\(A\times A\) has 16 pairs, and 4 self-pairs are compulsory in a reflexive relation.
Step 2
Why this answer is correct
In (P), ((4,4)) is already counted among self-pairs, while ((1,2)) and ((2,1)) are two extra fixed pairs.
Step 3
Exam Tip
So 6 pairs are fixed, (16-6=10) pairs are free, and the count is \(2^{10}\). चरण 1: \(A\times A\) में (16) युग्म हैं और परावर्ती संबंध में 4 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: (P) में ((4,4)) पहले से अपने-अपने युग्मों में गिना गया है, जबकि ((1,2)) और ((2,1)) दो अतिरिक्त निश्चित युग्म हैं। चरण 3: कुल निश्चित युग्म (6) हैं, इसलिए (16-6=10) युग्म स्वतंत्र हैं और संख्या \(2^{10}\) होगी।
A reflexive relation must contain ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)).
Step 2
Why this answer is correct
In (P), ((2,2)) is already counted among these four, while ((1,3)) and ((3,1)) are two extra fixed pairs.
Step 3
Exam Tip
So 6 pairs are fixed, (16-6=10) pairs are free, and the count is \(2^{10}\). चरण 1: परावर्ती संबंध में ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) चार युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: (P) में ((2,2)) पहले से इन चार में गिना गया है, जबकि ((1,3)) और ((3,1)) दो अतिरिक्त निश्चित युग्म हैं। चरण 3: कुल निश्चित युग्म 6 हैं, इसलिए (16-6=10) युग्म स्वतंत्र हैं और संख्या \(2^{10}\) है।
To have 8 total pairs, choose 3 pairs from the (25-5=20) non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
Hence the number is \(\binom{20}{3}\). चरण 1: 5 तत्वों पर परावर्ती संबंध में 5 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: कुल 8 युग्म चाहिए, इसलिए (25-5=20) गैर-अपने युग्मों में से 3 युग्म चुनने होंगे। चरण 3: इसलिए ऐसे संबंधों की संख्या \(\binom{20}{3}\) होगी।
To have 9 total pairs, choose 3 pairs from the (36-6=30) non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
Hence the number is \(\binom{30}{3}\). चरण 1: 6 तत्वों पर परावर्ती संबंध में 6 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: कुल 9 युग्म चाहिए, इसलिए (36-6=30) गैर-अपने युग्मों में से 3 युग्म चुनने होंगे। चरण 3: अतः संख्या \(\binom{30}{3}\) होगी।
On 3 elements, the total number of reflexive relations is \(2^{9-3}=64\).
Step 2
Why this answer is correct
One of them is the identity relation and one is the universal relation.
Step 3
Exam Tip
Removing both gives (64-2=62). चरण 1: 3 तत्वों पर कुल परावर्ती संबंध \(2^{9-3}=64\) होते हैं। चरण 2: इनमें पहचान संबंध एक है और सार्वत्रिक संबंध भी एक अलग संबंध है। चरण 3: दोनों को हटाने पर (64-2=62) संबंध बचते हैं।
On 4 elements, the total number of reflexive relations is \(2^{16-4}=2^{12}\).
Step 2
Why this answer is correct
The identity relation is exactly one of them.
Step 3
Exam Tip
Only the identity relation is removed, so the count is \(2^{12}-1\). चरण 1: 4 तत्वों पर कुल परावर्ती संबंध \(2^{16-4}=2^{12}\) हैं। चरण 2: पहचान संबंध इनमें से ठीक एक है। चरण 3: केवल पहचान संबंध हटाना है, इसलिए संख्या \(2^{12}-1\) है।
Reflexivity fixes 4 self-pairs and leaves 12 non-self pairs free.
Step 2
Why this answer is correct
At least 6 total pairs means at least 2 non-self pairs must be chosen.
