Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि \((a,b) \in R \cup S\), तो यह (R) या (S) में है। / If \((a,b) \in R \cup S\), then it belongs to (R) or (S).
Step 2
Why this answer is correct
जिस संबंध में यह है, वह सममित है, इसलिए ((b,a)) भी उसी संबंध में और इसलिए संघ में होगा। / The relation containing it is symmetric, so ((b,a)) also belongs to that relation and hence to the union.
Step 3
Exam Tip
सममित संबंधों का संघ भी सममित रहता है। / The union of symmetric relations is also symmetric.
\(R^{-1}\) में हर युग्म उल्टा होकर आता है। / \(R^{-1}\) contains the reverse of every ordered pair in (R).
Step 2
Why this answer is correct
सममितता का अर्थ ही है कि हर मौजूद युग्म का उल्टा भी उसी संबंध में है, इसलिए उल्टा संबंध वही बनता है। / Symmetry means every reverse pair is already in (R), so the inverse relation equals (R).
Step 3
Exam Tip
सममितता को \(R=R^{-1}\) के रूप में याद करना बहुत उपयोगी है। / Remember symmetry as \(R=R^{-1}\).
सममितता की शर्त केवल उन युग्मों पर लागू होती है जो संबंध में मौजूद हों। / The symmetry condition applies only to pairs that are present in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है, इसलिए शर्त का उल्लंघन करने वाला कोई युग्म नहीं मिलता। / The empty relation has no pair, so no pair violates the condition.
Step 3
Exam Tip
रिक्त संबंध को सममित मानना एक महत्वपूर्ण परीक्षा बिंदु है। / Remember that the empty relation is symmetric by vacuous truth.
A. क्योंकि हर संभव उल्टा युग्म भी \(A\times A\) में होता है/Because every possible reverse pair is also in \(A\times A\)
Step 1
Concept
\(A\times A\) में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। / \(A\times A\) contains all possible ordered pairs from (A).
Step 2
Why this answer is correct
यदि ((a,b)) उसमें है, तो \(a,b \in A\) हैं, इसलिए ((b,a)) भी \(A\times A\) में होगा। / If ((a,b)) is in it, then \(a,b \in A\), so ((b,a)) is also in \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध हमेशा सममित होता है। / The universal relation is always symmetric.
गैर-विकर्ण युग्मों के उल्टे युग्म जाँचिए। / Check the reverse of each off-diagonal pair.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((3,4)) के साथ ((4,3)) मौजूद हैं। ((2,2)) अपना उल्टा स्वयं है। / ((1,2)) has ((2,1)), and ((3,4)) has ((4,3)). ((2,2)) reverses to itself.
Step 3
Exam Tip
किसी संबंध के सममित होने के लिए सभी ((a,a)) युग्म जरूरी नहीं होते। / A symmetric relation need not contain every ((a,a)) pair.
(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)) होता है। / (\gcd(a,b)=\gcd(b,a)).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यदि ((a,b)) में महत्तम समापवर्तक (2) है, तो ((b,a)) में भी वही रहेगा। / So if the greatest common divisor of ((a,b)) is (2), the same is true for ((b,a)).
Step 3
Exam Tip
जिन राशियों में क्रम बदलने से मान नहीं बदलता, वे अक्सर सममित संबंध बनाती हैं। / Quantities unchanged by swapping often define symmetric relations.
(\operatorname{lcm}(a,b)=\operatorname{lcm}(b,a)) होता है। / (\operatorname{lcm}(a,b)=\operatorname{lcm}(b,a)).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यदि किसी युग्म का लघुत्तम समापवर्त्य (6) है, तो उल्टे युग्म का भी (6) होगा। / Therefore, if a pair has least common multiple (6), its reverse also has least common multiple (6).
Step 3
Exam Tip
लघुत्तम समापवर्त्य और महत्तम समापवर्तक दोनों में क्रम बदलने से मान नहीं बदलता। / Both LCM and GCD remain unchanged when the order is swapped.
