Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. क्योंकि \((2,1)\in R\) है पर \((1,2)\notin R\)/Because \((2,1)\in R\) but \((1,2)\notin R\)
Step 1
Concept
((2,1)) संबंध में है क्योंकि \(2=2\cdot1\)। / ((2,1)) is in the relation because \(2=2\cdot1\).
Step 2
Why this answer is correct
उल्टा ((1,2)) संबंध में नहीं है क्योंकि \(1\ne2\cdot2\)। / The reverse ((1,2)) is not in the relation because \(1\ne2\cdot2\).
Step 3
Exam Tip
गुणक संबंधों में उल्टा करने पर अनुपात बदल जाता है, इसलिए प्रतिवाद देखें। / In multiplier relations, reversing changes the ratio, so look for a counterexample.
तीन तत्वों पर कुल (6) स्वतंत्र चुनाव होते हैं। / On a (3)-element set, there are (6) independent choices.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) होने से ((2,1)) भी निश्चित हो गया, और ((2,3)) न होने से ((3,2)) भी नहीं होगा; ये दो स्वतंत्र चुनाव निश्चित हो गए। / Including ((1,2)) forces ((2,1)), and excluding ((2,3)) also excludes ((3,2)); two independent choices are fixed.
Step 3
Exam Tip
अब (4) स्वतंत्र चुनाव बचते हैं, अतः संख्या \(2^4\) है। / Thus (4) independent choices remain, giving \(2^4\).
सभी (4) विकर्ण युग्म अनुपस्थित रखने हैं, इसलिए ये चुनाव निश्चित हो गए। / All (4) diagonal pairs are fixed as absent.
Step 2
Why this answer is correct
केवल गैर-विकर्ण जोड़े स्वतंत्र हैं, जिनकी संख्या \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) है। / Only the off-diagonal unordered pairs remain free, and their number is \(\frac{4\cdot3}{2}=6\).
Step 3
Exam Tip
इन (6) जोड़ों में हर एक को साथ-साथ चुना या छोड़ा जा सकता है। / Each of these (6) blocks can be included or excluded.
यदि \(a+b\le6\), तो \(b+a\le6\) भी होगा। / If \(a+b\le6\), then \(b+a\le6\) also holds.
Step 2
Why this answer is correct
जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में है। / Changing the order of addition does not change the sum, so the reverse pair is also included.
Step 3
Exam Tip
योग पर आधारित असमिका में भी सममितता बनी रह सकती है। / Even inequality conditions based on a sum can be symmetric.
((4,1)) संबंध में है क्योंकि \(4+2\cdot1=6\)। / ((4,1)) is in the relation because \(4+2\cdot1=6\).
Step 2
Why this answer is correct
उल्टा ((1,4)) संबंध में नहीं है क्योंकि \(1+2\cdot4=9\)। / The reverse ((1,4)) is not in the relation because \(1+2\cdot4=9\).
Step 3
Exam Tip
जब (a) और (b) के गुणांक अलग हों, तो उल्टा करने पर शर्त अक्सर बदल जाती है। / When coefficients of (a) and (b) differ, reversal often changes the condition.
(R) में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए वह भाग पूरा है। / (R) contains both ((1,2)) and ((2,1)).
Step 2
Why this answer is correct
(S) में ((2,3)) और ((3,2)) दोनों हैं, इसलिए संघ में भी हर उल्टा युग्म मौजूद रहेगा। / (S) contains both ((2,3)) and ((3,2)), so the union keeps all reverse pairs.
Step 3
Exam Tip
सममित संबंधों का संघ सममित रहता है। / The union of symmetric relations remains symmetric.