Step 3
Exam Tip
From \(2^{12}\), subtract cases with 0 or 1 non-self pair: (1+12=13), so the answer is \(2^{12}-13\). चरण 1: परावर्ती होने से 4 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं और 12 गैर-अपने युग्म स्वतंत्र हैं। चरण 2: कम से कम 6 कुल युग्मों के लिए कम से कम 2 गैर-अपने युग्म चुने जाने चाहिए। चरण 3: कुल \(2^{12}\) विकल्पों में से 0 या 1 गैर-अपने युग्म वाले (1+12=13) मामले हटेंगे, इसलिए उत्तर \(2^{12}-13\) है।
At most 6 total pairs means choosing 0, 1, or 2 pairs from the 12 non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
The count is \(\binom{12}{0}+\binom{12}{1}+\binom{12}{2}=1+12+66=79\). चरण 1: 4 अपने-अपने युग्म परावर्ती होने से निश्चित हैं। चरण 2: अधिकतम 6 कुल युग्मों का अर्थ है कि 12 गैर-अपने युग्मों में से 0, 1, या 2 युग्म चुने जा सकते हैं। चरण 3: कुल संख्या \(\binom{12}{0}+\binom{12}{1}+\binom{12}{2}=1+12+66=79\) है।
Exactly one of ((1,2)) and ((2,1)) can be chosen in 2 ways.
Step 3
Exam Tip
The remaining 4 non-self pairs are free, so the count is \(2\times2^4=32\). चरण 1: 3 अपने-अपने युग्म परावर्ती होने से निश्चित हैं। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) में से ठीक एक चुनने के 2 तरीके हैं। चरण 3: बाकी 4 गैर-अपने युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2\times2^4=32\) है।
Choose exactly 1 of the given 3 non-self pairs in \(\binom{3}{1}=3\) ways.
Step 3
Exam Tip
The remaining 3 non-self pairs are free, so the count is \(3\times2^3=24\). चरण 1: 3 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: दिए गए 3 गैर-अपने युग्मों में से ठीक 1 चुनने के \(\binom{3}{1}=3\) तरीके हैं। चरण 3: बाकी 3 गैर-अपने युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(3\times2^3=24\) है।
(S) has no self-pair, so subtracting (S) will not remove the required pairs.
Step 3
Exam Tip
All self-pairs remain, hence (R-S) is reflexive. चरण 1: (R) परावर्ती है, इसलिए उसमें सभी अपने-अपने युग्म मौजूद हैं। चरण 2: (S) में कोई अपने-अपने युग्म नहीं है, इसलिए घटाने पर जरूरी युग्म नहीं हटेंगे। चरण 3: सभी अपने-अपने युग्म बचे रहेंगे, इसलिए (R-S) परावर्ती होगा।
A. हर (a) के लिए मध्य तत्व (a) लिया जा सकता है/The middle element (a) can be taken for every (a)
Step 1
Concept
Reflexivity of (R) gives (aRa).
Step 2
Why this answer is correct
Reflexivity of (S) gives (aSa).
Step 3
Exam Tip
Taking the middle element as (a), we get (a\(S\circ R\)a), so the composition is reflexive. चरण 1: (R) परावर्ती होने से (aRa) सत्य है। चरण 2: (S) परावर्ती होने से (aSa) भी सत्य है। चरण 3: मध्य तत्व (a) लेकर (a\(S\circ R\)a) मिलता है, इसलिए संयोजन परावर्ती है।
Taking the middle element as (a), we get (a\(S\circ R\)a), so the composition is reflexive. चरण 1: (R) परावर्ती होने से (aRa) सत्य है। चरण 2: (S) परावर्ती होने से (aSa) भी सत्य है। चरण 3: संयोजन में मध्य तत्व (a) लेने पर (a\(S\circ R\)a) मिलता है, इसलिए संबंध परावर्ती है।
For 12 total pairs, 8 non-self pairs are needed, meaning 4 unordered pairs are chosen in both directions.
