बड़ा या बराबर नहीं है, इसलिए परावर्तन नहीं है। चरण 2: यदि (a) (b) से कम से कम (2) बड़ा है, तो उल्टा सही नहीं होगा। चरण 3: \(a-b\ge2\) और \(b-c\ge2\) से \(a-c\ge4\), इसलिए संक्रामकता है।
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\}\) है। इसे तुल्यता संबंध बनाने के लिए न्यूनतम कौन से युग्म जोड़ने होंगे?
((2,1)) and ((1,3)) force ((2,3)), while ((3,1)) and ((1,2)) force ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
Adding these two pairs makes ({1,2,3}) a closed class and leaves (4) alone. चरण 1: संबंध पहले से परावर्ती और सममित है। चरण 2: ((2,1)) और ((1,3)) से ((2,3)) चाहिए तथा ((3,1)) और ((1,2)) से ((3,2)) चाहिए। चरण 3: ये दो युग्म जोड़ने पर ({1,2,3}) बंद वर्ग बन जाएगा और (4) अकेला रहेगा।
Each equivalence class contributes all ordered pairs within itself.
Step 2
Why this answer is correct
For sizes (2,2,1), the count is \(2^2+2^2+1^2\).
Step 3
Exam Tip
Hence the total is (4+4+1=9). चरण 1: हर तुल्यता वर्ग अपने भीतर सभी क्रमित युग्म देता है। चरण 2: आकार (2,2,1) से युग्मों की संख्या \(2^2+2^2+1^2\) होगी। चरण 3: इसलिए कुल (4+4+1=9) युग्म होंगे।
The number of equivalence relations equals the number of partitions of the set.
Step 2
Why this answer is correct
For three elements, partitions are all singletons, all together, and one pair with one singleton.
Step 3
Exam Tip
The total is (1+1+3=5). चरण 1: तुल्यता संबंधों की संख्या समुच्चय के विभाजनों की संख्या के बराबर होती है। चरण 2: तीन तत्वों के विभाजन हैं: एक-एक अलग, तीनों साथ, और किसी दो का जोड़ा तथा एक अकेला। चरण 3: कुल (1+1+3=5) तुल्यता संबंध बनते हैं।
A. वर्ग ({1,2}) और ({3,4}) वाला संबंध/Relation with classes ({1,2}) and ({3,4})
Step 1
Concept
Equivalence classes form a complete partition of the set.
Step 2
Why this answer is correct
({1,2}) and ({3,4}) are two closed classes covering the whole set.
Step 3
Exam Tip
The empty relation is not reflexive, and the universal relation has only one class. चरण 1: तुल्यता संबंध में वर्ग समुच्चय का पूरा विभाजन बनाते हैं। चरण 2: ({1,2}) और ({3,4}) दो बंद वर्ग हैं और पूरा समुच्चय ढकते हैं। चरण 3: रिक्त संबंध परावर्ती नहीं और सार्वत्रिक संबंध में केवल एक वर्ग होगा।
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
Every element has the same parity as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
Same parity is unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
A chain of the same parity remains in the same parity, so transitivity also holds. चरण 1: हर तत्व अपने ही सम-विषम प्रकार का है, इसलिए परावर्तन है। चरण 2: समान सम-विषम प्रकार क्रम बदलने पर नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। चरण 3: समान प्रकार की शृंखला उसी प्रकार में रहती है, इसलिए संक्रामकता भी है।
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
No element can have a different remainder from itself, so reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
The different-remainder condition remains true after reversal, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
(1R2) and (2R3) hold, but (1R3) does not, so transitivity fails. चरण 1: कोई तत्व अपने ही शेषफल से अलग शेषफल नहीं रख सकता, इसलिए परावर्तन नहीं है। चरण 2: अलग शेषफल की शर्त क्रम बदलने पर भी सही है, इसलिए सममितता है। चरण 3: (1R2) और (2R3) सही हैं, पर (1R3) सही नहीं, इसलिए संक्रामकता टूटती है।
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
For (aRa), we need \(2a^2=1\), which is not true for every real (a).
Step 2
Why this answer is correct
\(a^2+b^2\) is unchanged when order is reversed, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
(0R1) and (1R0) hold, but (0R0) does not, so transitivity fails. चरण 1: (aRa) के लिए \(2a^2=1\) चाहिए, जो हर वास्तविक (a) के लिए सत्य नहीं है। चरण 2: \(a^2+b^2\) में क्रम बदलने से मान नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। चरण 3: (0R1) और (1R0) सही हैं, पर (0R0) सही नहीं, इसलिए संक्रामकता नहीं है।
Equivalence classes are either disjoint or exactly the same.
