यदि (R) और (S) दोनों सममित संबंध हैं, तो \(R\cap S\) के बारे में क्या सही है?
If (R) and (S) are both symmetric relations, what is true about \(R\cap S\)?
#intersection
#symmetric relations
#set operations
A \(R\cap S\) सममित होगा / \(R\cap S\) will be symmetric
B \(R\cap S\) कभी सममित नहीं होगा / \(R\cap S\) will never be symmetric
C \(R\cap S\) हमेशा सार्वत्रिक होगा / \(R\cap S\) will always be universal
D \(R\cap S\) हमेशा रिक्त होगा / \(R\cap S\) will always be empty
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Correct Answer
A. \(R\cap S\) सममित होगा / \(R\cap S\) will be symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b)\in R\cap S\), तो ((a,b)) दोनों (R) और (S) में है। / If \((a,b)\in R\cap S\), then ((a,b)) is in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सममित हैं, इसलिए ((b,a)) भी दोनों में होगा। / Since both are symmetric, ((b,a)) is also in both.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \((b,a)\in R\cap S\), अतः प्रतिच्छेद सममित है। / Hence \((b,a)\in R\cap S\), so the intersection is symmetric.
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यदि (R) और (S) दोनों सममित संबंध हैं, तो \(R\cup S\) के बारे में सही कथन क्या है?
If (R) and (S) are both symmetric relations, what is the correct statement about \(R\cup S\)?
#union
#symmetric relation
#set operation
A \(R\cup S\) सममित होगा / \(R\cup S\) will be symmetric
B \(R\cup S\) कभी सममित नहीं होगा / \(R\cup S\) will never be symmetric
C \(R\cup S\) हमेशा प्रतिवर्ती होगा / \(R\cup S\) will always be reflexive
D \(R\cup S\) हमेशा रिक्त होगा / \(R\cup S\) will always be empty
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Correct Answer
A. \(R\cup S\) सममित होगा / \(R\cup S\) will be symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b)\in R\cup S\), तो यह कम से कम एक संबंध में है। / If \((a,b)\in R\cup S\), then it belongs to at least one of the two relations.
Step 2
Why this answer is correct
जिस संबंध में यह है, वह सममित है, इसलिए ((b,a)) भी उसी में होगा। / That relation is symmetric, so ((b,a)) also belongs to it.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((b,a)) संघ में भी होगा। / Therefore ((b,a)) also belongs to the union.
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यदि (R) सममित है, तो \(A\times A\) के सापेक्ष (R) का पूरक कैसा होगा?
If (R) is symmetric, what can be said about the complement of (R) with respect to \(A\times A\)?
#complement
#symmetric relation
#proof based
A पूरक भी सममित होगा / The complement will also be symmetric
B पूरक कभी सममित नहीं होगा / The complement will never be symmetric
C पूरक हमेशा रिक्त होगा / The complement will always be empty
D पूरक हमेशा प्रतिवर्ती होगा / The complement will always be reflexive
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Correct Answer
A. पूरक भी सममित होगा / The complement will also be symmetric
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) पूरक में है, तो ((a,b)) (R) में नहीं है। / If ((a,b)) is in the complement, then \((a,b)\notin R\).
Step 2
Why this answer is correct
अगर ((b,a)) (R) में होता, तो सममितता से ((a,b)) भी (R) में होता, जो गलत है। / If ((b,a)) were in (R), symmetry would force \((a,b)\in R\), a contradiction.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((b,a)) भी पूरक में है। / Therefore ((b,a)) is also in the complement.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) है। कौन-सा गुण निश्चित रूप से है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\). Which property is definitely present?
#finite relation
#symmetric property
#mcq
A सममित / Symmetric
B प्रतिवर्ती / Reflexive
C सार्वत्रिक / Universal
D केवल संक्रामक / Only transitive
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Correct Answer
A. सममित / Symmetric
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं। / Both ((1,2)) and ((2,1)) are present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,2)) दोनों हैं, तथा विकर्ण युग्म अपने उलटे स्वयं हैं। / Both ((2,3)) and ((3,2)) are present, and diagonal pairs are their own reverses.
Step 3
Exam Tip
((3,3)) न होने से प्रतिवर्तीता नहीं, पर सममितता बनी रहती है। / Missing ((3,3)) prevents reflexivity, but not symmetry.
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निम्न में से कौन-सा कथन गलत है?
Which of the following statements is false?
#false statement
#symmetric relation
#concept clarity
A हर सममित संबंध प्रतिवर्ती होता है / Every symmetric relation is reflexive
B रिक्त संबंध सममित होता है / The empty relation is symmetric
C सार्वत्रिक संबंध सममित होता है / The universal relation is symmetric
D पहचान संबंध सममित होता है / The identity relation is symmetric
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Correct Answer
A. हर सममित संबंध प्रतिवर्ती होता है / Every symmetric relation is reflexive
Step 1
Concept
सममितता केवल उलटे युग्म की मांग करती है। / Symmetry only requires reverse pairs.
Step 2
Why this answer is correct
यह जरूरी नहीं करती कि हर ((a,a)) संबंध में हो। / It does not require every ((a,a)) to be present.
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर सममित संबंध का प्रतिवर्ती होना गलत कथन है। / Hence the statement that every symmetric relation is reflexive is false.
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रिक्त संबंध \(\varnothing\) किसी अरिक्त समुच्चय (A) पर सममित क्यों माना जाता है?
Why is the empty relation \(\varnothing\) on a non-empty set (A) considered symmetric?
