Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3)\}\) दिया है। (R) को सममित बनाने के लिए न्यूनतम कौन सा क्रमित युग्म जोड़ना होगा?
सममित संबंध में यदि ((a,b)) है, तो ((b,a)) भी होना चाहिए। / In a symmetric relation, if ((a,b)) is present, then ((b,a)) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) मौजूद है, लेकिन ((3,2)) नहीं है। बाकी ((1,2)) और ((2,1)) दोनों मौजूद हैं। / ((2,3)) is present but ((3,2)) is missing, while ((1,2)) and ((2,1)) already form a pair.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में हर गैर-विकर्ण युग्म का उल्टा युग्म अवश्य जाँचें। / In exams, always check the reverse of every non-diagonal ordered pair.
यदि (a+b) सम है, तो (b+a) भी सम होगा क्योंकि जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even because addition is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((a,b) \in R\) होने पर \((b,a) \in R\) भी होगा। / Hence whenever \((a,b) \in R\), \((b,a) \in R\) also holds.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में शर्त को उल्टा करके देखें कि वही सत्य रहती है या नहीं। / For such questions, reverse the condition and check whether it remains true.
B. नहीं, क्योंकि (a>b) से (b>a) नहीं होता/No, because (a>b) does not imply (b>a)
Step 1
Concept
(a-b>0) का अर्थ है (a>b)। / (a-b>0) means (a>b).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a>b) है, तो सामान्यतः (b>a) नहीं हो सकता, इसलिए उल्टा युग्म शर्त पूरी नहीं करता। / If (a>b), then generally (b>a) is false, so the reversed pair does not satisfy the condition.
Step 3
Exam Tip
असमिका वाले संबंधों में उल्टी दिशा अक्सर गलत हो जाती है। / In inequality-based relations, the reverse direction often fails.
(|a-b|=2) होने पर (|b-a|=|-(a-b)|=2) होता है। / If (|a-b|=2), then (|b-a|=|-(a-b)|=2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए जिस युग्म में अंतर (2) है, उसका उल्टा युग्म भी यही अंतर देगा। / So every pair with difference (2) has its reverse pair satisfying the same condition.
Step 3
Exam Tip
परिमाण वाले संबंधों में उल्टा करने पर मान नहीं बदलता, इसे याद रखें। / Absolute value conditions usually remain unchanged under reversal.
(3) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने या छोड़े जा सकते हैं। / The (3) diagonal pairs can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
(3) गैर-विकर्ण जोड़े हैं और हर जोड़े को साथ-साथ चुनना या छोड़ना होगा, इसलिए कुल स्वतंत्र निर्णय (3+3=6) हैं। / There are (3) unordered off-diagonal pairs, and each pair must be selected together or omitted together, giving (3+3=6) independent choices.
Step 3
Exam Tip
(n) तत्वों पर सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / The number of symmetric relations on (n) elements is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
(n) तत्वों पर सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / The number of symmetric relations on an (n)-element set is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (n=4), इसलिए स्वतंत्र स्थानों की संख्या \(\frac{4\cdot5}{2}=10\) है। / Here (n=4), so the number of independent positions is \(\frac{4\cdot5}{2}=10\).
Step 3
Exam Tip
संख्या पूछे जाने पर सूत्र में (n) सावधानी से रखें। / For counting questions, substitute (n) carefully.
यदि (a+b=5), तो (b+a=5) भी होगा। / If (a+b=5), then (b+a=5) also holds.
Step 2
Why this answer is correct
जोड़ का क्रम बदलने पर योग वही रहता है, इसलिए उल्टा युग्म भी संबंध में होगा। / Since addition is commutative, the reversed pair also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
योग वाली शर्तों में क्रम बदलकर तुरंत जाँच करें। / For sum-based conditions, reverse the order and check immediately.
A. क्योंकि \(a^2=b^2\) से \(b^2=a^2\) भी सत्य है/Because \(a^2=b^2\) implies \(b^2=a^2\)
Step 1
Concept
सममितता में बराबरी की दिशा पलटने पर सत्यता बनी रहती है। / In symmetry, an equality remains true when the two sides are reversed.
Step 2
Why this answer is correct
\(a^2=b^2\) होने पर स्पष्ट रूप से \(b^2=a^2\) भी होगा, इसलिए उल्टा युग्म संबंध में है। / If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\) is also true, so the reversed pair belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
बराबरी आधारित संबंधों में बराबरी का उल्टा रूप ध्यान से लिखें। / For equality-based relations, write the reversed equality carefully.