Step 2
Why this answer is correct
If two classes share even one element, they cannot remain distinct.
Step 3
Exam Tip
Therefore \([a]\cap[b]\neq\varnothing\) implies ([a]=[b]). चरण 1: तुल्यता वर्ग या तो बिल्कुल अलग होते हैं या पूरी तरह समान होते हैं। चरण 2: यदि दो वर्गों में कोई साझा तत्व है, तो वे अलग नहीं रह सकते। चरण 3: इसलिए \([a]\cap[b]\neq\varnothing\) होने पर ([a]=[b]) होगा।
In an equivalence relation, two elements lie in the same class exactly when they are related.
Step 2
Why this answer is correct
Since (aRb) is false, (a) and (b) are not in the same class.
Step 3
Exam Tip
Distinct equivalence classes are disjoint. चरण 1: तुल्यता संबंध में दो तत्व एक ही वर्ग में तभी होते हैं जब वे संबंधित हों। चरण 2: (aRb) असत्य है, इसलिए (a) और (b) एक वर्ग में नहीं हैं। चरण 3: अलग तुल्यता वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होता है।
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
The condition (a=b) gives all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) being even means same parity, which is unchanged by reversal.
Step 3
Exam Tip
A chain of same parity is transitive, so the relation is an equivalence relation. चरण 1: (a=b) से सभी स्वयुग्म मिलते हैं। चरण 2: (a+b) सम होने का अर्थ है समान सम-विषम प्रकार, जो क्रम बदलने पर भी सही रहता है। चरण 3: समान सम-विषम प्रकार की शृंखला संक्रामक होती है, इसलिए संबंध तुल्यता है।
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
For ((4,4)), the sum is (8), so reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
\(a+b\le6\) remains the same after reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((5,1)) and ((1,5)) exist but ((5,5)) does not, so transitivity fails. चरण 1: ((4,4)) के लिए योग (8) है, इसलिए परावर्तन नहीं है। चरण 2: \(a+b\le6\) क्रम बदलने पर भी वैसा ही रहता है, इसलिए सममितता है। चरण 3: ((5,1)) और ((1,5)) हैं पर ((5,5)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है।
The number of reflexive relations is \(2^{16-4}=2^{12}\).
Step 2
Why this answer is correct
The identity relation is one of these reflexive relations.
Step 3
Exam Tip
Removing it gives \(2^{12}-1\). चरण 1: परावर्ती संबंधों की संख्या \(2^{16-4}=2^{12}\) है। चरण 2: पहचान संबंध भी इन्हीं परावर्ती संबंधों में से एक है। चरण 3: पहचान संबंध को हटाने पर संख्या \(2^{12}-1\) होगी।
The number of reflexive relations is \(2^{9-3}=2^6\).
Step 3
Exam Tip
Therefore the number of non-reflexive relations is \(2^9-2^6\). चरण 1: कुल संबंधों की संख्या \(2^9\) है। चरण 2: परावर्ती संबंधों की संख्या \(2^{9-3}=2^6\) है। चरण 3: न परावर्ती संबंधों की संख्या \(2^9-2^6\) होगी।
In a symmetric relation, the reverse of every pair is already present.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(R^{-1}=R\).
Step 3
Exam Tip
Hence \(R\cup R^{-1}=R\cup R=R\). चरण 1: सममित संबंध में हर युग्म का उल्टा पहले से मौजूद होता है। चरण 2: इसलिए \(R^{-1}=R\) होगा। चरण 3: \(R\cup R^{-1}=R\cup R=R\) मिलेगा।
If ((a,b)) is in \(R\cap R^{-1}\), it is in both (R) and \(R^{-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
This ensures ((b,a)) is also in both (R) and \(R^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
Hence every pair in the intersection has its reverse, so it is symmetric. चरण 1: यदि ((a,b)) \(R\cap R^{-1}\) में है, तो वह (R) और \(R^{-1}\) दोनों में है। चरण 2: इससे ((b,a)) भी (R) और \(R^{-1}\) दोनों में होगा। चरण 3: इसलिए प्रतिच्छेद में हर युग्म का उल्टा भी रहेगा और यह सममित होगा।
If ((a,b)) is in \(R\cup R^{-1}\), it is in (R) or \(R^{-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
In either case, the reverse pair ((b,a)) also lies in \(R\cup R^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
Therefore \(R\cup R^{-1}\) is always symmetric. चरण 1: यदि ((a,b)) \(R\cup R^{-1}\) में है, तो वह (R) या \(R^{-1}\) में है। चरण 2: दोनों ही स्थिति में उल्टा युग्म ((b,a)) भी \(R\cup R^{-1}\) में आ जाएगा। चरण 3: इसलिए \(R\cup R^{-1}\) सदैव सममित होता है।
A. \(R^{-1}\) भी तुल्यता संबंध है और \(R^{-1}=R\)/\(R^{-1}\) is also an equivalence relation and \(R^{-1}=R\)
Step 1
Concept
An equivalence relation is symmetric, so \(R^{-1}=R\).