Step 3
Exam Tip
Choose 4 of the 6 unordered pairs in \(\binom{6}{4}=15\) ways. चरण 1: 4 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं। चरण 2: कुल 12 युग्मों के लिए 8 गैर-अपने युग्म चाहिए, यानी 4 अव्यवस्थित जोड़ियां दोनों दिशाओं में चुनी जाएंगी। चरण 3: 6 अव्यवस्थित जोड़ियों में से 4 चुनने के \(\binom{6}{4}=15\) तरीके हैं।
To have 7 total pairs, 4 non-self pairs are needed, meaning 2 unordered pairs are taken in both directions.
Step 3
Exam Tip
Choose 2 of the 3 unordered pairs in \(\binom{3}{2}=3\) ways. चरण 1: परावर्ती होने से 3 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं। चरण 2: कुल 7 युग्मों के लिए 4 गैर-अपने युग्म चाहिए, यानी 2 अव्यवस्थित जोड़ियां दोनों दिशाओं में ली जाएंगी। चरण 3: 3 अव्यवस्थित जोड़ियों में से 2 चुनने के \(\binom{3}{2}=3\) तरीके हैं।
For 8 total pairs, 4 non-self pairs are needed, meaning 2 unordered pairs are included in both directions.
Step 3
Exam Tip
Choose 2 of the 6 unordered pairs, giving \(\binom{6}{2}=15\). चरण 1: 4 अपने-अपने युग्म परावर्ती होने से निश्चित हैं। चरण 2: कुल 8 युग्मों के लिए 4 गैर-अपने युग्म चाहिए, यानी 2 अव्यवस्थित जोड़ियां दोनों दिशाओं में शामिल होंगी। चरण 3: 6 अव्यवस्थित जोड़ियों में से 2 चुनने के \(\binom{6}{2}=15\) तरीके हैं।
To have 7 total pairs, choose (7-4=3) non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
There are 12 non-self pairs, so the count is \(\binom{12}{3}\). चरण 1: 4 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं। चरण 2: कुल 7 युग्मों के लिए (7-4=3) गैर-अपने युग्म चुनने होंगे। चरण 3: गैर-अपने युग्म 12 हैं, इसलिए संख्या \(\binom{12}{3}\) है।
A reflexive relation has (n) compulsory self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
To have exactly (n+3) pairs, 3 additional non-self pairs are needed.
Step 3
Exam Tip
Choose 3 from \(n^2-n\) non-self pairs, so the count is \(\binom{n^2-n}{3}\). चरण 1: परावर्ती संबंध में (n) अपने-अपने युग्म अनिवार्य होते हैं। चरण 2: ठीक (n+3) युग्मों के लिए 3 अतिरिक्त गैर-अपने युग्म चाहिए। चरण 3: \(n^2-n\) गैर-अपने युग्मों में से 3 चुनने होंगे, इसलिए संख्या \(\binom{n^2-n}{3}\) है।
For ((1,2),(2,1)), valid choices are neither, only ((1,2)), or only ((2,1)); both together are not allowed.
Step 3
Exam Tip
The remaining 4 non-self pairs are free, so the count is \(3\times2^4=48\). चरण 1: 3 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं। चरण 2: ((1,2),(2,1)) के लिए मान्य चुनाव हैं: कोई नहीं, केवल ((1,2)), या केवल ((2,1)); दोनों साथ नहीं हो सकते। चरण 3: बाकी 4 गैर-अपने युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(3\times2^4=48\) है।
A reflexive relation has (n) compulsory self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
To have exactly (n+2) pairs, choose 2 additional non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
There are \(n^2-n\) non-self pairs, so the number is \(\binom{n^2-n}{2}\). चरण 1: परावर्ती संबंध में (n) अपने-अपने युग्म अनिवार्य होते हैं। चरण 2: ठीक (n+2) युग्मों के लिए 2 अतिरिक्त गैर-अपने युग्म चुनने होंगे। चरण 3: गैर-अपने युग्म \(n^2-n\) हैं, इसलिए संख्या \(\binom{n^2-n}{2}\) होगी।