#empty relation
#vacuous truth
#symmetric
A क्योंकि कोई ऐसा युग्म नहीं है जो शर्त तोड़े / Because there is no pair that violates the condition
B क्योंकि इसमें सभी युग्म हैं / Because it contains all pairs
C क्योंकि इसमें सभी विकर्ण युग्म हैं / Because it contains all diagonal pairs
D क्योंकि यह हमेशा सार्वत्रिक होता है / Because it is always universal
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Correct Answer
A. क्योंकि कोई ऐसा युग्म नहीं है जो शर्त तोड़े / Because there is no pair that violates the condition
Step 1
Concept
सममितता तभी टूटती है जब कोई ((a,b)) हो और ((b,a)) न हो। / Symmetry fails only when some ((a,b)) is present but ((b,a)) is absent.
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त संबंध में कोई युग्म ही नहीं है, इसलिए कोई उल्लंघन नहीं है। / The empty relation has no pair, so there is no violation.
Step 3
Exam Tip
ऐसे सत्य को रिक्त सत्य की तरह समझा जा सकता है। / This is an example of a vacuously true statement.
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सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) सममित क्यों होता है?
Why is the universal relation \(A\times A\) symmetric?
#universal relation
#symmetric relation
#basic concept
A क्योंकि हर संभव युग्म और उसका उलटा दोनों मौजूद होते हैं / Because every possible pair and its reverse are present
B क्योंकि इसमें कोई युग्म नहीं होता / Because it has no pair
C क्योंकि इसमें केवल विकर्ण युग्म होते हैं / Because it has only diagonal pairs
D क्योंकि इसमें केवल एक युग्म होता है / Because it has only one pair
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Correct Answer
A. क्योंकि हर संभव युग्म और उसका उलटा दोनों मौजूद होते हैं / Because every possible pair and its reverse are present
Step 1
Concept
सार्वत्रिक संबंध में \(A\times A\) के सभी क्रमित युग्म शामिल होते हैं। / The universal relation contains all ordered pairs from \(A\times A\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी अवश्य मौजूद होता है। / Therefore, whenever ((a,b)) is present, ((b,a)) is also present.
Step 3
Exam Tip
सभी युग्म होने से सममितता तुरंत मिल जाती है। / Having all pairs makes symmetry automatic.
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पहचान संबंध \(I=\{(a,a):a\in A\}\) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
Which statement is correct about the identity relation \(I=\{(a,a):a\in A\}\)?
#identity relation
#symmetric
#relations
A यह सममित है / It is symmetric
B यह कभी सममित नहीं है / It is never symmetric
C यह केवल तब सममित है जब (A) रिक्त हो / It is symmetric only when (A) is empty
D यह सममित होने के लिए सभी युग्म चाहता है / It needs all pairs to be symmetric
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Correct Answer
A. यह सममित है / It is symmetric
Step 1
Concept
पहचान संबंध में केवल ((a,a)) जैसे युग्म होते हैं। / The identity relation contains only pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसे युग्म का उलटा भी ((a,a)) ही होता है। / The reverse of such a pair is the same pair ((a,a)).
Step 3
Exam Tip
इसलिए पहचान संबंध हमेशा सममित होता है। / Hence the identity relation is always symmetric.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (R={(a,b):\(a\equiv b \pmod{2}\)}) है। (R) के बारे में सही विकल्प चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (R={(a,b):\(a\equiv b \pmod{2}\)}). Choose the correct option about (R).
#congruence modulo
#symmetric relation
#parity
A सममित है / It is symmetric
B सममित नहीं है / It is not symmetric
C केवल रिक्त है / It is only empty
D केवल एक युग्म रखता है / It has only one pair
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Correct Answer
A. सममित है / It is symmetric
Step 1
Concept
\(a\equiv b \pmod{2}\) का अर्थ है कि दोनों की सम-विषम प्रकृति समान है। / \(a\equiv b \pmod{2}\) means both have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) समान प्रकृति के हैं, तो (b) और (a) भी समान प्रकृति के होंगे। / If (a) has the same parity as (b), then (b) has the same parity as (a).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता जैसी शर्तें अक्सर सममित होती हैं। / Congruence-type conditions are usually symmetric.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (R={(a,b):\(a\equiv b \pmod{3}\)}) में सममितता क्यों है?
Why is (R={(a,b):\(a\equiv b \pmod{3}\)}) symmetric on \(A=\{1,2,3,4,5\}\)?
#modulo 3
#congruence
#symmetric relation
A क्योंकि सर्वांगसमता का क्रम बदलने पर भी सत्य रहता है / Because congruence remains true after swapping the order
B क्योंकि सभी संख्याएं समान हैं / Because all numbers are equal
C क्योंकि कोई युग्म मौजूद नहीं है / Because no pair exists
D क्योंकि केवल ((1,1)) मौजूद है / Because only ((1,1)) exists
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Correct Answer
A. क्योंकि सर्वांगसमता का क्रम बदलने पर भी सत्य रहता है / Because congruence remains true after swapping the order
Step 1
Concept
\(a\equiv b \pmod{3}\) होने का अर्थ है कि (a) और (b) का शेष समान है। / \(a\equiv b \pmod{3}\) means (a) and (b) have the same remainder when divided by 3.
Step 2
Why this answer is correct
समान शेष का संबंध दोनों दिशाओं में सही रहता है। / Having the same remainder works in both directions.
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता में क्रम बदलना सममितता को नहीं तोड़ता। / Swapping the order does not break congruence.
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