Step 2
Why this answer is correct
The same relation remains reflexive, symmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
Hence \(R^{-1}\) is also an equivalence relation. चरण 1: तुल्यता संबंध सममित होता है, इसलिए \(R^{-1}=R\) है। चरण 2: वही संबंध परावर्ती, सममित और संक्रामक रहता है। चरण 3: इसलिए \(R^{-1}\) भी तुल्यता संबंध होगा।
Because of (a=b), (2) is related to itself as well.
Step 3
Exam Tip
The class of (2) is ({2,3}). चरण 1: (2+3=5), इसलिए (2) और (3) संबंधित हैं। चरण 2: (a=b) के कारण (2) स्वयं से भी संबंधित है। चरण 3: (2) का वर्ग ({2,3}) होगा।
Each class has size (2), so each contributes \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (4+4+4=12). चरण 1: तुल्यता वर्ग ({1,4},{2,5},{3,6}) हैं। चरण 2: हर वर्ग का आकार (2) है, इसलिए प्रत्येक से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। चरण 3: कुल (4+4+4=12) युग्म होंगे।
The first class gives \(2^2=4\) pairs and the second gives \(4^2=16\) pairs.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (4+16=20). चरण 1: वर्ग ({3,6}) और ({1,2,4,5}) बनते हैं। चरण 2: पहले वर्ग से \(2^2=4\) और दूसरे से \(4^2=16\) युग्म मिलते हैं। चरण 3: कुल (4+16=20) युग्म होंगे।
The condition (a=b) includes all self-pairs, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
The condition that both numbers are prime is unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
Prime elements ({2,3,5}) form one closed class and the others stay single, so transitivity holds. चरण 1: (a=b) से सभी स्वयुग्म शामिल हैं, इसलिए परावर्तन है। चरण 2: दोनों संख्याओं के अभाज्य होने की शर्त क्रम बदलने पर नहीं बदलती, इसलिए सममितता है। चरण 3: अभाज्य तत्व ({2,3,5}) एक बंद वर्ग बनाते हैं और बाकी अकेले रहते हैं, इसलिए संक्रामकता भी है।
The identity relation (I) contains only self-pairs.
Step 3
Exam Tip
Therefore the common part is exactly the identity relation, so \(R\cap I=I\). चरण 1: परावर्ती संबंध (R) में सभी स्वयुग्म होते हैं। चरण 2: पहचान संबंध (I) में केवल स्वयुग्म होते हैं। चरण 3: इसलिए साझा भाग ठीक वही स्वयुग्म होंगे, यानी \(R\cap I=I\)।
In \(R\cup R^{-1}\), every pair of (R) is accompanied by its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore the reverse of any pair in the union is also present.
Step 3
Exam Tip
Even if (R) itself is not symmetric, \(R\cup R^{-1}\) is symmetric. चरण 1: \(R\cup R^{-1}\) में (R) के हर युग्म के साथ उसका उल्टा भी शामिल हो जाता है। चरण 2: इसलिए किसी भी युग्म का उल्टा संघ में मौजूद रहेगा। चरण 3: भले (R) स्वयं सममित न हो, \(R\cup R^{-1}\) सममित होता है।
In this set, (a-b) being divisible by (4) occurs only for equal elements.
Step 2
Why this answer is correct
So (S) acts like the identity relation, and all its (4) self-pairs also lie in (R).
Step 3
Exam Tip
Hence \(R\cap S\) contains (4) pairs. चरण 1: (S) में (a-b) का (4) से विभाज्य होना इस समुच्चय में केवल समान तत्वों के लिए संभव है। चरण 2: इसलिए (S) पहचान संबंध जैसा है और उसके सभी (4) स्वयुग्म (R) में भी होंगे। चरण 3: अतः \(R\cap S\) में (4) युग्म होंगे।
